江苏省扬州市邗江区赤岸中学2018-2019学年高二数学下学期五月调研考试试题文(含解析)

江苏省扬州市邗江区赤岸中学2018-2019学年高二数学下学期五月调
研考试试题 文（含解析）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
1.若集合{3,0,1,2}A =-，{1,0,2}B =-，则A B =I ______.
【答案】{0,2}
【解析】
【分析】
根据交集定义直接求解即可.
【详解】由交集定义可知：{}0,2A B =I
本题正确结果：{}0,2
【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.
2.写出命题“x ∃∈R ，使得20x <”的否定：______.
【答案】x R ∀∈，都有20x ≥
【解析】
【分析】
根据含特称量词的命题的否定直接可得结果.
【详解】因为特称命题的否定为全称命题，所以可得该命题的否定为：“x R ∀∈，都有20x ≥”
本题正确结果：x R ∀∈，都有20x ≥
【点睛】本题考查含量词命题的否定，属于基础题.
3.设复数z 满足15z i i ⋅=-+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内所表示的点位于第______象限.
【答案】一
【解析】
【分析】
首先求解出z ，从而得到对应点的坐标，进而确定所处象限. 【详解】由题意得：()215155i i i z i i i
-+-+===+ z ∴对应的点为：()5,1，位于第一象限
本题正确结果：一
【点睛】本题考查复数所对应点的象限问题，关键是利用复数除法运算求出复数所对应的点的坐标.
4.已知幂函数()f x 的图象过点2,2⎛
⎝⎭
，则函数()f x 的解析式为______. 【答案】()12f x x
-=
【解析】
【分析】 根据幂函数的概念设f （x ）=x n ，将点的坐标代入即可求得n 值，从而求得函数解析式．
【详解】设f （x ）=x n
，∵幂函数y=f （x ）的图象过点22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，, ∴2n , ∴n=-12-, 这个函数解析式为12y x
-=. 故答案为12y x -= 【点睛】本题考查幂函数，关键是待定系数法求解析式、指数方程的解法等知识.
5.“1x >”是“2x x >”成立的______条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）
【答案】充分不必要
【解析】
试题分析：由于2x x >⇔x ＜0或x ＞1．
∴当“x＞1”时，“2x x >”成立
即“x＞1”是“|x|＞1”充分条件；
当“2x x >”成立时，x ＞1或x ＜0，即“x＞1”不一定成立．
即“x＞1”是“2x x >”不必要条件．
“x＞1”是“2x x >”充分不必要条件．故答案为：充分不必要．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
6.已知函数3,4,()(2),4
x x f x f x x -⎧=⎨+<⎩…，则(1)f -的值为______. 【答案】2
【解析】
【分析】
根据分段函数第二段可得()1(1)(3)(5)f f f f -===，再利用分段函数第一段解析式可得结果.
【详解】解：因为当4x <时，()(2)f x f x =+，
故()()()()112112f f f f -=-+==+()()()3325f f f ==+=，
因为当4x ≥时，()3f x x =-，
故()5532f =-=，
故答案为2.
【点睛】本题考查了分段函数求值的问题，解题的关键是根据分段函数的分界点进行分类讨论求解.
7.已知函数3()log 5f x x x =+-的零点0(,1)x a a ∈+，则整数a 的值为______.
【答案】3
【解析】
【分析】
根据函数单调性可知若存在零点则零点唯一，由零点存在定理可判断出零点所在区间，从而求得结果.
【详解】由题意知：()f x 在()0,∞+上单调递增
()f x ∴若存在零点，则存在唯一一个零点
又()313510f =+-=-<，()334log 445log 410f =+-=->
由零点存在定理可知：()03,4x ∈，则3a =
本题正确结果：3
【点睛】本题考查零点存在定理的应用，属于基础题.
8.已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，当(0,2)x ∈时，2()ln 1f x x x =++，则当
(2,0)x ∈-时，函数()f x 的表达式为__.
【答案】2
()ln()1f x x x =----
【解析】
【分析】
当()2,0x ∈-时，()0,2x -∈，可求得()f x -，根据奇函数的定义可求得解析式.
【详解】()y f x =Q 是定义在R 上的奇函数 ()()f x f x ∴=--
当()2,0x ∈-时，()0,2x -∈ ()()()()2
2ln 1ln 1f x x x x x ∴-=-+-+=-++ ()()()2ln 1f x f x x x ∴=--=----
本题正确结果：()()2
ln 1f x x x =---- 【点睛】本题考查利用函数奇偶性求解函数解析式的问题，属于基础题.
