求数列前n项和的七种方法

求数列前N 项和的七种方法
1. 公式法
等差数列前n 项和：
特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。

这个公式在很多时候可以简化运算。

等比数列前n 项和： q=1时，1n S na =
(
)1111n n a q q S q
-≠=
-，，特别要注意对公比的讨论。

其他公式：
1、)1(211+==∑=n n k S n
k n 2、)12)(1(61
1
2++==∑=n n n k S n
k n
3、21
3)]1(2
1[+==∑=n n k S n k n
[例1] 已知3
log 1
log 23-=
x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2
1
2log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=
x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32
（利用常用公式）
＝x
x x n
--1)1(＝2
11)
21
1(2
1--n ＝1－n
21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n，n ∈N *,求1
)32()(++=
n n
S n S n f 的最大值.
解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2
11++=+n n S n （利
用常用公式）
∴ 1)32()(++=
n n S n S n f ＝64
342++n n n
＝
n
n 64
341+
+＝
50
)8(12+-
n
n 50
1≤
∴ 当 8
8-n ，即n ＝8时，501)(max =n f
2. 错位相减法
这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.
[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①
解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积
设
n n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ②
（设制错位）
①
－
②
得
n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相
减）
再利用等比数列的求和公式得：
n n n x n x
x x S x )12(1121)1(1
----⋅+=--
∴ 2
1)
1()
1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,
2232n
n
前n 项的和. 解：由题可知，{n n
2
2}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列
{n 2
1
}的通项之积 设n n n
S 2
226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①
14322
226242221++⋅⋅⋅+++=n n n
S ……………………………② （设制错位）
①－②得1
4322
2222222222
2)2
1
1(+-+⋅⋅⋅++++
=-n n n n
S （错位相减）
∴ 1
2
2
4-+-=n n n S 练习：
求：S n =1+5x+9x 2+······+(4n -3)x n-1
解：S n =1+5x+9x 2+······+(4n -3)x n-1 ①
①两边同乘以x ，得
x S n =x+5 x 2+9x 3+······+(4n -3)x n ② ①-②得，（1-x ）S n =1+4（x+ x 2+x 3+······+ n x ）-（4n-3）x n
当x=1时，S n =1+5+9+······+（4n-3）=2n 2-n 当x ≠1时，S n = 1 1-x [ 4x(1-x n
) 1-x +1-
（4n-3）x n ]
3. 反序相加法求和
这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +. [例5] 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值
解：设 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①
将①式右边反序得
1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …② （反
序）
又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x ①+②得 （反序相加）
)
89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89
∴ S ＝44.5 4. 分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
[例6] 求数列的前n 项和：231
,,71,
41,111
2-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，…
解：设)231
()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n a
a a S n n
将其每一项拆开再重新组合得
)23741()1
111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++
=-n a
a a S n n
（分组）
当a ＝1
时，2
)13(n n n S n -+
=＝
2
)13(n
n + （分组求和）
当1≠a 时，2)13(1111n n a
a S n n -+--
=＝2)13(11n n a a a n -+--- [例7] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.
解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1( ∴ ∑=++=n
k n k k k S 1
)12)(1(＝)32(231
k k k n
k ++∑=
将其每一项拆开再重新组合得
3
2
1
1
1
23n
n
n
n k k k S k k k
====++∑∑∑
（分组）
＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++
22(1)(1)(21)(1)
222
n n n n n n n ++++=++ （分组求和）
＝2
)
2()1(2++n n n
练习：求数列•••+•••),21(,,813,412,211n
n 的前n 项和。

