九年级数学期中复习华东师大版

九年级数学期中复习华东师大版
【同步教育信息】
一. 本周教学内容： 期中复习
教学内容：
主要是复习相似形，解直角三角形，函数的概念，二次根式化简，分式，一元二次方程，圆等章节内容。

知识与技能：
1. 掌握相似三角形的识别与特征并会运用
2. 解直角三角形的基本方法
3. 掌握有关函数问题
4. 掌握有关分式的意义和计算及分式方程的求解问题
5. 会用不同方法求解一元二次方程掌握根的判别式，利用方程求解实际问题
6. 掌握圆中有关概念，有关圆周角或圆心角的计算问题；还有切线的识别与判断及两圆位置关系的应用等
教学过程： 一. 知识点回顾
1. 相似三角形的识别方法： 两个角对应相等，两三角形相似
两边对应成比例，且夹角相等两三角形相似 三边对应成比例，两三角形相似 相似三角形的特征：
相似三角形的对边成比例，对应角相等
2. 解直角三角形的有关知识 （1）锐角A 的三角函数
A
C B
sin A A =
∠的对边斜边，cos A A =∠的邻边
斜边
tan A A A =∠∠的对边的邻边，cot A A A =∠∠的邻边
的对边
（2）熟记304560
,,的四种三角函数 （3）解直角三角形的依据（∠=C 90
）
A
b c
C a B
（i ）三边的关系a b c 2
2
2
+=
（ii ）锐角间的关系∠+∠=A B 90 （iii ）边角之间的关系sin A a
c
=
，cos A b c =，tan A a b =，cot A b a =
（4）解实际问题的关系是寻求或构造直角三角形，常规辅助线是作垂线。

3. 函数的有关知识
（1）平面直角坐标系中点的坐标特征及有关对称点的坐标 （2）一次函数：y kx b =+（k ，b 为常数，k ≠0） 当b ＝0时，一次函数y kx b =+就成为y kx k =≠()0 直线y kx b k =+≠()0中，k 和b 决定着直线的位置 （i ）k b >>⇔00,直线经过一、二、三象限 （ii ）k b ><⇔00,直线经过一、三、四象限 （iii ）k b <>⇔00,直线经过一、二、四象限 （iv ）k b <<⇔00,直线经过二、三、四象限 注意：确定一次函数解析式和自变量取值X 围是重点。

（3）反比例函数y k
x
=
（k 为常数，且k ≠0）
4. 分式的有关知识
（1）分式成立的条件是分母不为0
（2）有关整式的除法有同底数幂相除、单项式除以单项式、多项式除以多项式。

（3）零指数幂a a 0
10=≠() 负指数幂a
a p
p
-=
1
（a ≠0，p 为正整数） （4）掌握科学记数法以及分式的四则运算；通过化简求值（包括整体代入）会求分式的值 （5）分式方程注意要验根
5. 一元二次方程的有关知识
（1）方程的基本解法：直接开平方法；因式分解法；配方法；公式法，要求会用不同方法求解
（2）掌握根的意义，会将根代回方程检验，已知方程的根解决实际问题
（3）根的判别式：对于一元二次方程ax bx c a 2
00++=≠()根的判别式∆=-b ac 2
4
当∆=->b ac 2
40时，方程有两个不等实根 当∆=-=b ac 2
40时，方程有两个相等实根
当∆=-<b ac 240时，方程无实根
利用根的判别式会判断方程有无实根，会用判别式解决有关方程的问题
6. 有关圆的知识
（1）掌握确定圆心的方法
利用垂径定理：
D
C
O
A B
利用圆周角：
B
（2）圆心角、弧、弦之间的关系
在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等
（3）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧
（4）圆周角的性质
（i）半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90 （直角）
（ii）90 的圆周角所对的弦是圆的直径
（iii）在同一圆内，圆弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等
（5）三角形的外接圆，三角形的内切圆
经过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心，三角形的外心是三角形任意两边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点，它到三角形各边的距离都相等。

（6）圆的切线的判定
（i）定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线
（ii）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线
（iii）过半径外端且与半径垂直的直线是圆的切线
（7）切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径
（8）切线长：
（i）定义：圆的切线上某一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。

