2025届长沙市高三数学上学期入学摸底考试答案解析卷

雅礼中学2025届高三上学期入学考试试卷
数 学
时量：120分钟 分值：150分
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1、 已知集合{}
2
40A x x =-≤，则A =N （ ）
A ．{}0
B ．{}0,1
C ．{}0,1,2
D ．{}1,2
2、 ）
A B C D
3、 （暑假作业原题）若正数x ，y 满足 ²20x xy -+=，则x y +的最小值是（ ）
A ．
B ．
C ．4
D ．6
【答案】C
【分析】根据已知条件及基本不等式即可求解.
4、过椭圆
22
:1
169
x y
C+=的中心作直线l交椭圆于,P Q两点，F是C的一个焦点，则
PFQ
△周长的最小值为（）
A．16 B．14 C．12 D．10
所以PFQ
△的周长为PF
当线段PQ为椭圆短轴时，
故选：B
5、已知圆C的方程为22
(2)
x y a
+-=，则“2
a>”是“函数y x
=的图象与圆C有四个公共点”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
6、 （暑假作业原题）如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行
但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．记格子从左到右的编号分别为0，1，2，⋯，10，用X 表示小球最后落入格子的号码，若0()()P X k P X k == ，则0
(k = )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
【分析】小球在下落过程中，共10次等可能向左或向右落下，则小球落入格子的号码X 服
从二项分布，且落入格子的号码即向右次数，即1
~(10,)2X B ，则10101()()(02
k
P X k C k ===，
1，2...，10)，然后由二项式系数对称性即可得解．
【解答】解：小球在下落过程中，共10次等可能向左或向右落下， 则小球落入格子的号码X 服从二项分布， 且落入格子的号码即向右次数，即1
~(10,2
X B ，
所以10101010111()()(1()(0222
k k k k
P X k C C k -==-==，1，2...，10)，
由二项式系数对称性知，当5k =时，10k
C 最大，故05k =． 故选：B ．
【点评】本题考查了二项分布及二项式系数的性质的应用，属于中档题．
7、 （教材原题）以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是( ) A ．70
B ．64
C ．60
D ．58
【分析】从8个顶点中选4个，共有48C 种结果，在这些结果中，有四点共面的情况，6个表面有6个四点共面，6个对角面有6个四点共面，用所有的结果减去不合题意的结果，得到结论．
【解答】解：首先从8个顶点中选4个，共有48C 种结果，
在这些结果中，有四点共面的情况，6个表面有6个四点共面，6个对角面有6个四点共面， ∴满足条件的结果有4488661258C C --=-=．
故选：D ．
【点评】本题是一个排列问题同立体几何问题结合的题目，是一个综合题，这种问题实际上是以排列为载体考查正方体的结构特征．
8、 （暑假作业原题）已知定义域为R 的函数()f x ，其导函数为()f x '，且满足
()2()0f x f x '-<，(0)1f =，则( )
A ．2
(1)1e f -<
B ．()
2
1f e >
C ．1(2
f e >
D ．1(1)(2
f ef <
【分析】构造函数2()
()x
f x
g x e =
，由()2()0f x f x '-<得()0g x '<，进而判断函数()g x 的单调性，判断各选项不等式．
【解答】解：2()
()x f x g x e
=，则2222
2()2()()2()()()x x x x f x e f x e f x f x g x e e '⋅-'-'==， 因为()2()0f x f x '-<在R 上恒成立，
所以()0g x '<在R 上恒成立，故()g x 在R 上单调递减， 所以2
20
(1)(0)(1)(0),
(1)1f f g g e f e e --->=->=，故A 不正确； 所以g （1）(0)g <，即
20(1)(0)
f f e e
<，即f （1）22(0)e f e <=，故B 不正确；
1()(0)2g g <，即101()
(0)
21f f e e <=，即1(2f e <，故C 不正确； 1()(1)2g g >，即121
()
(1)
2f f e e >，即1(1)()2
f ef <，故D 正确．
故选：D ．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了函数思想，属中档题．
二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9、 已知复数12,z z ，下列说法正确的是（ ）
A ．若12=z z ，则22
12z z =
B ．1212z z z z =
C ．1212z z z z -≤+
D ．1212z z z z +≤+
10、 已知函数(
)ππ)02,22f x x ωϕωϕ⎛
⎫=+<≤-<< ⎪⎝⎭，函数()()
12
g x f x =+的部
分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A ．()f x 的表达式可以写成()24f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
B ．()f x 的图象向右平移
3π
8
个单位长度后得到的新函数是奇函数 C ．()()1h x f x =+的对称中心ππ,182k ⎛⎫
-+
⎪⎝⎭
