四川省成都七中2016届高三下学期入学数学试卷(理科) 含解析

2015—2016学年四川省成都七中高三（下）入学数学试卷（理科)
一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．若集合A={x｜x2﹣4x﹣5=0}，B=｛x｜x2=1}，则
A∩B=（）
A．﹣1 B．｛﹣1} C．｛5，﹣1｝D．｛1，﹣1}
2．设复数z满足(1﹣i）z=2i，则z=（）
A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i
3．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是(1，0，1），（1，1，0），（0，1,1），（0,0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为( ）
A．B．C．D．
4．已知等差数列=（）A．B． C． D．
5．函数y=Asin(ωx+φ）（A＞0,ω＞0，﹣＜φ＜)的部分图象如图所示，则此函数的解析式可为（）
A．y=2sin(2x﹣）B．y=2sin（2x﹣）
C．y=2sin(4x﹣）D．y=2sin（4x+）
6．阅读如图所示的程序框图，若输入的k=10，则该算法的功能是( ）
A．计算数列｛2n﹣1}的前10项和B．计算数列{2n﹣1}的前9项和
C．计算数列{2n﹣1}的前10项和D．计算数列｛2n﹣1}的前9项和
7．设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数f（x)在x=﹣2处取得极小值,则函数y=xf′（x）的图象可能是（)
A．B．
C． D．
8．2名厨师和3位服务员共5人站成一排合影，若厨师甲不站两端,3位服务员中有且只有两位服务员相邻，则不同排法的种数是（)
A．60 B．48 C．42 D．36
9．设F1，F2是双曲线的两个焦点,P在双曲线上，若,（c为半焦距），则双曲线的离心率为（）
A．B． C．2 D．
10．将函数f(x)=lgx的图象向左平移1个单位，再将位于x轴下方的图象沿x轴翻折得到函数g（x）的图象，若实数m，n（m＜n)满足g（m)=g（﹣),g（10m+6n+21）=4lg2，则m﹣n的值是（)
A．﹣ B． C．﹣D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于．
12．某校有高级教师26人，中级教师104人,其他教师若干人．为了了解该校教师的工资收入情况，若按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查，已知从其他教师中共抽取了16人，则该校共有教师人．
13．已知a＞0，x，y满足约束条件若z=2x+y
的最小值为1,则a= ．
14．设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0,则当取得最大值时，的最大值为．
15．如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,P为BC 的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S．则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）．
①当0＜CQ＜时，S为四边形;
②当CQ=时，S不为等腰梯形;
③当CQ=时,S与C1D1的交点R满足C1R=；
④当＜CQ＜1时，S为六边形；
⑤当CQ=1时，S的面积为．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．
16．在△ABC中，角A,B,C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5,求sinBsinC的值．17．已知数列{a n}满足：a1=1，2a n+1=2a n+1，n∈N+．数列{b n}的前n项和为S n，S n=9﹣,n∈N+．
(Ⅰ）求数列｛a n},｛b n}的通项公式；
（Ⅱ)设c n=a n•b n，n∈N+．求数列{c n｝的前n项和T n．18．如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=6，D，E分别是AC,AB上的点，，O为BC 的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱椎A′﹣BCDE，其中A′O=．
（1）证明：A′O⊥平面BCDE；
（2）求二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值．
19．甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为，,，乙队每人答对的概率都是．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分．
(Ⅰ）求随机变量ξ的分布列及其数学期望E(ξ)；（Ⅱ）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率．
20．在平面直角坐标系中，长度为3的线段AB的端点A、B分别在x,y轴上滑动，点M在线段AB上，且｜AM｜=2|MB｜，
（1）若点M的轨迹为曲线C,求其方程；
(2）过点P（0，1)的直线l与曲线C交于不同两点E、F,N是曲线上不同于E、F的动点，求△NEF面积的最大值．
21．已知函数g（x）=2aln(x+1）+x2﹣2x
(1）当a＞0时，讨论函数g（x）的单调性；
(2）当a=0时，在函数g（x）图象上取不同两点A、B，设线段AB的中点为P（x0，y0），试探究函数g（x)在Q （x0，g(x0））点处的切线与直线AB的位置关系?
