RC电路的瞬态与稳态过程

RC 电路的瞬态与稳态过程
物理学系
在静电学、放射性衰变、原子核裂变中，都有以指数衰减变化的过程，
RC 电
路也是如此。

当RC 电路接通电源或断开电源时电路将有一个充放电瞬间的过程， 瞬态变化快慢由电路自身特性和各元件量值决定。

所以瞬态也可以延展到物理学 的许多领域。

而RC 电路稳态时可以改变输入正弦信号与输出信号的相差。

二、实验原理
1. RC 电路的瞬态过程（电路如教材中图 5-29所示）
电阻R 与纯电容C 串联接于内阻为r 的方波信号发生器中，用示波器观察 C 上的波形。

在方波电压值为 U0的半个周期时间内，电源对电容器 C 充电，而在 方波电压为零的半个周期内，电容器内电荷通过电阻（
R+r ）放电。

充放电过程
如教材中图5-30所示，电容器上电压U C 随时间t 的变化规律为：
式中，（R+r ） C 称为电路的时间常数。

当电容器 C 上电压UC 在放电时由U0减 少到U0/2时，相应经过的时间称为半衰期 T i ，此时有：
2
T i
2
= (R+r ) Cln2=(R+r ) C (3)
般从示波器上测量RC 放电曲线的半衰期比测弛豫时间要方便。

所以，可测量
引言
t
U c U °[1 e(R7)C](充电过程)
(1)
U c
(R r)C
（放电过程）
半衰期T1/2，然后，除以In2得到时间常数（R+r）C
2、RC 电路的稳态过程
当正弦交流电压u (=yOcost t )输入RC 串联电路时，电容两端的输出电压
uO 的幅度及相位将随出入电压u 的频率或电阻R 的变化而变化。

RC 电路(如教材中图5-34(a)所示)
之间的相位差满足下式:
tan fC(R r)
(4)
cos
(5)
式中f 为输入信号源的角频率，相位差 间常数。

即为电路的相移，C (R+r )为电路的时
用李萨如图形法测电路的相移 在示波器上可得到李萨如图形在 y 轴上的最大投影值A 和在y 轴的两交点之间 的距离B 的比值B sin ，其中 即为电路的相移。

A
用双踪示波器测电路的相移 教材图5-37为示波屏上显示待测两频率正弦波，其中I 为正弦波一个周期时间在
示波器上显示的水平长度，丨为时间差，则相差 为：
=
360
l
如图1 (b )所示，一点流失量为参考矢量，作 uR 、uC 及u 的矢量图。

(6)
三、实验装置及过程
实验装置：示波器、函数信号发生器、电阻箱、电容箱、同轴电缆线、学生自带U盘等。

实验过程：
1、观察方波信号下RC电路的充放电过程
按照图示用同轴电缆线连接好电路，再打开示波器及函数信号发生器的电源开关。

保持方波频率f与电容C不变，观察不同电阻R所对应的充放电过程的波形。

同理，保持电阻R和频率f不变，观察不同电容C所对应的充放电过程的波形。

④同理，保持电阻R和电容C不变，观察不同频率f所对应的充放电过程的波形。

2、利用1中观察到的现象，选取充分放电和不充分放电的波形，用学生自带的
U盘在示波器是存储数据，并进行拟合。

3、测量RC电路的时间常数
使用方波信号
•用半偏法测量信号发生器内阻r:使用方波信号，将电阻箱阻值调到最大，近似于短路，此时示波器上显示U°，调节电阻箱，使示波器上的电压值为1/2Uo，读出此时的电阻箱电阻示数，即信号发生器内阻r;同理，在正弦波信号下测信号发生器内阻r'。

•根据实验过程1选择适合的电阻R和电容C,以得到充分放电的波形，测量
RC电路半衰期2,并计算时间常数。

使用正弦波信号
•观察RC电路中Uc随正弦信号频率的变化情况
1
■ | _u i
•测量U c = 2 时候的频率，并计算电路的时间常数
•用李萨如图测量u c、U i的相位差，取频率不同的七组数据，用最小二乘法拟合。

