2017-2018学年高中数学课时作业8等差数列的性质及简单应用新人教A版必修5

课时作业8等差数列的性质及简单应用
|基础巩固|（25分钟，60分）
一、选择题(每小题5分，共25分)
1 •在等差数列｛a n｝中，a io= 30, a20= 50,则a40等于()
A. 40
B. 70
C. 80 D . 90
解析：法一：因为a20= a i0+ 10d，所以50= 30 + 10d，所以d = 2, a40= a2°+ 20d= 50 + 20X 2= 90.
法二：因为2a20= ae+ a30，所以2x 50= 30 + a30，所以a30= 70,又因为2a30= a2°+ a40, 所以2x70= 50 + a40,所以a40= 90.
答案：D
2. 在等差数列｛a n｝中，a1+ 3a s+ a15= 120,贝U 3a o-an 的值为()
A. 6 B . 12
C. 24 D . 48
解析：•/ a1 + a15=2a s,A a1+ 3a s+ a15= 5a8,A5a s= 120, a s= 24.而3a o- an= 3(a s+ d) —(a8+ 3d) = 2a8= 48.故选 D.
答案：D
1 1
3. 在等差数列—5, —32, —2, —2，…的每相邻两项插入一个数，使之成为一个新的
等差数列，则新的数列的通项为()
3 23 3
A. a n=厶门—4- B . a n = —5 —?(n —1)
答案：B
5. 下面是关于公差d>0的等差数列｛a n｝的四个说法. p：数列｛a n｝是递增数列；
4：数列｛na n｝是递增数列；
7 67
所以a5= a1+ 4d= 66
｛a n｝，其首项为a1,公差为d,由｛4a1+ 6d=：< a1 + 21d= 4 解得
13
66
4：数列£ "是递增数列；
P 4：数列｛a n + 3nd ｝是递增数列.
其中正确的是( ) A. P l , P 2 B . P 3, P 4 C. P 2, P 3 D . P l , P 4
解析：因为 a n = a i + (n - l)d , d >0, 所以a n - a n -1= d >0,命题P i 正确. na n = na i + n ( n - 1) d,
所以na n — (n - 1) a n -1= a i + 2( n - 1)d 与0的大小和a i 的取值情况有关. 故数列｛ na n ｝不一定递增，命题 P 2不正确. 一 a n a i n -1
对于 p 3： —= H ----------------- d ,
l n n n
对于 P 4：设 b n = a n + 3nd , 则 b n +i — b n = a n +i — a n + 3d = 4d >0.
所以数列｛a n + 3nd ｝是递增数列，P 4正确. 综上，正确的命题为 P i , P 4. 答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6.已知｛a n ｝为等差数列，a i + a 3 + a s = 105, a 2+ a 4+ a 6= 99,贝V a 20= ____________ . 解析：本题考查等差数列的性质及通项公式.••• a i + a 3 + a 5= 3a 3 = 105,二a 3 = 35. v a 2
+ a 4 + a 6= 3a 4= 99,— a 4= 33,—公差 d = a 4— a 3= — 2.二 a 20= a 4+ 16d = 33 + 16x ( — 2) = 1. 答案：1
7.已知｛a n ｝为等差数列，a 5+ a 7= 4, a 6 + a 8=- 2，则该数列的正数项共有 ____________ 项.
解析：v a 5 + a 7= 2a 6= 4, a 6 + a 8= 2a 7=— 2, —a 6 = 2, a 7= 一 i ,— d = a 7一a 6 = 一 3,
—a n = a 6 + (n — 6) d = 2 + (n — 6) x ( — 3) = — 3n + 20.
20
令 a n >0,解得 n W 3，即 n = 1,2,3，…,
答案：6
&假设某市2017年新建住房400万平方米，预计在今后的若干年内， 该市每年新建住
房面积均比上一年增加 50万平方米.那么该市在 ______________ 年新建住房的面积开始大于
820
万平方米.
解析：设从2017年年底开始，n 年后该市每年新建住房的面积为 a n 万平方米.由题意， 得｛a n ｝是等差数列，首项 a i = 450,公差 d = 50,所以 a n = a i + ( n - 1)d = 400+ 50n .令 400 + 42 * 50n >820,解得n >—.由于n € N ,则n 》9.所以该市在2026年新建住房的面积开始大于 820
5
万平方米.
