空间直角坐标系 课件

空间直角坐标系Oxyz . ②相关概念：点O叫做坐标原点， x轴、y轴、z轴 叫做坐标轴，通过每__两__ 个__坐__标__轴__的平面叫做坐标平面，分别称为 xOy 平面、 yOz平面、zOx 平面. (2)右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 x轴 的正方向，食指指向 y轴 的正 方向，如果中指指向 z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.
1.空间两点间的距离公式 (1)在空间中，点P(x，y，z)到坐标原点O的距离|OP|＝__x_2＋__y_2_＋__z_2 _. (2) 在 空 间 中 ， P1(x1 ， y1 ， z1) 与 P2(x2 ， y2 ， z2) 的 距 离 |P1P2| ＝ ___x_1－__x_2__2＋___y_1－__y_2__2＋___z_1－__z_2_2__. 2.空间中的中点坐标公式 在空间直角பைடு நூலகம்标系中，若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段AB的中 点坐标是__x_1＋_2_x_2_，__y_1＋_2_y_2_，__z_1＋_2_z_2___.
(2)求AC边上中线的长度. 解 由中点坐标公式得，AC 的中点坐标为2，3，72. ∴AC 边上中线的长度为 2－22＋3－32＋4－722＝12.
反思与感悟 求空间两点间的距离的方法 求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的 关键在于建立合适的坐标系，确定两点的坐标.确定点的坐标的方法视具 体题目而定.一般来说，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特 征，结合平面直角坐标系的知识确定.
跟踪训练3 已知三点A(－1，0，1)，B(2，4，3)，C(5，8，5)，则 A.三点构成等腰三角形 B.三点构成直角三角形 C.三点构成等腰直角三角形
√D.三点构不成三角形
解析 由|AB|＝ 29，|BC|＝ 29，|AC|＝ 116，|AB|＋|BC|＝|AC|.故选 D.
命题角度2 空间两点间距离公式的应用 35
空间直角坐标系
知识点一 空间直角坐标系 思考 空间直角坐标系需要几个坐标轴，它们之间有什么关系？ 答案 空间直角坐标系需要三个坐标轴，它们之间两两相互垂直.
梳理 (1)空间直角坐标系及相关概念 ①空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直， 且有相同单位长度的数轴： x轴、y轴、z轴 ，这时我们说建立了一个
2
2，0，D－5
2
2，－5
2
2，0.
类型二 空间中点的对称问题 例2 在空间直角坐标系中，已知点P(－2，1，4). (1)求点P关于x轴对称的点的坐标； 解 由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴，z轴的分量变 为原来的相反数，所以对称点坐标为P1(－2，－1，－4).
(2)求点P关于xOy平面对称的点的坐标； 解 由点P关于xOy平面对称后，它在x轴，y轴的分量不变，在z轴的分量 变为原来的相反数，所以对称点坐标为P2(－2，1，－4).
跟踪训练1 已知正四棱锥P－ABCD的底面边长 为5 2，侧棱长为13，建立的空间直角坐标系如图， 写出各顶点的坐标. 解 因为|PO|＝ |PB|2－|OB|2＝ 169－25＝12，
所以各顶点的坐标分别为 P(0，0，12)，
A5
2
2，－5
2
2，0，B5
2
2，5
2
2，0，
C－5
2
2，5
即2x＋z＝0，
②
由①②得zx＝＝2－，1， ∴点P的坐标为(－1，0，2).
反思与感悟 利用空间两点间的距离公式，将空间距离问题转化为二次 函数的最值问题，体现了数学上的转化思想和函数思想，此类题目的解 题方法是直接设出点的坐标，利用距离公式就可以将几何问题代数化， 分析函数即可.
跟踪训练4 已知点A(4，5，6)，B(－5，0，10)，在z轴上有一点P，使 |PA|＝|PB|，则点P的坐标为_(0_，__0_，__6_)__. 解析 设P(0，0，z)，由|PA|＝|PB|，
跟踪训练2 已知点P(2，3，－1)关于坐标平面xOy的对称点为P1，点P1 关于坐标平面yOz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的 坐标为_(_2_，__－__3_，__1_)_.
