广西柳州高级中学2016届高三4月高考热身模拟演练数学(文)试题 含答案

文科数学
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分。

在每小题
给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.设i 为虚数单位，则复数3i -的虚部是( ） A ．3 B ．i - C ．1 D ．—1
2.记集合{|20}A x x =+>，{|sin ,}B y y x x R ==∈,则A B =（ )
A ．(2,)-+∞
B ．[1,1]-
C ．[1,1][2,)-+∞
D ．(2,1]-
3.某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不
可能是（ ）
A ．圆柱
B ．圆锥
C ．棱锥
D ．棱柱 4。

已知||3a =
，||2b =,()0a b a -•=，则向量a 与b 的夹角为（
）
A ．
30 B ．60 C ．120 D ．150
5.已知等比数列{}n
a 满足2124a
a +=,235a a =，则该数列前20项的和为
（ ） A ．10
2 B ．10
2
1- C ．20
2
1- D ．20
2
6。

已知定义在R 上的函数()f x 满足(1)()f x f x +=-,且1,10
()1,01x f x x -<≤⎧=⎨-<≤⎩
，则下
列函数值为1的是（ )
A ．(2.5)f
B ．((2.5))f f
C ．((1.5))f f
D ．(2)f 7。

函数1sin()2
3
y x π=+，[2,2]x ππ∈-的单调递增区间是（ ）
A ．5[2,]3
ππ-- B ．5[2,]3
ππ--和[,2]3
ππ C ．5[,]3
3
ππ- D ．[,2]3
ππ
8. 平面直角坐标系xOy 中，动点P 到圆2
2(2)1x y -+=上的点的最小距离与
其到直线1x =-的距离相等，则P 点的轨迹方程是（ ）
A ．2
8y
x =
B ．2
8x
y = C ．2
4y
x = D ．2
4x
y =
9。

非负实数,x y 满足ln(1)0x y +-≤，则关于x y -的最大值和最小值分别为（ ）
A ．2和1
B ．2和—1
C ．1和-1
D ．2和-2
10.如果执行如图所示的程序框图,则输出的数S 不可能是（ ） A ．0.7 B ．0.75 C ．0.8 D ．0。

9
11.已知球的直径4SC =，,A B 是该球球面上的两点，3AB =
30
ASC BSC ∠=∠=,则棱锥S ABC -的体积为（ ）
A ．33
B ．23
C 3
D ．1
12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()(1)x
f x e x =+，给
出下列命题：
①当0x >时，()(1)x
f x e x =-；
②函数()f x 有2个零点; ③()0f x >的解集为(1,0)(1,)-+∞；
④1
2
,x x
R ∀∈,都有12|()()|2f x f x -<。

其中正确命题的个数是（ ）
A ． 1
B ． 2
C ． 3
D ． 4
第Ⅱ卷
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13。

某小组9个同学的数学成绩的茎叶图如图,则还小组同学数学成绩的众数是 。

14.记等差数列{}n
a 的前n 项和为n
S ，若3
32S
a =，515S =，则2016a = 。

15. ABC ∆的周长等于2(sin sin sin )A B C ++,则其外接圆半径等
于 .
16.已知12(,0),(,0)F c F c -为椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的两个焦点,点P 在椭圆上,且
12PF F ∆的面积为
2
22
,则12cos F PF ∠= 。

三、解答题 (解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分)
如图，OPQ 是半径为2，圆心角为3
π的扇形，
C 是扇形弧上的一动点. 记COP θ
∠=，四边形OPCQ 的面积为S .
（1）找出S 与θ的函数关系；
(2）试探求当θ取何值时,S 最大，并求出这个最大值。

18。

(本小题满分12分）
空气质量指数(Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；300
>为严重污染．一环保人士记录去年某地某月10天的AQI的茎叶图如图．
（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（100
AQI≤）的天数；（按这个月总共30天计算）
(2）若从样本中的空气质量不佳（100
AQI>）的这些天中，随机地抽取两天深入分析各种污染指标，求该两天的空气质量等级恰好不同的概率.
19. （本小题满分12分）
如图,矩形BDEF垂直于正方形ABCD，GC垂直于平面ABCD，且22
===.
AB DE CG
（1）求三棱锥A FGC
-的体积；
（2）求证：面GEF ⊥面AEF .
20。