答案：2026
三、解答题(每小题10分，共20分)
9. (1)已知｛a n ｝是等差数列，且 a i — a 4 + a s — a i2 + a i5= 2，求 a 3 + a i3 的值;
(2)已知在等差数列｛a n ｝中，若a 49= 80, a 59= 100,求a ?9. 解析：(1)因为｛a n ｝是等差数列， 以 a i + a i5= a 4 + a i2= a 3 + a i3 = 2a 8. 又因为 a i — a 4 + a 8— a i2+ a i5 = 2,
a “— i 所以斤-n -i = n
—a i + d n
_］，
当d -a i >0, 即卩d >a i 时，数列
但d >a i 不一定成立，则 P 3不正确.
召递增,
6,故该数列的正数项共有
6项.
所以 a 8= 2，即卩 a 3 + a i3 = 2a 8= 2x 2= 4. (2)因为｛a n ｝是等差数列，可设公差为 d . 由 a 59= a 49 + 10d ，知 10d = 100 — 80,解得 d = 2.
又因为 a 79= a 59 + 20d ，所以 a 79= 100+ 20x 2= 140.
10. 首项为a 1，公差d 为正整数的等差数列｛ a n ｝满足下列两个条件： (1) a 3 + a 5 + a 7= 93 ；
(2) 满足a n >100的n 的最小值是15. 试求公差d 和首项a 1的值. 解析：因为 a 3 + a 5 + a 7 = 93, 所以 3a 5 = 93,所以 a 5 = 31,
69
所以 a n = a 5 + (n — 5)d >100,所以 n>p + 5.
d
69
因为n 的最小值是15,所以14W d + 5<15, 9 2
所以 610<d w73，
又d 为正整数，所以 d = 7, a 1 = a 5 — 4d = 3. |能力提升|(20分钟，40分)
11. 有这样一道题：把120个面包分成5份，使每份的面包数成等差数列，且较多的三 份之和恰好是较小的两份之和的 7倍，则最少的那份面包个数为 ( )
A. 4 B . 3
C. 2 D . 1
解析：记这五份面包的个数依次为
a 1, a 2, a 3, a 4, a 5，公差为d .不妨设d >0,
由｛a*1+ a 2 + a 3 + a 4 + a 5= 120, a 3+ a 4 + a 5= i a 1 + a 2 ,
得｛5a 1 + 10d = 120, $a+ 9d = j 2a 1 + d , 解得 a 1 = 2.故选 C. 答案：C
12. _________________________________________________________ 已知数列｛a n ｝满足 a n +1= a n + 4，且 a 1= 1, &>0,贝U a n = _______________________________ . 解析：由已知a n +1 — a n = 4,
所以｛a 2
｝是等差数列，且首项 a 1= 1,公差d = 4,
所以 a 2
= 1 + ( n — 1) • 4= 4n — 3.
又a n > 0,所以a n =
4n —
3.
答案：V n — 3
13. 若关于x 的方程x 2
— x + m= 0和x 2
— x + n = 0(m n € R 且nr 5 n )的四个根组成首项 1
为4的等差数列，求 n + n 的值.
解析：设x 2
— x + m= 0的两根为X 1, X 2,
2
x — x + n = 0 的两根为 X 3, X 4,
贝U X 1+ X 2 = X 3+ X 4 1.
不妨设数列的首项为 X 1, 则数列的第4项为X 2,
3 1 十 1 3 公差
4 — 4 1 所以 X 1 = 4, X 2= 4 , d = =.
3 6
所以中间两项分别
是 5 12, 7 12.
357
所以X1X2= 16, X3X4= 12x 12.
3 5 7 31
所以n=—I x—=一.
16 12 12 72
14. 一个等差数列的首项是8,公差是3;另一个等差数列的首项是12,公差是4,这
两个数列有公共项吗？如果有，求出最小的公共项，并指出它分别是两个数列的第几项.
解析：首项是8,公差是3的等差数列的通项公式为a n = 3n+5;首项是12,公差是4
的等差数列的通项公式为b m= 4m I 8.
根据公共项的意义，就是两项相等，令a n= b m,
4m
即n = =+ 1，该方程有正整数解时，m= 3k, k为正整数，令k = 1,得m= 3,贝V n= 5.
3
因此这两个数列有最小的公共项为20,分别是第一个数列的第5项，第二个数列的第3项.
3 5 2
C. a n= —5 — (n —1) D . a n=—n —3n
4 4
解析：新数列的公差
1 1 3
d= 2 —3 42 + 5= 4，
3 3 23 …
••• a n = —5+ (n —1) •一=—n——.故选A.
4 4 4
答案：A
4. 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为（）
A. 1升
B.訥
47 37
C.44升
D. 33升
解析：设自上而下9节竹子各节的容积构成等差数列条件得
｛a1 + a2 + a3 + a4=* a7 + a8 + a9= 4 , 即。