2024届安徽省阜阳市颍南中学中考数学最后一模试卷含解析

2024届安徽省阜阳市颍南中学中考数学最后一模试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．数据3、6、7、1、7、2、9的中位数和众数分别是（）
A．1和7 B．1和9 C．6和7 D．6和9
2．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔60n mile的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离为（）
A．603n mile B．602n mile C．303n mile D．302n mile
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，若CD＝2，AB＝8，则△ABD的面积是（）
A．6 B．8 C．10 D．12
4．下列计算正确的是（）
A．B．C．D．
5．世界因爱而美好，在今年我校的“献爱心”捐款活动中，九年级三班50名学生积极加献爱心捐款活动，班长将捐款情况进行了统计，并绘制成了统计图，根据图中提供的信息，捐款金额的众数和中位数分别是()
A．20、20 B．30、20 C．30、30 D．20、30
6．计算
1
11
x
x x
-
--
结果是( )
A．0 B．1 C．﹣1 D．x
7．有以下图形：平行四边形、矩形、等腰三角形、线段、菱形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A．5个B．4个C．3个D．2个
8．如图是某公园的一角，∠AOB=90°，弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，点D在弧AB上，CD∥OB，则图中休闲区（阴影部分）的面积是（）
A．
9
103
2
π
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
米2B．
9
3
2
π⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
米2C．
9
63
2
π
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
米2D．()
693
π-米2
9．如图，AB是⊙O的直径，点E为BC的中点，AB=4，∠BED=120°，则图中阴影部分的面积之和为（）
A．1 B．
3
2
C．3D．23
10．如图，若锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外（与点C在AB同侧），则∠C与∠D的大小关系为（）
A．∠C＞∠D B．∠C＜∠D C．∠C=∠D D．无法确定
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．如图，Rt△ABC的直角边BC在x轴上，直线y=2
3
x﹣
2
3
经过直角顶点B，且平分△ABC的面积，BC=3，点A
在反比例函数y=k
x
图象上，则k=_______．
12．一个扇形的圆心角为120°，弧长为2π米，则此扇形的半径是_____米．
13．若使代数式212
x x -+有意义，则x 的取值范围是_____． 14．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，给出下列说法：
①ab 0<；②方程2ax bx c 0++=的根为1x 1=-，2x 3=；③a b c 0++>；④当x 1>时，y 随x 值的增大而增大；⑤当y 0>时，1x 3-<<．其中，正确的说法有________（请写出所有正确说法的序号）．
15．如图，点E 在正方形ABCD 的外部，∠DCE=∠DEC ，连接AE 交CD 于点F ，∠CDE 的平分线交EF 于点G ，AE=2DG ．若BC=8，则AF=_____．
16．如图，将矩形ABCD 沿GH 对折，点C 落在Q 处，点D 落在E 处，EQ 与BC 相交于F ．若AD=8cm ，AB=6cm ，AE=4cm ．则△EBF 的周长是_____cm ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）如图，∠BAC 的平分线交△ABC 的外接圆于点D ，交BC 于点F ，∠ABC 的平分线交AD 于点E ．
（1）求证：DE ＝DB ：
（2）若∠BAC ＝90°，BD ＝4，求△ABC 外接圆的半径；
（3）若BD ＝6，DF ＝4，求AD 的长
18．（8分）计算：8﹣4cos45°+（12
）﹣1+|﹣2|． 19．（8分）在ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径的圆交BC 于D ，交AC 于E .过点E 的切线交OD 的延长线于F ．求证：BF 是O 的切线．
20．（8分）太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业，如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢AB 的长度相同，均为300cm ，AB 的倾斜角为
，BE=CA=50cm ，支撑角钢CD ，EF 与底座地基台面接触点分别为D ，F ，CD 垂直于地面，于点E ．两个底座地基高度相同（即点D ，F 到地面的垂直距离相同），均为30cm ，点A 到地面的垂直距离为50cm ，求支撑角钢CD 和EF 的长度各是多少cm （结果保留根号）
