第 4讲 正三角形

四边形 ADOF 为矩形，OF AD ，同理： OD BE ， OE CF ，
AD BE CF OD OE OF 3 a 2
【独立尝试】
1. 一艘轮船由海平面上 A 地出发向南偏西 40°的方向行驶 40 海里到达 B 地，再
由 B 地向北偏西 20°的方向行驶 40 海里到达 C 地，则 A、C 两地相距（ ）
（）
A．3
B．4
C．5
D．6
6. 如图所示，已知等边△ABC 的边长为 a，P 是△ABC 内一点，PD∥AB，
PE∥BC，PF∥AC，点 D、E、F 分别在 BC、AC、AB 上，则
PE
B
MFC B
MF C B
①1
①2
MF E C
P
①3
解析：由图
1， 连 结
AP， 得
SAPB
SAPC
SABC
，可得
1 2
1
DP•AB+
2
PE•AC=
1 2
AM•BC，化简得 DP+PE=AM，此时 h3 0 ，即 h1 h2 h3 h ；同理在图 2 中，连结 AP，
BP，CP，由 SABC SAPB SAPC SPBC ,化简得 h1 h2 h3 h . 同样道理在图 3 中，可
A．30 海里
B．40 海里
C．50 海里
D．60 海里
北 C
A
C
A
北
P
B
A
第 1 题图
E
D
第 2 题图
B
BR
C
第 3 题图
2. 如 图 ，CD 是 Rt△ABC 斜 边 AB 上 的 高 ，将 △BCD 沿 CD 折 叠 ，B 点 恰 好 落 在 AB
的中点 E 处，则∠A 等于 （ ）
A．25°
垂足分别为点 D, E, F .
① 如图 2，若点 O 是 △ABC 的重心，我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质
得到两个正确结论：
结论 1． OD OE OF 3 a ；结论 2． AD BE CF 3 a .
2
2
② 如图 3，若点 O 是等边 △ABC 内任意一点，则上述结论 1，2 是否仍然成立？如果
举例：如图 1，若 PA=PB，则点 P 为△ABC 的准外心.
1
应用：如图 2，CD 为等边三角形 ABC 的高，准外心 P 在高 CD 上，且 PD= AB，求
2
∠APB 的度数.
C
C
探究：已知△ABC 为直角三角形，斜边 BC=5， AB=3，准外心 P 在 AC 边上，试探究 PA 的长.
P
（ 3）设 t s 时 ，Q 与 P 第 一 次 相 遇 ，根 据 题 意 得： 5t 2t 18 ，解 得 t=6，则 6s
时 ，两 点 第 一 次 相 遇 ．P 走 过 得 路 程 为 12cm，而 9＜ 12＜ 18，即 此 时 P 在 AB 边 上 ， 则两点在 AB 上第一次相遇．
例3. 数学课上，李老师出示了如下框中的题目．
形的边长是
cm．
3. 如图，△ABC，△ADE 及△EFG 都是等边三角形，D 和 G 分别为 AC 和 AE 的中点.
若 AB＝4 时，则图形 ABCDEFG 外围的周长是 （ ）
A．12
B．15
C．18
D．21
4. 我们把两个三角形的中心之间的距离叫做中心距，在同一个平面内有两个边长相等的等
边三角形，如果当它们的一边重合时，中心距为 2，那么
分别指出它们．在第（1）问中 EF 与 BE、CF 间的关系还存在吗？ （3）如图③，若△ABC 中∠B 的平分线 BO 与三角形外角平分线 CO 交于 O，
过 O 点作 OE∥BC 交 AB 于 E，交 AC 于 F．这时图中还有等腰三角形吗？EF 与 BE、CF 关系又如何？说明你的理由．
A
E
O F
Rt△BCN 中， BN 3 a ， MN BM BN 3a 3
（2）结论 1 成立．证明：如图 2，连接 AO、BO、CO ，
由 S△ABC
S△ AOB
S△BOC
S△ AOC
＝
1 2
a
OD OE OF
, 可证得
OD OE OF 3 a . 2
结论 2 成立．证明：过顶点 A、B、C 依次作边 AB、BC、CA 的垂线围成△MNG ，
第 4 讲 正三角形
【知识体系】 等边三角形是学习等腰三角形知识的一个拓展，同时也是学习其它知识的基础. 从知
识性来看，应明确等边三角形的性质和判定方法; 从应用性上看, 它有其不同寻常的生活价 值. 通过等边三角形的学习, 可以解决生活中的许多实际问题. 所以, 这一内容无论从知识 性还是技能上来讲，在教学中都占有重要的地位, 在实践中都有其发展的必要.