9.已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意的实数x ，1()2f x '>
恒成立，且9(3)2f =，则不等式()22f x x -<()21232
x x -+的解集为______.
【答案】(1,3)-
【解析】
【分析】
构造函数()()12
g x f x x =-，根据导数可求得()g x 单调递增，将3x =代入()g x 求得()33g =，将不等式变为()()223g x x g -<；根据函数单调性可得223x x -<，解不等式求得结果.
【详解】令()()12g x f x x =-，则()()102
g x f x ''=-> ()g x ∴在R 上单调递增
又()()393333222
g f =-=-= ()()2212232f x x x x ∴-<-+等价于()()()()222122232
g x x f x x x x g -=---< 则：223x x -<，解得：()1,3x ∈-
本题正确结果：()1,3-
【点睛】本题考查利用函数单调性求解参数范围问题，关键是能够通过构造函数的方式，利用导数求得所构造函数的单调性，将不等式变为函数值的比较，利用单调性变为自变量的大小关系，从而得到不等式解出结果.
10.函数3y x x =-的单调减区间为______. 【答案】3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭
【解析】
【分析】
分别在3x <和3x ≥两种情况下得到函数解析式，利用二次函数图象求得函数的单调递减区间.
【详解】当3x <时，()233y x x x x =-=-+ 由二次函数图象可知，此时函数在3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减
当3x ≥时，()2
33y x x x x =-=- 由二次函数图象可知，此时函数单调递增 综上所述，3y x x =-的单调减区间为3
,32⎛⎫ ⎪⎝⎭
本题正确结果：3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭
【点睛】本题考查函数单调区间的求解，关键是能够通过分类讨论得到分段函数的解析式.
11.
计算2ln33
(0.125)e -++的结果为______. 【答案】11
【解析】
【分析】
利用对数的运算性质即可得出．
【详解】原式=3+4+23312-⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
=7+4
=11
． 故答案为：11．
【点睛】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．
12.已知函数()f x 是定义在[3,3]-上的偶函数，且在区间[3,0]-上是单调增函数，若(12)()f m f m -<，则实数m 的取值范围是__. 【答案】(]11,1,23⎡⎫-⎪⎢⎣⎭
U
【解析】
【分析】
根据奇偶性和单调性可知()f x 在[]0,3上单调递减；根据函数值的大小关系可得不等式
12m m ->，又自变量需符合定义域要求，可得不等式组，解不等式组求得结果.
【详解】()f x Q 是定义在[]3,3-上的偶函数且在[]3,0-上单调递增
()f x ∴在[]0,3上单调递减
由()()12f m f m -<得：12312333m m m m ⎧->⎪-≤-≤⎨⎪-≤≤⎩
解得：(]11,1,23m ⎡
⎫∈-⎪⎢⎣⎭
U 本题正确结果：(]11,1,23⎡
⎫-⎪⎢⎣⎭
U
【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解不等式的问题，关键是能够利用单调性将函数值的大小关系转变为自变量的大小关系，易错点是忽略了定义域的要求.
13.已知函数()f x 的导函数为()(2)()(0)f x ax x x a a '=+-≠，若函数()f x 在2x =-处取到极小值，则实数a 的取值范围是__.
【答案】2a <-或0a >
【解析】
【分析】
令()0f x '=解得三个根；分别在0a >、20a -<<、2a =-和2a <-四种情况下判断函数单调性，满足()f x 在2x =-处取得极小值即为所求的范围.
【详解】令()0f x '=，解得：10x =，22x =-，3x a =
①当0a >时
当(),2x ∈-∞-和()0,a 时，()0f x '<；当()2,0x ∈-和(),a +∞时，()0f x '> 即()f x 在(),2-∞-，()0,a 上单调递减；在()2,0-，(),a +∞上单调递增
可知()f x 在2x =-处取得极小值，满足题意
②当20a -<<时
当(),2x ∈-∞-和(),0a 时，()0f x '>；当()2,x a ∈-和()0,∞+时，()0f x '< 即()f x (),2-∞-，(),0a 上单调递增；在()2,a -，()0,∞+上单调递减
可知()f x 在2x =-处取得极大值，不满足题意
③当2a =-时
当(),0x ∈-∞时，()0f x '≥；当()0,x ∈+∞时，()0f x '<
即()f x 在(),0-∞上单调递增；在()0,∞+上单调递减
可知()f x 在2x =-处不取极值，不满足题意
④当2a <-时
当(),x a ∈-∞和()2,0-时，()0f x '>；当(),2x a ∈和()0,∞+时，()0f x '< 即()f x 在(),a -∞，()2,0-上单调递增；在(),2a ，()0,∞+上单调递减
可知()f x 在2x =-处取得极小值，满足题意
综上所述：2a <-或0a >时，()f x 在2x =-处取得极小值
本题正确结果：2a <-或0a >
【点睛】本题考查根据函数的极值求解参数范围的问题，关键是能够利用分类讨论的思想判断出不同情况下函数的单调性，从而确定极值取得的情况.
