江苏省苏州市2012年秋高三期末调考数学试题

江苏省苏州市2012年秋高三期末调考数学试题
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1. 已知集合
{}
1,1,2,4A =-，
{}
1,0,2B =-，则A B = .
2. 设复数z 满足(2)12z i i +=-（i 为虚数单位），则z =
. 3. 一组样本数据8，12，10，11 ，9的方差为 .
4. 有5个数成公差不为零的等差数列，这5个数的和为15，若从这5个数中随机抽取一个数，
则它小于3的概率是 .
5. 过坐标原点作函数ln y x =图象的切线，则切线斜率为 .
6. 如图，在长方体1111A B C D A B C D -中，
3A B A D cm ==，12A A cm =，则三棱锥
11A B D D -的体积为 3
cm .
7. 某厂去年的产值为1，若计划在今后五年内每
年的产值比上年增长10%，则从今年起到第五 年这五年内，这个厂的总产值约为 ．
（保留一位小数，取5
1.1 1.6≈）
8. 右边一段伪代码中，()Int x 表示不超过x 的最大整数，
若输入6,4m n ==，则最终输出的结果n 为 . 9. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线222
2
1x
y
E :
a b
-
=
（0a >，0b >）的左顶点为A ，过双曲线E 的右 焦点F 作与实轴垂直的直线交双曲线E 于B 、C 两 点，若A B C ∆为直角三角形，则双曲线E 的离心率 为 .
10. 已知()1f
x x x =
+，则1142f x f ⎛⎫⎛⎫
-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的解集是 .
11. 已知θ为锐角，()4
155
sin θ+︒=
，则()215cos θ-︒= .
12. 已知实数x ，y 满足不等式2040
3x y x y x -≥⎧⎪
+-≥⎨⎪≤⎩，则3322x y x y
+的取值范围是 . 13. 在平面直角坐标系xOy
60y +-=
与圆(
()2
2
12x y -
+-=交
于A 、B 两点，则直线O A 与直线O B 14. 已知向量a 、b ，满足1a = ，()()
20a b a b +⋅-= 的最小值为 .
二、解答题（本大题6小题，共90分）
15. (本小题满分14分) 已知函数()()f
x A sin x ωϕ=+，（其中0A >，0ω>，02
π
ϕ<<
）的周期为π，且图
象上有一个最低点为233M ,π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
. （1）求()f
x 的解析式；
（2）求函数()4y f
x f x π⎛
⎫=+
+ ⎪⎝
⎭的最大值及对应x 的值。

16. (本小题满分14分)
如图，在三棱锥P A B C -中，B C ⊥平面P A B ．已知P A A B =，点D ，E 分别为P B ，B C 的中点．
（1）求证：AD ⊥平面PBC ；
（2）若F 在线段A C 上，满足//A D 平面P E F ，求A F
F C 的值．
17. (本小题满分14分)
在路边安装路灯，灯柱A B 与地面垂直，灯杆B C 与灯柱A B 所在平面与道路垂直，且
120ABC ∠=
，路灯C 采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知60ACD ∠=
，
路宽24AD =米，设灯柱高A B h =（米），A C B θ∠=（3045θ≤≤
）
（1）求灯柱的高h （用θ表示）； （2）若灯杆B C 与灯柱A B 所用材料相同，记此用料长度和为S ，求S 关于θ的函数表达式，并求出S 的最小值．
如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 是椭圆
222
2
:
1(0)
x y E a b a
b
+
=>>的左焦点，A ，
B ，
C 分别为椭圆E 的右、下、上顶点，满足5FC BA =
，椭圆的离心率为1
2． （1）求椭圆的方程；
（2）若P 为线段F C （包括端点）上任意一点，当PA PB
取得最小值时，求点P 的坐标；
（3）设点M 为线段B C （包括端点）上的一个动点，射线M F 交椭圆于点N ，若NF FM λ=
，求实数λ的取值范围．
19. (本小题满分16分) 设数列
{}
n a 的前n 项和为
n
S ，满足
2
1
n n a S An Bn +=++（0A ≠）．
（1）若
132a =
，
29
4a =
，求证数列{}n a n -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；
（2）已知数列
{}
n a 是等差数列，求
1
B A
-的值．
定义函数
1(0),
()1
(0),x x x ϕ≥⎧=⎨
-<⎩222()2()()
f x x x x a x a ϕ=---．
（1）解关于a 的不等式：(1)(0)f f ≤；
（2）已知函数()f x 在[]
0,1x ∈的最小值为(1)f ，求正实数a 的取值范围．
数学Ⅱ（附加题） 21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

A ．（选修4－1 几何证明选讲） （本小题满分10分）
如图，设直线l 切⊙O 于点P ，AB 为⊙O 的任一条不与l 垂直的直径，A C l ⊥，B D l ⊥，垂足分别为点C ，D ．求证：P C P D =，且A P 平分C A B ∠．
B ．（选修4—2：矩阵与变换） 本小题满分10分）
已知矩阵
11x M ⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦　2 的一个特征值为1-，求其另一个特征值.
（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xO y 中，椭圆2
2
1
16
4
x
y
+
=的右顶点为A ，上顶点为B ，点P 是第一象
限内在椭圆上的一个动点，求P A B ∆面积S 的最大值．
D .（选修4—5：不等式选讲） （本小题满分10分）
已知a ，b ，x ，y 都是正数，且1a b +=，求证：()()ax by bx ay xy ++≥．
[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内． 22．（本小题满分10分）
设10件同类型的零件中有2件不合格品，从所有零件中依次不放回地取出3件，以X 表示取出的3件中不合格品的件数．
（1）求“第一次取得正品且第二次取得次品”的概率； （2）求X 的概率分布和数学期望()E X ． 23．（本小题满分10分） 三棱柱
111
ABC A B C -在如图所示的空间直角坐标系中，已知2A B =，4A C =，
13
AA =．D 是B C 的中点．
（1）求直线1
D B 与平面
11A C D
所成角的正弦值；
（2）求二面角
111
B A D
C --的大小的正弦值．
11。