（本小题满分12分）
已知椭圆22
122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32
，(2,1)P -是1C 上一点。

（1)求椭圆1
C 的方程；
(2)设,,A B Q 是P 分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，平行于AB 的直线l 交1
C 于异于,P Q 的两点,C
D ，点C 关于原点的对称点为
E ，证明：
直线,PD PE 与y 轴围成的三角形是等腰三角形。

21。

(本小题满分12分） 已知函数2
()a
f x x
x
=+
（a 为实常数）。

（1）若()f x 在(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；
（2）判断是否存在直线l 与()f x 的图象有两个不同的切点，并证明你的结论.
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题记分。

22。

（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，,C D 是以AB 为直径的半圆上两点，且弧AD =弧CD 。

（1)若//CD AB ，证明：直线AC 平分DAB ∠; (2）作DE AB ⊥交AC 于E ，证明:2
CD
AE AC =•。

23。

(本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1
C 的极坐标方程为2
4cos 30ρ
ρθ-+=，[0,2)θπ∈.
（1）求1
C 的直角坐标方程;
（2）曲线2C 的参数方程为cos 6
sin
6x t y t ππ⎧
=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
（t 为参数）,求1C 与2C 的公共点的极坐标。

24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设,,αβγ均为实数.
（1)证明：|cos()||cos ||sin |αβαβ+≤+；|sin()||cos ||cos |αβαβ+≤+; （2）若0αβγ++=，证明：|cos ||cos ||cos |1αβγ++≥.
参考答案
DABAC BCADA CB 13. 101 14。

2016 15.1 16.
1
3
17。

解：（1）11
sin sin 22
POC
QOC S S
S OP OC POC OQ OC QOC ∆∆=+=••∠+••∠，
2sin 2sin()((0,))33
π
π
θθθ=+-∈；
(2）由（1)知,2sin 2sin()3
S πθθ=+-
2sin sin θθθ=-
sin θθ=
12(sin )22θθ=+
2sin()3πθ=+((0,))3
π
θ∈
因为(0,)3
πθ∈，所以2(,)3
3
3
πππθ+∈，
故当且仅当3
2
π
π
θ+=
，即6
πθ=时,S 最大,且最大值为2.
（2）该样本中轻度污染共4天，分别记为1
2
3
4
,,,a a a a ；重度污染1天，
记为b ；重度污染1天,记为c .
从中随机抽取两天的所有可能结果表示为:1
2
1
3
1
4
(,),(,),(,)a a a a a a ，
112324(,),(,),(,),(,)a b a c a a a a ，
22343(,),(,),(,),(,)a b a c a a a b ，3(,)a c ，44(,),(,),(,)a b a c b c 共
15个.
其中空气质量等级恰好不同的结果有
11223344(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a c a b a c a b a c a b a c b c 共
9个。

所以该两天的空气质量等级恰好不同的概率为93
155
=。

19．（1）因为平面BDEF ⊥平面ABCD ， 平面BDEF 平面ABCD BD =，FB BD ⊥， 所以FB ⊥平面ABCD 。

又因为CG ⊥平面ABCD ，故//CG FB .
1
12
FGC BGC S S BC GC ∆∆==
⨯=. 因为AB FB ⊥，AB BC ⊥，
所以AB 即三棱锥A FGC -的高，
因此三棱锥A FGC -的体积12123
3
V =⨯⨯=.
(2）如图,设EF 的中点为M ，连结,,AM GM AG 。

在Rt ACG ∆中可求得3AG =；
在直角梯形,FBCG EDCG 中可求得5FG EG ==
；
在Rt ABF ∆，Rt ADE ∆中可求得22AF AE ==； 从而在等腰AEF ∆，等腰GEF ∆中分别求得6AM =，3GM =，
此时，在AMG ∆中有2
22AM GM AG +=，
所以AM GM ⊥，
因为M 是等腰AEF ∆底边中点，所以AM EF ⊥， 所以AM ⊥平面GEF ， 因此面GEF ⊥面AEF 。

20．（1）因为1
C 3
224a b =， 从而1C 的方程为：22
2214x y b b
+=.
代入(2,1)P -，解得：2
2b
=，
因此2
8a
=。

