常熟市第三中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

常熟市第三中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 如图在圆中，，是圆互相垂直的两条直径，现分别以，，，为直径作四个O AB CD O OA OB OC OD 圆，在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（
）
O D
A
B
C
O A ．
B ．
C ．
D ．
π
1
π
21
π
1
21-π
2141-【命题意图】本题考查几何概型概率的求法，借助圆这个载体，突出了几何概型的基本运算能力，因用到圆的几何性质及面积的割补思想，属于中等难度．2． 为了得到函数y=sin3x 的图象，可以将函数y=
sin （3x+
）的图象（
）
A ．向右平移个单位
B ．向右平移个单位
C ．向左平移个单位
D ．向左平移
个单位
　3． 若椭圆
和圆为椭圆的半焦距），有四个不同的交点，则
椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4． 已知两点M （1，），N （﹣4，﹣），给出下列曲线方程：①4x+2y ﹣1=0； ②x 2+y 2=3； ③+y 2=1； ④
﹣y 2=1．
在曲线上存在点P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是（
）
A ．①③
B ．②④
C ．①②③
D ．②③④
5． 设曲线在点处的切线的斜率为，则函数的部分图象2
()1f x x =+(,())x f x ()g x ()cos y g x x =可以为（
）
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
A ．
B ．
C. D ．
6． 将函数f （x ）=3sin （2x+θ）（﹣＜θ＜
）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度后得到函数g （x ）
的图象，若f （x ），g （x ）的图象都经过点P （0，），则φ的值不可能是（
）
A ．
B ．π
C ．
D ．
7． 已知向量，，若，则实数（ ）
(,1)a t =r (2,1)b t =+r ||||a b a b +=-r r r r
t =A.
B. C. D. 2-1
-1
2
【命题意图】本题考查向量的概念，向量垂直的充要条件，简单的基本运算能力．
8． 某校在暑假组织社会实践活动，将8名高一年级学生，平均分配甲、乙两家公司，其中两名英语成绩优秀学生不能分给同一个公司；另三名电脑特长学生也不能分给同一个公司，则不同的分配方案有（ ）
A ．36种
B ．38种
C ．108种
D ．114种
9． 已知函数f （x ）=2x ﹣
+cosx ，设x 1，x 2∈（0，π）（x 1≠x 2），且f （x 1）=f （x 2），若x 1，x 0，x 2成等差
数列，f ′（x ）是f （x ）的导函数，则（ ）
A ．f ′（x 0）＜0
B ．f ′（x 0）=0
C ．f ′（x 0）＞0
D ．f ′（x 0）的符号无法确定
10．设函数
，则有（ ）
A ．f （x ）是奇函数，
B ．f （x ）是奇函数， y=b x
C ．f （x ）是偶函数
D ．f （x ）是偶函数，
11．从5名男生、1名女生中，随机抽取3人，检查他们的英语口语水平，在整个抽样过程中，若这名女生第一次、第二次均未被抽到，那么她第三次被抽到的概率是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．已知函数，函数满足以下三点条件：①定义域为；②对任意，有
⎩
⎨⎧≤>=)0(||)
0(log )(2x x x x x f )(x g R R x ∈
；③当时，.则函数在区间上零
1
()(2)2
g x g x =
+]1,1[-∈x ()g x )()(x g x f y -=]4,4[-点的个数为（
）
A ．7
B ．6
C ．5
D ．4
【命题意图】本题考查利用函数图象来解决零点问题，突出了对分段函数的转化及数形结合思想的考查，本题综合性强，难度大.
二、填空题
13．【启东中学2018届高三上学期第一次月考（10月）】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线上x
C y e ：＝一点，直线经过点P ，且与曲线C 在P 点处的切线垂直，则实数c 的值为________．20l x y c ：＋＋＝14．【泰州中学2018届高三10月月考】设函数，其中，若存在唯一的整数
()()21x
f x e
x ax a =--+1a <，使得，则的取值范围是
0x ()00f x <a 15．已知函数
，若∃x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，使得f （x 1）=f （x 2），则
实数a 的取值范围是 ．　
16．圆上的点（2，1）关于直线x+y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线x ﹣y+1=0相交所得的弦长为，则圆
的方程为 ．
17．已知函数的一条对称轴方程为，则函数的最大值为2
1()sin cos sin 2f x a x x x =-+6
x π
=()f x ___________．
【命题意图】本题考查三角变换、三角函数的对称性与最值，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、转化思想与方程思想．
18．在中，已知角的对边分别为，且，则角ABC ∆C B A ,,c b a ,,B c C b a sin cos +=B 为
.
