2018年广东省高二下学期期中考试数学(理)试题(解析版)17

高二下学期期中考试数学（理）试题
一、选择题
1．复数43i
1+2i
+的实部是（ ）
A. 2-
B. 2
C. 3
D. 4 2．函数
，已知
在
时取得极值，则= （ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
3．用反证法证明命题“设,a b 为实数，则方程20x ax b ++=没有实数根”时，要做的假设是
A. 方程20x ax b ++=至多有一个实根
B. 方程20x ax b ++=至少有一个实根
C. 方程20x ax b ++=至多有两个实根
D. 方程20x ax b ++=恰好有两个实根 4．函数()
f x =
的定义域为
A. 10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
B. ()2,+∞
C.
()10,2,2⎛⎫
⋃+∞ ⎪⎝⎭
D. ][10,2,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭
5．设D 为ABC ∆所在平面内一点，若3BC CD =，则下列关系中正确的是（ ）
A. 1433AD AB AC =-+
B. 14
33
AD AB AC =-
C. 41
33AD AB AC =
+ D. 4133
AD AB AC =- 6．8
1x x ⎛
⎫- ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数（ ）
A. -56
B. 56
C. -336
D. 336
7．已知幂函数a y x =图像的一部分如下图，且过点()2,4P ，则图中阴影部分的面积等于（ ）
A.
163 B. 83 C. 43 D. 23
8．在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示， 则相应的侧视图可以为( )
A. B. C. D.
9．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>则C 的渐近线方程
为（ ）
A. 14y x =±
B. 13y x =±
C. 1
2
y x =± D. y x =±
10．观察下列各式：
2233441,3,4,7a b a b a b a b +=+=+=+=， 5511,a b +=，则1010a b +=
11．已知函数()y xf x ='的图象如图所示(其中()'f x 是函数()f x 的导函数)，下面四个图象中()y f x =的图象大致是( )
A. B. C. D.
12．()f x 是定义在()2,2- 上单调递减的奇函数，当()()2230f a f a -+-<
时， a 的取值范围是 （ ）
A. ()0,4
B. 50,2⎛⎫
⎪⎝⎭
C.
15,22⎛⎫
⎪⎝⎭
D. 51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
二、填空题 13．如果曲线2
932
y x =
+与32y x =-在0x x =处的切线互相垂直，则0x =________.
14．把编号为1，2，3，4的四封电子邮件分别发送到编号为1，2，3，4的四个网址，则至多有一封邮件的编号与网址的编号相同的概率为_________. 15．已知正弦函数sin y x =具有如下性质: 若()12,,...0,n x x x π∈,则
1212sin sin ...sin ...sin n n x x x x x x n n ++++++⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
(其中当12...n x x x ===时等号成立).根据上述结论可知,在ABC ∆中,
16．下列几个命题：
①方程()230x a x a +-+=有一个正实根，一个负实根，则0a <；
②1y x =+和y =
表示相同函数;
③ 函数()f x =是非奇非偶函数;
④方程1x a a -=有两解，则01a << 其中正确的有___________________.
三、解答题
17．已知函数()()sin 0,06f x A x A πωω⎛
⎫=+>> ⎪⎝⎭的图象在y 轴右侧的第一个
最高点和第一个最低点的坐标分别为()0,2x 和0,22x π⎛⎫
+- ⎪⎝⎭.
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）求0sin 4x π⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的值
18．2015年8月12日天津发生危化品重大爆炸事故，造成重大人员和经济损失．某港口组织消防人员对该港口的公司的集装箱进行安全抽检，已知消防安全等级共分为四个等级（一级为优，二级为良，三级为中等，四级为差），该港口消防安全等级的统计结果如下表所示：
现从该港口随机抽取了n 家公司，其中消防安全等级为三级的恰有20家． （Ⅰ）求,m n 的值；
（Ⅱ）按消防安全等级利用分层抽样的方法从这n 家公司中抽取10家，除去消防安全等级为一级和四级的公司后，再从剩余公司中任意抽取2家，求抽取的这2家公司的消防安全等级都是二级的概率．
19．设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =， 22b =， q d =， 10100S =． （Ⅰ）求数列{}n a ， {}n b 的通项公式； （Ⅱ）当1d >时，记n
n n
a c
b =，求数列{}n
c 的前n 项和n T ．
20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形， 135BCD ∠=，侧面PAB ⊥底面ABCD ， 90BAP ∠=， 2AB AC PA ===， ,E F 分别为
,BC AD 的中点，点M 在线段PD 上．
（Ⅰ）求证： EF ⊥平面PAC ；
（Ⅱ）如果直线ME 与平面PBC 所成的角和直线ME 与平面ABCD 所成
的角相等，求PM
PD
的值．
21．已知椭圆∑： 22
221x y a b
+=（0a b >>）的焦距为4
，且经过点(P ．
（Ⅰ）求椭圆∑的方程；
（Ⅱ）A 、B 是椭圆∑上两点，线段AB 的垂直平分线l 经过()0,1M ，求OAB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）．
22．已知函数()2ln ,f x x ax x a R =++∈.
(Ⅰ)当1a =时，求函数()f x 的图象在点(1， ()1f )处的切线方程； (Ⅱ)讨论函数()f x 的单调区间；
(Ⅲ)已知0a <，对于函数()f x 图象上任意不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，其中21x x >，直线AB 的斜率为k ，记(),0N u ，若()12,AB AN λλ=≤≤求证
().f u k '<
高二下学期期中考试数学（理）试题【解析】一、选择题
1．复数43i
1+2i
+
的实部是（）
A. 2-
B. 2
C. 3
D. 4【答案】B
【解析】因为43i
1+2i
+()()
()()
4312105
2
12125
i i i
i
i i
+--
===-
+-
，所以
43i
1+2i
+
的实部是2，
应选答案B。

