兰州市达标名校2020年高考四月大联考数学试卷含解析

兰州市达标名校2020年高考四月大联考数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级．某班共有36名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示．该班学生中，这两科等级均为A 的学生有5人，这两科中仅有一科等级为A 的学生，其另外一科等级为B ，则该班（ ）
A ．物理化学等级都是
B 的学生至多有12人 B ．物理化学等级都是B 的学生至少有5人
C ．这两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生至多有18人
D ．这两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生至少有1人 2．已知函数
，其中04?,?04b c ≤≤≤≤，记函数满足条件：
(2)12{(2)4
f f ≤-≤为事件A ，
则事件A 发生的概率为 A ．
1
4
B ．
58
C ．38
D ．
12
3．已知集合M ＝{y ｜y ＝，x ＞0}，N ＝{x ｜y ＝lg （2x －
）}，则M∩N 为（ ）
A ．（1，＋∞）
B ．（1，2）
C ．[2，＋∞）
D ．[1，＋∞）
4．i 为虚数单位,则32i 1i
-的虚部为（ ）
A ．i -
B ．i
C ．1-
D ．1
5．函数()2
2x
f x a x
=-
-的一个零点在区间()1,2内，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,3
B ．()1,2
C ．()0,3
D ．()0,2
6．在边长为2的菱形ABCD 中，23BD =ABCD 沿对角线AC 对折，使二面角B AC D --的余弦值为
1
3
，则所得三棱锥A BCD -的外接球的表面积为（ ）
A ．
23
π B ．2π
C ．4π
D ．6π
7．命题“(0,1),ln x x e x -∀∈>”的否定是（ ） A ．(0,1),ln x x e x -∀∈≤ B ．0
00(0,1),ln x x e
x -∃∈> C ．0
00(0,1),ln x x e
x -∃∈< D ．0
00(0,1),ln x x e
x -∃∈≤
8．公差不为零的等差数列{a n }中，a 1+a 2+a 5=13，且a 1、a 2、a 5成等比数列，则数列{a n }的公差等于( ) A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
9．对于函数()f x ，若12,x x 满足()()()1212f x f x f x x +=+，则称12,x x 为函数()f x 的一对“线性对称点”．若实数a 与b 和+a b 与c 为函数()3x
f x =的两对“线性对称点”，则c 的最大值为（ ）
A ．3log 4
B ．3log 41+
C ．
43 D ．3log 41-
10．已知复数1z i =-，z 为z 的共轭复数，则1z
z
+=（ ） A ．
32
i
+ B ．
12
i
+ C ．
132
i
- D ．
132
i
+ 11．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AD ＝DC ＝2AB ，E 为AD 的中点，若
(,)CA CE DB R λμλμ=+∈，则λ＋μ的值为（ ）
A ．
65
B ．
85
C ．2
D ．83
12．已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝3，那么原△ABC 的面积是( )
A 3
B ．2
C 3
D 3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线l 交抛物线C 于,M N 两点，
2
MF NF
b +=
，若线段MN 的垂直平分线与x 轴交点的横坐标为a ，则-a b 的值为_________. 14．已知函数()2,4,x x m
f x x x x m
<⎧=⎨+≥⎩，且p m ∀<，q m ∃>，使得()()0f p f q +=，则实数m 的取
值范围是______.
15．电影《厉害了，我的国》于2018年3月正式登陆全国院线，网友纷纷表示，看完电影热血沸腾“我为我的国家骄傲，我为我是中国人骄傲！”《厉害了，我的国》正在召唤我们每一个人，不忘初心，用奋斗书写无悔人生，小明想约甲、乙、丙、丁四位好朋友一同去看《厉害了，我的国》，并把标识为,,,A B C D 的四张电影票放在编号分别为1，2，3，4的四个不同的盒子里，让四位好朋友进行猜测： 甲说：第1个盒子里放的是B ，第3个盒子里放的是C 乙说：第2个盒子里放的是B ，第3个盒子里放的是D 丙说：第4个盒子里放的是D ，第2个盒子里放的是C 丁说：第4个盒子里放的是A ，第3个盒子里放的是C 小明说：“四位朋友你们都只说对了一半” 可以预测，第4个盒子里放的电影票为_________ 16．已知二项式
的展开式中的常数项为
，则
__________．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．为调研高中生的作文水平.在某市普通高中的某次联考中，参考的文科生与理科生人数之比为1:4，且成绩分布在[0,60]的范围内，规定分数在50以上（含50）的作文被评为“优秀作文”，按文理科用分层抽样的方法抽取400人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图，如图所示.其中,,a b c 构成以2为公比的等比数列.
（1）求,,a b c 的值；
（2）填写下面22⨯列联表，能否在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关？
文科生
理科生
合计
（3）将上述调查所得的频率视为概率，现从全市参考学生中，任意抽取2名学生，记“获得优秀作文”的学生人数为X ，求X 的分布列及数学期望.
