福建省安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2016-2017学年高一下学期期末联考数学试题(含解析)

安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学
2016级高一下学期期末考试联考试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若集合，，则集合（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
由，得：，，则，故选A.
2.已知向量，且，则的值为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
∵，∴，，又∵，∴，得，故选D.
3.已知角的终边上一点的坐标为,则角的最小正值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
∵角的终边上一点的坐标为，为第一象限角，且，则角的最小正值为，故选C.
4.已知等比数列，且，则的值为（）
A. 2
B. 4
C. 8
D. 16
【解析】
由等比数列性质，故选择D.
5.设变量x, y满足约束条件则目标函数z = y－2x的最小值为（）
A. －7
B. －4
C. 1
D. 2
【答案】A
【解析】
画出原不等式组表示的平面区域如图所示阴影部分，
由题意知,当目标函数表示的直线经过点A(5，3)时，取得最小值，所以的最小值为，故选A.
【考点定位】本小题考查线性规划的基础知识，难度不大，线性规划知识在高考中一般以小题的形式出现，是高考的重点内容之一，几乎年年必考.
6.函数在区间上的值域是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
，∵，
∴，，∴，即函数在区间上的值域是，故选C.
7.已知，，，若，则（）
A. B. C. D.
【解析】
∵，，，，∴，
，∴，即，故选A.
8.已知，且满足：，，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
∵且，，∴，，，令
，可得，解得，即，∴，
，则的取值范围是，故选B.
9.数列满足，对任意的都有，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
∵对任意的都有，，∴，即，，…，，等式两
边同时相加得，即，则，∴，故选C.
点睛：本题主要考查数列求和的应用，根据数列的递推关系，利用累加法求出数列的通项公式以及，利用裂项法进行求和是解决本题的关键；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于
，其中为等差数列，为等比数列等.
10.刘徽是我国魏晋时期著名的数学家，他编著的《海岛算经》中有一问题：“今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直。

从前表却行一百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合。

从后表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合。

问岛高几何?” 意思是：为了测量海岛高度，立了两根表，高均为5步，前后相距1000步，令后表与前表在同一直线上，从前表退行123步，人恰观
测到岛峰，从后表退行127步，也恰观测到岛峰，则岛峰的高度为（）（注：3丈=5步，1里=300步）A. 4里55步 B. 3里125步 C. 7里125步 D. 6里55步
【答案】A
【解析】
如图，由题意步，设步，，，同理，
由题意，，即（步）里步，故选A.
11.如图是函数图象的一部分，对不同，若，有
，则的值为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
根据函数图象的一部分，可得，周期为，∴，由
，可得函数的图象关于直线对称，故，由五点法作图可得，
，∴，结合，可得，
∴，故选D.
点睛：本题主要考查由函数的部分图象求解析式，函数的图象特征，属于中档题；由最大值求出，结合图象可得，由五点法作图求得，由
，可得的值，从而求得的值.
12.在平行四边形中，为的中点，为平面内一点，若
，则（）
A. 16
B. 12
C. 8
D. 6
【答案】D
【解析】
由，可得，取的中点为，连接，则，又，
所以，故选D.
点睛：本题主要考查了平面向量的几何表示，数量积的几何意义，运算求解能力，属于中档题；根据条件及向量加减法的几何意义即可得出，结合再根据向量的数量积公式计算即可.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

把答案填在答题卡的相应位置。

13.若不等式：的解集为空集，则实数的取值范围是______________
【答案】
【解析】
当，，，符合要求；当时，因为关于的不等式的解集为空集，即所对应图象均在轴上方，故须，综上满足要求的实数的取值范围是，故答案为. 点睛：本题是对二次函数的图象所在位置的考查．其中涉及到对二次项系数的讨论，在作题过程中，只要二次项系数含参数，就要分情况讨论，这也是本题的一个易错点；先对二次项系数分为0和不为0两种情况讨论，在不为0时，把解集为空集转化为所对应图象均在轴上方，列出满足的条件即可求实数的取值范围.
14.已知数列满足，则_____________
【答案】
【解析】
∵数列满足，∴，，，∴数列是周期为3的周期数列，∵，∴，故答案为.
15.设的最小值为___________
【答案】
【解析】
∵，∴，∵，∴
，当且仅当，即时，等号成立，故
的最小值为，故答案为.
点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
16.在中，角所对的边分别为，且，，若，
则________。

