精选高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的简单几何性质第1课时双曲线的简单几何性质高效测评新人教A

第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2 双曲线的简单几何性质 第1课时
双曲线的简单几何性质高效测评 新人教A 版选修2-1
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．双曲线的渐近线为y ＝±3
4x ，则双曲线的离心率是( )
A.5
4 B ．2 C.54或53
D.
52或153
解析： 若双曲线焦点在x 轴上，
则b a ＝3
4
， ∴e ＝
1＋b 2a
2＝1＋916＝2516＝54
. 若双曲线的焦点在y 轴上，
则a b ＝34，b a ＝43
. ∴e ＝
1＋b 2a
2＝1＋169＝
259＝53
. 答案： C
2．双曲线mx 2
＋y 2
＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于( ) A ．－14
B ．－4
C ．4
D.14
解析： ∵方程mx 2
＋y 2
＝1，表示双曲线，∴m <0. 将方程化为标准方程为y 2
－
x 2
－
1m
＝1，
则a 2＝1，b 2
＝－1m
.
∵双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，∴b ＝2a ， ∴b 2＝4a 2
，∴－1m ＝4，∴m ＝－14.
答案： A
3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )
A.x 220－y 2
5＝1 B.x 25－y 2
20＝1 C.
x 2
80－y 220
＝1 D.
x 220－y 2
80
＝1 解析： 根据双曲线标准方程中系数之间的关系求解．
∵x 2a 2－y 2b
2＝1的焦距为10，∴c ＝5＝a 2＋b 2
.① 又双曲线渐近线方程为y ＝±b a
x ，且P (2,1)在渐近线上， ∴2b
a
＝1，即a ＝2b .②
由①②解得a ＝25，b ＝5，故应选A. 答案： A
4．设双曲线x 2a 2－y 2
9
＝1(a ＞0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
解析： 双曲线x 2a 2－y 2
9
＝1的渐近线方程为3x ±ay ＝0，与已知方程比较系数得a ＝2.
答案： C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．设P 为直线y ＝b 3a x 与双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)左支的交点，F 1是左焦点，PF 1
垂直于x 轴，则双曲线的离心率e ＝________.
解析： 利用直线与双曲线的位置关系得出a ，c 的关系式，再由e ＝c
a
得出双曲线的离心率．
∵直线y ＝b 3a x 与双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1相交，
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝b 3a x ，x 2
a 2
－y 2b 2
＝1
消去y 得x ＝32a
4
，
又PF 1垂直于x 轴，∴32a 4＝c ，即e ＝c a ＝32
4
.
答案：
32
4
6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2，焦点与椭圆x 225＋y 2
9
＝1的焦点相同，那么双曲线
的焦点坐标为____________；渐近线方程为____________．
解析： 椭圆焦点为(4,0)，(－4,0)，∴c ＝4. 又e ＝c
a
＝2，∴a ＝2. ∴b 2
＝c 2
－a 2
＝12，∴b ＝2 3. ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3x . 答案： (－4,0)和(4,0) y ＝±3x 三、解答题(每小题10分，共20分)
7．如图所示，已知F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的焦点，过F 2作垂直于x 轴的
直线交双曲线于点P ，且∠PF 1F 2＝30°.求双曲线的渐近线方程．
解析： 设F 2(c,0)(c >0)，P (c ，y 0)，则c 2a 2－y 20
b 2＝1.
解得y 0＝±b 2a .∴|PF 2|＝b 2
a
.
在Rt △PF 2F 1中，∠PF 1F 2＝30°.
方法一：|F 1F 2|＝3|PF 2|，即2c ＝3b 2
a
，
将c 2
＝a 2
＋b 2
代入，解得b 2
＝2a 2
， ∴b a
＝2，
故所求双曲线的渐近线方程为y ＝±2x . 方法二：|PF 1|＝2|PF 2|.
由双曲线定义可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，得|PF 2|＝2a .
∵|PF 2|＝b 2
a
，
∴2a ＝b 2a ，即b 2＝2a 2
，∴b a
＝ 2.
故所求双曲线的渐近线方程为y ＝±2x . 8．根据以下条件，求双曲线的标准方程： (1)过P (3，－5)，离心率为2；
(2)与双曲线x 216－y 2
4
＝1有公共焦点，且过点(32，2)；
(3)过点P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫92，－1，一条渐近线与直线2x －3y ＝10平行． 解析： (1)若双曲线的焦点在x 轴上，
设双曲线方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．
∵e ＝2，∴c 2a
2＝2即a 2＝b 2
.①
又过点P (3，－5)，有：9a 2－5
b
2＝1，②
由①②得：a 2＝b 2
＝4， 双曲线方程为x 24－y 2
4＝1，
若双曲线的焦点在y 轴上，
设双曲线方程为y 2a 2－x 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)．
同理有：a 2
＝b 2
，① 5
a
2
－9
b
2＝1，②
由①②得a 2＝b 2
＝－4(不合题意，舍去)． 综上，双曲线的标准方程为x 24－y 24＝1.
(2)设双曲线方程为
x 2
16－k －y 2
4＋k
＝1， 将点(32，2)代入得k ＝4，所以双曲线方程为x 212－y 2
8＝1.
(3)方法一：①若双曲线的焦点在x 轴上，
设其方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)，
由已知得渐近线方程为y ＝±23x ，故b a ＝2
3
，
又P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫92，－1在双曲线上，
∴
814a 2－1
b
2＝1， 可解得a 2
＝18，b 2
＝8. ∴所求双曲线方程为x 218－y 2
8＝1.
②若双曲线的焦点在y 轴上，
设其方程为y 2a 2－x 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)，
由于易知其渐近线方程为y ＝±2
3
x ，
∴a b ＝23
， 又双曲线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，－1，所以1a 2－814b 2＝1， 解得a 2
＝－8，b 2
＝－18，不合题意．
综上可知，所求双曲线的标准方程为x 218－y 2
8＝1.
方法二：∵易知双曲线的渐近线方程为y ＝±2
3x ，
∴可设双曲线方程为x 29－y 2
4
＝λ(λ≠0)，
将⎝ ⎛⎭
⎪⎫92，－1代入方程，得λ＝2， 故所求方程为x 218－y 2
8
＝1.
9．(10分)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝23
3
，过点A (0，－b )和点B (a,0)
的直线与原点的距离为
3
2
，求此双曲线的方程． 解析： ∵e ＝233，∴c a ＝23
3
，
∴a 2＋b 2a 2＝43
，∴a 2＝3b 2
.①
又∵直线AB 的方程为bx －ay －ab ＝0， ∵d ＝
ab a 2＋b
2
＝32，即4a 2b 2＝3(a 2＋b 2
)．②
解由①②组成的方程组得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2
＝3，
b 2
＝1，
∴双曲线方程为x 2
3
－y 2
＝1.。