2．函数，已知在时取得极值，则= （）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】D
【解析】试题分析：对函数求导可得，，∵在
时取得极值，∴,
得故答案为：D.
【考点】函数的导数与极值的关系.
3．用反证法证明命题“设,a b为实数，则方程20
x ax b
++=没有实数根”时，要做的假设是
A. 方程20
x ax b
++=至多有一个实根
B. 方程20
x ax b
++=至少有一个实根
C. 方程20
x ax b
++=至多有两个实根
D. 方程20
x ax b
++=恰好有两个实根
【答案】A
【解析】至少有一个实根的反面为没有实根,所以选A.
4．函数()
f x=的定义域为
A.
1
0,
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
B. ()
2,+∞ C. ()
1
0,2,
2
⎛⎫
⋃+∞
⎪
⎝⎭
D. ][
1
0,2,
2
⎛⎫
⋃+∞
⎪
⎝⎭
【答案】C
【解析】因为2
log 01
{
0(102
x x >⇒<<->或2x >，所以应选答案C 。

5．设D 为ABC ∆所在平面内一点，若3BC CD =，则下列关系中正确的是（ ）
A. 1433AD AB AC =-+
B. 14
33
AD AB AC =-
C. 41
33AD AB AC =
+ D. 4133
AD AB AC =- 【答案】A
【解析】∵3BC CD = ∴AC −−AB =3(AD −−AC )；
∴AD =
43AC −−1
3
AB . 故选：C.
6．8
1x x ⎛
⎫- ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数（ ）
A. -56
B. 56
C. -336
D. 336
【答案】A
【解析】因为展开式中的通项公式是()88218
811r
r r r
r r
r T C x
C x x --+⎛⎫=-=- ⎪
⎝⎭
，令8223r r -=⇒=，所以2x 的系数是()3
3318156T C +=-=-，应选答案A 。

7．已知幂函数a y x =图像的一部分如下图，且过点()2,4P ，则图中阴影部分的面积等于（ ）
A. 163
B. 83
C. 43
D. 23
【答案】B
【解析】试题分析：由题意得，因为幂函数a y x =图像过点()2,4P ，所以
42α=，解得2α=，所以幂函数2y x =，则阴影部分的面积为
2
23200
18
|33S x dx x ===⎰，故选B.
【考点】幂函数的解析式；定积分的应用.
8．在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示， 则相应的侧视图可以为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】从题设中提供的正视图与俯视图可以推知该几何体是半个圆锥与三棱锥的组合体，由于三棱锥的底面是等腰三角形，且其高是圆锥底面的半径，故侧视图是等腰三角形，应选答案D 。