21．（8分）在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+的图象与y 轴交于点()B 0,1，与反比例函数m y x
= 的图象交于点()A 3,2-． ()1求反比例函数的表达式和一次函数表达式；
()2若点C是y轴上一点，且BC BA
=，直接写出点C的坐标．
22．（10分）已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE = AF．
求证：BE = DF；连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM = OA，连接EM、FM．判
断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．
23．（12分）列方程解应用题：
为宣传社会主义核心价值观，某社区居委会计划制作1200个大小相同的宣传栏．现有甲、乙两个广告公司都具备制作能力，居委会派出相关人员分别到这两个广告公司了解情况，获得如下信息：
信息一：甲公司单独制作完成这批宣传栏比乙公司单独制作完成这批宣传栏多用10天；
信息二：乙公司每天制作的数量是甲公司每天制作数量的1.2倍．
根据以上信息，求甲、乙两个广告公司每天分别能制作多少个宣传栏？
24．如图，已知反比例函数y＝k
x
的图象与一次函数y＝x+b的图象交于点A(1，4)，点B(﹣4，n)．求n和b的值；求
△OAB的面积；直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1、C
【解题分析】
如果一组数据有奇数个，那么把这组数据从小到大排列后，排在中间位置的数是这组数据的中位数；如果一组数据有偶数个，那么把这组数据从小到大排列后，排在中间位置的两个数的平均数是这组数据的中位数. 一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
【题目详解】
解：∵7出现了2次，出现的次数最多，
∴众数是7；
∵从小到大排列后是：1，2，3，6，7，7，9，排在中间的数是6，
∴中位数是6
故选C．
【题目点拨】
本题考查了中位数和众数的求法，解答本题的关键是熟练掌握中位数和众数的定义．
2、B
【解题分析】
如图，作PE⊥AB于E．
在Rt△PAE中，∵∠PAE=45°，PA=60n mile，
∴PE=AE=
×60=mile，
2
在Rt△PBE中，∵∠B=30°，
∴PB=2PE=mile．
故选B．
3、B
【解题分析】
分析：过点D 作DE ⊥AB 于E ，先求出CD 的长，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE =CD =2，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
详解：如图，过点D 作DE ⊥AB 于E ，
∵AB =8，CD =2，
∵AD 是∠BAC 的角平分线,90C ，∠=︒
∴DE =CD =2，
∴△ABD 的面积11828.22
AB DE =
⋅=⨯⨯= 故选B.
点睛：考查角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等.
4、D
【解题分析】
分析：根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法的运算法则计算即可．
解答：解：A 、x+x=2x ，选项错误；
B 、x?x=x 2，选项错误；
C 、（x 2）3=x 6，选项错误；
D 、正确．
故选D ．
5、C
【解题分析】
分析：由表提供的信息可知，一组数据的众数是这组数中出现次数最多的数，而中位数则是将这组数据从小到大（或从大到小）依次排列时，处在最中间位置的数，据此可知这组数据的众数，中位数．
详解：根据右图提供的信息，捐款金额的众数和中位数分别是30，30.
故选C.
点睛：考查众数和中位数的概念，熟记概念是解题的关键.
6、C
【解题分析】 试题解析：
11(1)11111x x x x x x x ----===-----. 故选C.
考点：分式的加减法.
7、C
【解题分析】
矩形，线段、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．
共3个既是轴对称图形又是中心对称图形．
故选C ．
8、C
【解题分析】
连接OD ，
∵弧AB 的半径OA 长是6米，C 是OA 的中点，∴OC=
12OA=12×6=1． ∵∠AOB=90°，CD ∥OB ，∴CD ⊥OA ．
在Rt △OCD 中，∵OD=6，OC=1，∴CD ===．
又∵CD sin DOC OD ∠===DOC=60°．
∴26061363602DOC
AOD S S S ππ∆⋅⋅=-=-⨯⨯=-阴影扇形（米2）． 故选C ．
9、C
【解题分析】
连接AE ，OD ，OE ．
∵AB 是直径， ∴∠AEB=90°．
又∵∠BED=120°，∴∠AED=30°．∴∠AOD=2∠AED=60°．
∵OA=OD ．∴△AOD 是等边三角形．∴∠A=60°．
又∵点E 为BC 的中点，∠AED=90°，∴AB=AC ．
∴△ABC 是等边三角形，
∴△EDC 是等边三角形，且边长是△ABC 边长的一半23
∴∠BOE=∠EOD=60°，∴BE 和弦BE 围成的部分的面积=DE 和弦DE 围成的部分的面积．
∴阴影部分的面积=EDC 1S =
23=32
∆⋅C ． 10、A
【解题分析】
直接利用圆周角定理结合三角形的外角的性质即可得.