（ii）切线长的性质：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角。

（9）和圆有关的位置关系
（i）点和圆的位置关系（点到圆心距离为d，半径为r）
d r
<⇔点在圆内
=⇔点在圆上
d r
d r >⇔点在圆外
（ii ）直线和圆的位置关系（圆心到直线距离为d ，半径为r ） d r <⇔直线和圆相交 d r =⇔直线和圆相切 d r >⇔直线和圆相离
（iii ）圆和圆的位置关系（圆心距离为d ，两圆半径为R ，r ，R r >） d R r >+，两圆外离 d R r =+，两圆外切
R r d R r -<<+，两圆相交 d R r =-，两圆内切 d R r <-，两圆内含
【例题详解】
例1. 已知，如图，O 是直角坐标系的原点，四边形OABC 是正方形，点B 的坐标是（2，2），点D 在OC 边上，∆DOA 的面积是正方形OABC 面积的
1
4
，求： （1）求直线AD 的解析式
（2）点E 在BC 边上，如果A 、B 、E 、D 四点在同一个圆上，求点E 的坐标
y
C E B
D
O A x
解析：（1） S S DOA ABC ∆∆=
1
4
设D 点坐标（0，a ），则S a a DOA ∆=
⨯⨯=1
2
2 S OABC =4，∴=
⨯=S DOA ∆1
4
41 ∴=a 1，∴D （0，1）
设直线AD 的解析式为y kx b k =+≠()0，A （2，0）
则201121
k b b k b +==⎧⎨⎩⇒=-=⎧
⎨⎪⎩⎪
∴AD 的解析式为y x =-+1
2
1
（2）连结DE ，若A 、B 、E 、D 四点在同一个圆上 则∠=∠=EDA B 90
，即ED DA ⊥ 得到∆∆CDE OAD ~
∴
=CE OD CD
OA
OD =1，∴=CD 1 又OA =2 ∴=CE 112
∴=CE 1
2
∴E 点坐标为（1
2
，2）
例2. 某船向正东航行，在A 处望见岛C 在北偏东60 方向，前进6海里到B 处，望见岛C 在北偏东30 方向，已知岛C 周围4海里X 围内有暗礁，如果此船不改变航向，有无触礁危险？
分析：此船有无触礁危险就要看船行驶到距离岛C 最近的位置即图中E 处时，CE 的长度是否在4海里X 围内？即比较CE 与4海里的大小。

解：过点C 作CE AD ⊥于点E ，由题意结合图形，可知
∠=CAE 30 ，∠=CBE 60 ，AB ＝6海里
由∠=∠+∠CBE CAE ACB ，得∠=ACB 30
则∠=∠CAE ACB 所以BC AB ==6海里
在Rt CEB ∆中，由sin ∠=CBE CE
BC
得CE BC CBE =∠=⨯=⨯=≈>sin sin .660632
335204
所以此船不改变航向，无触礁危险。

例3. 求下列函数自变量的取值X 围 （1）y x =
-32
（2）y x x =+-1
322
（3）y x x =+-1
9
2
分析：求函数自变量的取值X 围，就是得到解析式有意义的自变量的X 围。

解：（1）由题意知320-≥x ，∴≤
x 32
∴自变量的取值X 围是不大于
3
2
的所有实数。

（2）由题意知3202
+-≠x x 解得x =-1且x ≠3
∴自变量x 的取值X 围是不等于-1和3的所有实数。

（3）分析解析式，得x x +≥-≠⎧⎨
⎩1090
2
∴≥-≠±⎧⎨⎩
x x 1
3 ∴≥-x 1且x ≠3
附练习：
已知315x y +=若用含有x 的代数式表示y ，则y =________，若用含有y 的代数式表示x ，则x =________ 答案为：153-x ；
153
-y
例5. 关于x 的方程23202x ax a +-=有一个根是x =2，求关于y 的方程y a 2
7+=的解
解：由已知，x =2是方程23202x ax a +-=的解
则2232202
⨯+⨯⨯-=a a 解得a =-2
将a =-2代入方程y a 2
7+=中
则y 2
27-=，解得y 13=，y 23=-
例 6. 已知∆ABC 的两边AB 、AC 的长是关于x 的一元二次方程x k x k k 2223320-++++=()的两个实根，第三边长为5 （1）k 为何值时，∆ABC 是以BC 为斜边的直角三角形？
（2）k 为何值时，∆ABC 是等腰三角形，并求出∆ABC 的周长。