14.设定义域R 的函数()21,02,0
x f x x x x x ⎧>⎪=⎨⎪--≤⎩，若关于x 的方程
()()22210f x af x ++=有6个不同的实数根，则实数a 的取值范围是______.
【答案】3,2⎛- ⎝ 【解析】
【分析】
根据解析式得到()f x 图象，结合图象和方程根的个数可确定方程22210x ax ++=有2个不同的，且均在()0,1上的实数根，根据二次函数图象可确定不等式组，解不等式组求得结
果.
【详解】由()f x 解析式可得函数图象如下图所示：
()()22210f x af x ++=Q 有6个不同的实数根
∴方程22210x ax ++=有2个不同的，且均在()0,1上的实数根
24802014202010212110
a a a a ⎧∆=->⎪⎪<-<⎪∴⎨⎪⨯+⨯+>⎪⨯+⨯+>⎪⎩，解得：3,22a ⎛∈- ⎝ 本题正确结果：3,22⎛- ⎝ 【点睛】本题考查根据方程根的个数求解参数范围的问题，关键是能够通过函数图象判断出一元二次方程根的个数及根所处的范围，从而利用二次函数图象来确定不等关系，使问题得以求解.
二、解答题：本大题共6小题，15-17题每小题14分，18-20题每小题16分，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已如集合{}
2|320A x x x =-+≤，集合B 为函数22y x x a =-+的值域，集合{|()[(4)]0}C x x a x a =--+….
（1）若A B =∅I ，求实数a 的取值范围：
（2）若A C C =U ，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）3a >；（2）21a -剟
【解析】
【分析】
（1）计算出集合A 和集合B ，根据交集的定义即可求得结果；（2）由A C C =U 得到A C ⊆，解出集合C ，根据子集的包含关系可得不等式组，解不等式组求得结果.
【详解】（1）{}
[]2|3201,2A x x x =-+≤=， ()2
2211y x x a x a =-+=-+-Q [)1,B a ∴=-+∞ A B =∅Q I 12a ∴->，即:3a >
（2）A C C =Q U A C ∴⊆ 又()(){}
[]40,4C x x a x a a a ⎡⎤=--+≤=+⎣⎦ 142a a ≤⎧∴⎨+≥⎩
，解得：21a -≤≤ 【点睛】本题考查根据交集运算结果、集合间的关系求解参数范围的问题，属于基础题.
16.已知命题p ：函数2
()43f x x ax =-++在区间(,1]-∞上是单调增函数；命题q ：函数()2()lg 2g x x ax a =++的定义域为R ，如果命题“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数a 的取值范围.
【答案】1a ≥或102
a <<
【解析】
【分析】
先根据函数的性质分别求出命题,p q 成立的等价条件，根据题意得出命题,p q 的真假关系，从而求解得出结果.
【详解】解：因为函数()243f x x ax =-++在区间(],1-∞上是单调增函数， 所以对称轴方程()4121a x =-≥⨯-，所以12
a ≥， 又因为函数()()
2lg 2g x x ax a =++的定义域为R ， 所以()2240a a =-<V ，解得01a <<，
又因为“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，
所以命题,p q 是一真一假，
所以1
2
10
a
a a
或
⎧
≥
⎪
⎨
⎪≥≤
⎩
或
1
2
01
a
a
⎧
<
⎪
⎨
⎪<<
⎩
，
所以1
a≥或
1
2
a
<<，
所以实数a的取值范围是1
a≥或
1
2
a
<<.
【点睛】本题考查了函数的单调性、对数与对数函数、命题及其关系和简单逻辑联结词，解题的关键是要准确地求解出两个命题成立的等价条件.
