广东省珠海市2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题 答案与评分标准

珠海市2020～2021学年度第一学期期末学生学业质量监测
高二数学试题 参考答案
试卷满分为150 分，考试用时120 分钟．考试内容：必修3、选修2-1
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1-5 D ACDD 6-10 BDBCD 11-12 AB
10.【答案】D 【解析】过椭圆C:
x 2a 2
+y 2
b 2=1(a >b >0)的左焦点F(−c,0)的直线过椭圆的上顶点B(0,b)，
且与椭圆相交于点A ，若BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，设A(m,n)， 则(−c,−b )=3(m +c,n −0)， 所以{m =−4c
3
n =−
b 3，
又A 在椭圆上， 则
16c 29a 2
+
b 29b
2=1
，解得e 2=c 2a 2
=12，则e =√
2
2
．故选D ． 11.【答案】A
【解析】设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)， 则x 12
4
+
y 122
=1，①
x 224+
y 222
=1，②
①−②，得
(x 1−x 2)(x 1+x 2)
4
+
(y 1−y 2)(y 1+y 2)
2
=0．∴y 1−y 2
x
1−x 2
=−1
2⋅
x 1+x 2
y 1+y 2
．
又∵M 为AB 中点，∴x 1+x 2=2，y 1+y 2=2． ∴直线AB 的斜率为y 1−y 2
x
1−x 2
=−1
2．
∴直线AB 的方程为y −1=−1
2(x −1)，即2y +x −3=0．故选A ． 12.【答案】B
【解析】
①命题“若220a b +=，则,a b 全为0”的否命题应该是“若220a b +≠，则,a b 不全为0”，故①错误；
②命题“已知,x y R ∈，若3x y +≠，则2x ≠或1y ≠”的逆否命题是“已知,x y R ∈，若2x =且1y =，则3x y +=”，故②正确；
③“1x ≠或2y ≠”是“2xy ≠”的充分不必要条件的逆否命题为“=2xy ”是“=1x 且2y=”的充分不必要条件，故③错误；
④双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线经过点()1,2，则有2b a
= ，则离心率
c e a ===，故④正确
故选B ．
二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.） 13.【答案】 3 14.【答案】1 15.【答案】
103
16.【答案】x 2−y 29
=1
【解析】因为双曲线的渐近线方程为y =±3x ，
则设双曲线的方程是x 2
−
y 29
=λ，
又它的一个焦点是(√10,0)，故λ+9λ=10，∴λ=1，x 2−y 29
=1
故答案为x 2
−
y 29
=1．
17.【答案】
√30
10
【解析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，
则A(2,0,0)，M(1,1,2)，C(0,2,0)，N(1,2,2)， AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,2)，CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,2)， 设异面直线AM 和CN 所成角为θ， 则cosθ=|AM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
=3√6×√
5
=√30
10
． ∴异面直线AM 和CN 所成角的余弦值为√30
10．故答案为：√30
10
18.【答案】
x 225
+
y 216
=1
【解析】设动圆圆心为C 3，半径为r ，
与圆C 1：(x +3)2+y 2=1外切，且与圆C 2：(x −3)2+y 2=81内切， 则|C 1C 3|=r +1，|C 3C 2|=9−r ，|C 1C 3|+|C 3C 2|=10>|C 1C 2|=6， 故动圆圆心C 3的轨迹满足椭圆的定义，长轴长为10，焦距为6， 可得动圆圆心的轨迹方程为：x 2
25+y 2
16=1，故答案为：x 2
25+y 2
16=1．
19.【答案】
3√19
38
【解析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，
E(1,3
2,0)，A(1,0,0)，C(0,3,0)，D 1(0,0,1)，
AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,3,0)，AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,1)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗
=(0,3
2,0)， 设平面ACD 1的法向量n
⃗ =(x,y ,z)，
则{n ⃗ ⋅AC
⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +3y =0n ⃗ ⋅AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +z =0，取y =1，得n
⃗ =(3,1，3)， ∴点E 到面ACD 1的距离：d =|AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||n ⃗⃗ |
=
3√1938，故答案为3√19
38
．
20.【答案】2√29
【解析】由已知，可得AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，AC ⊥BD ，
∵CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2
=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2 =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2
−2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16+36+64=116， ∴|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√29． 故答案为2√29．
解法二：因为二面角为直二面角，且,,
AC AB BD AB ⊥⊥,,AC BD βα∴⊥⊥
2222226452,5264116,BC CD BC BD ∴=+==+=+=116229.CD ∴==
三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 21.【解析】
（1）若p 为真：440m ∆=-≥,解得1m ≤ ……………2分
若“p q ∧”是真命题，则,p q 均为真命题
即1
23m m ≤⎧⎨-<<⎩
解得21m -<≤.
m ∴的取值范围21m -<≤ ……………5分
（2）由r 是q 的充分不必要条件，可得(,1)t t +(2,3)-……………7分
即 2
13t t ≥-⎧⎨
+≤⎩
（等号不同时成立） 解得22t -≤≤.
