高数 无穷小比较

求极限的又一种方法, 注意适用条件.
思考题
任何两个无穷小都可以比较吗？
思考题解答
不能．
例当 x 时
1 sin x 都是无穷小量 f ( x ) , g( x ) x x g( x ) lim sin x 不存在且不为无穷大 但 lim x f ( x ) x
x
1 ln(1 u)
1 u
1 1. ln e
即，当 x 0 时， e 1,
x ~ ln(1 x ).
常用等价无穷小:当x 0时,
x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x
x ~ ln(1 x ) ~ e x 1
1 2 1 cos x ~ x , 2 1 a n 1 x 1 ~ x , (1 x ) 1 ~ ax ( a 0) n
n
1 x 1 ( n 1 x )n 1 lim lim 1 x 0 x 0 1 x x[ n (1 x ) n1 n (1 x ) n 2 1] n n n 1 lim x 0 n (1 x ) n1 n (1 x ) n 2 1 1 n 当 x 0 时, 1 x 1 ~ x . n
充分性 设 o( )．
称 是 的主要部分．
o( ) o( ) lim lim lim （１＋ ） 1， ~ ．
意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式． 例如, 当x 0时,
sin x ~ x ,
sin x x o( x ),
第八节 无穷小的比较
• 一、无穷小的比较 • 二、等价无穷小代换 • 三、小结 思考题
一、无穷小的比较
1 例如, 当x 0时, x , x , sin x , x sin 都是无穷小. x x2 2 lim 0, x 比3 x要快得多; x0 3 x 观 察 sin x 1, sin x与x大致相同 ; lim 各 x 0 x 极 1 2 限 x sin 1 x lim lim sin 0 不存在. 不可比. 2 x 0 x 0 （ 型） x x 0
2 2
极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同.
定义:设, 是同一过程中的两个无 穷小, 且 0. (1) 如果 lim 0，就说 是比 高阶的无穷小 , 记作 o( )；
( 3) 如果 lim C 0, 就说 与 是同阶的无穷小;
tan x sin x为 x 的三阶无穷小 .
定理1 与 是等价无穷小的的充分必要条件为 o( )
证 必要性 设 ~ ， 则 lim 1 lim lim 1 0， o( )，即 o( )．
穷小代换，而不会改变原式的极限．
( x 1) sin x 例４ 求 lim . x 0 arcsin x
解
当x 0时, sin x ~ x , arcsin x ~ x.
( x 1) x lim( x 1) 1. 原式小代换.
n
例２ 解
e 1 求 lim . x 0 x
x
令 e x 1 u, 即 x ln(1 u),
则当 x 0 时, 有 u 0,
ex 1 u lim lim lim u 0 x 0 u 0 ln(1 u ) x
1
1 ln [ lim (1 u) u ] u 0
意义：在求极限时，分子或分母可用等价无穷小代替
tan 2 x 例３ 求 lim . x 0 1 cos x
2
1 2 解 当x 0时, 1 cos x ~ x , 2
tan 2 x ~ 2 x.
(2 x ) 原式 lim 8. x 0 1 x2 2
2
若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则 可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无
故当 x 时 f ( x ) 和 g( x ) 不能比较.
作业和答疑
一、作业 习题1 — 8 ：1，4，5（2，3，6）
二、答疑 时间：每周一、三下午：1：30 ~ 4：00 地点：理学馆六楼618
即 x 2 o( 3 x ) ( x 0).
当 x 0 时，x 2 是比 3 x 高阶的无穷小;
sin x lim 1， x 0 x
即 sin x ~ x ( x 0).
当 x 0 时， sin x 与 x 是等价无穷小．
在自变量的同一变化过程中
是比 高阶的无穷小．
1 2 2 1 cos x x o( x ). 2
y 1 2 x 2
1 2 1 cos x ~ x . 2
y 1 cos x
1 例1： 证明 : 当 x 0 时, 1 x 1 ~ x . n n 1 x 1 证明： 即要证明 : lim 1 n 1 x 0 a 1 x x n 利用公式： a n 1 ( a 1)( a n1 a n 2 1)
(２ ) 如果 lim ，就说 是比 低阶的无穷小．
特殊地， 如果 lim 1, 则称 与 是等价的无穷小; 记作 ~ ;
( 4) 如果 lim k C 0, k 0, 就说 是 的 k 阶的无穷小.
x2 例如， lim 0， x 0 3 x
二、等价无穷小代换
定理２(等价无穷小代换定理) 设 ~ , ~ 且 lim 存在, 则 lim lim .
证
lim lim( )
lim lim lim lim .
tan x sin x tan x(1 cos x ) ~
1 3 x 1 2 原式 lim . 3 x 0 ( 2 x ) 16
2
x ,
3
例6
tan 5 x cos x 1 求 lim . x0 sin 3 x
解：由定理1有： tan 5 x 5 x o( x ), 1 2 2 sin 3 x 3 x o( x ), 1 cos x x o( x ). 2 1 2 5 x o( x ) x o( x 2 ) 2 原式 lim x0 3 x o( x )
是比 低阶的无穷小．
例1 证明 : 当x 0时, tan x sin x为x的三阶无穷小.
tan x (1 cos x ) tan x sin x lim 证明: lim 3 x0 x 0 x3 x
1 sin x 1 cos x lim ( ) 2 x 0 cos x x x 1 sin x 1 cos x 1 lim lim lim , 2 x 0 cos x x 0 x 0 x 2 x
o( x ) 1 o( x ) 5 x 5 x 2 x . lim o( x ) 3 x 0 3 x
2
三、小结
1、无穷小的比较
反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度 快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较.
高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶.
2、等价无穷小的代换:
切记，只可对函数的乘积因子作等价无穷小代 换，对于代数和中各无穷小不能分别代换.
tan x sin x 例５ 求 lim . 3 x 0 sin 2 x
错解
当x 0时, tan x ~ x ,
sin x ~ x .
x x 原式 lim 3 0. x 0 (2 x )
解
1 2 当x 0时, sin 2 x ~ 2 x , 1 cos x ~ x , 1 2