(3）试判断当a≠0时g（x)图象是否存在不同的两点A、B具有（2）问中所得出的结论．
2015-2016学年四川省成都七中高三（下）入学数学试
卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．若集合A=｛x|x2﹣4x﹣5=0｝，B={x｜x2=1}，则A∩B=（）
A．﹣1 B．｛﹣1} C．｛5，﹣1} D．{1，﹣1｝
【考点】交集及其运算．
【分析】分别求出集合A和B中一元二次方程的解，确定出两集合,找出两集合的公共元素，即可求出两集合的交集．
【解答】解:由集合A中的方程x2﹣4x﹣5=0，
变形得：（x﹣5）(x+1）=0，
解得：x=5或x=﹣1，
∴集合A=｛﹣1，5｝，
由集合B中的方程x2=1，
解得:x=1或x=﹣1,
∴集合B=｛﹣1,1}，
则A∩B=｛﹣1}．
故选B
2．设复数z满足（1﹣i）z=2i,则z=（）
A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】根据所给的等式两边同时除以1﹣i,得到z的表示式，进行复数的除法运算,分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，得到结果．
【解答】解：∵复数z满足z(1﹣i）=2i，
∴z==﹣1+i
故选A．
3．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是(1，0，1），（1，1，0),（0，1，1），(0，0，0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面,则得到正视图可以为（）
A．B．C．D．
【考点】简单空间图形的三视图．
【分析】由题意画出几何体的直观图，然后判断以zOx 平面为投影面，则得到正视图即可．
【解答】解:因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0,1），(1，1，0），(0，1，1)，（0，0，0），几何体的直观图如图，是正方体的顶点为顶点的一个正四面体，所以以zOx平面为投影面，
则得到正视图为：
故选A．
4．已知等差数列=（）A．B． C． D．
【考点】等差数列的性质．
【分析】根据等差数列的性质S4，S8﹣S4，S12﹣S8，S16﹣S12也成等差数列，结合，我们易根据等差数列的性质得到S8=3S4，S16=10S4，代入即可得到答案．
【解答】解:根据等差数列的性质,
若数列｛a n}为等差数列，则S4,S8﹣S4,S12﹣S8，S16﹣S12也成等差数列；
又∵，则数列是以S4为首项，以S4为公差的等差数列
则S8=3S4，S16=10S4，
∴=
故选D
5．函数y=Asin（ωx+φ)（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示,则此函数的解析式可为（）
A．y=2sin（2x﹣） B．y=2sin(2x﹣）C．y=2sin （4x﹣) D．y=2sin（4x+）
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由图知,A=2，T=，从而可求ω，再由ω+φ=2kπ+（k∈Z）,结合﹣＜φ＜可求得φ，从而可得此函数的解析式．
【解答】解:由图知A=2，T=﹣（﹣）=，
∴T=π，故ω==2，
又ω+φ=2kπ+（k∈Z），即×2+φ=2kπ+（k∈Z），∴φ=2kπ﹣（k∈Z），
又﹣＜φ＜，
∴φ=﹣,
∴y=2sin(2x﹣）．
故选B．
6．阅读如图所示的程序框图，若输入的k=10，则该算法的功能是（）
A．计算数列{2n﹣1}的前10项和 B．计算数列{2n﹣1｝的前9项和
C．计算数列{2n﹣1}的前10项和D．计算数列｛2n﹣1｝的前9项和
【考点】程序框图．
【分析】从赋值框给出的两个变量的值开始，逐渐分析写出程序运行的每一步，便可得到程序框图表示的算法的功能．
【解答】解:框图首先给累加变量S和循环变量i赋值，S=0,i=1；
判断i＞10不成立，执行S=1+2×0=1，i=1+1=2；
判断i＞10不成立，执行S=1+2×1=1+2，i=2+1=3；判断i＞10不成立,执行S=1+2×（1+2）=1+2+22，
i=3+1=4；
…
判断i＞10不成立，执行S=1+2+22+...+29，i=10+1=11；判断i＞10成立，输出S=1+2+22+ (29)
算法结束．
故则该算法的功能是计算数列｛2n﹣1｝的前10项和．故选A．
7．设函数f(x）在R上可导，其导函数为f′(x），且函数f（x)在x=﹣2处取得极小值,则函数y=xf′（x)的图象可能是（）
A．B．
C． D．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】利用函数极小值的意义，可知函数f(x）在x=﹣2左侧附近为减函数，在x=﹣2右侧附近为增函数，从而可判断当x＜0时,函数y=xf′（x）的函数值的正负，从而做出正确选择．
【解答】解：∵函数f(x）在x=﹣2处取得极小值，
∴f′(﹣2）=0，
且函数f（x）在x=﹣2左侧附近为减函数，在x=﹣2右侧附近为增函数，