，Z k ∈ D ．若方程()1f x =在()0,m 上有且只有6个根，则5π13π,24m ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
11、 如图，过点(C a ，0)(0)a >的直线AB 交抛物线22(0)y px p =>于A ，B 两点，连接
AO 、BO ，并延长，分别交直线x a =-于M ，N 两点，则下列结论中一定成立的有
( )
A ．//BM AN
B ．以AB 为直径的圆与直线x a =-相切
C ．AOB MON S S ∆∆=
D ．2
4MCN ANC BCM S S S ∆∆∆=⋅
【分析】设出直线与抛物线联立，利用韦达定理及斜率公式，结合三角形的面积公式及直线与圆的位置关系的判断方法即可求解．
【解答】解：对于A ，令直线:AB x my a =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 联立2
2x my a
y px
=+⎧⎨=⎩，消x 可得2220y pmy pa --=， 则△2(2)80pm pa =+>，122y y pa =-，122y y pm +=， 则21212()222x x m y y a pm a +=++=+， 则1111,:OA y y k OA y x x x =
=则直线，∴11
(,)ay
M a x --，
故12211122212220()BM
ay pa
y y x y y y pa
k x a x a y x a +
++====+++， 同理0AN k =，//BM AN ∴，故A 正确； 对于B ，如图，设AB 中点1212
(
,22
x x y y Q ++，即2(Q pm a +，)pa -，
则Q 到直线x a =-的距离22d pm a =+， 以AB
为直径的圆的半径
12||||2
AB y y =-=，
所以2
2
2||(2)(2)4AB d p a a p m -=+-， 当2p a =时相切，当2
p
a ≠时不相切，故B 错误；
对于C ，设x a =-与x 轴交于P ，PON AOC S S ∆∆=，MOP BOC S S ∆∆=， 则PON MOP AOC BOC S S S S ∆∆∆∆+=+，则AOB MON S S ∆∆=，故C 正确； 对于D ，112211
(),()22
ANC BCM S x a y S x a y ∆∆=+=-+，
则1212121211
()()(2)(2)44ANC BCM S S x a x a y y my a my a y y ∆∆⋅=-++=-++
221212121
[2()4]4
m y y am y y a y y =-+++
22221
[(2)2(2)4](2)(2)4
m pa am pm a pa pa pm a =--++-=+，
而12121
2||||2
MCN MPC NPC S S S a y y a y y ∆∆∆=+=
⋅-=-， 所以2222222
121212()[()4]4(2)4MCN ANC BCM S a y y a y y y y pa pm a S S ∆∆∆=-=+-=+=⋅，故D 正确．
故选：ACD ．
【点评】
本题考查了已知两点求斜率，由斜率判断两条直线平行，判断直线与圆的位置关
系，根据韦达定理求参数，属于中档题．
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12、 已知随机变量X 服从正态分布()2
5,N σ，若(56)0.27P X <≤=，则(4)P X <= .
13、 已知向量()sin ,cos a θθ=，()3,1b =，若a b ∥，则2sin sin 2θθ+的值为 .
14、 设0k ＞，若存在正实数x ，使得不等式14log 20kx x k --⋅≥成立，则k 的最大值
为 .
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15、 （13分）平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质．如图所示，
四边形ABCD 的顶点在同一平面上，已知2,AB BC CD AD ====
(1)当BD cos A C -是否为一个定值？若是，求出这个定值；若否，说明理由．
(2)记ABD △与BCD △的面积分别为1S 和2S ，请求出2212S S +的最大值．
【答案】cos A C -为定值，定值为1 (2)14
【详解】（1）法一：在ABD △中，由余弦定理222
cos 2+-=⋅AD AB BD A AD AB
，
得cos A =2
168BD A -=①，
同理，在BCD △中，22222cos 222BD C +-=⨯⨯，即2
8cos 8BD C -=②，
①-②cos 1A C -=，
所以当BD cos A C -为定值，定值为1； 法二：在ABD △中，由余弦定理2222cos BD AD AB AD AB A =+-⋅
得222222cos BD A =+-⨯⨯，即216BD A =-， 同理，在BCD △中，2222cos 88cos BD CD CB CD CB C C =+-⋅=-，
所以1688cos A C -=-1cos A C -=cos 1A C -=，
所以当BD cos A C -为定值，定值为1；
（2）2
22222221211
sin sin 4
4S S AB AD A BC CD C +=
⋅⋅+⋅⋅
222212sin 4sin 12sin 44cos A C A C =+=+-
2212sin 41)A A =+--224cos 12A A =-++，
令()cos ,1,1A t t =∈-，所以2
224122414y t t ⎛=-++=-+ ⎝⎭，
所以t =cos A = 2212S S +有最大值为14．
16、 （15分）（暑假作业原题）函数()e 4sin 2x
f x x λλ=-+-的图象在0x =处的切线为
3,y ax a a =--∈R .
