1.4光的衍射

§1.4 光的衍射(diffraction)
相干波的条件：根据波的干涉理论，相干波必须满足频率相同，相差恒定，振动方向相同的条件。

对光而言，频率相同比较容易做到，可以用单色光源。

但振动方向相同和相差恒定对于两个独立的光源或同一光源上的两个发光点来说很难而且实际上也不可能做到。

这种情况和光源发光机理密切相关。

处于激发态的原子不稳定，会自发地回到低激发态或基态，在这种跃迁过程中，原子向外发射电磁波。

这一跃迁过程所经历的时间就是一个原子一次发光所持续的时间。

所以，一个原子每发一次光就只能发出一段长度有限，频率一定和振动方向一定的光波，这一段光波叫做一个波列（wave-train ）。

在实际的光源内，有非常多的原子在发光，这些原子的发光远不是同步的。

因为各原子的各次发光完全是相互独立、互不相关的，因此我们实际所观察到的光是光源中许多原子所发出、许多相互独立的波列组成的。

当两个相同的光源或同一光源上的两部分发的光发生叠加时，这些波列的振动方向不可能都相同，而相位差也不可能保持恒定。

也就不可能发生干涉现象。

一个原子发光是间歇的，不同原子发光是独立的，因此一个原子每次只能发出
一个波列，且不同波列之间是独立的（互不相关的）
一、 时间相干性和空间相干性(T emporal and Spatial Coherence)(p34-37) 光的相干性：在不同的空间点上、在不同时刻的光波场某些特性的相关性。

时间相干性：在同一个空间点上，两个不同时刻t 1和t 2的光波场之间的相干性。

空间相干性：在同一时刻，两个不同空间点上的光波场之间的相干性。

发光时间 τ～10-8秒
2-E 1)/h
1
2
能级跃迁辐射
波列
波列长 辐射跃迁与波列
独立 (
不同原子发的光)
独立 (同一原子先后发的光)
如果光波场是一个沿z 轴方向无限长正弦波 )s i n (000z k t E E -=ω ， 002πνω＝
具有理想的完全相干性。

理想单色光：具有恒定单一频率的简谐波，它的波列无限伸展。

准单色光：在某个中心频率（波长）附近有一定频率（波长）范围的光。

但实际光源的振子发光过程，都是在一定的时间间隔内进行的，每个原子发出的光波是由持续一段时间t ∆或在空间占有长度t c l ∆=的波列组成，光源发出的光波包含多个有限长正弦波列。

t ∆： 相干时间（coherence time ） t c l ∆=： 相干长度（coherence length ）
纯粹理想的单色波实际上是不存在的，因为它要求波在时间上和空间上都是无限的，这显然是不能实现的。

一个实际存在的波，根据傅立叶分析，总可以看成是许许多多不同振幅，不同频率的理想单色波的叠加结果。

频谱密度实际上表示了在频率ν附近的单位频率间隔中的谱线对f(t)的贡献。

对波列进行频谱分析，得到其频谱宽度(spectral width) t
∆∆1＝
ν，ν∆是光源单
色性的量度。

（1） 理想单色光的频谱是一条垂直的几何线，几何线的长度表示光强大小。

（2） 一段有限长度的等幅正弦波的频谱是sinc 函数。

可以认为f(t)是主要是由
频率在ν±(1/2Δt)范围内的单色波所组成。

（3） 白光源（包含所有的频率成分）的频谱是一条平行线。

光源发出光的相干性与频谱宽度密切相关。

例： 钠灯
Hz
11
10
5⨯∆＝ν， s t 12102-⨯∆＝， mm m l 6.01064=⨯-＝
氦氖激光器
Hz
9
105.1⨯∆＝ν， s t 10107.6-⨯∆＝， mm l 200＝
白光源是一个理想光源，包含所有的频率成分。

实际光源只含有部分频率，因此有中心频率和谱宽，是处于（a ）和(c)状况之间。

时间相干性： 迈克尔逊干涉实验
迈克耳逊干涉仪
迈克耳逊干涉仪产生 的等倾条纹
光源发出的波列的相位随机变化，不同波列之间没有相位相关性，因此，不同波列不能相干。

假设原子发出的一列有限长的光波，垂直入射到迈克尔逊干涉仪的两个反射面M1、M2上，反射后得到两个波列E1、E2，当两路光的光程差很小时，基本上是同一波列的子波列（E1(1)与E2(1)，E1(2)与E2(2)）在P点会合，因此相干。

光程差增加时，不同波列的子波列有部分重叠，干涉效应减弱。

当光程差大于cΔt时，不同波列在p点会合，干涉效应消失。

最大重叠部分的长度称为相干长度，最大重叠长度实际上就是波列本身的长度。

波列经过空间固定点P的时间称为相干时间Δt。

相干长度t
=，相干长度l和相干时间Δt都是光源时间相干性的度量。

c
l∆
当光程差等于或大于光源的相干长度时，不在发生干涉。

空间相干性：
空间相干性是指光场（光波）在空间的两点是否有固定的相位关系。

如果在任一时刻，位于空间中某两点的光波都有固定的相位关系，那么，我们就说空间中的这两点的光波是相干的，来自这两点的光波叠加在一起将产生干涉，在空间形成稳定的干涉花样。