即当x＜﹣2时，f′（x）＜0,当x＞﹣2时，f′（x)＞0，从而当x＜﹣2时，y=xf′（x）＞0，当﹣2＜x＜0时,y=xf′（x）＜0,
对照选项可知只有C符合题意．
故选:C．
8．2名厨师和3位服务员共5人站成一排合影，若厨师甲不站两端,3位服务员中有且只有两位服务员相邻,则不同排法的种数是（）
A．60 B．48 C．42 D．36
【考点】排列、组合及简单计数问题．
【分析】利用加法原理及其乘法原理，对甲的位置分类讨论即可得出．
【解答】解：甲站在第二个位置，则有=12种；甲站在第三个位置，则=24种；
甲站在第四个位置，则=12种；
根据加法原理，不同的排法种数是48种．
故选：B．
9．设F1，F2是双曲线的两个焦点，P 在双曲线上，若，（c为半焦距），则双曲线的离心率为( ）
A．B． C．2 D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由，可得△PF1F2是直角三角形，由勾股定理得(2c)2=|PF1｜2+｜PF2|2=｜PF1﹣PF2|2﹣2｜
PF1｜|PF2|=4a2﹣4ac，即可求出双曲线的离心率．【解答】解:由题意得,△PF1F2是直角三角形，
由勾股定理得（2c）2=｜PF1｜2+|PF2|2=|PF1﹣PF2|2﹣2｜PF1||PF2|=4a2﹣4ac,
∴c2﹣ac﹣a2=0，
∴e2﹣e﹣1=0，
∵e＞1，
∴e=．
故选：D．
10．将函数f（x）=lgx的图象向左平移1个单位，再将位于x轴下方的图象沿x轴翻折得到函数g（x）的图象，若实数m，n（m＜n）满足g（m）=g(﹣），g(10m+6n+21）=4lg2，则m﹣n的值是（）
A．﹣ B． C．﹣D．
【考点】函数的图象与图象变化．
【分析】根据函数图象的平移变换法则及对折变换法则，可得变换后g（x）=｜lg（x+1）|，进而根据m＜n满足g（m）=g（﹣），g（10m+6n+21)=4lg2,构造方程组，解方程可得答案．
【解答】解：将函数f（x）=lgx的图象向左平移1个单位，可得函数f（x)=lg(x+1）的图象；
再将位于x轴下方的图象沿x轴翻折得到函数g（x）=|lg(x+1）｜的图象，
由g(m)=g（﹣）,可得(m+1）•（1﹣）=1或m+1=1﹣，
若（m+1）•（1﹣）=1时,m=n+1，这与m＜n矛盾，故m+1=1﹣,即m=﹣，
由g（10m+6n+21)=4lg2，可得｜lg
（10m+6n+21+1)|=lg16，
故10m+6n+22=16或10m+6n+22=，
即﹣10×+6n+22=16…①或﹣10×
+6n+22=…②,
解①得n=﹣1,m=0这与m＜n矛盾，
或n=﹣，m=﹣，此时m﹣n=﹣，
解②得方程无解，
综上所述，m﹣n=﹣,
故选C
二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分．11．展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于180 ．
【考点】二项式定理．
【分析】如果n是奇数，那么是中间两项的二次项系数最大，如果n是偶数，那么是最中间那项的二次项系数
最大，由此可确定n的值，进而利用展开式，即可求得常数项．
【解答】解:如果n是奇数，那么是中间两项的二次项系数最大，如果n是偶数,那么是最中间项的二次项系数最大．
∵展开式中只有第六项的二项式系数最大，
∴n=10
∴展开式的通项为
=
令=0,可得r=2
∴展开式中的常数项等于=180
故答案为：180
12．某校有高级教师26人，中级教师104人，其他教师若干人．为了了解该校教师的工资收入情况，若按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查，已知从其他教师中共抽取了16人，则该校共有教师182 人．
【考点】分层抽样方法．
【分析】由题意可先计算抽样比，再由抽样比求总人数．
【解答】解：设该校其他教师有x人,则，∴,故全校教师共有26+104+52=182人．
故答案为：182
13．已知a＞0，x，y满足约束条件若z=2x+y
的最小值为1，则a= ．
【考点】简单线性规划．
【分析】先根据约束条件画出可行域,设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值,只需求出直线z=2x+y过可行域内的点B时,从而得到a值即可
【解答】解：先根据约束条件画出可行域，
设z=2x+y，
将最大值转化为y轴上的截距，
当直线z=2x+y经过点B时,z最小,
由得：,代入直线y=a（x﹣3）得,a=；
故答案为:
14．设正实数x，y,z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0,则当取得最大值时,的最大值为 3 ．
【考点】基本不等式在最值问题中的应用．
【分析】将z=x2﹣3xy+4y2代入，利用基本不等式化简即可得到当取得最小值时的条件，用x，z表示y 后利用配方法求得的最大值．
【解答】解:∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0，
∴z=x2﹣3xy+4y2,又x,y,z为正实数，
∴==≥=1（当且仅当x=2y 时取“=”），
即x=2y(y＞0)，取得最大值1．