三、解答题
19．已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B=，DC=2AB=2BC=2
，以直线AD 为旋转轴旋转一周得到
如图所示的几何体σ．（1）求几何体σ的表面积；
（2）点M 时几何体σ的表面上的动点，当四面体MABD 的体积为，试判断M 点的轨迹是否为2个菱形
．
20．（本小题满分12分）
如图，在直四棱柱中，．1111ABCD A B C D -60,,BAD AB BD BC CD ∠===o
（1）求证：平面平面；
11ACC A ⊥1A BD （2）若,,求三棱锥的体积．
BC CD ⊥12AB AA ==11B A BD -21．已知椭圆
，过其右焦点F 且垂直于x 轴的弦MN 的长度为b ．
（Ⅰ）求该椭圆的离心率；
（Ⅱ）已知点A 的坐标为（0，b ），椭圆上存在点P ，Q ，使得圆x 2+y 2=4内切于△APQ ，求该椭圆的方程．
22．如图所示，两个全等的矩形和所在平面相交于，，，且
ABCD ABEF AB M AC ∈N FB ∈，求证：平面．
AM FN =//MN
BCE 23．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ＞0，a 1=，且﹣，，成等差数列．
A
B
C
D
A 1
C 1
B 1
D 1
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b n}满足b n•log3（1﹣S n+1）=1，求适合方程b1b2+b2b3+…+b n b n+1=的正整数n的值．
24．某小区在一次对20岁以上居民节能意识的问卷调查中，随机抽取了100份问卷进行统计，得到相关的数据如下表：
节能意识弱节能意识强总计
20至50岁45954
大于50岁103646
总计5545100
（1）由表中数据直观分析，节能意识强弱是否与人的年龄有关？
（2）据了解到，全小区节能意识强的人共有350人，估计这350人中，年龄大于50岁的有多少人？（3）按年龄分层抽样，从节能意识强的居民中抽5人，再从这5人中任取2人，求恰有1人年龄在20至50岁的概率．
常熟市第三中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题
1． 【答案】C
【解析】设圆的半径为，根据图形的对称性，可以选择在扇形中研究问题，过两个半圆的交点分别O 2OAC 向，作垂线，则此时构成一个以为边长的正方形，则这个正方形内的阴影部分面积为
，扇形
OA OC 112
-π
的面积为，所求概率为．OAC ππ
π
π
12112
-=
-=P 2． 【答案】A
【解析】解：由于函数y=sin （3x+）=sin[3（x+）]的图象向右平移个单位，
即可得到
y=sin[3（x+
﹣
）]=
sin3x 的图象，
故选：A ．
【点评】本题主要考查函数y=Asin （ωx+∅）的图象平移变换，属于中档题．　
3． 【答案】 A 【解析】解：∵椭圆和圆
为椭圆的半焦距）的中心都在原点
，
且它们有四个交点，∴圆的半径
，
由，得2c ＞b ，再平方，4c 2＞b 2，
在椭圆中，a 2=b 2+c 2＜5c 2，∴；
由
，得b+2c ＜2a ，
再平方，b 2+4c 2+4bc ＜4a 2，∴3c 2+4bc ＜3a 2，∴4bc ＜3b 2，∴4c ＜3b ，∴16c 2＜9b 2，∴16c 2＜9a 2﹣9c 2，∴9a 2＞25c 2，
∴，
∴
．
综上所述，．
故选A ．　
4． 【答案】 D
【解析】解：要使这些曲线上存在点P 满足|MP|=|NP|，需曲线与MN 的垂直平分线相交．
MN 的中点坐标为（﹣，0），MN 斜率为=
∴MN 的垂直平分线为y=﹣2（x+），
∵①4x+2y ﹣1=0与y=﹣2（x+），斜率相同，两直线平行，可知两直线无交点，进而可知①不符合题意．②x 2+y 2=3与y=﹣2（x+），联立，消去y 得5x 2﹣12x+6=0，△=144﹣4×5×6＞0，可知②中的曲线与MN 的垂直平分线有交点，
③中的方程与y=﹣2（x+），联立，消去y 得9x 2﹣24x ﹣16=0，△＞0可知③中的曲线与MN 的垂直平分线有交点，
④中的方程与y=﹣2（x+），联立，消去y 得7x 2﹣24x+20=0，△＞0可知④中的曲线与MN 的垂直平分线有交点，
故选D
5． 【答案】A 【解析】
试题分析：，为奇函()()()()()2,cos 2cos ,,cos cos g x x g x x x x g x g x x x ==-=--=g
g ()cos y g x x ∴=数，排除B ，D ，令时，故选A. 10.1x =0y >考点：1、函数的图象及性质；2、选择题“特殊值”法.6． 【答案】C
【解析】函数f （x ）=sin （2x+θ）（﹣＜θ＜
）向右平移φ个单位，得到g （x ）=sin （2x+θ﹣2φ），
因为两个函数都经过P （0，），
所以sin θ=，又因为﹣＜θ＜，
所以θ=
，
所以g （x ）=sin （2x+﹣2φ），
sin （﹣2φ）=，
所以﹣2φ=2k π+，k ∈Z ，此时φ=k π，k ∈Z ，或
﹣2φ=2k π+
，k ∈Z ，此时φ=k π﹣
，k ∈Z ，
故选：C ．
【点评】本题考查的知识点是函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换，三角函数求值，难度中档　
7． 【答案】B
【解析】由知，，∴，解得，故选B.