解：（1）因为BC 为斜边，所以AB AC BC 222
+= 即()()23232252
2
k k k +-++= 解得k 15=-，k 22=
AB AC k +=+>230 ∴=-k 5（舍去） ∴=k 2
（2）若∆ABC 是等腰三角形，则有①AB ＝AC ②AB ＝BC ③AB ＝BC 三种情况进行分类讨
论
因为∆=>10，所以AB AC ≠，由①种情形不成立 所以当AB BC ==5或AC BC ==5时
255233202-++++=()k k k 解得k 13=，k 24=
当k =3时，三边长为5，5，4，周长为14 当k =4时，三边长为5，5，6，周长为16
∴当k =3或k =4时，∆ABC 为等腰三角形，周长为14或16。

例7. 某校师生参加“保护母亲河–––黄河”的植树活动，已知1998年植树344棵，1999年植树500棵，此后两年植树的棵树比前一年植树的棵树都增长一个相同的百分数，若到2001年底一共植树1999棵，求这个相同的百分数。

分析：本题属于平均增长率问题，设这个相同的百分数为x ，用x 的代数式表示出2000年，2001年这两年分别植树的棵树，即2000年植树5001()+x 棵，2001年植树
5001500150012()()()+++=+x x x x 棵，然后根据题中“到2001年底一共植树1999棵”
这句话即能列出方程
解：设这个相同的百分数为x ，依题意得
3445005001500119992+++++=()()x x
整理，得x x 230310+-=. 解这个方程得x 101=.，x 231=-.
x =-31.不合题意，应舍去 ∴==x 0110%.
答：这个相同的百分数是10％。

例8. 若230x y +=，求()()1212222
+-÷+-y x y
y x y 的值 分析：此题没有给出x ，y 的具体数值，可以用含x 的代数式表示y ，然后将所求代数式化
简后代入。

解： 230x y +=，∴=-
x y 32
()()1212222
+-÷+-y x y y x y =+-⨯
-+=
++x y x y x y
x y
x y x y 22222
2
2
()
将x y =-3
2代入上式
则原式=-+-+==()()3232134141322222
y y y y y y
例9. 已知关于x 的方程
x x m
x --=-323
有正整数解，求m 的取值X 围。

分析：首先求出x 的值，由题意x >0，再确定m 的值，但要特别注意x -≠30
解： x x m x --=-323 ∴--=x x m 23()
∴=-x m 6
原方程有解
∴-6m 不能为增根，即63-≠m ，m ≠3
又方程解为正数，∴->60m 即m <6
∴当m <6且m ≠3时，原方程有一个正数解
例10. 已知AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，切点是B ，OC 平行于弦AD ，求证：DC 是⊙O 的切线。

C
B
分析：直线DC 与⊙O 有公共点D ，连OD ，证明OD CD ⊥即可 解：连结OD ， OC AD //
∴∠=∠∠=∠=∴∠=∠∴∠=∠==3142
1243,,,, OD OA OD OB OC OC ∴∴∠=∠∆∆DOC BOC
CDO CBO
~
AB 是直径，BC 是切线
∴∠=CBO 90 ，∴∠=CDO 90 ，且点D 在⊙O 上 ∴DC 是⊙O 的切线
例11. 已知，如图，∆ABC 内接于⊙O ，过圆心O 作BC 的垂线交⊙O 于点P 、Q ，交AB 于点D ，QP 、CA 的延长线交于点E 求证：OA OD OE 2
=⨯
Q
分析：要证OA OD OE 2
=⨯，只要证∆∆OAD OED ~即可 解：连结BO 并延长交⊙O 于F ，连结AF
BF 是直径，∴∠=BAF 90 EQ BC ⊥，∴∠=EMC 90
∴∠=∠BAF EMC
又 ∠∠C F ＝（同弧所对的圆周角相等）
∴∠=∠1E
OB OA =∴∠=∠，12
∴∠=∠2E
又∠=∠AOD EOA ∴∆∆AOD EOA ~ ∴=
OA OE OD
OA
即OA OE OD 2=⨯
例12. 如图，BC 为半圆O 的直径，A 、D 为半圆O 上两点，AB =3，BC =2，求∠D
的度数。