解：
n n n n n n n n S 2
1
1)1(21)
2
1
212121()321()
2
1
(81341221132-++=+•••+++++•••+++=++•••+++= 5. 裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质
是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：
（1）)()1(n f n f a n -+= （2）
n n n n tan )1tan()
1cos(cos 1sin -+=+ （3）
1
1
1)1(1+-
=+=
n n n n a n （4）
)1
21
121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n
（5）])
2)(1(1
)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n
(6)
n
n
n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(1
1,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=
-则
[例9] 求数列
⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,1
1,
,3
21,2
11n n 的前n 项和.
解：设n n n n a n -+=++=111 （裂项）
则1
13212
11+++
⋅⋅⋅+++
+=
n n S n （裂项求和）
＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+- ＝11-+n [例10] 在数列{a n }中，1
1211++
⋅⋅⋅++++=n n
n n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.
解： ∵ 2
11211n
n n n n a n =++⋅⋅⋅++++=
∴ )11
1(82
122+-=+⋅=
n n n n b n （裂项） ∴ 数列{b n }的前n 项和
)]1
1
1()4
13
1()3
12
1()2
11[(8+-
+⋅⋅⋅+-+-+-=n n
S n （裂项求和）
＝)111(8+-
n ＝
1
8+n n
[例11] 求证：
1
sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++ 解：设
89cos 88cos 1
2cos 1cos 11cos 0cos 1+
⋅⋅⋅++=
S ∵
n n n n tan )1tan()
1cos(cos 1sin -+=+ （裂项） ∴
89cos 88cos 1
2cos 1cos 11cos 0cos 1+
⋅⋅⋅++=S （裂项求和） ＝
]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1
sin 1
-+-+-+- ＝)0tan 89(tan 1sin 1 -＝
1cot 1
sin 1⋅＝ 1sin 1cos 2 ∴ 原等式成立
练习：求 1 3， 1 1 5， 1 3 5， 1 63之和。

解：9
4)911(21)9171()7151()5131()311(21)91
71(21)7151(21)5131(21)311(219
71
75153131163135115131=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-+-=-+-+-+-=⨯+⨯+⨯+⨯=+++
6. 合并法求和
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求
S n .
[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.
解：设S n ＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+
cos179°
∵ )180cos(cos n n --= （找特殊性质
项）
∴S n ＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+
（cos3°+ cos177°）+···
+（cos89°+ cos91°）+ cos90° （合
并求和）
＝ 0
[例13] 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002. 解：设S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++
由n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1可得 ……
∵ 0665646362616=+++++++++++k k k k k k a a a a a a （找特殊性
质项）
∴ S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++ （合并求和）
＝
)()()(66261612876321++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++k k k a a a a a a a a a a
＝2002200120001999a a a a +++ ＝46362616+++++++k k k k a a a a
＝5
[例
14]在各项均为正数的等比数列中，若
103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值.
解：设1032313log log log a a a S n +⋅⋅⋅++=
由等比数列的性质 q p n m a a a a q p n m =⇒+=+ （找特殊
性质项）
和对数的运算性质 N M N M a a a ⋅=+log log log 得
)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++⋅⋅⋅++++= （合并求
和）
＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅ ＝9log 9log 9log 333+⋅⋅⋅++ ＝10
7. 利用数列的通项求和
先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.
[例15] 求1
1111111111n +++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅个之和.
解：由于
11
11
11119999(101)99k k k ⋅⋅⋅=⨯⋅⋅⋅=-个个
（找通项及特征）
∴1
1111111111n +++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅个
1231111
(101)(101)(101)(101)9999
n =-+-+-+⋅⋅⋅+- （分组求和）
＝1231
11(10101010)(1111)99
n n +++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+个
＝9
110)110(1091n
n ---⋅
＝
)91010(81
1
1n n --+ [例16] 已知数列{a n }：∑∞
=+-+++=
1
1))(1(,)3)(1(8
n n n n a a n n n a 求的值. 解：∵ ])
4)(2(1
)3)(1(1)[
1(8))(1(1++-+++=-++n n n n n a a n n n （找通项及特
征）
＝])
4)(3(1
)4)(2(1[
8+++++⋅n n n n （设制分
组）
＝
)4
1
31(8)4121(
4+-+++-+⋅n n n n （裂项）
∴ ∑∑∑∞
=∞
=∞
=++-+++-+=-+1
111)41
31(8)4121(4))(1(n n n n n n n n n a a n （分组、裂项求和）
＝4
18)4
13
1
(4⋅++⋅＝
3
13 练习：求5，55，555，…，的前n 项和。

解：∵a n = 5 9(10n -1)
∴S n = 5 9(10-1)+ 5 9(102-1) + 5 9(103-1) + … +
5 9(10n
-1)
= 5 9[（10+102+103+……+10n ）-n] =
81
5（10n ＋1-9n-10）
以上一个7种方法虽然各有其特点，但总的原则是要善于改变原数列的形式结构，使其能进行消项处理或能使用等差数列或等比数列的求和公式以及其它已知的基本求和公式来解决，只要很好地把握这一规律，就能使数列求和化难为易，迎刃而解。

11。