9．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>
则C 的渐近线方程
为（ ）
A. 14y x =±
B. 1
3y x =±
C. 1
2
y x =± D. y x =±
【答案】C
【解析】试题分析：因,令,故,所以,应选C.
【考点】双曲线的几何性质. 10．观察下列各式：
（ ）
A. 28
B. 76
C. 123
D. 199 【答案】C
【解析】试题分析：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项． 继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十项为123，即1010123a b += 【考点】归纳推理
11．已知函数()y xf x ='的图象如图所示(其中()'f x 是函数()f x 的导函数)，下面四个图象中()y f x =的图象大致是( )
A. B. C.
D.
【答案】C
【解析】结合题设中提供的函数的图像可以看出：当10x <-<时， ()0f x '>，
单调递减；当01x <<时， ()0f x '<，函数在()1,0-上单调递减；当1x >时，
()0f x '>，函数在()1,+∞上单调递增，故应选答案C 。

点睛：解答本题的关键是读懂题设中提供的函数的图像，其实这个图像是函数()y xf x ='的图像，求解时要充分借助图像中的有效信息，运用分类讨论的数学思想方法逐一分类判定()f x '的符号，进而依据导数与函数的单调性之间的关系判定函数的单调性，进一步确定与之匹配的函数()y f x =的图像，从而获得答案。

12．()f x 是定义在()2,2- 上单调递减的奇函数，当()()2230f a f a -+-< 时，
a 的取值
范围是
（ ）
A. ()0,4
B. 50,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
C. 15,22⎛⎫
⎪⎝⎭
D.
51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
【答案】D
【解析】由函数是奇函数可得()()223f a f a -<--，即
()()223f a f a -<-+；由函数是单调递减函数可得223
5
{222 12
2232a a a a a ->-+-<-<⇒<<-<-<，应选答案D 。

二、填空题 13．如果曲线2
932
y x =
+与32y x =-在0x x =处的切线互相垂直，则0x =________.
【答案】1
3
【解析】因为函数2
932
y x =
+与32y x =-的导数分别29,3y x y x ''==-，由导数的几何意义及相互垂直的斜率之间的关系可得： ()()2
00931x x -=-，即
30012713x x =⇒=
，应填答案1
3。

14．把编号为1，2，3，4的四封电子邮件分别发送到编号为1，2，3，4的四个网址，则至多有一封邮件的编号与网址的编号相同的概率为_________.
【答案】17
24
【解析】由题意编号为1,2,3,4的四封电子邮件发送到编号为1,2,3,4的四个
网址，发送方法有4
424A =种，“有两封的编号与网址的编号相同或全相同”，所包含的基本事件数为24447C C +=，故“有两封的编号与网址的编号
相同或全相同”概率为
7
24，故事件“至多有一封邮件的编号与网址的编号相同”的概率为71712424P =-=，应填答案1724。

点睛：解答本题的关键是先运用正难则反的数学思维方法，将“至多有一封邮件的编号与网址的编号相同”的反面“有两封的编号与网址的编号相同
或全相同”的事件的概率求出7
24
，借助对立事件的计算公式求出“至多有
一封邮件的编号与网址的编号相同”的概率为71712424
P =-=，从而使得问题获解。

15．已知正弦函数sin y x =具有如下性质: 若()12,,...0,n x x x π∈,则
1212sin sin ...sin ...sin n n x x x x x x n n ++++++⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
(其中当12...n x x x ===时等号成立).根据上述结论可知,在ABC ∆中,
sin sin sin A B C ++的最大值为_______.
【
解析】令
1212123sin sin ...sin ...sin ,,C,n 3n n x x x x x x x A x B x n n ++++++⎛⎫
≤==== ⎪⎝⎭
中的可得
sin sin sin sin
33
A B C A B C ++++≤，由于A B C π++=，所以
sin sin sin sin sin sin sin 33A B C A B C π++≤⇒++≤。

点睛：本题是一道信息迁移题，这类问题的特点是先给出问题的一般模式（即
一般情形的新信息），然后再依据这一新定义的信息，运用联想和类比的思维模式解答在这一前提下的特殊问题。

