高中数学第二章平面向量2.3.1数乘向量学案北师大版必修4

[ 再练一题 ]
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2．设 e1， e2 是两个不共线向量，已知 AB＝2e1－ 8e2， CB＝e1＋ 3e2， CD＝2e1－ e2.
(1) 求证： A， B， D三点共线．
(2) 若B→F＝ 3e1－ ke2，且 B， D， F 三点共线，求 k 的值．
时，不能判断方向相同或相反，因而 (5) 错误； (6) 当 a＝ 0，b≠０时，就不存在实数 λ ，使
b＝λ a，故 (6) 错误．
【答案】 (1) √ (2) × (3) √ (4) √ (5) × (6) ×
[ 质疑·手记 ]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问 1： _________________________________________________________
1 (2) 2
1
13
a＋ 2b － a＋ 2b － 2 2a＋ 8b ；
(3)2(5 a－ 4b＋ c) －3( a－ 3b＋ c) － 7a.
【精彩点拨】 根据向量加法、减法、数乘的运算法则进行运算．
【自主解答】 (1) 原式＝ 18a＋ 3b－ 9a－ 3b＝ 9a.
1
3
3
(2)
原式＝
2
2a＋ b 2
(4) 向量－ 8a 的模是向量 4a 的模的 2 倍． ( )
(5) 若 b＝ λ a( a≠0) ，则 a 与 b 方向相同或相反． ( )
(6) 若 a∥ b，则存在 λ ∈R，使得 b＝λ a.(
)
【解析】 由数乘向量的意义知， (1) 正确， (2) 错误， (3) 正确， (4) 正确； (5) 当 b＝ 0
小学 +初中 +高中 +努力 =大学
§３ 从速度的倍数到数乘向量 3.1 数乘向量
1．理解向量的数乘运算及其几何意义． ( 重点 )
2．理解向量共线定理，并应用其解决相关问题．
( 难点 )
3．会利用向量共线定理判断三点共线及线线平行．
( 易混点 )
[ 基础·初探 ] 教材整理 数乘向量 阅读教材 P82～ P84“例 3”以上部分，完成下列问题． 1．数乘向量及运算律 (1) 向量数乘的定义 一般地，实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，记作 λa. 它的长度和方向规定如下： ① | λa| ＝ | λ || a| ； ②当 λ>0 时， λa 与 a 的方向相同；当 λ <0 时， λ a 与 a 的方向相反；当 λ ＝0 时， λa＝ 0. (2) 向量数乘的运算律 设 a，b 为向量， λ， μ 为实数，则向量数乘满足： ①结合律： λ ( μ a) ＝ ( λμ ) a； ②分配律： ( λ＋ μ ) a＝ λa＋ μ a； λ ( a＋ b) ＝λ a＋ λ b. 2．共线向量定理 (1) 判定定理 a 是一个非零向量，若存在一个实数 λ ，使得 b＝ λ a，则向量 b 与非零向量 a 共线． (2) 性质定理 若向量 b 与非零向量 a 共线，则存在一个实数 λ ，使得 b＝ λ a.
3－ 6λ ＝ 0， 因为 e1 与 e2 不共线，所以
4＋ 8λ ＝ 0，
所以 λ 不存在．
所以 a 与 b 不共线．
1．本题充分利用了向量共线定理，即 b 与 a( a≠０) 共线 ? b＝ λ a，因此用它既可以证 明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值．
2．向量共线的判断 ( 证明 ) 是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而 判断共线．
－ a－ b 4
3
3
＝ a＋4b－ a－ 4b＝ 0.
(3) 原式＝ 10a－ 8b＋ 2c－ 3a＋ 9b－ 3c－ 7a
小学 +初中 +高中 +努力 =大学
小学 +初中 +高中 +努力 =大学 ＝ b－c .
1．向量数乘的运算类似于代数多项式的运算， 主要是“合并同类项”“提取公因式”， 这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看成向量7 2
(2) 3( a＋2b) ＋ 4(3 a－ 2b) －2( a－ b) ＝ 3＋ 4－ 2 a＋ 3－ 2＋ 2 b＝ 12a＋3b.
向量共线定理及应用
已知 e1，e2 是不共线的向量， a＝ 3e1＋4e2，b＝ 6e1－ 8e0，判断 a 与 b 是否共线？ 【精彩点拨】 利用向量共线定理进行判断． 【自主解答】 若 a 与 b 共线，则存在 λ ∈R. 使 a＝ λb，即 3e1＋4e2＝ λ (6 e1－ 8e2) ， 所以 (3 － 6λ ) e1＋(4 ＋ 8λ ) e2＝0.
2．向量也可以通过列方程来解， 把所求向量当做未知量， 利用解代数方程的方法求解．
[ 再练一题 ]
1．化简：
(1)5(3 a－ 2b) ＋ 4(2 b－ 3a) ；
1
1
1
(2) 3( a＋2b) ＋ 4(3 a－ 2b) －2( a－ b) ．
【解】 (1)5(3 a－ 2b) ＋ 4(2 b－ 3a) ＝ 15a－ 10b＋ 8b－ 12a＝ 3a－ 2b.
疑问 3： _________________________________________________________
解惑： ___________________________________________________________
[ 小组合作型 ]
向量的线性运算
计算： 1
(1)3(6 a＋ b) － 9 a＋3b ；
判断 ( 正确的打“√”，错误的打“×”）
(1) 实数 λ 与向量 a 的积还是向量． (
)
(2) 实数 λ 与向量 a 的和 λ ＋ a 与差 λ － a 都是向量． ( )
小学 +初中 +高中 +努力 =大学
小学 +初中 +高中 +努力 =大学
(3) 对于非零向量 a，向量－ 6a 与向量 2a 方向相反． ( )
解惑： ___________________________________________________________
疑问 2： _________________________________________________________
解惑： ___________________________________________________________