杨氏双缝干涉
缝光源不再假设为理想的缝光源，而是有一定的宽度，该宽度上不同位置P 和Q发出的光波如果同相位，具有空间相干性。

在相干面积上任何两点来的光波在空间叠加都有可能产生干涉，形成干涉花样。

相干面积和光源的尺寸成反比关系，如果希望光源的空间相干性好，即希望相干面积大，则要求光源的尺寸，即光源的面积要小。

激光光源就是这样一类的光源。

二、Fraunhofer衍射(p37-41)
当衍射物的尺寸非常小甚至可以和光波波长相比拟时，光的衍射现象非常显著。

一束平行光通过一个小孔，形成两种衍射：
Fraunhofer（夫琅和费）远场衍射：屏距离光源较远，或光源后放置透镜，到达屏以及离开屏的近似为平行光。

Fresnel（菲涅耳）近场衍射：屏距离光源很近，光波不是平面波，波前为曲面。

Fraunhofer衍射更为常用。

惠更斯—菲涅尔原理（Huygens-Fresnel principle）：波前上任何一个未被阻挡的点均被视为次级球面子波(wavelet) 的波源，空间某点光场的振幅是所有子波产生的光场的叠加（下一时刻的波前实际上是由上一次波的包络面所构成）。

可以利用该原理解释光的衍射现象。

干涉和衍射实质上没有原则的差别，但是，一般把来自同一个孔径上的光波之间的相互作用认为是光的衍射现象；而把来自不同孔径上的光波之间的相互作用称之为干涉现象。

1．单缝衍射：
装置：在衍射屏后放一透镜，由于透镜的作用，将在无穷远处形成夫琅和费衍射花样移到透镜的焦平面上来观察。

同一平面内所有衍射角为θ的平行光，经透镜后在观察屏上将会聚于同一点P ，也就是说，P 点与衍射角θ一一对应。

将问题简化成一维问题来处理。

缝宽为a ，将出射波面分割成许多相等的子波源，在远场中某一点P 的光振动是这些子波源在该点各自产生的振动叠加。

每个自波源的强度应该正比于δy （δy=a/N ）。

取两个波，A 波由原点O 的子波发出，B 波由距离原点为y 的任意一点子波源发出，两波到远场P 点时有光程差ysinθ（由于衍射光也是平行光，故其等相面是垂直于衍射光方向上的平面）。

B 波的振幅可表示为 )s i n e x p ()(θδj k y y dE -∝
P 点总的衍射光场是所有子波源产生的光振动的求和，即
dy
jky C E a
⋅-=⎰)sin exp()(0
θθ
c 是常数。

进行积分运算，
θθθ
θθθs i n 2
1
)
s i n 2
1
s i n (s i n )s i n e x p ()(s i n
210
ka ka a e C
jk jky C
E ka j a
y y -===--=
光强
β
θθθθθθ
2
2
2
2
sin 2
1sin )0(sin 2
1)
sin 2
1(sin )
0(sin 2
1)
sin 2
1sin(
'
)(c I ka ka I ka ka a e
C I ka j
===-）
（
I(0)是衍射场中心强度，θ
βsin 21ka =
， β
β
βs i n s i n =
c 。

几点结论：
（1）πβm ＝， a
m λθ=
sin ,
2,
1±±=m 0)(=θI 暗条纹 2
12(πβ）＋＝m ， a
m 212s i n λ
θ）＋（= ,
2,
1±±=m 明条纹
0＝θ， 中央明条纹（中央主极大）， 中央主极大的宽度要大于狭缝宽度
（2）定义衍射条纹的角宽度：相邻两个极小之间的角距离。

a
λ
θ=
∆。

中央主极
大条纹的角宽度是其余衍射条纹角宽度的两倍。

（3）夫琅和费衍射条纹的角宽度只与缝宽a 以及波长λ有关。

缝越小，衍射角宽度越大，衍射现象也越明显； 波长越长，衍射角宽度越大，衍射现象也越明显；
如果白光入射，则将得到彩色条纹。

例：相对于中央主极大来说，同一衍射级次的红光在外侧，蓝光在内侧。

2．矩形孔(rectangular aperture)和圆孔（circular aperture ）衍射
2
2
021)s i n (
)s i n (
),(β
β
α
α
θθI I =
1sin 2
1θαx kd =
，
2
s i n 2
1θβy kd =
， d x ，d y 为矩形孔的长和宽
为什么y 方向上衍射条纹中央主极大的宽度要大于x 方向上衍射条纹中央主极大的宽度。