本题求解时，充分借助题设条件，将一般问题的情形变为123,,x A x B x C ===的特殊情形问题来解答，从而使得问题获解。

16．下列几个命题：
①方程()230x a x a +-+=有一个正实根，一个负实根，则0a <；
②1y x =+和y =
表示相同函数;
③ 函数()33
f x x =--是非奇非偶函数;
④方程1x a a -=有两解，则01a << 其中正确的有___________________. 【答案】①④
【解析】对于答案①，“()230x a x a +-+=有一个正实根，一个负实根”等价于“()20300a a +-+<”，即0a <，即答案①是正确的；对于答案②，
由于定义域相同，而函数解析式（对应法则）1y x =
=+不同，因
此答案②是错误的；对于答案③，函数的定义域是()()1,00,1-或，则
()f x =
则()()f x f x -=-,所以，函数()f x =是奇函数；答案③是错误的；由1x a a -=可得： 1x a a =+或1x a a =-，因为0x a >,所以
10a -> 且10a +>，解之得01a <<,应填答案①④。

点睛：解答本题的关键是逐一对题设中提供的四个答案分别综合运用所学知识分别进行分析推断，从而辩出命题的真假，从而求出正确的命题的序号，进而使得问题获解。

当然解答这些问题要具备扎实的数学基本功和较强的分析问题和解决问题的能力。

三、解答题
17．已知函数()()sin 0,06f x A x A πωω⎛
⎫=+>> ⎪⎝⎭的图象在y 轴右侧的第一个
最高点和第一个最低点的坐标分别为()0,2x 和0,22x π⎛⎫
+- ⎪⎝⎭.
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）求0sin 4x π⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的值
【答案】(1) ()2sin 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭ ；(2)
【解析】【试题分析】（1）由最高、低点的坐标可知2A =，
00222
T x x ππ
⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，进而求得2ω=，求出函数解析式
()2sin 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭；（2）借助题设条件“在y 轴右侧的第一个最高点为
()0,2x ”，建立方程026
2
x π
π
+
=
，进而求得06x π
=
.，从而求得0sin 4x π⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭
sin 64ππ⎛⎫
=+=
⎪⎝⎭： (1)由题意可得2,A =，
00222
T x x ππ
⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭， ∴.T π= 由2,π
πω=得2ω=， ∴(
)2s i n 26f
x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭.
（2）解： ∵ 点()0,2x 是函数()2sin 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭在cos MO BMO MB ∠==
轴右侧的第一个最高点,
∴0262x ππ
+=.
∴06
x π
=.
∴0sin 4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ sin 64ππ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
sin
cos
cos
sin
6
4
6
4
π
π
π
π
=+
12=
=
. 18．2015年8月12日天津发生危化品重大爆炸事故，造成重大人员和经济损失．某港口组织消防人员对该港口的公司的集装箱进行安全抽检，已知消防安全等级共分为四个等级（一级为优，二级为良，三级为中等，四级为差），该港口消防安全等级的统计结果如下表所示：
现从该港口随机抽取了n 家公司，其中消防安全等级为三级的恰有20家． （Ⅰ）求,m n 的值；