附：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.
18
．每年的寒冷天气都会带热“御寒经济”，以交通业为例，当天气太冷时，不少人都会选择利用手机上的打车软件在网上预约出租车出行,出租车公司的订单数就会增加.下表是某出租车公司从出租车的订单数据中抽取的5天的日平均气温(单位：℃)与网上预约出租车订单数(单位：份)； （1）经数据分析，一天内平均气温C x 。

与该出租车公司网约订单数y （份）成线性相关关系，试建立y 关于x 的回归方程，并预测日平均气温为7C -︒时,该出租车公司的网约订单数；
（2）天气预报未来5天有3天日平均气温不高于5C -︒，若把这5天的预测数据当成真实的数据，根据表格数据，则从这5天中任意选取2天，求恰有1天网约订单数不低于210份的概率.
附：回归直线ˆˆˆy
bx a =+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：1
1
2
2
1
1
2
()()ˆˆˆ,()
n n
i i
i
i
i i n
n
i i
i
i x x y y x y nx y
b
a
y bx x x x
nx ====---⋅==
=---∑∑∑∑ 19．（6分）已知函数()ln f x x x x =+，()x
x g x e =
. （1）若不等式()()2
f x
g x ax ≤对[)1,x ∈+∞恒成立，求a 的最小值； （2）证明：()()1f x x g x +->.
（3）设方程()()f x g x x -=的实根为0x .令()()()00,1,
,,
f x x x x F x
g x x x ⎧-<≤⎪=⎨
>⎪⎩若存在1x ，()21,x ∈+∞，
12x x <，使得()()12F x F x =，证明：()()2012F x F x x <-.
20．（6分）如图，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，DE ⊥平面ABCD ，//CF DE ，2DE CF =，BE 与平面ABCD 所成的角为45︒.
（1）求证：平面BEF ⊥平面BDE ； （2）求二面角B-EF-D 的余弦值.
21．（6分）已知椭圆：2222:1(0)x y C a b a b +=>>的四个顶点围成的四边形的面积为151x y a b +=30
. （1）求椭圆C 的方程；
（2）已知定点(0,2)P ，是否存在过P 的直线l ，使l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且以||AB 为直径的圆过椭圆C 的左顶点？若存在，求出l 的方程：若不存在，请说明理由. 22．（8分）已知()2321f x x x =+--. （1）求不等式()2f x <的解集；
（2）若存在x R ∈，使得()32f x a >-成立，求实数a 的取值范围
23．（8分）已知椭圆()222210y x a b a b
+=>>，上、下顶点分别是A 、B ，上、下焦点分别是1F 、2F ，
焦距为2，点3,12⎛⎫
⎪⎝⎭
在椭圆上. （1）求椭圆的方程；
（2）若Q 为椭圆上异于A 、B 的动点，过A 作与x 轴平行的直线l ，直线QB 与l 交于点S ，直线2F S 与直线AQ 交于点P ，判断SPQ ∠是否为定值，说明理由.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．D
【解析】
【分析】
根据题意分别计算出物理等级为A，化学等级为B的学生人数以及物理等级为B，化学等级为A的学生人数，结合表格中的数据进行分析，可得出合适的选项.
【详解】
根据题意可知，36名学生减去5名全A和一科为A另一科为B的学生105858
-+-=人（其中物理A化学B的有5人，物理B化学A的有3人），
表格变为：
对于A选项，物理化学等级都是B的学生至多有13人，A选项错误；
对于B选项，当物理C和D，化学都是B时，或化学C和D，物理都是B时，物理、化学都是B的人数最少，至少为13724
--=（人），B选项错误；
对于C选项，在表格中，除去物理化学都是B的学生，剩下的都是一科为B且最高等级为B的学生，
因为都是B的学生最少4人，所以一科为B且最高等级为B的学生最多为1391419
++-=（人），
C选项错误；
对于D选项，物理化学都是B的最多13人，所以两科只有一科等级为B且最高等级为B的学生最少14131
-=（人），D选项正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查合情推理，考查推理能力，属于中等题.
2．D
【解析】
【分析】
【详解】
由
(2)12
{
(2)4
f
f
≤
-≤
得
4212
424
b c
b c
++≤
⎧
⎨
-+≤
⎩
，分别以,b c为横纵坐标建立如图所示平面直角坐标系，由图可知，
()1
2
P A=.