（1）求λ的值；
（2）求()f x 在(0,)+∞上零点的个数. 解析【小问1详解】
因为()e 4sin 2,()e 4cos x x f x x f x x λλλλ'=-+-=-， 所以(0)4f λ'=-，所以切线斜率为4λ-，即4a λ=-， 所切线方程为()41y x λλ=--+
又(0)1f λ=-，所以切点坐标为(0,1)λ-，代入得
则11λλ-=-+，解得1λ=.
【小问2详解】
由（1）得()e 4sin 1,()e 4cos x x f x x f x x '=--=-， 令()()e 4cos x
g x f x x ==-'，则()e 4sin x
g x x =+'，
当πx ≥时，()e 4cos 0x f x x '=->恒成立，所以()f x 在[)π,+∞上递增， 所以ππ()(π)e 4sin 1e 50f x f x ≥=--≥->， 因此()f x 在[π,)+∞无零点；
当0πx <<时，()e 4sin 0x
g x x '=+>恒成立，所以()f x '单调递增，
又π
(0)30,(π)e 40f f ''=-<=+>， 所以()f x '在(0,π)上存在唯一的零点0x ， 当()00,,()0,()∈<'x x f x f x 单调递减；
当()0,π,()0,()x x f x f x '
∈>单调递增；
又()0(0)0,(0)0f f x f =<=，π(π)e 10f =->， 因此()f x 在(0,π)上仅有1个零点； 综上，()f x 在(0,)+∞上仅有1个零点.
17、 （15分）如图，四面体ABCD 中，,,AD CD AD CD ADB BDC ⊥=∠=∠，E 为AC 的中
点．
(1)证明：平面BED ⊥平面ACD ；
(2)设2,60AB BD ACB ==∠=︒，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求CF 与平面ABD 所成的角的正弦值．
【详解】（1）因为AD CD =，E 为AC 的中点，所以AC DE ⊥； 在ABD △和CBD △中，因为,,B A C D CD ADB DB DB D ∠=∠==，
所以ABD CBD ≌△△，所以AB CB =，又因为E 为AC 的中点，所以AC BE ⊥； 又因为,DE BE ⊂平面BED ，DE BE E ⋂=，所以AC ⊥平面BED ， 因为AC 平面ACD ，所以平面BED ⊥平面ACD .
（2）连接EF ，由（1）知，AC ⊥平面BED ，因为EF ⊂平面BED ， 所以AC EF ⊥，所以1
=
2
AFC S AC EF ⋅△，
当EF BD ⊥时，EF 最小，即AFC △的面积最小. 因为ABD CBD ≌△△，所以2CB AB ==，
又因为60ACB ∠=︒，所以ABC 是等边三角形，因为E 为AC 的中点，所以1AE EC ==
，
BE =AD CD ⊥，所以1
12
DE AC =
=, 在DEB 中，222DE BE BD +=，所以BE DE ⊥.
以E 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -， 则(
)()
()1,0,0,,0,0,1A B D ，所以
(
)()
1,0,1,AD AB =-=-
，
设平面ABD 的一个法向量为(),,n x y z = ，
则0
n AD x z n AB x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩
，取y =
()
n =
，
又因为(
)31,0,0,4C F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
，所以34CF ⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭ ，
所以cos ,n CF n CF n CF
⋅==
=
， 设CF 与平面ABD 所成的角的正弦值为02πθθ⎛
⎫≤≤ ⎪⎝
⎭，
所以sin cos ,n CF θ== CF 与平面ABD
(1)求C 的方程；
(2)记双曲线C 的左右顶点分别为1A ，2A ，直线1A M ，2A N 的斜率分别为1k ，2k ，求
1
2
k k 的值. (3)探究圆E ：224410x y x y +---=上是否存在点S ，使得过S 作双曲线的两条切线
1l ，2l 互相垂直.
【答案】(1)22
143x y -=； (2)13
-； (3)存在.
【详解】（1）由对称性知，双曲线C 过点(4,3)
，则221691
b a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩
，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，
所以双曲线C 的方程为
22
143
x y -=. （2）由（1）得12(2,0),(2,0)A A -，设()()1122,,,M x y N x y ， 显然直线MN 不垂直于y 轴，设直线MN 的方程为4x my =+， 由22
4
3412
x my x y =+⎧⎨-=⎩消去x 得220(34)2436m y my -++=， 显然22340,144(4)0m m -≠∆=+>，12122
22436
,3434
m y y y y m m -+==--， 则121223m y y y y +=-
，即()12123
2
my y y y =-+， 所以()()()()11212112212222222262y y x y my k x y k x y y my x -++=
==++-()()1211211221223
221236362
y y y my y y my y y y y y -+++===-+-++.