（Ⅱ）按消防安全等级利用分层抽样的方法从这n 家公司中抽取10家，除去消防安全等级为一级和四级的公司后，再从剩余公司中任意抽取2家，求抽
取的这2家公司的消防安全等级都是二级的概率．
【答案】（I ）0.20m =， 100n =；（II ）2
5.
【解析】试题分析：（I ）由已知先求出m ，由公式=
频数
频率样本容量
即可求出
n ；
（II ）由分层抽样的方法得到消防安全等级为一级的有3家，二级的有4家，三级的有2家，记消防安全等级为二级的四家公司分别为,,,A B C D ,三级的两家公司记为,a b ，从中抽取2家公司，利用列举法求出抽取的2家公司的消防安全等级都是二级的概率. 试题解析：（Ⅰ）由已知可得； 0.3020.101m m +++=,解得： 0.20m =．
所以20
100n m
== （II ）由（I ）知，利用分层抽样的方法从中抽取10家公司，则消防安全等级为一级的有3家，二级的有4家，三级的有2家，四级的有1家
记安全等级为二级的4家公司分别为A,B,C,D,三级的2家公司分别记为a,b ，则从中抽取2家公司，不同的结果为AB,AC,AD,Aa,Ab,BC,BD,Ba,Bb,CD,Ca,Cb,Da,Db,ab 共15种，
记“抽取的2家公司的消防安全等级都是二级”为事件M ，则事件M 包含的结果有：AB,AC,AD,BC,BD,CD 共6种
所以()62155
P M =
= 【考点】分层抽样与列举法求古典概型中某事件的概率.
19．设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =， 22b =， q d =， 10100S =． （Ⅰ）求数列{}n a ， {}n b 的通项公式； （Ⅱ）当1d >时，记n
n n
a c
b =
，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 【答案】（Ⅰ）1
21,{2.
n n n a n b -=-=或()29
1279,9{9(.
n n a n b =+=⋅；（Ⅱ）12362n n n T -+=-． 【解析】（Ⅰ）由题意有， 111045100,{2,a d a d +==即112920,{2,a d a d +==，解得11,
{2,a d ==或
19,
{2.
9
a d ==
故1
21,{2.
n n n a n b -=-=或()291279,9{9(.
n n a n b =+=⋅． （Ⅱ）由1d >，知21n a n =-， 12n n b -=，故1
21
2n n n c --=
，于是 2341357921
122222
n n n T --=+
+++++， ① 234511357921
2222222n n n T -=++++++． ② ①-②可得 221111212323222222n n n n
n n T --+=++++-=-， 故n T 123
62
n n -+=-．
【考点】本题综合考查等差数列、等比数列和错位相减法求和，属中档题．
20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形， 135BCD ∠=，侧面PAB ⊥底面ABCD ， 90BAP ∠=， 2AB AC PA ===， ,E F
分别为
,BC AD 的中点，点M 在线段PD 上．
（Ⅰ）求证： EF ⊥平面PAC ；
（Ⅱ）如果直线ME 与平面PBC 所成的角和直线ME 与平面ABCD 所成
的角相等，求PM
PD
的值．
【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）
PM PD =
【解析】试题分析:（Ⅰ）线面垂直的证明，往往利用线面垂直判定定理，即
从线线垂直出发给予证明，而线线垂直的寻找与论证，一般从两个方面，一是利用平几知识，如本题经解三角形可得AB AC ⊥，再根据中点条件得平行条件，从而可得EF AC ⊥．二是利用线面位置关系有关定理进行转化，如本题利用面面垂直的性质定理可得线面垂直，再根据线面垂直性质定理可得线线垂直.（Ⅱ）解决有关线面角的问题，一般利用空间向量数量积进行处理比较方便，先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出面的法向量，再根据向量数量积求出直线向量与法向量夹角余弦值，最后根据线面角与向量夹角之间关系列等量关系，求出比值. 试题解析：