B O C
分析：由直径找90
的圆周角 解：连结AC
BC 为⊙O 直径，∴∠=BAC 90 在Rt ABC ∆中，AB BC ==32，
由cos B AC BC =
=3
2 得∠=B 30
又因为四边形ABCD 内接于⊙O 所以∠=D 150
例13. 在∆ABC 中，⊙O 内切∆ABC 于D 、E 、F ，若AB ＝12，BC ＝10，AC ＝8，求⊙O 的半径及AD 、BE 、CF 的长。

A
B E C
分析：求⊙O 的半径，可以借助于∆ABC 的面积，即S S S S ABC AOB BOC AOC ∆∆∆∆=++ 解：如图，由∆ABC 的三边，先求BC 边上的高AD
A
B D C
令BD x =，AB ＝12，BC ＝10，AC ＝8
∴=-DC x 10
在Rt ABD ∆和Rt ACD ∆中，由勾股定理
AD AB BD AC DC 22222=-=-
即128102222
-=--x x ()
解得x =9
∴=-==AD 129633722
∴=⨯=⨯⨯=S BC AD ABC ∆121
2
1037157
S S S AOB BOC AOC ∆∆∆++ =⨯+⨯+⨯=++=++=12121
21
2
1
21210815AB r BC r AC r r AB BC AC r r
()
() S S S S ABC AOB BOC AOC ∆∆∆∆=++
∴=15157r ∴=r 7
令AD a =，则AF a =，BD BE a ==-12 CF CE a ==-8
∴=+=-+-=BC BE EC a a 12810 ∴=a 5
∴-=127a ，83-=a
即AD ＝5，BE ＝7，CF ＝3
【模拟试题】
一. 填空题
（1）一种细菌的半径是0.00004米，用科学记数法表示为
（2）已知点A （），03，点B （0，1），分别以A 、B 为圆心，以5、3为半径做圆，则
两圆的位置关系是 （3）若x-y=4xy ，则
=---+y
xy x y
xy x 2232
（4）已知如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三点，∠BOC=1400，则∠A=
（5）如图，△ABC 中，内切圆I 和边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ，若∠FDE=700，则∠A=
(6) 如图，△ABC 中，AO=AB ，以O 为圆心，OB 为半径的圆交AB 于点D ，交AO 于点E ，AD=BO ，则∠A=
二. 计算 （1）()3023224121---+⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+Sin45° （2）114122-÷⎪⎭
⎫ ⎝⎛--+x x x x
三. 解方程
（1）0152
=+-x x （必须用配方法）
（2）()()x x +=+22242 （3）01422=--y y （必须用公式法） （4）4
1624232-=--+x x x
四. 如图，要把破残的圆片复制完整，已知弧上的三点A 、B 、C
（1）试用作图方法确定弧BAC 所在的圆的圆心O
（2）设△ABC 是等腰三角形，底边BC=10cm ，腰AB=6cm ，求圆片的半径 R
五. 某商场今年一月份销售额100万元，二月份销售额下降10%，进入三月份该商场采取措施，使月销售额大幅上升，四月份的销售额达到129.6万元，求三、四月份平均每月销售额增长的百分率。

六. 若关于x 的方程()
2122++=++x x x x m 的两个实数根相等，求m 的值
七. 如图，AB 、AC 分别是⊙O 的直径和弦，D 为劣弧AC 上的一点，ED ⊥AB 于H ，交⊙O 于点E 交AC 于点F ，P 为ED 延长线上一点
（1）当△PCF 满足什么条件时，PC 与⊙O 相切？为什么？
（2）当点D 在劣弧AC 的什么位置时，才能使AD 2=DE •DF ？为什么？
八. 阅读下面的材料：
对于平面图形A ，如果存在一个圆，使图形A 上任意一点到圆心的距离不大于这个圆的半径，则称A 被这个圆覆盖。

