高考数学第一轮基础复习课件54 理

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【尝试解答】 完成这件事有 3 类方法. 第一类:有两个对应位置上的数字相同,此时有 C24=6 个 信息. 第二类:有 1 个对应位置上的数字相同,此时有 C14=4 个 信息. 第三类:有 0 个对应位置上的数字相同,此时有 1 个信息. 根据分类加法计数原理,至多有两个对应位置上的数字相 同的信息个数为 6+4+1=11 个.
注意到n∈N*,可得n=5.
从近两年的高考试题来看,分类加法计数原理和分步乘 法计数原理是考查的热点.题型为客观题,属中档题.两个计 数原理较少单独考查,一般与排列、组合的知识结合命题.
预测2013年高考,两个计数原理仍是考查的重点,同时 应特别重视分类加法计数原理的应用,它体现了分类讨论的思 想.
1.区分“分类”和“分步”的依据是什么? 【提示】 能否独立完成这件事是区分“分类”还是“分步” 的依据.
2.在解题过程中如何判定是用分类加法计数原理还是用分步乘 法计数原理?
【提示】 如果已知的每类办法中的每一种方法都能完成这件 事,应该用分类加法计数原理;如果每类办法中的每一种方法 只能完成事件的一部分,就用分步乘法计数原理.
【答案】 B
1.分类时,首先根据问题的特点能确定一个适合于它的分类 标准,然后在这个标准下进行分类;应注意完成这件事情的任 何一种方法必须属于某一类,并且分别属于不同类的两种方法 是不同的方法.
2.分类标准是运用分类计数原理的难点所在.重点在于抓住 题目中的关键词或关键元素、关键位置,如本例以有几个对应 位置上的数字相同为标准分类.
A.336种 B.120种
C.24种
D.18种
【解析】 分三步完成,第一步插入第1本书,有6种插法;第 二步,插入第2本书有7种方法;第三步插入第3本书,有8种方 法,所以不同的插法有6×7×8=336(种).
【答案】 A
4.直线方程Ax+By=0,若从1,2,3,6,7,8这六个数字中每次取两 个不同的数作为A,B的值,则表示不同直线的条数是 ________. 【解析】 先不考虑重合的直线,共有6×5=30条直线,其中 当A=1,B=2和A=3,B=6;A=2,B=1和A=6,B=3;A =1,B=3和A=2,B=6;A=3,B=1和A=6,B=2时,两 直线重合, 故不重合的直线有30-4=26(条). 【答案】 26
1.(教材改编题)在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两 位数共有( )
A.50个
B.45个
C.36个
D.35个
【解析】 根据题意,十位数上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的 情况分成8类,在每一类中满足题目要求的两位数分别有8个, 7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个.
由分类加法计数原理知,符合题意的两位数共有8+7+6+5+ 4+3+2+1=36(个).
2.分步必须满足两个条件:(1)步骤互相独立,互不干 扰.(2)步与步确保连续.
已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},若a,b, c∈M,则 (1)y=ax2+bx+c可以表示多少个不同的二次函数; (2)y=ax2+bx+c可以表示多少个图象开口向上的二次函数. 【解】 (1)a的取值有5种情况,b的取值有6种情况,c的取值 有6种情况,因此y=ax2+bx+c可以表示5×6×6=180个不同 的二次函数.
分类加法计数原理
(2012·揭阳调研)在某种信息传输过程中,用4个数字的一 个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信 息.若所用数字只有0和1,则与信息0110至多有两个对应位置 上的数字相同的信息个数为( )
A.10
B.11
C.12
D.15
【思路点拨】 分三类,有两个对应位置上的数字相同,有1 个对应位置上的数字相同或有0个对应位置上的数字相同.
(3)点P(a,b)在直线y=x上的充要条件是a=b.因此a和b必须在集 合M中取同一元素,共有6种取法,即在直线y=x上的点有6 个. 结合(1)得不在直线y=x上的点共有36-6=30(个).