如果是圆孔衍射，屏上形成圆形衍射图案，称为爱里环(Airy rings)，中间的亮点叫做爱里斑(Airy disk)，其半径是第一级暗条纹的半径。

爱里斑的角半径 D
λ
θ22
.1sin = D 为圆孔直径
如屏与圆孔的距离为L ，爱里斑的半径为θLtg b =。

如果一束平行光被透镜会聚到屏上，焦距为f ，爱里斑的半径为b ，有关系
θθ≈=tg f
b 。

（为什么？）
3．光学系统的分辨本领 每个物点在像平面上所形成的像点，实际上是该物点通过光学系统后在像平面上产生的衍射斑点或衍射花样。

因此，光学系统所能分辨的两物点的最小距离，实际上取决于它分辨像平面上两衍射斑的能力。

光学系统或光学仪器能够分辨两物点的最小距离，称为该光学系统或关学仪器的分辨本领，完全由光的衍射效应所决定。

也就是说，光学系统的分辨本领是由光的波动性所决定的，它无法通过光学设计认为地加以改善和提高。

瑞利判据：当一个点的衍射主极大与另一个点的衍射第一极小重合时，我们就认为这两点恰好能分辨。

由于一般光学系统的通光孔都是圆的，因此光学系统的分辨本领是由夫琅和费圆孔衍射所形成的衍射花样所决定的。

更具体地说，是由爱里斑的大小决定的。

对于孔径光阑直径为D 的理想光学系统来说，如果物点发出光的波长为λ0。

那么它能分辨的角距离(angular separation)为 D
22.1λθ=
例：人眼瞳孔的直径大约为2mm ，计算人眼对绿光（550nm ）的最小角距离。

如果物体距离人眼30cm ，则人眼所能分辨物体的最小尺寸是多少（绿光照射下）？ 4
3
9
0m i n 10
52.210
233.110
55022
.122
.122
.1---⨯=⨯⨯⨯===nD
D λλθ(0.0145°)
能分辨的最小尺寸为：()m mm Ltg s μθ76076.02/2min ===
三、光栅(grating)衍射
1． 夫琅和费多缝衍射
多缝衍射是指许多条等间距、等宽度的通光狭缝所引起的衍射。

观察屏上P 点的光强：
2
2
21sin 21sin sin )0()(⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎣
⎡
=δ
δβθN c I I I(0)是单缝衍射场在θ=0处所产生的光强。

θβsin 2
1ka =,θ
δsin kd =,N ：缝数.
同单缝衍射公式相比较：
βθ2
s i n )0()(c I I =
几点结论：
（1） 多缝衍射多了一个因子，这个因子是缝与缝之间光波的相互作用产生的。

因此，多缝衍射实际上反映了N 个狭缝之间的干涉效应，代表N 个无限
小狭缝所产生的干涉花样。

（2）主极大的方向：dsinθ=mλ（m=0, ±1，±2，….），当衍射角θ不太大时，θ≈mλ/d，干涉主极大的方向与波长呈线性关系。

可以利用此现象分光。

（3）多缝衍射花样，实际上是多缝干涉和单缝衍射的双重效果的叠加，它兼有两者的特点。

首先，由于多缝干涉的影响，使得光能量向干涉主极大位置集中。

另一方面，由于多缝干涉花样又受到单缝衍射的调制，几乎全部光能量都集中在单缝衍射所决定的中央极大范围内。

最终多缝衍射的光能量实际上是集中在单缝衍射中央极大范围的几条对应的干涉主极大上。

（4）会出现缺级现象。

当某一级干涉主极大方向正好与单缝衍射极小的方向重合，则会产生缺级现象。

2．衍射光栅
光栅结构：由透光和不透光的栅条周期性排列构成的平行狭缝，或透光材料的折射率周期性变化。

常用光栅用玻璃制成。

在玻璃片上刻有大量等宽等间距的平行刻痕。

刻痕处，光被散射不易透过，两刻痕之间的光滑部分可以透光，相当于一个狭缝。

一般缝之间的距离d 称为光栅常数。

非垂直入射时，光强极大值的条件
λ
θθm d i m ＝（)sin sin +， m = 0,±1, ±2,……
θi 是入射光与光栅平面法线的夹角，θm 为第m 级衍射角。

光栅种类：透射光栅(transmission grating)，反射光栅(reflection grating)
多缝结构就是一种透射光栅，它是对入射光波的振幅进行周期性的调制。

反射光栅：光盘
例：一般情况，d=1.6μm，对于600nm的光，一级主极大的衍射角约为22°。

闪耀光栅(blazed grating)：
以上两种光栅，零级占有很大部分光强，而零级各波长重叠在一起，即光强最强的零级主极大却没有分光的作用。

对于光栅而言，光强集中在零级主极大上没有意义。

为了提高衍射效率，将反射光栅的刻槽形状改变，由平面变为斜面，并控制倾斜角度，以提高一级衍射效率。

原理：设法对光栅的一级或二级光谱进行“闪耀”，而使零级光谱相对削弱。

闪耀光栅可以将单缝衍射的中央极大和多缝干涉的零级干涉主极大分开，从而达到对特定的干涉级次和特定的波长进行闪耀的目的，使其光强增强。

多缝衍射实际上是多缝干涉和单缝衍射的综合效果，是二者相乘的结果。

对于反射光栅来说，当入射光的方向给定时，多缝干涉所形成的零级干涉主极大的方向，是在所有的缝所决定的平面（光栅平面）的镜面反射方向上。

对于单缝衍射，单缝衍射的中央极大是在单个缝或光栅的刻槽面的镜面反射方
向上。