向量法求空间的距离问题

EF (2, 2, 0), EG ( 2, 4, 2), D 设平面 EFG 的一个法向量为 n ( x , y, z )x 2 x 2 y 0 F n EF， EG n 2 x 4 y 2 Z 0
又PA 平面EDB，EG 平面EDB PA // 平面EDB
x
(2)求EB与底面ABCD所成的角的正切值。 解：因为PD 平面ABCD，所以PD是平面ABCD的法向量。
由(1)知D(0， 0) P(0，1) 0，， 0，， 1 1 B(11，，E (0， ， ) ，0) 2 2 1 1 PD (0， 1)， (1， ， ) 0， EB 2 2
S z
A B x C
D y
练习2:
例4、已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD， CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求直线BD到平面 z GEF的距离。
G
d PA n n
x D
F A
C
E
y
B
练习3:
例5、在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、 E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点，求 z 平面AMN与平面EFDB的距离。
P F
D A
E
C B
作业：如图,PA⊥平面 ABC,AC⊥BC,PA=AC=1, BC= 2 ,求二面角 A-PB-C 的余弦值.
z
y
x
二面角 A-PB-C 的余弦值为
3 3
2、点与直线的距离：
P
(先求 cos AP, a )

A
O
l
a
例1：在正方体 ABCD A1 B1C1 D1中，E、F分别是BB1，
CD中点，求:点F到直线AE的距离.
z
D1
C1
A1
B1
E D F C y B
A
x
3、点到平面的距离：
如图 A , 空间一点 P 到平面 的距离为 d,已知平面 的 一个法向量为 n ,且 AP 与 n 不共线,
如图，已知：直角梯形OABC中， OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC， z 且OS=OC=BC=1，OA=2. S 求：(3)二面角B－AS－O的余弦值.
解：由(2)知平面SAB的一个法向量为n (11，， ，2)
又由OC 平面SAO知OC是平面SAO的法向量 A 且OC (0，0) 1，
d
PA n n
N A1
D1
F E
C1
M B1 D
C B
y
A
x
5. 其它距离问题：
（1）平行线的距离(转化为点到直线的距离）
（2）直线与平面的距离（转化为点到平面的距离）
（3）平面与平面的距离（转化为点到平面的距离）
（4）异面直线间的距离 (
?
)
如图, ABCD 是矩形, PD 平面 ABCD , PD DC a , AD 2a , M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,求点 A 到平面 MNC 的距离. P
(2)解： (2， 1)， (11， 1) SA 0， SB ， 设平面SAB的一个法向量为n ( x，y，z )
O C B
y
A 2 x z 0 取x 1，则y 1，z 2 x y z 0 x 故平面SAB的一个法向量为n (11，，又OS (0，1) ，2) 0， 002 6 cos n， OS 3 1 6 3 所以OS与面SAB所成角的余弦值为 3
a 点 A 到平面 MNC 的距离为 . 2
N D M A C
B
4. 异面直线间的距离
已知a,b是异面直线, CD为a,b的公垂线,
b C
A
n
b1
n是直线CD的方向向量，
A，B分别在直线a,b上