解析 点P(2，3，－1)关于坐标平面xOy的对称点P1的坐标为(2，3，1)， 点P1关于坐标平面yOz的对称点P2的坐标为(－2，3，1)，点P2关于z轴的 对称点P3的坐标是(2，－3，1).
(3)空间一点的坐标 空间一点M的坐标可以用 有序实数组(x，y，z) 来表示，_有__序__实__数__组____ _(_x_，__y_，__z)_叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作 M(x，y，z) ， 其中 x 叫做点M的横坐标， y 叫做点M的纵坐标， z 叫做点M的竖坐标.
知识点二 空间两点间的距离
得 4－02＋5－02＋6－z2＝ －5－02＋0－02＋10－z2，
解得z＝6. ∴点P的坐标为(0，0，6).
足PA⊥AB，PA⊥AC，试求点P的坐标.
解 ∵PA⊥AB，∴△PAB为直角三角形，
∴|PB|2＝|PA|2＋|AB|2，即(x＋1)2＋(z＋1)2＝x2＋1＋z2＋1＋1＋1，
即x＋z＝1，
①
又∵PA⊥AC，∴△PAC为直角三角形，
∴|PC|2＝|PA|2＋|AC|2，即(x－2)2＋1＋(z－1)2＝x2＋1＋z2＋4＋0＋1，
xOy平面上的点的竖坐标为0，即(x，y，0).
yOz平面上的点的横坐标为0，即(0，y，z).
xOz平面上的点的纵坐标为0，即(x，0，z).
4.坐标轴上的点的坐标特征
x轴上的点的纵坐标、竖坐标都为0，即(x，0，0). y轴上的点的横坐标、竖坐标都为0，即(0，y，0).
z轴上的点的横坐标、纵坐标都为0，即(0，0，z).
类型三 空间中两点间的距离问题 命题角度1 求空间两点间的距离 例3 已知△ABC的三个顶点A(1，5，2)，B(2，3，4)，C(3，1，5). (1)求△ABC中最短边的边长； 解 由空间两点间距离公式得 |AB|＝ 1－22＋5－32＋2－42＝3， |BC|＝ 2－32＋3－12＋4－52＝ 6， |AC|＝ 1－32＋5－12＋2－52＝ 29， ∴△ABC 中最短边是|BC|，其长度为 6.
[思考辨析 判断正误] 1.空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)的形式.( × )
2.空间直角坐标系中，在xOz平面内的点的坐标一定是(a，0，c)的形式.
( √) 3.关于坐标平面yOz对称的点其纵坐标、竖坐标保持不变，横坐标相反.
(√)
类型一 求空间中点的坐标
例1 如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M在线段BC1上， 且|BM|＝2|MC1|，N是线段D1M的中点，求点M，N的坐标.
例4 (1)已知点A(1－t，1－t，t)，B(2，t，t)，则|AB|的最小值为___5____.
解析 由空间中两点的距离公式，得|AB|＝ 2－1＋t2＋t－1＋t2＋t－t2 ＝ 5t2－2t＋2＝ 5t－152＋95.
当 t＝15时，|AB|取最小值，最小值为355.
(2)已知点A(0，1，0)，B(－1，0，－1)，C(2，1，1)，若点P(x，0，z)满
(3)求点P关于点M(2，－1，－4)对称的点的坐标.
解 设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点， 由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6， y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12， 所以P3的坐标为(6，－3，－12).
反思与感悟 (1)空间中点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称 问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解. (2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反” 这个结论.
反思与感悟 1.建立空间直角坐标系时，应遵循的两个原则 (1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面上. (2)充分利用几何图形的对称性. 2.求某点M的坐标的方法 作MM′垂直平面xOy，垂足M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即点M 的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为M点的竖坐 标z，于是得到M点的坐标(x，y，z). 3.坐标平面上的点的坐标特征