z=x2﹣3xy+4y2=2y2，
∴=﹣++2=﹣（﹣1）2+3
∴y=1时，的最大值为3．
故答案为：3．
15．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,P为BC 的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S．则下列命题正确的是①③⑤(写出所有正确命题的编号）．
①当0＜CQ＜时，S为四边形；
②当CQ=时,S不为等腰梯形；
③当CQ=时,S与C1D1的交点R满足C1R=；
④当＜CQ＜1时，S为六边形；
⑤当CQ=1时，S的面积为．
【考点】平行投影及平行投影作图法．
【分析】由题意作出满足条件的图形,由线面位置关系找出截面可判断选项的正误．
【解答】解:如图
当CQ=时，即Q为CC1中点，此时可得PQ∥AD1，AP=QD1==,
故可得截面APQD1为等腰梯形，故②不正确；
由上图当点Q向C移动时,满足0＜CQ＜，只需在DD1上取点M满足AM∥PQ，
即可得截面为四边形APQM,故①正确；
③当CQ=时，如图，
延长DD1至N,使D1N=，连接AN交A1D1于S，连接NQ交C1D1于R，连接SR，
可证AN∥PQ,由△NRD1∽△QRC1，可得
C1R:D1R=C1Q：D1N=1：2，故可得C1R=，故正确；
④由③可知当＜CQ＜1时，只需点Q上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS,显然为五边形,故错误；
⑤当CQ=1时，Q与C1重合，取A1D1的中点F，连接AF,可证PC1∥AF,且PC1=AF，
可知截面为APC1F为菱形，故其面积为
AC1•PF=，故正确．
故答案为：①③⑤
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．在△ABC中,角A,B,C对应的边分别是a，b,c，已知cos2A﹣3cos（B+C)=1．
（Ⅰ)求角A的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面积S=5,b=5，求sinBsinC的值．【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（I)利用倍角公式和诱导公式即可得出；（II）由三角形的面积公式即可得到bc=20．又b=5，解得c=4．由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，即可得出a．又由正弦定理得即可得到
即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）由cos2A﹣3cos（B+C）=1，得
2cos2A+3cosA﹣2=0，
即(2cosA﹣1）(cosA+2）=0，解得（舍去）．因为0＜A＜π,所以．
（Ⅱ)由S===，得到bc=20．又b=5，解得c=4．
由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，故．
又由正弦定理得．
17．已知数列｛a n｝满足：a1=1，2a n+1=2a n+1，n∈N+．数列{b n｝的前n项和为S n，S n=9﹣，n∈N+．（Ⅰ）求数列{a n}，｛b n｝的通项公式；
(Ⅱ）设c n=a n•b n，n∈N+．求数列｛c n｝的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（Ⅰ）根据数列的递推关系即可求数列{a n}，｛b n}的通项公式；
(Ⅱ)求出数列{c n}的通项公式，利用错位相减法即可求出数列{c n｝的前n项和T n．
【解答】解:（Ⅰ）由2a n+1=2a n+1得a n+1﹣a n=，
又a1=1,所以数列｛a n｝是以1为首项，为公差的等差数列,
于是a n=a1+(n﹣1）d=,
当n=1时，b1=S1=9﹣=9﹣3=6，
当n≥2时，S n﹣1=,
则b n=S n﹣S n﹣1=9﹣﹣［］=,
又n=1时,=6=b1，
所以b n=．
（Ⅱ）由(Ⅰ）知a n=，b n=，
所以c n=a n•b n=（n+1），
所以T n=2×（）﹣1+3×（)0+4×(）1+...+(n+1）×（)n﹣2 (1)
等式两边同乘以得
T n=2×（）0+3×（）1+4×（）2+...+（n+1）×(）n﹣1 (2)
（1）﹣（2）得
T n=2×(）﹣1+（）0+（）1+…+×（）n﹣2﹣（n+1）×（)n﹣1=6+﹣（n+1）×（）n﹣1，
所以T n=﹣（）n﹣2．
18．如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=6，D，E分别是AC，AB上的点,，O为BC 的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱椎A′﹣BCDE，其中A′O=．
（1）证明：A′O⊥平面BCDE；
（2）求二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值．
【考点】用空间向量求平面间的夹角;直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．