17.如图，在直角坐标系中，曲线段AB是函数2
1
y x
=-图象的一部分，P为曲线段AB上异于点A，B一个动点，PM x
⊥轴，垂足为M，⊥
PN y轴，垂足为N.
（1）求PM PN
+长度的范围；
（2）求矩形PMON面积的最大值.
【答案】（1）
5
1,
4
⎛⎤
⎥
⎝⎦
；（2）
23
9
【解析】
【分析】
设()
,
P x y，则01
x
<<，2
1
y x
=-；（1）21
PM PN x y x x
+=+=-++，结合二次函数的图象可求得取值范围；（2）3
S xy x x
==-+，利用导数研究函数的单调性，可知当
3
x=S取最大值，代入求得结果.
【详解】由题意得：()
1,0
A，()
0,1
B
设(),P x y ，则01x <<，2
1y x =-；
（1）2
1PM PN x y x x +=+=-++， 当12
x =
时，PM PN +取最大值为54；
当0x =或1时，1PM PN +=
PM PN ∴+的范围为：51,4⎛⎤
⎥⎝⎦
（2）设矩形PMON 面积为S ，则(
)2
3
1S xy x x
x
x ==-=-+
231333S x x x ⎛⎫⎛⎫
'=-+=-+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
由上表知，当x =
S 取得极大值，也就是最大值 3
max
S ∴=-+=⎝⎭
【点睛】本题考查构造函数模型解决实际问题，关键是能够将所求的长度和面积表示为关于
x 的函数的形式，然后利用函数求值域的方法来求解取值范围或最值.
18.已知,x y R ∈，定义运算⊗：(1)x y x y ⊗=-.设函数()()()f x x a x a =-⊗+，a 为实数.
（1）若()1f x <对一切实数x 都成立，求a 的取值范围； （2）解关于x 的不等式()0f x >. 【答案】（1）13
22
a -
<<；（2）见解析
【解析】 【分析】
（1）根据定义运算的形式可得()()()2
2
1f x x a x a x x a a =---=-++-，将恒成立的不
等式转变为2210x x a a --++>，利用判别式∆<0即可求得范围；（2）将()0f x >变为()()10x a x a -+-<；分别在12
a >
、1
2a =和12a <三种情况下讨论解集即可.
【详解】（1）由题意得：()()()2
2
1f x x a x a x x a a =---=-++-
()1f x <Q 对一切实数x 都成立 2210x x a a ∴--++>对一切实数x 都成立
()()2
21410a a ∴∆=---++<，解得：1322
a -<<
（2）由()0f x >得：()()10x a x a --->，即：()()10x a x a -+-<
当1
2a >
时，1a a >-，所求不等式解集()1,a a -； 当1
2a =时，1a a =-，所求不等式解集为∅；
当1
2
a <时，1a a <-，所求不等式解集为(),1a a -
【点睛】本题考查利用新定义运算来解决恒成立问题、含参数的
一元二次不等式的求解问题，关键是能够通过新定义运算得到函数的解析式.
19.已知函数()1
x
x f x e e
=-
，其中e 是自然对数的底数. （1）证明：()f x 是R 上的奇函数；
（2）试判断方程()21
e f x e
-=的实根的个数；
（3）若关于x 的不等式()1x
mf x e
m -≤--在()0,∞+上恒成立，求实数m 的取值范围.
【答案】（1）奇函数；（2）有1个实根；（3）1,5⎛⎤-∞- ⎥⎝
⎦
【解析】 【分析】
（1）根据奇偶性的定义，证得()()f x f x -=-即可得到结论；（2）将方程整理为
()2110x x e e e e ⎛⎫---= ⎪⎝
⎭，可求得x e e =，由x y e =是R 上的单调增函数可求得结果；（3）将不等式整理为111x
x x m e e e -⎛
⎫-
+≤- ⎪⎝
⎭
，令()1x
e t t =>，将不等式变为221111111t m t t t t -≤-
=-+-+-，求解出21
1111t t
-
+-的最小值，则可得m 的取值范围. 【详解】（1）对任意x ∈R ，都有()()11x x
x x f x e e f x e e ---=-=-=-
()f x ∴是R 上的奇函数
（2）方程()21e f x e
-=，即：11x
x e e e e -=-
整理得：()
2
110x x e
e e e ⎛⎫
---= ⎪⎝
⎭，解得：x e e =或1x e e =-（舍）
由x
y e =是R 上的单调增函数可知：1x =
∴方程()21
e f x e
-=有且只有1个实根
（3）当()0,x ∈+∞时，0
110x
x e e e e -
>-= 由条件知111x
x
x m e e e -⎛
⎫-+≤- ⎪⎝
⎭
在()0,∞+上恒成立 令()0x
t e
x =>，则1t >
221111111t m t t t t
-∴≤-
=-
+-+-对任意(1,)t ∈+∞恒成立 当112t =时，211t t -有最大值14
211
15111t t ∴-≥-
+-
∴实数m 的取值范围是1,5⎛
⎤-∞- ⎥⎝
⎦
【点睛】本题考查函数奇偶性的判断、判断方程根的个数、恒成立问题的求解.解决恒成立
问题的关键是能够通过分离变量的方式将问题变为所求参数与函数最值之间的关系，通过求解函数最值得到结果.