（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中，因为AB AC =， 135BCD ∠=，
所以AB AC ⊥．由,E F 分别为,BC AD 的中点，得//EF AB ， 所以EF AC ⊥．
因为侧面PAB ⊥底面ABCD ，且90BAP ∠=，所以PA ⊥底面ABCD ． 又因为EF ⊂底面ABCD ，所以PA EF ⊥． 又因为PA AC A ⋂=， PA ⊂平面PAC ， AC ⊂平面PAC ， 所以EF ⊥平面PAC ． （Ⅱ）解：因为PA ⊥底面ABCD ， AB AC ⊥，所以,,AP AB AC 两两垂直， 以AB AC AP ，，分别为x 、y 、z ，建立空间直角坐标系，
则()()()()()()0,0,02,0,00,2,00,0,22,2,01,1,0A B C P D E -，，，，，， 所以()2,0,2PB =-， ()2,2,2PD =--， ()2,2,0BC =-， 设
[]()0,1PM
PD
λλ=∈，则()2,2,2PM λλλ=--， 所以()2,2,2M λλλ--， ()12,12,22ME λλλ=+--，易得平面ABCD 的法向量()0,0,1m =．
设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =，由0n BC ⋅=， 0n PB ⋅=，
得220{220
x y x z -+=-=
令1x =， 得()1,1,1n =． 因为直线ME 与平面PBC 所成的角和此直线与平面ABCD 所成的角相等， 所
以cos ,cos ,ME m ME n =，
即
ME
m ME n ME m
ME n
⋅⋅=
⋅⋅，所以
22λ-， 解得32λ=
，或32
λ+=（舍）． 综上所得： PM PD =
点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
21．已知椭圆∑： 22
221x y a b
+=（0a b >>）的焦距为4
，且经过点(P ．
（Ⅰ）求椭圆∑的方程；
（Ⅱ）A 、B 是椭圆∑上两点，线段AB 的垂直平分线l 经过()0,1M ，求OAB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）．
【答案】(Ⅰ) 22184
x y += ；(Ⅱ)
【解析】【试题分析】（Ⅰ）由题设条件先求出左、右焦点坐标()12,0F -，
()
22,0F ，再借
助
椭圆
定
义求得
122a PF PF =+=
=，进而求得椭圆
方程；（Ⅱ）先建立直线AB 的方程为y
kx m =+，再与椭圆方程联立，借助
坐标之间的关系计算12AB x =-=出， O
到直线AB 的距离d =
， OAB ∆可得的
面积函数
1
2
S AB d =
⨯⨯=，最后借助AM BM =，从而求得
()
2210k k m ++=，进而将面积函数化为
：
若
k =
，则
S
=≤，等号当且仅当m =时成立；若0k ≠，则
2210
k m ++=
， S =
≤等号当且仅当2m =-，
2
k =±
时成立，最后求得OAB ∆面积的最大值为
解析：（Ⅰ）依题意， 24c =，椭圆∑的焦点为()12,0F -， ()22,0F
122a PF PF =+=
=
所以2
2
2
4b a c =-=，椭圆∑的方程为22
184
x y +
= （Ⅱ）根据椭圆的对称性，直线AB 与x 轴不垂直，设直线AB ： y kx m =+
由22
1
{ 84
x y y kx m
+==+得， ()222214280k x kmx m +++-= 设()11,A x y ， ()22,B x y ，则122421km
x x k +=-+， 2122
2821
m x x k -⋅=+
12AB x =-=， O 到直线AB 的距
离d =
OAB ∆的面积
1
2S AB d =⨯⨯=依题意， AM BM =， ()()2
2
22112211x y x y +-=+-，
()()()()1212121220x x x x y y y y -++-+-=
()()12121212
220y y x x k x x m x x -⎡⎤++
++-=⎣⎦-， ()()()2
121220k x x k m +++-=，代入整理得， ()2210k k m ++=
若0k
=，则
S
=≤m =时成立 若0k ≠，则2210k m ++=
，
S =等号当且仅当2m =
-，
2
k =±
时成立。