t ∴的取值范围22t -≤≤ ………10分
22.【解析】
（1）第2组的频数为1000.30030⨯=人，所以①处应填的数为10人，②处应填的数为
0.300，……………2分
频率分布直方图如图所示，
……………4分
（2）因为第3、4、5组共有60名选手，所以利用分层抽样在60名选手中抽取6名选手进入第二轮面试，每组抽取的人数分别为： 第3组：
306360⨯=人，第4组：206260⨯=人，第5组：10
6160
⨯=人，所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人进入第二轮面答.……………6分
设第3组的3位学生为312,,A A A ，第4组的2位学生为1B ，2B ，第5组的1位学生为1C ，则从这6位学生中抽取2位学生有：()12,A A ，()31,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()11,A C ，
()23,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()21,A C ，()13,A B ，()32,A B ，()13,A C ，()12,B B ，()11,B C ，()21,B C ，共15种情况.……………8分
抽到的2位学生不同组的有：()11,A B ，()12,A B ，()11,A C ，()21,A B ，()22,A B ，()21,A C ，
()13,A B ，()32,A B ，()13,A C ，()11,B C ，()
21,B C ，共11种情况.
所以抽到的2位学生不同组的概率为
11
15
.……………10分
23．【解析】
（1）由等轴双曲线的一条渐近线方程为0y x +=，且顶点(0,)a 到渐近线的距离为1，
可得12
a b
a =⎧=，………2分
解得22
a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩22
122y x -= ………………………4分
（2）抛物线2
4y x =的焦点为(1,0)F
直线l 的方程为0tan 45(1)y x -=︒⋅-，即1y x =-．………5分
与抛物线方程联立，得2
1
4y x y x
=-⎧⎨
=⎩， ………6分 消y ，整理得2610x x -+=，设其两根为12,x x ，且126x x +=．………8分
由抛物线的定义可知，12||628AB x x p =++=+=． 所以，线段AB 的长是8．…………10分
24.
【解析】（1）（解法一）取线段AD 的中点M ，连结CM ，EM 则//AM BC ==
∴四边形ABCM 为平行四边形，
∴//AB MC ==
………1分 ∵四边形ABEF 为矩形
∴//AB EF ==
∴//MC EF ==
………2分
∴四边形CMEF 为平行四边形，∴//CF EM ==
………3分
又CF ⊄平面ADE ， ME ⊂平面ADE ………4分
//CF ∴平面ADE ………5分
（解法二）∵四边形ABEF 为矩形
//BF AE ∴
又BF ⊄平面ADE ，AE ⊂平面ADE
//BF ∴平面ADE ………2分
又//BC AD ，
同理可得：//BC 平面ADE ………3分 又BF BC B ⋂=，BF ，BC ⊂平面BCF ∴平面//BCF 平面ADE 又CF ⊂平面BCF
//CF ∴平面ADE ………5分
M
（2）
点E 在平面ABCD 的投影恰好为点A .
EA ABCD ∴⊥平面
如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -，则
(2,2,0)C ，(0,4,0)D ，()2,0,4F
(0,4,0)AD ∴=,(2,2,0)CD =-,(0,2,4)CF =- ………6分
设(,,)x y z =n 是平面CDF 的一个法向量，则
00n CD n CF ⎧⋅=⎨
⋅=⎩
即020x y y z -=⎧⎨-=⎩ 令2y =，解得2
1x z =⎧⎨=⎩ (2,2,1)n ∴= ………8分
又AD 是平面AEFB 的一个法向量，
2
cos ,3
||n AD n AD n AD ⋅∴=
=⋅ ………9分
∴平面CDF 与平面AEFB
所成锐二面角的余弦值为
2
3
. ………10分
25.【解析】
（1）由题意得132c
a a
b ⎧=⎪⎨⎪=⎩
，解得3a =，1c =，b = 所以椭圆C 的方程为22
198
x y +=； ………2分
（2）设直线l 的方程为1x ty =+，设点()11,M x y 、()22,N x y ，
联立22119
8x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()228916640t y ty ++-=，则0∆>恒成立，
由韦达定理得1221689t y y t +=-
+，122
64
89
y y t =-+， ………4分 设点()9,P m ，()3,0A ，则()()11113,2,AM x y ty y =-=-，()6,AP m =，
由//AM AP 得()1
162y m ty =-，可得1162y m ty =
-，即点1169,2y P ty ⎛⎫ ⎪-⎝⎭
， ………6分
同理可得点2269,
2y Q ty ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，1168,2y FP ty ⎛⎫∴= ⎪-⎝⎭，2268,2y FQ ty ⎛⎫= ⎪
-⎝⎭
， ………7分
()()
()1212
2
121212363664642224y y y y FP FQ ty ty t y y t y y ∴⋅=+
=+---++222222223664
366489646464640643264324(89)48989
t t t t t t t t ⨯-
-⨯+=+=+=-=-+++-++++ ………9分 因此，FP FQ ⊥. 又因为P 、Q 中点为G ，所以1
||||2
FG PQ =． ………10分。