（3）圆22:4410E x y x y +---=上存在点S ，使得过S 作双曲线的两条切线互相垂直. 若双曲线的两条切线有交点，则两条切线的斜率存在且不为0， 设双曲线的两条切线分别为1122,y k x n y k x n =+=+，
将y kx n =+代入22
14
3x y -=消去y 得：22(3484120)k knx n ----=，
由0'∆=得()()22
22644344120k n k n +-+=，解得2243n k =-，
因此2
222112243,43n k n k =-=-，设两条切线的交点坐标为()00,x y ，
则01010202
y k x n y k x n -=⎧⎨
-=⎩，即有()22010143y k x k -=-，且()2
2020243y k x k
-=-，
即()()2
222220100100200204230,4230x k x y k y x k x y k y --++=--++=， 于是12,k k 是方程()222
00004230x k x y k y --++=的两根，
而121k k =-，则202
0314
y x +=--，即2
2001x y +=，从而两条切线们交点的轨迹为圆221x y +=， 而221x y +=的圆心为(0,0)O ，半径为1，圆222:(2)(2)3E x y -+-=的圆心(2,2)E ，半径为3
，显然||OE ==，满足31||31OE -<<+，即圆O 与圆E 相交， 所以圆22:4410E x y x y +---=上存在点S ，使得过S 作双曲线的两条切线互相垂直.
19、 （17分）对于数列{}n a ，如果存在等差数列{}n b 和等比数列{}n c ，使得
()
n n n a b c n *=+∈N ，则称数列{}n a 是“优分解”的．
(1)证明：如果{}n a 是等差数列，则{}n a 是“优分解”的．
(2)记()
2
*11ΔΔΔΔn n n n n n a a a a a a n ++=-=-∈N ，，证明：如果数列{}n a 是“优分解”的，
则()2*Δ0n a n =∈N 或数列{}
2
Δn a 是等比数列．
(3)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，如果{}n a 和{}n S 都是“优分解”的，并且123346a a a ===，，，求{}n a 的通项公式．
【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)1
22n n a -=+
【详解】（1）{}n a 是等差数列，∴设()()111111n a a n d a n d ⎡⎤=+-=-+-+⎣⎦， 令()111,1n n b a n d c =-+-=，
则{}n b 是等差数列，{}n c 是等比数列，所以数列{}n a 是“优分解”的．
（2）因为数列{}n a 是“优分解”的，设()*
n n n a b c n =+∈N ，
其中()()1
1111,0,0n n n b b n d c c q c q -=+-=≠≠，
则()1212
1111Δ1,ΔΔΔ(1)n n n n n n n n a a a d c q q a a a c q q --++=-=+-=-=-． 当1q =时，()2*
Δ0n a n =∈N ；
当1q ≠时，{}2Δn a 是首项为2
1(1)c q -，公比为q 的等比数列． （3）一方面， 数列{}n S 是“优分解”的，设()*
n n n S B C n =+∈N ，
其中()()11111,0,0n n n B B n D C C Q C Q -=+-=≠≠，由（2）知21
21Δ(1)n n S C Q Q -=-
因为12122323Δ4,Δ6S S S a S S S a =-===-==，所以2
121ΔΔΔ2S S S =-=．
{}
221(1)2,1,Δn C Q Q S ∴-=∴≠∴是首项为2，公比为()1Q Q ≠的等比数列．
另一方面，因为{}n a 是“优分解”的，设()*
n n n a b c n =+∈N ，
其中()()1
1111,0,0n n n b b n d c c q c q -=+-=≠≠，
()2111211Δ,ΔΔΔ1n n n n n n n n n n S S S a S S S a a d c q q +++++=-==-=-=+- {}
2Δn S 是首项为2，公比为()1Q Q ≠的等比数列， 0,1q q ∴≠≠，且()()()2
222213ΔΔΔS S S =⋅，
()()()2
2
3111111d c q q d c q q d c q q ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∴+-=+-⋅+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
化简得()31
1111(1)0,0,0,1,0,Δ1n n n n c dq q c q q d a a a c q q -+-=≠≠≠∴=∴=-=- ，
即数列{}Δn a 是首项121Δ1a a a =-=，公比为q 的等比数列． 又232Δ2,2a a a q =-=∴= ，
又()2
11Δ2,12,0,2,S d c q q d q =∴+-===∴ 解得11111,312c b a c =∴=-=-=，
综上所述，()11
11122n n n a b n d c q --=+-+=+．。