对于平面图形A ，如果存在两个或以上的圆，使图形A 上的任意一点到其中某个圆的圆心距离都不大于这个圆的半径，则称A 被这些圆所覆盖
例如：图中的三角形被一个圆覆盖，四边形被两个圆覆盖。

回答下列问题：
（1）边长为1cm 的正方形被一个半径为r 的圆覆盖，r 的最小值是
（2）边长为1cm 的正三角形被一个半径为r 的圆覆盖，r 的最小值是
（3）长为2cm ，宽为1cm 的矩形被两个半径都为r 的圆覆盖，r 的最小值是 ，这两个圆心的距离是
九. 某省将地处A 、B 两地的两所大学合并成了一所综合性大学，为了方便A 、B 两地师生
的交往，学校准备在相距2km 的A 、B 两地之间修筑一条笔直公路（即图中的线段AB ），经测量，在A 地的北偏东600方向，B 地的西偏北450方向的C 处有一半径为0.7km 的公园，问：计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？
十. 如图，AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，∠POC=∠PCE
（1）说明PC 是⊙O 的切线
（2）若OE ：EA=1：2，PA=6，求⊙O 的半径
（3）求sin ∠PCA 的值
【试题答案】
（一）填空题
（1）4105×-米
（2）内切 （3）112
（4）110°
（5）40°
（6）36°
（二）计算
（1）-
+5422
（2）62x x +
（三）解方程
（1）x 121252
=+ x 252212
=-
（2）x 12=-
x 232
=- （3）x =
262
± （4）x =2增根 （四）
（1）
（2）作OE ⊥BC 于点E
∵△ABC 是等腰三角形，∴AE 平分BC
∵∠AEC=90°，∴△AEC 是直角三角形 由勾股定理AE =-=362511
设OA 为x ，x x 222511=+-()
x R ==181111181111
， （五）解：设增长率为x
6.129)1%)(101(1002=+-x
x x 120222==-..，（舍去）
∴增长百分率为20%
（六）解：mx mx m x x 22
2++=++ ()()m x m x m -+-+-=11202
∵方程两根相等∆=----=()()()m m m 141202
m -10≠ ∴，m m 12137==
∴m =37
（七）（1）连结OC 、CB ，AB 是直径，∵CO=BO
∠OCB=∠CBO ，∴∠ACO+∠OCB=90°
∴∠PCF=∠OCB ，∴∠PCO=90°
∵∠FHA=90°，∠CAB=∠CAB ，
∴∠AFH=∠CBA=∠OCB
∵∠AFH=∠PFC ，
∴∠PFC=∠OCB ∠PFC=∠PCF
即△PCF 为等腰三角形时，PC 与⊙O 相切，
（2）连结AE ，∠D=∠D ，若∠DAC=∠E
∴△ADF ∽△ADE
AD DE DF 2=·
∵∠DAC=∠E ，∴DC AD ⋂=⋂ ∴当D 是AC ⋂中点时，AD DE DF 2=·
（八）
（1）22（2）33（3）22
1 （九）解：∵∠CAB=30°，∠CBA=45°
设CD 为x ∴DB x AD x AC x CB x ====，，，322
∵，∴AB x x =+=232
∴，∵，，∴不会穿过x CD =-=-->31313107. （十）
（1）∵∠POC=∠PCE ，∠P=∠P
∴△PCO ∽△PEC ，∵∠CEP=90°
∴∠OCP=90°，∴PC 是⊙O 的切线。

（2）∵∠O=∠O ，∠OEC=∠OCP
∴△OCE ∽△OPC ，∴
OE OC OC OP
= 设OE x EA x ==，2 ∴
x OC OC x OC OA x =+==36
3，∵ ∴936122x x x x =+=∴ ∴OA ＝3
（3）∵∠1+∠2=90°
∠2=∠3
∴∠1+∠3=90° ∵∠4+∠3=90° ∴∠1=∠4
sin ∠4=CE
BC
∵，∴∠BC CE PCA ===262233
sin。