【题目详解】
连接BE ，如图所示：
∵∠ACB=∠AEB，
∠AEB＞∠D，
∴∠C＞∠D．
故选：A．
【题目点拨】
考查了圆周角定理以及三角形的外角，正确作出辅助线是解题关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11、1
【解题分析】
分析：根据题意得出点B的坐标，根据面积平分得出点D的坐标，利用三角形相似可得点A的坐标，从而求出k的值．
详解：根据一次函数可得：点B的坐标为(1，0)，∵BD平分△ABC的面积，BC=3
∴点D的横坐标1.5，∴点D的坐标为
5
1
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，，∵DE：AB=1：1，
∴点A的坐标为(1，1)，∴k=1×1=1．
点睛：本题主要考查的是反比例函数的性质以及三角形相似的应用，属于中等难度的题型．得出点D的坐标是解决这个问题的关键．
12、1
【解题分析】
根据弧长公式l＝，可得r＝，再将数据代入计算即可．
【题目详解】
解：∵l ＝
， ∴r ＝＝＝1．
故答案为：1．
【题目点拨】
考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式：l ＝
（弧长为l ，圆心角度数为n ，圆的半径为r ）． 13、x≠﹣2
【解题分析】
直接利用分式有意义则其分母不为零，进而得出答案．
【题目详解】 ∵分式212
x x -+有意义， ∴x 的取值范围是：x+2≠0，
解得：x≠−2.
故答案是：x≠−2.
【题目点拨】
本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握分式有意义的条件.
14、①②④
【解题分析】
根据抛物线的对称轴判断①，根据抛物线与x 轴的交点坐标判断②，根据函数图象判断③④⑤．
【题目详解】
解：∵对称轴是x=-
2b a
=1， ∴ab ＜0，①正确；
∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点坐标为（-1，0）、（3，0），
∴方程x 2+bx+c=0的根为x 1=-1，x 2=3，②正确；
∵当x=1时，y ＜0，
∴a+b+c ＜0，③错误；
由图象可知，当x ＞1时，y 随x 值的增大而增大，④正确；
当y ＞0时，x ＜-1或x ＞3，⑤错误，
故答案为①②④．
【题目点拨】
本题考查的是二次函数图象与系数之间的关系，二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定．
15、46
【解题分析】
如图作DH ⊥AE 于H ，连接CG ．设DG=x ，
∵∠DCE=∠DEC ，
∴DC=DE ，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AD=DC ，∠ADF=90°，
∴DA=DE ，
∵DH ⊥AE ，
∴AH=HE=DG ，
在△GDC 与△GDE 中，
DG DG GDC GDE DC DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△GDC ≌△GDE （SAS ），
∴GC=GE ，∠DEG=∠DCG=∠DAF ，
∵∠AFD=∠CFG ，
∴∠ADF=∠CGF=90°，
∴2∠GDE+2∠DEG=90°，
∴∠GDE+∠DEG=45°，
∴∠DGH=45°，
在Rt △ADH 中，AD=8，AH=x ，2x ，
∴82=x2+（
2
2
x）2，
解得：x=8
6
3
，
∵△ADH∽△AFD，
∴AD AH AF AD
,
∴AF=
64
8
6
3
=46．
故答案为46．
16、2
【解题分析】
试题分析：BE=AB-AE=2.设AH=x，则DH=AD﹣AH=2﹣x，在Rt△AEH中，∠EAH=90°，AE=4，AH=x，EH=DH=2﹣x，∴EH2=AE2+AH2，即（2﹣x）2=42+x2，解得：x=1．∴AH=1，EH=5.∴C△AEH=12.∵∠BFE+∠BEF=90°，
∠BEF+∠AEH=90°，∴∠BFE=∠AEH．又∵∠EAH=∠FBE=90°，∴△EBF∽△HAE，∴．
∴C△EBF==C△HAE=2．
考点：1折叠问题；2勾股定理；1相似三角形.