3．B 【解析】
，
，
∴．
故选． 4．C 【解析】 【分析】
利用复数的运算法则计算即可. 【详解】
()()()
()32122111111i i i i
i i i i i i i -+-===-+=----+，故虚部为1-. 故选：C. 【点睛】
本题考查复数的运算以及复数的概念，注意复数(),a bi a b R +∈的虚部为b ，不是bi ，本题为基础题，也是易错题. 5．C 【解析】 【分析】
显然函数()2
2x
f x a x
=-
-在区间()1,2内连续,由()f x 的一个零点在区间()1,2内,则()()120f f <,即可求解. 【详解】
由题,显然函数()2
2x
f x a x
=-
-在区间()1,2内连续,因为()f x 的一个零点在区间()1,2内,所以()()120f f <,即()()22410a a ----<,解得0<<3a ,
故选:C 【点睛】
本题考查零点存在性定理的应用,属于基础题. 6．D 【解析】 【分析】
取AC 中点N ，由题意得BND ∠即为二面角B AC D --的平面角，过点B 作BO DN ⊥于O ，易得点O 为
ADC 的中心，则三棱锥A BCD -的外接球球心在直线BO 上，设球心为1O ，半径为r ，列出方程
2
2
2
r r ⎫-+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭
即可得解. 【详解】
如图，由题意易知ABC 与ADC 均为正三角形，取AC 中点N ，连接BN ，DN ， 则BN AC ⊥，DN AC ⊥，∴BND ∠即为二面角B AC D --的平面角， 过点B 作BO DN ⊥于O ，则BO ⊥平面ACD ，
由BN ND ==
1cos 3BND ∠=
可得cos ON BN BND =⋅∠=，3
OD =，
OB ==， ∴1
3
ON ND =即点O 为ADC 的中心，
∴三棱锥A BCD -的外接球球心在直线BO 上，设球心为1O ，半径为r ，
∴11BO DO r ==，1OO r =-,
∴22
2r r ⎫-+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭
解得2r =， ∴三棱锥A BCD -的外接球的表面积为23
4462
S r πππ==⨯
=. 故选：D.
【点睛】
本题考查了立体图形外接球表面积的求解，考查了空间想象能力，属于中档题. 7．D 【解析】 【分析】
根据全称命题的否定是特称命题,对命题进行改写即可. 【详解】
全称命题的否定是特称命题，所以命题“(0,1)x ∀∈,ln x e x ->”的否定是：0(0,1)x ∃∈，0
0ln x e x -≤．
故选D ． 【点睛】
本题考查全称命题的否定,难度容易. 8．B 【解析】 【分析】
设数列的公差为,0d d ≠.由12513a a a ++=，125,,a a a 成等比数列，列关于1,a d 的方程组，即求公差d . 【详解】
设数列的公差为,0d d ≠，
125113,3513a a a a d ++=∴+=①.
125,,a a a 成等比数列，()()2
1114a d a a d ∴+=+②，
解①②可得2d =. 故选：B . 【点睛】
本题考查等差数列基本量的计算，属于基础题. 9．D 【解析】
【分析】
根据已知有333b c a b c a ++++=，可得1313
1
c
a b
+=+
-，只需求出3a b +的最小值，根据
333a b a b +=+，利用基本不等式，得到3a b +的最小值，即可得出结论.
【详解】
依题意知，a 与b 为函数()3x
f x =的“线性对称点”，
所以333a b a b +=+=≥， 故34a b +≥（当且仅当a b =时取等号）. 又+a b 与c 为函数()3x
f x =的“线性对称点，
所以333b c a b c a ++++=，
所以314
3131313
a b c
a b a b +++==+≤--，
从而c 的最大值为3log 41-. 故选:D. 【点睛】
本题以新定义为背景，考查指数函数的运算和图像性质、基本不等式，理解新定义含义，正确求出c 的表达式是解题的关键，属于中档题. 10．C 【解析】 【分析】
求出z ，直接由复数的代数形式的乘除运算化简复数. 【详解】
121312
z i i z i +--==+. 故选：C 【点睛】
本题考查复数的代数形式的四则运算，共轭复数，属于基础题. 11．B 【解析】 【分析】
建立平面直角坐标系，用坐标表示,,CA CE DB ，利用(,)CA CE DB R λμλμ=+∈，列出方程组求解即可.
建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，
0).
不妨设AB ＝1，则CD ＝AD ＝2，所以C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)，
(2,2),(2,1),(1,2)CA CE DB ∴=-=-= CA CE DB λμ=+
∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，
2222λμλμ-+=-⎧∴⎨+=⎩解得65
2
5λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
则85λμ+=.
故选：B 【点睛】
本题主要考查了由平面向量线性运算的结果求参数，属于中档题. 12．A 【解析】 【分析】
先根据已知求出原△ABC 的高为AO 3，再求原△ABC 的面积. 【详解】
由题图可知原△ABC 的高为AO 3 ∴S △ABC ＝12×BC×OA ＝1
2
33 A 【点睛】
本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．1 【解析】 【分析】
设()()1122,,,M x y N x y ，写出直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理求得12x x +，由抛物线定义得焦点弦长，求得b ，再写出MN 的垂直平分线方程，得a ，从而可得结论．
抛物线2
:4C y x =的焦点坐标为()1,0，直线l 的方程为1y x =-，
据214y x y x
=-⎧⎨=⎩得2610x x -+=.设()()1122,,,M x y N x y ， 则()1212121
6,4,11422
MF NF x x y y b x x ++=+=∴=
=+++=.