a
D
B
d CD
n AB n
例已知：直三棱柱ABC A1B1C1的侧棱AA1 4, 底面ABC中, .
z
S
O C A B
y
x
z 如图，已知：直角梯形OABC中， S OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC， 且OS=OC=BC=1，OA=2. 求：(1)异面直线SA和OB所成的 O 角的余弦值;
A B
C
y
x
(1)解：以OA OC， 为正交基底建立空间直角坐标系如图。 ， OS
E
C
G
B x
D
A
(1)证明：设正方形边长为1，则PD=DC=DA=1.连AC、BD交于G点 z 以DA， ， 为正交基底建立空间 P DC DP
直角坐标系。如图所示。则
y
E
D(0， 0) P(0，1) A(1， 0) 0，， 0，， 0，， B C 0， C (0，0) B(11， PA (1， 1) 1，， ，0) 1 1 G 又E为PC中点， E点坐标为(0，， ) 2 2 D A 1 1 1 G为BD中点， G点坐标为( ，， EG ( ， 1 ) 0) 0， 2 2 2 2 可得PA 2EG PA // EG。因为PA与EG不共线，所以PA // EG
P
分析:过 P 作 PO⊥ 于 O,连结 OA.
则 d=| PO |= | PA | cos APO.
∵ PO ⊥ , n , ∴ PO ∥ n . ∴cos∠APO=|cos PA, n |.
| PA n | ∴d=| PA ||cos PA, n |= . |n|
向量在解决
空间距离问题中的应用
通化一中数学组 田华峰
1、点与点的距离：
若A( x1 , y1 , z1 ), B( x2 , y2 , z 2 ) 那么AB ( x2 x1 , y2 y1 , z 2 z1 ), 则有
AB ( x1 x2 ) 2 ( y1 y2 ) 2 ( z1 z2 ) 2
AC BC 2, BCA 900 , E为AB的中点。求CE与AB1的距离。
解：如图建立坐标系C xyz, 则C(0,0,0), E(1,1,0), A(2,0,0), B1 (0,2,4). CE (1,1,0), AB1 (2,2,4), z C 设CE , AB1的公垂线的方向向量为n ( x, y, z ).则 A B x y 0 n CE 0 即 2x 2 y 4z 0 n AB1 0 C 取x=1,则y=-1,z=1,所以 n (1,1,1) A B E y 在两直线上各取点C , A, CA (1,0,0). x | n CA | 2 3 CE与AB1的距离d . |n| 3
0 1 0 6 cos n， OC 6 6 1
x
O
C
B
y
6 所以二面角B－AS－O的余弦值为 6
练习3：如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD 底面ABCD，PD=DC，E是PC的 中点. (1)证明：PA//平面EDB； (2)求EB与底面ABCD所成的角的正切值. z P y
EC.n 3 21 h . 7 7 n
x B
D O E C y
练习2：
如图，已知：直角梯形OABC中， OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC， 且OS=OC=BC=1，OA=2. 求：(1)异面直线SA和OB所成的角的余弦值; (2)OS与面SAB所成角的余弦值; (3)二面角B－AS－O的余弦值.
则B(1, 0, 0), D(1, 0, 0),
1 3 C (0, 3, 0), A(0, 0,1), E ( , , 0), BA ( 1, 0,1), CD ( 1, 3, 0). 2 2 BACD . 2 cos BA, CD , z 4 BA CD A
n

A
O
3、点到平面的距离：
d
PA n n

P
n
A
O
例: 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F 分别
是 AB、AD 的中点，GC⊥平面 ABCD，且 GC＝2，求 z 点 B 到平面 EFG 的距离. G 解：如图，建立空间直角坐标系 C－xyz． 由题设 B(0,4,0)， E(2,4,0)， F(4,2,0)， G(0,0,2)．
C

n (1,1,3), BE (2, 0, 0) A | n BE| 2 11 d . 11 n
E
B
y
2 11
所以，点 B 到平面 EFG 的距离为
.
练习1:
SA 平面ABCD，DAB ABC 90， SA AB BC a，AD 2a , 求A到平面SC中，O、E分别是BD、BC的中点， （I）求证：AO⊥平面BCD； （II）求异面直线AB与CD所成角的大小； （III）求点E到平面ACD的距离.
CA CB CD BD 2
AB AD 2
A
D O B E C
解：（I）略 （II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，
P
z
y
E C G
B
A
6 所以EB与底面ABCD所成的角的正弦值为 6 5 所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为 5
x
1 D 00 2 6 cos PD， EB 6 3 1 2
练习5： 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是 正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中 点，作EF⊥PB交PB于点F. (1)求证：PA//平面EDB (2)求证：PB⊥平面EFD (3)求二面角C-PB-D的大小.
则O(0，0) S (0，1) A(2，0) B(11， 0，， 0，， 0，， ，0) SA (2， 1)， (11， 0， OB ，0)
200 10 cos SA， OB 5 5 2
如图，已知：直角梯形OABC中， OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC， z 且OS=OC=BC=1，OA=2. S 求：(2)OS与面SAB所成角的余弦值 ;
所以异面直线AB与CD所成角的 余弦值为 2 . 4
O x B
D
E
C
y
（III）解：设平面ACD的法向量为 n ( x, y, z ), 则 x z 0, n. AD ( x, y, z ).( 1,0, 1) 0, 3 y z 0. n. AC ( x, y, z ).(0, 3, 1) 0, 令 y 1, 得 n ( 3,1, 3) 是平面ACD的一个法向量，又 1 3 EC ( , , 0), z 2 2 A 所以点E到平面ACD的距离