三、解答题（共8题，共72分）
17、（1）见解析；（2）2（3）1
【解题分析】
（1）通过证明∠BED=∠DBE得到DB=DE；
（2）连接CD，如图，证明△DBC为等腰直角三角形得到22，从而得到△ABC外接圆的半径；（3）证明△DBF∽△ADB，然后利用相似比求AD的长．
【题目详解】
（1）证明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠BED=∠1+∠3=∠2+∠4=∠5+∠4=∠DBE，
∴DB=DE；
（2）解：连接CD，如图，
∵∠BAC=10°，
∴BC 为直径，
∴∠BDC=10°，
∵∠1=∠2，
∴DB=BC ，
∴△DBC 为等腰直角三角形，
∴BC=BD=4，
∴△ABC 外接圆的半径为2
； （3）解：∵∠5=∠2=∠1，∠FDB=∠BDA ，
∴△DBF ∽△ADB ， ∴=，即=，
∴AD=1．
【题目点拨】
本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
18、4
【解题分析】
分析：
代入45°角的余弦函数值，结合“负整数指数幂的意义”和“二次根式的相关运算法则”进行计算即可.
详解：
原式=2224224++=． 点睛：熟记“特殊角的三角函数值、负整数指数幂的意义：1p p
a
a -=（0a p ≠，为正整数）”是正确解答本题的关键. 19、证明见解析．
【解题分析】 连接OE ，由OB=OD 和AB=AC 可得ODB C ∠=∠，则OF ∥AC ，可得BOD A ∠=∠，由圆周角定理和等量代换可
得∠=∠EOF BOF ，由SAS 证得∆≅∆OBF OEF ，从而得到=90∠∠=︒OBF OEF ，即可证得结论．
【题目详解】
证明：如图，连接OE ，
∵AB AC =，
∴ABC C ∠=∠，
∵OB OD =，
∴ABC ODB ∠=∠，
∴ODB C ∠=∠，
∴//OF AC ，
∴BOD A ∠=∠
∵=BE BE
∴2BOE A ∠=∠，则2∠+∠=∠BOD EOD A ，
∴2∠+∠=∠BOD EOD BOD ，
∴∠=∠EOD BOD ，即∠=∠EOF BOF ，
在OBF ∆和OEF ∆中，
∵OB OE BOF EOF OF OF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()∆≅∆OBF OEF SAS ，
∴OBF OEF ∠=∠
∵FE 是O 的切线，则OE FE ⊥，
∴90OEF ∠=︒，
∴90OBF ∠=︒，则OB BF ⊥，
∴BF 是O 的切线．
【题目点拨】
本题主要考查了等腰三角形的性质、切线的性质和判定、圆周角定理和全等三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
20、29033
cm 【解题分析】
过点A 作AG CD ⊥，垂足为G ，利用三角函数求出CG ，从而求出GD ，继而求出CD ．连接FD 并延长与BA 的延长线交于点H ，利用三角函数求出CH ，由图得出EH ，再利用三角函数值求出EF .
【题目详解】
过点A 作AG CD ⊥，垂足为G ．则30CAG ∠=︒，在Rt ACG 中，
()1sin 3050252
CG AC cm =︒=⨯=, 由题意，得()GD 503020cm =-=,
∴()252045CD CG GD cm =+=+=,
连接FD 并延长与BA 的延长线交于点H ． 由题意，得30H ∠=︒．在Rt CDH 中，
()290sin 30CD CH CD cm ===︒
, ∴()300505090290EH EC CH AB BE AC CH cm =+=--+=--+=．
在Rt EFH 中，)32903tan 3029033
EF EH cm =︒=⨯=.
答：支角钢CD 的长为45cm ，EF 的长为29033
cm .