【分析】（1）连接OD，OE．在等腰直角三角形ABC 中，∠B=∠C=45°，,AD=AE=，CO=BO=3．分别在△COD与△OBE中，利用余弦定理可得OD，OE．利用勾股定理的逆定理可证明∠A′OD=∠
A′OE=90°，再利用线面垂直的判定定理即可证明；（2）方法一：过点O作OF⊥CD的延长线于F,连接A′F．利用（1）可知：A′O⊥平面BCDE，根据三垂线定理得A′F⊥CD，所以∠A′FO为二面角A′﹣CD﹣B的平面角．在直角△OCF中，求出OF即可；方法二：取DE中点H，则OH⊥OB．以O为坐标原点，OH、OB、OA′分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角．
【解答】（1)证明:连接OD，OE．
因为在等腰直角三角形ABC中，∠B=∠C=45°，，CO=BO=3．
在△COD中，,同理得．因为，．
所以A′O2+OD2=A′D2，A′O2+OE2=A′E2．
所以∠A′OD=∠A′OE=90°
所以A′O⊥OD,A′O⊥OE,OD∩OE=O．
所以A′O⊥平面BCDE．
(2）方法一：
过点O作OF⊥CD的延长线于F,连接A′F
因为A′O⊥平面BCDE．
根据三垂线定理,有A′F⊥CD．
所以∠A′FO为二面角A′﹣CD﹣B的平面角．
在Rt△COF中，．
在Rt△A′OF中，=．
所以．
所以二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值为．方法二：
取DE中点H，则OH⊥OB．
以O为坐标原点，OH、OB、OA′分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．
则O（0，0，0），A′（0，0，），C（0，﹣3，0)，D(1，﹣2,0）=（0,0，）是平面BCDE的一个法向量．
设平面A′CD的法向量为n=（x,y，z），．
所以，令x=1，则y=﹣1,．
所以是平面A′CD的一个法向量
设二面角A′﹣CD﹣B的平面角为θ，且
所以
所以二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值为
19．甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队,首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为，，，乙队每人答对的概率都是．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分．
(Ⅰ）求随机变量ξ的分布列及其数学期望E(ξ）；(Ⅱ）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率．
【考点】条件概率与独立事件；离散型随机变量的期望与方差．
【分析】（Ⅰ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出P（ξ=0），P(ξ=1)，P（ξ=2），P(ξ=3)，由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）．
(Ⅱ)设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B,分别求出P（A）,P(AB)，再由P(B/A）=,能求出结果．
【解答】解：（Ⅰ)由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3,
P(ξ=0)=（1﹣）（1﹣）(1﹣）=，
P（ξ=1)=（1﹣）（1﹣)+(1﹣)××（1﹣）+(1﹣)（1﹣）×=，
P（ξ=2）=++=，P（ξ=3）==，
∴随机变量ξ的分布列为：
ξ01 2 3
P
数学期望E（ξ）=0×+1×+2×+3×=．
（Ⅱ）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B，
则P（A）
=++=，P（AB）==，
P（B｜A）===．
20．在平面直角坐标系中，长度为3的线段AB的端点A、B分别在x，y轴上滑动，点M在线段AB上，且|AM|=2|MB｜，
(1）若点M的轨迹为曲线C，求其方程；
（2）过点P(0，1）的直线l与曲线C交于不同两点E、F，N是曲线上不同于E、F的动点，求△NEF面积的最大值．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】(1）设A，B，M的坐标，根据｜AM|=2｜MB｜，确定坐标之间的关系，利用长度为3的线段AB的端点A、B分别在x，y轴上滑动，求出轨迹方程，即可求出曲线C的方程；
(2）分类讨论,直线的斜率存在时，设l：y=kx+1代入椭圆方程,利用弦长公式,求出|EF|，再求出l,l′的距离，
表示出△NEF面积，利用导数法，即可得到△NEF面积的最大值．
【解答】解：(1)设A(x0，0），B（0,y0），M（x,y）
∵｜AM|=2|MB|,
∴，
∴x0=3x,y0=y,
∵长度为3的线段AB的端点A、B分别在x，y轴上滑动，
∴x02+y02=9
∴=1，
∴曲线C的方程是=1 …..