所以椭圆1C 的方程为：22
182
x y +=.
（2）由题设知,A B 的坐标分别为(2,1),(2,1)--. 因此直线l 的斜率为12。

设直线l 的方程为：12
y x t =+.
由2212182y x t x y ⎧
=+⎪⎪
⎨⎪+=⎪⎩得:
222240x tx t ++-=，
当0∆>时,不妨设1
1
2
2
(,),(,)C x y D x y ，
于是1
2
2x x
t +=-，21224x x t =-，
分别设直线,PD PE 的斜率为1
2
,k k ， 则21212112212111(1)(2)(2)(1)
22(2)(2)
y y y x x y k
k x x x x ------+++=
+=
+-++-， 则要证直线,PD PE 与y 轴围成的三角形是等腰三角形， 只需证2
121(1)(2)(2)(1)0y x x y ---++=，
而2
12121122112(1)(2)(2)(1)2()()4y
x x y y y x y x y x x ---++=--++--
21121212()4x x x x t x x x x =---++-- 1212()4x x t x x =--+-
222424t t =-++- 0=
所以直线,PD PE 与y 轴围成的三角形是等腰三角形. 21．解：(1）
3'
22
2()2a x a
f x x x x
-=-=, 因为()f x 在(0,)+∞上单调递增，
所以3
20x
a -≥即32a x ≤在(0,)+∞恒成立，
而3
2y x =在(0,)+∞上单调递增，故3
2x 的值域为(0,)+∞,
所以0a ≤，即a 的取值范围为(,0]-∞; （2）不存在这样的直线l .
证明：假设存在这样的直线l ，设两切点分别为1
1
(,())x f x ，2
2
(,())x f x ，其
中1
2x
x ≠.
依题意有'
'211221()()
()()f x f x f
x f x x x -==
-,
由'
'
1
2
()()f x f x =,得1
22
212
22a
a
x x x x -=-
， 即2
1211
2
22
12
()()
2()a x
x x x x x x x -+-=，显然120x x +≠，120x x -≠， 故22
12
12
2x x a x x =-
+；
而2221'
2
1
21112112221
211121
()()()22a a
x x f x f x x x a a a
f
x x x x x x x x x x x x x +----=
-+=+--+--
2
122
211212
22x x x x x x x x x =-+-
++ 22112
()0x x x x -=-≠+
即'
'211221
()()
()()f x f x f
x f x x x -=≠
-，
故不存在直线l 与()f x 的图象有两个不同的切点. 22．解:(1）由题设//CD AB 可知，DCA BAC ∠=∠, 因为弧AD =弧DC ，所以DAC DCA ∠=∠， 从而DAC BAC ∠=∠，因此，AC 平分DAB ∠. （2）由DE AB ⊥知，90ADE DAB ∠+∠=，
学必求其心得，业必贵于专精
因为AB 为直径,所以90DBA DAB ∠+∠=， 从而ADE ABD ∠=∠，又因为ABD DCA ∠=∠， 所以ADE ACD ∠=∠，
因此ADE ∆∽ACD ∆，
所以2AD
AE AC =•，而AD DC =， 所以2
CD AE AC =•. 23．（1)将222cos x y x
ρρθ⎧=+⎨=⎩，代入24cos 30ρρθ-+=，得：22(2)1x y -+=. （2)由题设可知，2C 是过坐标原点,倾斜角为6π的直线， 因此2C 的极坐标方程为6πθ=或76
πθ=,0ρ>， 将6πθ=代入1C
:230ρ-+=,
解得：ρ=
同理,将76
πθ=代入1C 得
:ρ= 故1C ，2C
公共点的极坐标为)6π
. 24．(1)|cos()||cos cos sin sin ||cos cos ||sin sin |αβαβαβαβαβ+=-≤+ |cos ||sin |αβ≤+
|sin()||sin cos cos sin ||sin cos ||cos sin |αβαβαβαβαβ+=+≤+ |cos ||cos |αβ≤+.
（2）由（1）知，|cos(())||cos ||sin()||cos ||cos ||cos |αβγαβγαβγ++≤++≤++, 而0αβγ++=，故|cos ||cos ||cos |1αβγ++≥。