•用双踪法显示Uc、U i的波形，测量相位差，并计算时间常数。

•比较四种测量时间常数的方法，并分析优缺点。

四、实验结果及分析
1、观察方波信号下RC电路的充放电过程
现象：固定频率f=500Hz,电容C= F，最开始电阻为0或很小时，示波器上
为周期性的方波。

逐渐增大电阻到20k Q时看到了不充分充放电的波形。

固定电阻R=10k Q，电容C= F，最开始频率为0或很小时，示波器上为周期
性的方波。

逐渐增大频率大约超过1000Hz后看到了不充分充放电的波形。

固定电阻R=10k Q，频率f=500Hz随着电容增大，U。

值减小，电容增大到大约超过F后，看到了不充分充放电的波形。

分析：充分充放电或不充分放电取决于电路的电阻，电容以及信号发生器的频率。

选电阻R=10k Q，频率f=500Hz电容C= F为充分放电时的条件；选电阻R=10k
Q,频率f=1000Hz电容C= F为充分放电时的条件。

2、利用1中的分析得到的结论，得到典型的充分充电与非充分充电时的数据，并拟合后有下图:
时间(10 -6s)
电压
拟合结果和典型的充分充电与非充分充电的图像均比较吻合。

3、测量RC电路的时间常数
使用方波信号用半偏法测得信号发生器内阻，方波形时内阻为r=51Q，正弦波
时内阻r'=50Q。

选R=10k Q，频率f=500Hz,电容C= F。

用示波器上x i、x2轴，x i测电压最小值为，x2测电压最大值为，所以u0=,U o/2=。

保持x2不变（x2的时间的示数为），
5
10
T i
将X1调到时对应的时间的示数为
•得到半衰期 厂=。

所以得时间常数（R+r ）
C= 106。

使用正弦波信号
I .先将示波器同时与电容和电阻箱并联，增大频率，观察到
12345.示波器上有
1
Uc
、Ui 的波形，调节频率并增加它的精确度，使U c 慢慢趋于2U
i ，记下此时的
5
频率f=。

由（4）和（5）式可得时间常数（R+r ） C= 10
n .李萨如图法
测量不同频率f （分别为300-900HZ 每隔100Hz 测一组，共七组）时，将合成
B sin
后的波形移到xy 坐标系中心，利用y 轴读出A 、B,由于A ，所以再算出
tan
的值，作tan -f 图并拟合如下图所示:
频率（Hz ）
1.0 -
Equation y = a + bx Weight
No Weighting
Residual Sum of Squares 0.00432
Pearson's r 0.99558 Adj. R-Square
0.98942
Value Standard Erro
tan （相位差）
Intercept -0.05593 0.03513 Slope
0.00132
5.55452E-5
~~tan （相位差）
Lin ear Fit of Sheet1 B"ta n （ 相位差）
0.5
200 400 600 800 1000
5 10
5
拟合结果斜率为（）10 s，由实验原理可知斜率即为时间常数（R+r）C=（）So
5
IV .双踪法
频率为500Hz 用Xl 、X 2测相邻峰值时的对应时间值，相减即可得匸，
再测两正弦波达同一相位的时间差
1=，算出时间常数（R+r ） C= 10
4、四种测量方法的比较：
由已经确定的R=10k Q ，电容C= F,方波形时内阻为r=51 Q ，正弦波时内阻r'=50
Q,可得出时间常数（R+r ） C 的真值为10 5s 。

（正弦波时的信号发生器内阻
与方波形时仅仅相差1Q,可以视为两种情况时时间常数相等）
6
用半衰期来测时间常数的方法得（R+r ） C= 10 ，偏离真值的相对百分比为％, 这种方法测量很直观，但调节示波器上 X 1、x 2时发现精度不够；
1
■ I — U •
5
用U c =2 •来测频率算出（R+r ） C= 10 ，偏离真值的相对百分比为％，误差较
1
大误差的一部分来源是人为调节 Uc =2U •
时主观感觉的不准确性；
5
用李萨如图拟合得时间常数（R+r ） C=（ ） 10 s ，偏离真值的相对百分比为％，
U S •
误差较大，误差的一部分来源和Uc = 2
•
法一样，所以两种方法误差都比较大；
5
用双踪法算得时间常数（R+r ） C= 10 ，偏离真值的相对百分比为％，这种方法 原理和操作都很简便，但和半衰期法一样X 1、x 2的精度不够。

可以看出若实验的 原理和操作都简单，那么实验结果的离真值的偏差会较小，反之偏差会较大。

五、实验结论
1、 选电阻R=10k Q ，频率f=500Hz,电容C= F 为典型充分放电时的条件，选电 阻R=10k Q ，
频率f=1000Hz电容C= F为充分放电时的条件。

6
2、半衰期来测时间常数的方法得（R+r）C= 10，偏离真值的相对百分比为％;
5
用Uc = 2Ui来测频率算出（R+r）C= 10 5，偏离真值的相对百分比为％;用李萨如图拟合得时间常数（R+r）C=（）10 s,偏离真值的相对百分比为％;用双踪
5
法算得时间常数（R+r）C= 10 ，偏离真值的相对百分比为％。

六、参考文献
实验原理部分均参考自教材：沈元华、陆申龙.《基础物理实验》.北京.高等教育
出版社.2003年。