B．30°
C．45°
D．60°
1
3. 如图，正三角形 ABC 的三边表示三面镜子，BP= AB=1，一束光线从点 P 发
3
射 至 BC 上 R 点 ，且 ∠BPR=60°．光 线 依 次 经 BC，AC，AB…一 直 反 射 下 去 ．当
光线第一次回到点 P 时，这束光线所经过的路线的总长为 （ ）
【热身训练】
1. 如图已知△ABC 为等边三角形，BD 为中线，延长 BC 至 E，使 CE CD 1，连接
DE，则 DE
.
A D
B
C
第 1 题图
A
C
D E
I H
D
E
GF
E B FG C B
A
第 2 题图
第 3 题图
2. 如图正六边形 DEFGHI 的顶点都在边长为 6cm 的正三角形 ABC 的边上，则这个正六边
h1 h2 h3 h .
请直接应用上述信息解决下列问题：当点 P 在 ΔABC 内（如图 2），和点 P 在 ΔABC 外
（如图 3）这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立， h1, h2 , h3
与 h 之间又有怎样的关系，请写出你的猜想，不需证明.
A
A
A
D
D
PE
D
由（1）得 △MNG 为等边三角形且 MN 3a ，过点 O 分别作 OD MN 于 D , OE NG 于 NG 于点 E，OF MG 于点 F ，由结论 1 得：
OD OE OF MN 3 a ;
2
又Q OD AB，AB MG，OF MG ，ADO DAF OFA 90 ,
三 三 三 三 三 三 ABC三 三 三 E三 AB三 三 三 D三 CB三 三 三 三 三 三 三 ED=EC三 三 三 三 三 三 三 三 AE三 DB三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 .
A E
DB
C
Байду номын сангаас
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1） 特殊情况•探索结论：当点 E 为 AB 的中点时，如图 1，确定线段 AE 与的 DB 大
A
（2）请问几秒钟后，△PBQ 为等边三角形？ Q
（3）若 P、Q 两点分别从 C、B 两点同时出发，并且都按
B
PC
顺时针方向沿△ABC 三边运动，请问经过几秒钟后点 P 与点 Q
第一次在△ABC 的哪条边上相遇？
简答：（ 1） PB 9 2t cm； BQ 5t cm；
（ 2） 若 △PBQ 为 等 边 三 角 形 ， 则 有 BQ=BP， 即 9 2t 5t ， 解 得 t 9 ； 7
7
.
8
例5. 已知：等边 △ABC 的边长为 a ． 探究（1）：如图１，过等边 △ABC 的顶点 A、B、C 依次作 AB、BC、CA 的垂线围
成△MNG ，求证： △MNG 是等边三角形且 MN 3a ； 探究（2）：在等边 △ABC 内取一点 O ，过点 O 分别作 OD AB,OE BC,OF CA ，
BC 上，且 ED=EC．若△ABC 的边长为 1，AE=2，求 CD 的长（请你直接写出结果）．
A E
A EF
DB
C
北1
简答：（1）= ；（2）=；证明略 (3) CD 的长是 1 或 3.
DB
C
北2
例4. 联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念.
定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心.