1.利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程 合理分步,即分步是有先后顺序的,并且也要确定分步的标准, 分步必须满足:完成一件事的各个步骤是相互依存的,只有各 个步骤都完成了,才算完成这件事.
在1到20这20个整数中,任取两个相减,差大于 10,共有几种取法?
【解】 由题意知,被减数可以是12,13,14,15,16,17,18,19,20共 9 种 情 况 , 当 被 减 数 依 次 取 12,13 , … , 20 时 , 减 数 分 别 有 1,2,3…,9种情况.
由分类加法计数原理知,共有9+8+7+…+1=45种不同的取 法.
3.在命题思路上,以考查基础知识、基本技能为主, 同时注重创新,把几个知识点揉和到一个题目中,考查学生 的综合分析、解决问题的能力.
1.对于复杂的计数问题要掌握“先分类,再分步”,淡化 技巧,侧重分析问题和解决问题的思想积累.
2.掌握对于复杂事件的概率问题的两个处理角度,即正面 分类或研究对立事件,对于几何概型一定要注意测度的选择, 即保证基本事件无限多个且等可能性.
第二类:涂四种颜色,先涂点A,D,E有A种方法,再涂点B,C, F有3C种方法, 故共有A·3C=216(种)方法.
由分类加法计数原理,共有48+216=264(种)不同的涂法. 【答案】 B
1.给B、C、F涂色时,在每一类下又有两种情况,应切 实掌握好分类的标准,分清哪些可以同色,哪些不同色.
2.用两个计数原理解决计数问题时,关键是明确需要分 类还是分步.
(2)如果正面求解分类比较复杂,可以从反面考虑,应用 间接法求解.
1.(2012·济南模拟)某校开设 A 类选修课 3 门,B 类选修
课 4 门,一位同学从中共选 3 门.若要求两类课程中各至少选
一门,则不同的选法共有( )
A.30 种
B.35 种
C.42 种
D.48 种
【解析】 分两类,第一类:A 类选修课 1 门,B 类 选修课 2 门,不同的选法有:C13C24=18 种;第二类:A 类 选修课 2 门,B 类选修课 1 门,不同的选法有 C23C14=12 种. 根据分类加法计数原理共有 18+12=30 种不同的选法.
【尝试解答】 (1)确定平面上的点P(a,b)可分两步完成: 第一步确定a的值,共有6种确定方法; 第二步确定b的值,也有6种确定方法. 根据分步乘法计数原理,得到平面上的点共有6×6=36个. (2)确定第二象限的点,可分两步完成: 第一步确定a,由于a<0,所以有3种确定方法; 第二步确定b,由于b>0,所以有2种确定方法. 由分步乘法计数原理,得到第二象限点的个数是3×2=6.
3.条件概率,相互独立事件的概率,n次独立重复试验是 常考的一个热点,应切实理解掌握.
4.离散型随机变量的分布列,均值问题是高考应用题的一 个热点,常在解答题中出现,需要充分重视.这类问题在处理 时,弄清楚事件的含义是关键,并加强与统计知识渗透交汇训 练.
第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
分步乘法计数原理
已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)表示平面上 的点(a,b∈M),问: (1)P可表示平面上多少个不同的点? (2)P可表示平面上多少个第二象限的点? (3)P可表示多少个不在直线y=x上的点? 【思路点拨】 “确定点P”这件事需要依次确定横、纵坐标, 利用分步乘法计数原理求解.
1.纵观近两年各地高考题,涉及本章知识的有一个解答 题和1-2个小题,约占17-22分.选择题、填空题主要考查 概率、计数原理、二项式定理、条件概率等知识;解答题主 要考查离散型随机变量的分布列,均值与方差,相互独立事 件的概率,2011年高考并注重与统计知识的综合.
