(教师用书)高中数学 3.3.1 函数的单调性与导数课件 新人教A版选修1-1

1．在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定 义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集 R 可以省略不写． 2．当求得的单调区间不止一个时，单调区间要用“，”或 “和”字等隔开， 不要用符号“∪”连接， 如(1)题中的增区间．
(1)求函数 f(x)＝2x3－9x2＋12x－3 的单调区间； (2)求函数 y＝x3－2x2＋x 的单调区间．
函数的单调性与其导数的正负的关系
【问题导思】 1．导数的几何意义是什么？ 【提示】 函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数等于 y＝f(x)的图 象，在 x＝x0 处切线的斜率．
2．若函数 y＝f(x)在 x∈[a，b]的图象上任一点的切线的斜 率均为正值，则 y＝f(x)在 x∈[a，b]的单调性是怎样的？
解不等式y′＜0和y′＞0 → 写单调区间
【自主解答】 (1)由题意得 y′＝6x2－3. 2 2 令 y′＝6x －3＞0，解得 x＜－ 或 x＞ ， 2 2
2
2 2 当 x∈(－∞，－ )时，函数为增函数，当 x∈( ，＋∞) 2 2 时，函数也为增函数．
令 y′＝6x －3＜0，
2
2 2 解得－ 2 ＜x＜ 2 ，
函数的 单调性 递增 递减
导数与函数图象的关系
设函数 f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图 3 －3－1 所示，则导函数 y＝f′(x)可能为( )
图 3－3－1
【思路探究】 (1)y＝f(x)的图象在 y 轴左侧是上升的，对 应的导数图象是怎样的？(2) 函数在 y 轴右侧先增再减最后又 增，对应的导数又该如何呢？
图 3－3－2
【解析】 由 y＝xf′(x)的图象可知当 x＞1 时， x＞0 且 f′(x) ＞0，所以当 x＞1 时，f(x)单调递增，只有 C 成立．故选 C.
【答案】 C
求函数的单调区间
求下列函数的单调区间． (1)y＝2x3－3x (2)f(x)＝3x2－2ln x.
【思路探究】
求定义域 → 求导数 →
●重点、难点 重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多 项式函数的单调区间． 难点：利用导数信息绘制函数的大致图象． 采用多媒体课件等辅助手段以加大课堂容量，通过数形结 合，图、表并用，使抽象的知识直观化，形象化，以促进学生 的理解，以达到突破重点、难点的目的．
●教学建议 为还课堂于学生， 突出学生的主体地位， 本节课宜运用“问 题 —— 解决”课堂教学模式，采用发现式、启发式的教学方 法．通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与教学实践活动， 在教师的指导下发现、分析和解决问题，总结规律，培养积极 探索的科学精神．
3.3
导数在研究函数中的应用
教师用书独具演示
3．3.1 函数的单调性与导数
●三维目标 1.知识与技能 能探索并应用函数的单调性与导数的关系求函数的单调区 间，能由导数信息绘制函数大致图象．
2．过程与方法 通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严密 推理的良好思维习惯，让学生感知从具体到抽象，从特殊到一 般，从感性到理性的认知过程． 3．情感、态度与价值观 通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总 结，引导学生养成自主学习的学习习惯．
【解】 (1)此函数的定义域为 R，
f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)． 令 6(x－1)(x－2)＜0，解得 1＜x＜2， 所以函数 f(x)的单调递减区间是(1,2)． 令 6(x－1)(x－2)＞0，解得 x＞2 或 x＜1， 所以函数 f(x)的单ຫໍສະໝຸດ 递增区间是(2，＋∞)，(－∞，1)．
(2)导数与函数图象的关系
函数值增加得越来越快 函数值增加得越来越慢 f′x＞0且越来越大 f′x＞0且越来越小
函数值减少得越来越快 函数值减少得越来越慢 f′x＜0且越来越小 绝对值越来越大 f′x＜0且越来越大 绝对值越来越小
已知函数 y＝xf′(x)的图象如图 3－3－2 所示( 其中 f′(x) 是函数 f(x)的导函数，下列四个图象中，y＝f(x)的图象大致是 ( )
【提示】 单调递增的．
1．一般地，设函数 y＝f(x)，在区间(a，b)上 (1)如果 f′(x)＞0，则 f(x)在该区间上 单调递增 ． (2)如果 f′(x)＜0，则 f(x)在该区间上 单调递减 ． 2.
导数 值 ＞0 ＜0
切线的 斜率 ＞0 ＜0
倾斜 角 锐角 钝角
曲线的变 化趋势 上升 下降
2 2 当 x∈(－ 2 ， 2 )时，函数为减函数． 2 2 故函数的递增区间为(－∞，－ 2 )和( 2 ，＋∞)，递减区间 2 2 为(－ 2 ， 2 )．
(2)函数的定义域为(0，＋∞)， 3x2－1 2 f′(x)＝6x－ ＝2· . x x 3x2－1 令 f′(x)＞0，即 2· ＞0. x 3 且 x＞0，可解得 x＞ 3 ； 3x2－1 令 f′(x)＜0，即 2· ＜0， x 3 由 x＞0 得，0＜x＜ 3 ， 3 3 ∴f(x)的增区间为( 3 ，＋∞)，减区间为(0， 3 )．
【自主解答】 由函数的图象知：当 x＜0 时，函数单调递 增，导数应始终为正；当 x＞0 时，函数先增后减再增，导数应 先正后负再正，对照选项，只有 D 正确．
【答案】 D
判断函数与导数图象间对应关系时，首先要弄清所给图象 是原函数的图象还是导函数的图象， 其次再注意以下两个方面： (1)函数的单调性与其导函数的正负的关系： 在某个区间(a， b)内，若 f′(x)＞0，则 y＝f(x)在(a，b)上单调递增；如果 f′(x) ＜0，则 y＝f(x)在这个区间上单调递减；若恒有 f ′(x)＝0，则 y ＝f(x)是常数函数，不具有单调性．
为使学生积极参与课堂学习，宜采取以下学习方法： 1．合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问 题； 2．自主学习：引导学生通过亲身经历，动口、动脑、动手 参与数学活动； 3．探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知．
●教学流程
演示结束
1.理解在某区间上函数的单调 性与导数的关系．(难点) 课标解 2．掌握利用导数判断函数单调 性的方法．(重点) 读 3．能够根据函数的单调性求参 数．(难点)