考点：三角函数的应用 21、（1）y=6x
-，y=-x+1;（2）C(0，2+1 )或C(0，2). 【解题分析】 （1）依据一次函数y kx b =+的图象与y 轴交于点(0,1)B ，与反比例函数m y x =
的图象交于点(3,2)A -，即可得到反比例函数的表达式和一次函数表达式；
（2）由(3,2)A -，(0,1)B 可得：223(12)32AB =++=，即可得到32BC =，再根据1BO =，可得321
CO =或321，即可得出点C 的坐标．
【题目详解】
（1）∵双曲线m y x =
过(3,2)A -，将(3,2)A -代入m y x
=，解得：6m =-． ∴所求反比例函数表达式为：6y x =-． ∵点(3,2)A -，点(0,1)B 在直线y kx b =+上，
∴23k b -=+，1b =，∴1k =-，∴所求一次函数表达式为1y x =-+． （2）由(3,2)A -，(0,1)B 可得：223(12)32AB =++=，∴32BC =．
又∵1BO =，∴321CO =或321，∴(0C ，321)或(0C ，132)．
【题目点拨】
本题考查了待定系数法求反比例函数、一次函数的解析式和反比例函数与一次函数的交点问题．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
22、（1）证明见解析；（2）四边形AEMF 是菱形，证明见解析.
【解题分析】
（1）求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，即证△ABE ≌△ADF ；
（2）由于四边形ABCD 是正方形，易得∠ECO=∠FCO=45°，BC=CD ；联立（1）的结论，可证得EC=CF ，根据等
腰三角形三线合一的性质可证得OC （即AM ）垂直平分EF ；已知OA=OM ，则EF 、AM 互相平分，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可判定四边形AEMF 是菱形．
【题目详解】
（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB=AD ，∠B=∠D=90°，
在Rt △ABE 和Rt △ADF 中，
∵AD AB AF AE ⎧⎨⎩
＝＝， ∴Rt △ADF ≌Rt △ABE （HL ）
∴BE=DF ；
（2）四边形AEMF 是菱形，理由为：
证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠BCA=∠DCA=45°（正方形的对角线平分一组对角），
BC=DC （正方形四条边相等），
∵BE=DF （已证），
∴BC-BE=DC-DF （等式的性质），
即CE=CF ，
在△COE 和△COF 中，
CE CF ACB ACD OC OC ⎪∠⎪⎩
∠⎧⎨＝＝＝，
∴△COE ≌△COF （SAS ），
∴OE=OF ，
又OM=OA ，
∴四边形AEMF 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∵AE=AF ，
∴平行四边形AEMF 是菱形．
23、甲广告公司每天能制作1个宣传栏，乙广告公司每天能制作2个宣传栏．
【解题分析】
设甲广告公司每天能制作x 个宣传栏，则乙广告公司每天能制作1.2x 个宣传栏，然后根据“甲公司单独制作完成这批宣传栏比乙公司单独制作完成这批宣传栏多用10天”列出方程求解即可．
【题目详解】
解：设甲广告公司每天能制作x个宣传栏，则乙广告公司每天能制作1.2x个宣传栏．
根据题意得：
解得：x=1．
经检验：x=1是原方程的解且符合实际问题的意义．
∴1.2x=1.2×1=2．
答：甲广告公司每天能制作1个宣传栏，乙广告公司每天能制作2个宣传栏．
【题目点拨】
此题考查了分式方程的应用，找出等量关系为两广告公司的工作时间的差为10天是解题的关键．
24、（1）-1；（2）5
2
；（3）x＞1或﹣4＜x＜0.
【解题分析】
（1）把A点坐标分别代入反比例函数与一次函数解析式，求出k和b的值，把B点坐标代入反比例函数解析式求出n的值即可；（2）设直线y＝x+3与y轴的交点为C，由S△AOB=S△AOC+S△BOC，根据A、B两点坐标及C点坐标，利用三角形面积公式即可得答案；（3）利用函数图像，根据A、B两点坐标即可得答案.
【题目详解】
（1）把A点（1，4）分别代入反比例函数y＝k
x
，一次函数y＝x+b，
得k＝1×4，1+b＝4，解得k＝4，b＝3，
∵点B（﹣4，n）也在反比例函数y＝4
x
的图象上，
∴n＝4
4
＝﹣1；
（2）如图，设直线y＝x+3与y轴的交点为C，∵当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝1
2
×3×1+
1
2
×3×4＝7.5，
（3）∵B（﹣4，﹣1），A（1，4），
∴根据图象可知：当x＞1或﹣4＜x＜0时，一次函数值大于反比例函数值．
【题目点拨】
本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式和反比例函数y＝k
x
中k的几何意义，这里体现了数形
结合的思想．。