综上所述，
OAB ∆面积的最大值为点睛：椭圆是典型的圆锥曲线之一，也高考重点考查是重要知识点和考点。

这类问题的设置旨在考查椭圆的标准方程和几何性质。

解答本题的第一问时，由题设条件先求出左、右焦点坐标()12,0F -， ()22,0F ，再借助椭圆定义求得
122a PF PF =+=
=，进而求
得椭圆方程22
184
x y +
=；求解本题的第二问时，先建立直线AB 的方程为y kx m =+，再与椭圆方程联立，借助坐标之
间的关系计
算12AB x =-=出， O 到
直线AB 的距离d =
OAB
∆可得的面积函数1
2S AB d =⨯⨯=
最后依据AM BM =，从而求得
()
2210k k m ++=，进而运用分类思想将面积函数化为：若0k =，则
S =≤，等号当
且仅当m =时成立；若0k ≠，则2210k m ++=，
S =≤等号当且仅当2m =-
， 2
k =±时成立，最后求得
OAB ∆面积的最大值为 22．已知函数()2ln ,f x x ax x a R =++∈.
(Ⅰ)当1a =时，求函数()f x 的图象在点(1， ()1f )处的切线方程； (Ⅱ)讨论函数()f x 的单调区间；
(Ⅲ)已知0a <，对于函数()f x 图象上任意不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，其中21x x >，直线AB 的斜率为k ，记(),0N u ，若()12,AB AN λλ=≤≤求证
().f u k '<
【答案】(Ⅰ) 420x y --= ；(Ⅱ)答案见解析；(Ⅲ)证明见解析. 【解析】【试题分析】（Ⅰ）由题设条件先求出函数()2ln f x x x x =++导数，再借助导数的几何意义求出切线的斜率
()14f '=，运用直线的点斜式求出切线的方程；（Ⅱ）先求函数
()2
ln ,f x x ax x a R =++∈的导数()221
ax x f x x
'++=
，再依据实数a 的取值范围进行分类求出其单调区间；（Ⅲ）分别求出k=
22222111
21
ln ln x ax x x ax x x x ++----
()211221ln ln 1x x a x x x x -=+++-和()()()21211'211x x f u a x x λλ
λλ
+-=+++-，
将问题转化为证明()()()()
212121
ln ln 01x x f u k x x x x λλ-<--<+-'，即证：，然后设
2
1
1x t x =
>再构造函数()()1ln 1t g t t t λλ-=
-+-，最后借助导数知识推断函数()g t 在()1,+∞内单调递减，进而推得()()10g t g <=，从而证得()f u k '<：
解析：(Ⅰ)当1a =时, ()2ln f x x x x =++
()1
'21f x x x
∴=
++ ()'14f ∴= 又
()21ln1112f =++=
∴函数()f x 的图象在点(1， ()1f )处的切线方程为: ()241y x -=-,
即420x y --=
(Ⅱ) ()f x 的定义域为()0,+∞
()2121
'21ax x f x ax x x
++=++=
当0a ≥时， ()'0f x >在()0,+∞上恒成立， ()f x 在定义域内单调递增； 当0a <时，令()'0,f x =解得，
x =
0,x x >∴=
则x ⎛∈ ⎝⎭时， ()'0f x >， ()f x 单调递增；
x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭
时， ()'0f x <， ()f x 单调递减； 综上， 0a ≥时， ()f x 的单调递增区间为()0,+∞；
0a <时， ()f x
的单调递增区间为⎛ ⎝⎭， ()f x
的单调递增区间为⎫
+∞⎪⎪⎝⎭
（Ⅲ）证明： 2221222111
2121ln ln y y x ax x x ax x k x x x x -++---==
-- ()21
1221
ln ln 1x x a x x x x -=
+++-
()()()()1222,0,,,,,12N u A x y B x y AB AN λλ=≤≤
()()21
2111,x x x x u x u λλλ
+-∴-=-∴=
，
又()1'21f x ax x =++， ()()()21211'211x x f u a x x λλ
λλ
+-∴=+++-
()()()()21212121ln ln '21x x a f u k x x x x x x λ
λλλ
-∴-=
-+--+--
()()21210,,12,20a
a x x x x λλλ
≤≤∴
--<
要证： ().f u k '<，只需证
()212121
ln ln 01x x x x x x λ
λ--<+--
即证：
()()()212121
ln ln 01x x x x x x λλ---<+-，设211x
t x =>
令()()
1ln ,1
t g t t t λλ-=
-+-则()()
()
()
2
222
221',1t t g t t t
λλλλ-+-+--=
+-
令()()()2
22221,1,12h t t t t λλλλ=-+-+-->≤≤
对称轴()2
11
12
t λ-+=
≤.
()()10,h t h <= ()'0g t ∴<，故()g t 在()1,+∞内单调递减，则()()10g t g <=； 故()f u k '<.
点睛：本题以含参数的函数解析式为条件，旨在考查导数在研究函数的单调
性、极值（最值）等方面的综合运用。

求解本题的第一问时，依据题设条件先求出函数()2ln f x x x x =++导数，再借助导数的几何意义求出切线的斜率()14420f x y =--='，最后运用直线的点斜式求出切线的方程；
解答第二问时，先求函数()2
ln ,f x x ax x a R =++∈的导数()221ax x f x x
'++=，再依据实数a 的取值范围进行分类求出0a ≥：当时， ()
f x 的单调递增区间为
()0,+∞； 当0a <时， ()f x 的单调递增区间为⎛
⎝⎭， ()f x 的单调递增区间为⎫
+∞⎪⎪⎝⎭
；解答第三问时，先分别求出斜率
k=
()2222211121
122121
ln ln ln ln 1
x ax x x ax x x x a x x x x x x ++----=+++--和
()()()21211'211x x f u a x x λλ
λλ
+-=+++-，从而将问题转化为证明
()()()()
212121
ln ln 01x x f u k x x x x λλ-<--<+-'，即证：，
然后设211x
t x =>再构造函数()()
1ln 1
t g t t t λλ-=
-+-，最后借助导数知识推断函数()g t 在()1,+∞内单调递减，
进而推得()()10g t g <=，从而证得()f u k '<使得问题获证。