||||a b a b +=-r r r r a b ⊥r r (2)110a b t t ⋅=++⨯=r r
1t =-8． 【答案】A
【解析】解：由题意可得，有2种分配方案：①甲部门要2个电脑特长学生，则有3种情况；英语成绩优秀学生的分配有2种可能；再从剩下的3个人中选一人，有3种方法．根据分步计数原理，共有3×2×3=18种分配方案．
②甲部门要1个电脑特长学生，则方法有3种；英语成绩优秀学生的分配方法有2种；再从剩下的3个人种选2个人，方法有33种，共3×2×3=18种分配方案．由分类计数原理，可得不同的分配方案共有18+18=36种，故选A ．
【点评】本题考查计数原理的运用，根据题意分步或分类计算每一个事件的方法数，然后用乘法原理和加法原理计算，是解题的常用方法．　
9． 【答案】 A
【解析】解：∵函数f （x ）=2x ﹣+cosx ，设x 1，x 2∈（0，π）（x 1≠x 2），且f （x 1）=f （x 2），
∴
，
∴存在x 1＜a ＜x 2，f '（a ）=0，∴
，∴
，解得a=
，
假设x 1，x 2在a 的邻域内，即x 2﹣x 1≈0．∵，
∴
，
∴f （x ）的图象在a 的邻域内的斜率不断减少小，斜率的导数为正，∴x 0＞a ，
又∵x ＞x 0，又∵x ＞x 0时，f ''（x ）递减，∴．
故选：A ．
【点评】本题考查导数的性质的应用，是难题，解题时要认真审题，注意二阶导数和三阶导数的性质的合理运用．
10．【答案】C
【解析】解：函数f（x）的定义域为R，关于原点对称．
又f（﹣x）===f（x），所以f（x）为偶函数．
而f（）===﹣=﹣f（x），
故选C．
【点评】本题考查函数的奇偶性，属基础题，定义是解决该类问题的基本方法．
11．【答案】B
【解析】解：由题意知，女生第一次、第二次均未被抽到，她第三次被抽到，
这三个事件是相互独立的，
第一次不被抽到的概率为，
第二次不被抽到的概率为，
第三次被抽到的概率是，
∴女生第一次、第二次均未被抽到，那么她第三次被抽到的概率是=，
故选B．
12．【答案】D
第
Ⅱ卷（共100分）[．Com]
二、填空题
13．【答案】－4－ln2
【解析】
点睛：曲线的切线问题就是考察导数应用，导数的含义就是该点切线的斜率，利用这个我们可以求出点的坐标，再根据点在线上（或点在曲线上），就可以求出对应的参数值。

14．【答案】【解析】试题分析:设
,由题设可知存在唯一的整数，使得
在直线0x
的下方.因为
,故当
时,
,函数
单调递减; 当
时,
,函数单调递增;故,而当
时,
,故当
且
,解之得
,应填答案
.3,12e ⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
考点：函数的图象和性质及导数知识的综合运用．
【易错点晴】本题以函数存在唯一的整数零点，使得为背景,设置了一道求函数解析式中的参数0x ()00f x <的取值范围问题,目的是考查函数的图象和性质及导数在研究函数的单调性最值等有关知识的综合运用.同时也综合考查学生运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时先运用等价转化得到数学思想将问题等价转化
为存在唯一的整数，使得在直线
的下方.然后再借助导数的知识求出函数的最小值,依
0x
据题设建立不等式组求出解之得
.