20.已知函数()()ln ,b
f x a x a b R x
=-
-∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）若1b =，试讨论函数()f x 零点的个数；
（3）在（2）的条件下，若()f x 有两个零点1x ，2x ()12x x <，求证：122x x +>. 【答案】（1）当0b ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递减；当0b >时，()f x 在()0,b 上单调递增，在(),b +∞单调递减；(2) 当1a =时，()f x 恰有一个零点：当1a <时，()f x 没有零点；当1a >时，()f x 有两个零点；(3)见解析 【解析】 【分析】
（1）求导后，分别在0b ≤和0b >两种情况下讨论导函数的符号，从而得到函数的单调性；（2）利用导数判断出函数的单调性，求得函数最大值为1a -，分别在10a ->，
10a -=，10a -<三种情况下，结合零点存在定理判断出零点个数；（3）根据零点的定义
可求得212121ln x x x x x x -=，令21
x t x =，1t >，可将122x x +-整理为212ln 2ln t t t t ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭；令()21
ln 2x g x x x
-=-，1x >，可求得()0g x >，结合ln 1t >即可证得结论.
【详解】（1）由题意得：()()2210b b x
f x x x x x
-'=
-=> 当0b ≤时，()0f x '<在()0,∞+上恒成立 则()f x 在()0,∞+上单调递减
当0b >时，若(),x b ∈+∞，()0f x '<，；若()0,x b ∈，()0f x '> 即()f x 在()0,b 上单调递增；在(),b +∞上单调递减 综上所述：当0b ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递减；
当0b >时，()f x 在()0,b 上单调递增，在(),b +∞单调递减 （2）当1b =时，()1ln f x a x x
=--，则()21x f x x -'=
令()0f x '=，解得：1x =
当1x >时，()0f x '<，则()f x 在()1,+∞上单调递减 当01x <<时，()0f x '>，则()
f x ()0,1上单调递增
()()max 11f x f a ⎡⎤∴==-⎣⎦
①当()max 0f x ⎡⎤=⎣⎦，即1a =时，当且仅当1x =时，()0f x =，()f x 恰有一个零点； ②当()max 0f x ⎡⎤⎣⎦<，即1a <时，()0f x <恒成立，()f x 没有零点：
③当()max
0f x ⎡⎤⎣⎦>，即1a >时，1a
e ∃>，()
1
0a a f e e
=-<， 1a e -∃<，()
220a a
f e a e a ea -=-≤-< ()f x ∴有两个零点
综上：当1a =时，()f x 恰有一个零点：当1a <时，()f x 没有零点；当1a >时，()f x 有两个零点 （3）证明：
由题意知：()()120f x f x ==，即121211ln ln x x x x +=+ 212
121ln x x x x x x -∴= 记21x t x =，1t >，则11ln t t tx -=，故11ln t x t t
-=
()2
1211
1ln t x x x t t t -∴+=+=，21212ln 22ln t t t x x t
⎛⎫
-- ⎪⎝⎭+-=
记函数()21
ln 2x g x x x
-=-，1x >
则()
()2
2
102x g x x
-'=
> ()g x ∴在()1,+∞上单调递增
∴当1t >时，()()10g t g >=
由（2）知(
)
1,1a
x e -∈，(
)21,a
x e
∈
又1a > 1a
e
e -∴< 21
x e x ∴> ln 1t ∴> 122x x ∴+>
【点睛】本题考查导数在函数中的应用问题，涉及到讨论含参数函数的单调性、函数零点个数的判断、证明不等式的问题；关键是能够灵活应用零点存在定理判断零点个数，得到零点所在区间，进而可在构造函数时得到函数自变量的取值范围，使得问题得以求解.。