2.本章与实际问题联系密切,是高中数学中相对独立 的一部分,概念性强,思维方法独特,因此,本章内容既是 高中数学的重点,又是高考考查的热点.
【答案】 C
2.5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一 个小组,则不同的报名方法有( )
A.10种
B.20种
C.25种
D.32种
【解析】 分5步完成,每一步有两种不同的方法,
故不同的报名方法有25=32(种).
【答案】 D
3.书架上原来并排着5本不同的书,现要再插入3本不同的书, 那么不同的插法共有( )
(1)分类要做到“不重不漏”,分类后再分别对每一类进 行计数,最后用分类加法计数原理求和,得到总数.
(2)分步要做到“步骤完整”,只有完成了所有步骤,才 完成任务,根据分步乘法计数原理,把完成每一步的方法数相 乘,得到总数.
用n种不同颜色为下列两块广告牌着色(如图10- 1-2中①②),要求在A、B、C、D四个区域中相邻(有公共边 的)区域不用同一种颜色.
课时知能训练
(1)若n=6,为①着色时共有多少种不同的方法? (2)若为②着色时共有120种不同的方法,求n. 【解】 (1)分四步:第1步涂A有6种方法,第2步涂B有5种方法,
第3步涂C有4种方法,第4步涂D有4种方法. 根据分步乘法计数原理,共有6×5×4×4=480种方法. (2)由题意,得n(n-1)(n-2)(n-3)=120,
1.分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方 法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N =____m_+__n____种不同的方法.
2.分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2 步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=__m__×__n__种不 同的方法.
线段的两个端点涂不同颜色,则不同的涂色方法共有( )
A.288种
B.264种
C.240种
D.168种

【思路点拨】 解答本题应注意两点:(1)每一个点都有可以 和它同色的两个点.(2)涂色的顺序不同影响解题的难度,可先 涂A、D、E,再分类涂B、F、C.
【尝试解答】 分两类:第一类,涂三种颜色,先涂点A,D, E有A种方法,再涂点B,C,F有2种方法,故有A×2=48(种) 方法;
法二 因为四位数的每个数位上都有两种可能性,其中 四个数字全是2或3的情况不合题意.
所以适合题意的四位数有24-2=14(个). 【答案】 14
易错提示:(1)不能选择合理的分类标准,造成重复或遗 漏.
(2)“2、3至少都出现一次”理解出现偏差,导致计算结 果错误.
防范措施:(1)在处理具体问题时,首先弄清楚“分类” 还是“分步”,其次要清楚“分类”或“分步”的标准是什 么.避免计数重复或遗漏.
【答案】 A
2.(2012·东莞调研)如图10-1-3所示,在A、B间有四个焊接点, 若焊接点脱落,则可能导致电路不通,今发现A、B之间线路 不通,则焊接点脱落的不同情况有________种.
【解析】 四个焊点共有24种情况,其中使线路通的情况有: 1、4都通,2和3至少有一个通时线路才通共有3种. 故不通的情况有24-3=13(种). 【答案】 13
思想方法之十六 用“正难则反”的思想解决计数问题
(2011·北京高考)用数字2,3组成四位数,且数字 2,3至少都出现一次,这样的四位数共有________个.(用数字 作答) 【解析】 法一 数字2,3至少都出现一次,包括以下情况: “2”出现1次,“3”出现3次,共可组成C=4(个)四位数. “2”出现2次,“3”出现2次,共可组成C=6(个)四位数. “2”出现3次,“3”出现1次,共可组成C=4(个)四位数. 综上所述,共可组成14个这样的四位数.
(2)y=ax2+bx+c的开口向上时,a的取值有2种情况,b、c的取值 均有6种情况. 因此y=ax2+bx+c可以表示2×6×6=72个图象开口向上的二 次函数.
两个计数原理的综合应用
如图10-1-1所示,用四种不同颜色给图中的A、B、C、 D、E、F六个点涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条
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