（2）当直线的斜率不存在时，即l:x=0,此时（S△)max=2 …。

.
NEF
当直线的斜率存在时，设l：y=kx+1，E（x1，y1），F（x2，y2），
y=kx+1代入椭圆方程，可得（4+k2）+2kx﹣3=0，
有x1+x2=﹣，x1x2=﹣，
∴｜EF|=…。

由题知过N的直线l′∥l，且l′与椭圆切于N点时，S△NEF最大，
故设l′：y=kx+b(b≤﹣2）
联立l′与椭圆方程得（4+k2)+2kbx+b2﹣3=0，此时△=0，可得k2=b2﹣4
l,l′的距离d=，
∴S△NEF=••=（b≤﹣2），…。

.
∴（S△NEF)2=4（1+）（b≤﹣2）
设y=(S△NEF）2,t=（﹣≤t＜0），
有y=4(1+t）（1﹣t）3，
∴y′=﹣8（1﹣t）2(2t+1）＜0，
∴函数y在（﹣,0），上单调递减，
∴当t=﹣时，函数y取得最大值，即b=﹣2时，（S ）max=＞2
△NEF
综上所述，（S△NEF)max=…．．
21．已知函数g（x)=2aln（x+1）+x2﹣2x
（1）当a＞0时，讨论函数g（x）的单调性；
（2）当a=0时，在函数g(x）图象上取不同两点A、B,设线段AB的中点为P（x0,y0),试探究函数g（x)在Q（x0，g(x0））点处的切线与直线AB的位置关系？
（3）试判断当a≠0时g（x）图象是否存在不同的两点A、B具有（2）问中所得出的结论．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1)求导数，分类讨论，利用导数的正负，可得函数g（x）的单调性；
（2）证明函数Q点处的切线斜率与直线AB斜率相等即可；
（3）若g(x）满足（2）中结论，有g′（x0)=，设=t，则*式整理得lnt=，问题转化成该方程在（0，1）上是否有解，从而得解．
【解答】解：(1）由题知g′（x）=,
当a﹣1≥0即a≥1时，g′（x）≥0，函数g（x）在定义域（﹣1，+∞)上单调递增;
当0＜a＜1,g′（x)=0，解得x=±，函数g(x)在（﹣1，﹣）和(，+∞）上单调递增；在（﹣，)上单调递减；…。

（2）g(x)=x2﹣2x，g′（x）=2x﹣2，g′（x0)=2x0﹣2，∴k AB==2x0﹣2，
∴函数Q点处的切线与直线AB平行；…．
(3)设A（x1，g（x1）），B（x2,g（x2))，（﹣1＜x1＜x2），若g(x）满足（2）中结论，有g′(x0)=，
即ln=*…．
设=t，则＊式整理得lnt=,问题转化成该方程在（0，1）上是否有解；…
设函数h（t）=lnt﹣，则h′(t)=＞0，
∴函数h（t）在（0，1）单调递增，即h（t)＜h（1）=0，
即方程lnt=在（0,1）上无解,
即函数g（x）不满足（2）中结
论；…。

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2016年10月19日。