A
E
OF
A
E
F
O
【典型例题】
B
C
B
①
①
CB
C ①
例1. 证明：已知等边 ΔABC 和点 P，设点 P 到 ΔABC 三边 AB、AC、BA 的距离分别为
h1, h2 , h3 ， ΔABC 的 高 为 h， 若 点 P 在 一 边 BC 上 （ 如 图 1）， 此 时 h3 0 ， 可 得 结 论
观察、分析．在讨论中得到了∠B=∠C=60°，B，F，H，C 都在线段 BC 上，
EF∥GH∥AC，PH∥GF∥AB 的正确结论．接着又有两位同学各自提出了如下
一个结论：
A
甲：△ABC、△BEF、△FGH、△HPC 均为等边三角形．
乙：线路 B→A→C 与线路 B→E→F→G→H→P→C 一样长．
EG
A
当它们的一对角成对顶角时，中心距为
．
5. 如图，在△ABC 中，AB=AC，D、E 是△ABC 内的两点，
AD 平分∠BAC，∠EBC ∠E 60°，若 BE 6，DE 2，
则 BC=
．
E
D
B
C
第 5 题图
6. 如 图 ， 某 课 题 学 习 小 组 对 地 图 上 的 A， B， E， F， G， H， P， C 八 处 地 点 进 行
（ 2） 若 AO n2 1 ， AD n2 1 ， OD 2n
D
（n 为大于 1 的整数），求 α 的度数； （3）当 α 为多少度时，△AOD 是等腰三角形？
110° O
α
B
C
8. 如 图 ①，△ABC 中 ，AB=AC，∠B、∠C 的 平 分 线 交 于 O 点 ，过 O 点 作 EF∥BC 交 AB、AC 于 E、F． （ 1）图 中 有 几 个 等 腰 三 角 形 ？ 猜 想：EF 与 BE、CF 之 间 的 关 系 ，并 说 明 理 由 ． （2）如图②，若 AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？如果有，
A．6
B．9
C． 9 3
D．27
4. 正三角形△ABC 的边长为 3，依次在边 AB、BC、CA 上取点 A1、B1、C1，使 AA1=BB1=CC1=1，则△A1B1C1 的面积是 （ ）
3
A．
4
33
B．
4
9
C．
4
93
D．
4
5. 明明和同学做游戏，用 9 条牙签能摆出 n 个等边三角形，则 n 的最大值为
P
B
FH
C
（1）请分别指出甲、乙两位同学的结论是否正确？ （2）将（1）中你认为正确的结论给予证明？
7. 如 图 ，点 O 是 等 边 △ABC 内 一 点 ，∠AOB=110°，∠BOC=α，将 △BOC 绕 点 C
按顺时针方向旋转 60°得△ADC，连接 OD．
A
（1）△COD 是什么三角形？说明理由；
小关系．请你直接写出结论：AE
DB（填“＞，＜，=”）．
（2）特例启发•解答題目：题中 AE 与 DB 的大小关系是：AE DB（填“＞，＜，=”）．
理由如下：如图 2，过点 E 作 EF∥BC，交 AC 于点 F，（请你完成以下解答过程）
(3) 拓展结论•设计新题：在等边三角形 ABC 中，点 E 在直线 AB 上，点 D 在直线
A
BA
D
B
北1
北2
解析： ① 若 PB=PC，连接 PB，则∠PCB=∠PBC，∵CD 为等边三角形的高，
3
3
1
∴AD=BD，∠PCB=30°. ∴∠PCD=∠PBC=30°，∴PD= DB= AB. 与已知 PD =AB
3
6
2
矛盾;
② 若 PA=PC，连接 PA，同理可得 PA≠PC;
1
③ 若 PA=PB，由 PD =AB，得 PD=AD=BD，∴∠APD=∠BPD=45°. ∴∠APB=90°.
成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．
解析：如图 1，Q△ABC 为等边三角形，ABC 60° ，Q BC MN，BA MG ∴ CBM BAM 90° ，ABM 90° - ABC 30 ，M 60 ，
同理： N G 60 △MNG 为等边三角形. 在 Rt△ABM 中， BM 2 3 a ，在 3
得 h1 h2 h3 h .
例2. 如 图 ，在 等 边 △ABC 中 ，AB=9cm，点 P 从 点 C 出 发 沿 CB 边 向 点 B 点 以
2cm/s 的速度移动，点 Q 点从 B 点出发沿 BA 边向 A 点以 5cm/s 速度移动．P、Q
两点同时出发，它们移动的时间为 t 秒钟．
（1）你能用 t 表示 BP 和 BQ 的长度吗？请表示出来．
2
探究：∵BC=5，AB=3，∴AC= BC 2 AB2 52 32 4 .
① 若 PB=PC，设 PA=x，则 x2 32 (4 x)2
，∴ x 7
7
，即 PA= ;
8
8
② 若 PA=PC，则 PA=2; ③若 PA=PB，由图知，在 Rt△PAB 中，不可能. ∴ PA=2 或