15．【答案】　（﹣∞，2）∪（3，5）　．
【解析】解：由题意，或
∴a＜2或3＜a＜5
故答案为：（﹣∞，2）∪（3，5）．
【点评】本题考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于基础题．
16．【答案】　（x﹣1）2+（y+1）2=5　．
【解析】解：设所求圆的圆心为（a，b），半径为r，
∵点A（2，1）关于直线x+y=0的对称点A′仍在这个圆上，
∴圆心（a，b）在直线x+y=0上，
∴a+b=0，①
且（2﹣a）2+（1﹣b）2=r2；②
又直线x﹣y+1=0截圆所得的弦长为，
且圆心（a，b）到直线x﹣y+1=0的距离为d==，
根据垂径定理得：r2﹣d2=，
即r2﹣（）2=③；
由方程①②③组成方程组，解得；
∴所求圆的方程为（x﹣1）2+（y+1）2=5．
故答案为：（x﹣1）2+（y+1）2=5．
17．【答案】1
【解析】
18．【答案】
4
【解析】
考
点：正弦定理．
【方法点晴】本题考查正余弦定理,根据正弦定理，将所给的含有边和角的等式化为只含有角的等式，再利用三角形的三角和是，消去多余的变量，从而解出角.三角函数题目在高考中的难度逐渐增加，以考查三︒180B 角函数的图象和性质，以及三角形中的正余弦定理为主，在年全国卷（
）中以选择题的压轴题出
2016现.三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）根据题意，得；
该旋转体的下半部分是一个圆锥，
上半部分是一个圆台中间挖空一个圆锥而剩下的几何体，
其表面积为S=
×4π×2×2=8π，
或S=×4π×2+
×（4π×2﹣2π×）+×2π×=8π；
（2）由已知S △ABD =××2×sin135°=1，
因而要使四面体MABD 的体积为
，只要M 点到平面ABCD 的距离为1，因为在空间中有两个平面到平面ABCD 的距离为1，
它们与几何体σ的表面的交线构成2个曲边四边形，不是2个菱形．
【点评】本题考查了空间几何体的表面积与体积的计算问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是综合性题目．
20．【答案】
【解析】（1）证明：∵，,60AB BD BAD =∠=o
∴为正三角形，∴．
ABD ∆AB AD = ∵,为公共边，
CB CD =AC ∴．
ABC ADC ∆≅∆∴,∴．
CAB CAD ∠=∠AC BD ⊥
∵四棱柱是直四棱柱，
1111ABCD A B C D -∴平面，∴．
1AA ⊥ABCD 1AA BD ⊥∵，∴平面．
1AC AA A =I BD ⊥11ACC A ∵平面，∴平面平面．
BD ⊂1A BD 1A BD ⊥11ACC A （2）∵∥，∴,
1AA 1BB 11111B A BD A BB D A BB D V V V ---==由（1）知．
AC BD ⊥∵四棱柱是直四棱柱，
1111ABCD A B C D -∴平面，∴．
1BB ⊥ABCD 1BB AC ⊥ ∵，∴平面．
1BD BB B =I AC ⊥1BB D 记,
AC BD O =I
∴,11111(22)332A BB D BB D V S AO -∆=
⋅=⨯⨯⨯=
∴三棱锥．11B A BD - 21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设F （c ，0），M （c ，y 1），N （c ，y 2），
则
，得y 1=﹣，y 2=，MN=|y 1﹣y 2|==b ，得a=2b ，
椭圆的离心率为： ==．（Ⅱ）由条件，直线AP 、AQ 斜率必然存在，
设过点A 且与圆x 2+y 2=4相切的直线方程为y=kx+b ，转化为一般方程kx ﹣y+b=0，
由于圆x 2+y 2=4内切于△APQ ，所以r=2=，得k=±（b ＞2），
即切线AP 、AQ 关于y 轴对称，则直线PQ 平行于x 轴，
∴y Q =y P =﹣2，
不妨设点Q 在y 轴左侧，可得x Q =﹣x P =﹣2
，则
=，解得b=3，则a=6，
∴椭圆方程为：．【点评】本题考查了椭圆的离心率公式，点到直线方程的距离公式，内切圆的性质．
22．【答案】证明见解析．
【解析】
考点：直线与平面平行的判定与证明．23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比q，由﹣，，，成等差数列，
得，
解得或q=﹣1（舍去），
∴；
（Ⅱ）∵，∴=﹣n﹣1，∴，
，
==，
解得：n=100．
【点评】本题考查等比数列和等差数列的概念与性质，以及等比数列的前n项和公式和裂项相消法求和，属于中档题．
24．【答案】
【解析】解（1）因为20至50岁的54人有9人节能意识强，大于50岁的46人有36人节能意识强，与相差较大，所以节能意识强弱与年龄有关
（2）由数据可估计在节能意识强的人中，年龄大于50岁的概率约为
∴年龄大于50岁的约有（人）
（3）抽取节能意识强的5人中，年龄在20至50岁的（人），
年龄大于50岁的5﹣1=4人，记这5人分别为a，B1，B2，B3，B4．
从这5人中任取2人，共有10种不同取法：（a，B1），（a，B2），（a，B3），（a，B4），（B1，B2），（B1，B3），（B1，B4），（B2，B3），（B2，B4），（B3，B4），
设A表示随机事件“这5人中任取2人，恰有1人年龄在20至50岁”，
则A中的基本事件有4种：（a，B1），（a，B2），（a，B3），（a，B4）
故所求概率为。