【答案】
【解析】
∵，由正弦定理可得：，由余弦定理可得
，∵，∴，，结合，得，
又∵，∴，，
则，故答案为.
三、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.已知数列是等差数列，且不等式的解集为。

（1）求数列的通项公式；
（2）设为数列的前项和，求的最大值及此时的值。

【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）由一元二次不等式的特征可得，由等差数列的定义可得其通项公式；（2）由（1）
得可得其结果.
试题解析：（1）由不等式的解集为，有故等差数列的公差，所以
.
（2）法一：由（1）知：时，；时，；时，；
所以时，取到最大值.
法二：.
所以时，取到最大值.
18.已知函数,其中，且函数的最小正周期为。

（1）若函数在处取到最小值，求函数的解析式；
（2）若将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再将向左平移个单位，得到的函数图象关于轴对称，求函数的单调递增区间。

【答案】（1）；（2），.
【解析】
试题分析：（1）由最小正周期得的值，由在处取到最小值为，可求得和，故可得其解析式；（2）根据三角函数的变换规律可得，由函数为偶函数，即，可求出的值，故而可求出函数的单调区间.
试题解析：（1）由函数的最小正周期为，有，又函数在处取到最小值，故，
，即，。

又，, 从而.
（2）因为，则将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再将向左平移个单位，得到的偶函数图象，由，有，，又，
，
，由，有，所以函数的单调递增区间为，.
19.如图，梯形中，，设。

（1）当时，点是否共线，请说明理由；
（2）若的面积为，求的最小值。

【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】
试题分析：（1）当时，，，故可得三点共线；（2）由
的面积为可得，对两边同时平方结合基本不等式可得最后结果.
试题解析：（1），
又，
故与共线，从而三点共线.
（2），，
所以，，
从而，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为.
20.如图，在中，，角的平分线交于点，设,其中是直线的倾斜角。

（1）求；
（2）若，求的长
【答案】（1）；（2）5.
【解析】
试题分析：（1）由直线的倾斜角概念可得，，由二倍角公式可求得，，故而可求得；（2）由正弦定理得，由得，联立方程组得结果. 试题解析：（1）∵是直线的倾斜角,，又，故，，则
，
∴，
.
（2）由正弦定理，得，即，∴，又，
∴，由上两式解得，
又由，得，∴．
21.已知数列满足：，数列满足：，其中为数列的前项和，且。

（1）求数列与的通项公式；
（2）求数列的前项和。

【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）由题意可得，即数列是一个首项为1，公差为2的等差数列，故可求出的通项公式；根据得到为等比数列，故可得其通项公式；（2）利用错位相减法求其前项和.
试题解析：（1）由，有，又，所以数列是一个首项为1，公差为2
的等差数列，故，又，所以时，，
两式相减有：，即所以数列是一个首项为1，公比为的等比数列，故.
（2）因为故
两式相减有：
，从而：.
点睛：本题主要考查了等差数列，等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.
22.设函数，函数
（1）当时，解关于的不等式：；
（2）若且，已知函数有两个零点和，若点，，其中是坐标原点，证明：与不可能垂直。

【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
试题分析：（1）当时，原不等式可化为，分为，，和几种情形得结果；（2）由韦达定理可得和，利用反证法得最后结果.
试题解析：（1）当时，由有，即，当
时，有，解得：当时，，解得：或，当时，，所以当
时，，解得：当时，，此时无解当时，，解得：，综上：当
时，原不等式的解集为：，当时，原不等式的解集为：，当时，原不等式的解集为：
，当时，原不等式的解集为：，当时，原不等式的解集为：. （2）
时， 由为的两根可得，， 假设，即，故
，即，所以从而有 ，即
故
即
，这与矛盾.
故
与
不可能垂直.。