线段MN 垂直平分线方程为()213y x -=-⨯-，令0y =，则5x =，所以5a =， 所以1a b -=. 故答案为：1． 【点睛】
本题考查抛物线的焦点弦问题，根据抛物线的定义表示出焦点弦长是解题关键． 14．(],0-∞ 【解析】 【分析】
根据条件转化为函数()y f x =-在(),m -∞上的值域是函数()y f x =在[
),m +∞上的值域的子集；分别求值域即可得到结论. 【详解】
解：依题意，()()f q f p =-，
即函数()y f x =-在(),m -∞上的值域是函数()y f x =在[
),m +∞上的值域的子集. 因为()y f x =在[
),m +∞上的值域为[)4,-+∞（2m ≤-）或2
4,m m ⎡⎤++∞⎣⎦（2m >-）
， ()y f x =-在(),m -∞上的值域为(),m -+∞， 故2
4m m ≤-⎧⎨-≥-⎩
或2
24m m m m >-⎧⎨-≥+⎩， 解得0m ≤
故答案为：(],0-∞. 【点睛】
本题考查了分段函数的值域求参数的取值范围，属于中档题. 15．A 或D 【解析】 【分析】
分别假设每一个人一半是对的，然后分别进行验证即可． 【详解】
解：假设甲说：第1个盒子里面放的是B 是对的， 则乙说：第3个盒子里面放的是D 是对的， 丙说：第2个盒子里面放的是C 是对的， 丁说：第4个盒子里面放的是A 是对的， 由此可知第4个盒子里面放的是A ； 假设甲说：第3个盒子里面放的是C 是对的， 则丙说：第4个盒子里面放的是D 是对的， 乙说：第2个盒子里面放的是B 是对的， 丁说：第3个盒子里面放的是C 是对的， 由此可知第4个盒子里面放的是D ． 故第4个盒子里面放的电影票为D 或A ． 故答案为：A 或D 【点睛】
本题考查简单的合情推理，考查推理论证能力、分析判断能力、归纳总结能力，属于中档题． 16．2 【解析】 【分析】
在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得常数项，再根据常数项等于求得实数的值． 【详解】 二项式
的展开式中的通项公式为
，
令，求得，可得常数项为，，
故答案为：． 【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）0.005a =，0.01b =，0.02c =.（2）填表见解析；在犯错误的概率不超过0.01的情况下，不能认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关（3）详见解析 【解析】 【分析】
（1）根据频率分步直方图和,,a b c 构成以2为公比的等比数列，即可得解；
（2）由频率分步直方图算出相应的频数即可填写22⨯列联表，再用2K 的计算公式运算即可； （3）获奖的概率为20140020=，随机变量1~2,20x B ⎛⎫
⎪⎝⎭
，再根据二项分布即可求出其分布列与期望. 【详解】
解：（1）由频率分布直方图可知，10()110(0.0180.0220.025)0.35a b c ⨯++=-⨯++=， 因为,,a b c 构成以2为公比的等比数列，所以 2 4 0.035a a a ++=，解得0.005a =， 所以 2 0.01b a ==，40.02c a ==. 故0.005a =，0.01b =，0.02c =.
（2）获奖的人数为0.0051040020⨯⨯=人，
因为参考的文科生与理科生人数之比为1: 4，所以400人中文科生的数量为1
400805
⨯=，理科生的数量为40080320-=.
由表可知，获奖的文科生有6人，所以获奖的理科生有20614-=人，不获奖的文科生有80674-=人. 于是可以得到22⨯列联表如下：
2
2
400(63061474) 1.32 6.6352038080320
K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯
所以在犯错误的概率不超过0.01的情况下，不能认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关. （3）由（2）可知，获奖的概率为
201
40020
=， X 的可能取值为0，1，2，
2
02
119361(0)2020400
P X C ⎛⎫
⎛⎫
==⋅⋅=
⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭， 1
1
12
1193819(1)2020400200P X C ⎛⎫
⎛⎫
==⋅⋅==
⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭， 2
221191(2)2020400
P X C ⎛⎫⎛⎫
==⋅⋅=
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭， 分布列如下：
数学期望为()01240020040010
E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】
本题考查频率分布直方图、统计案例和离散型随机变量的分布列与期望，考查学生的阅读理解能力和计算能力，属于中档题．
18．（1）ˆ9.5165.5y x =-+，232；（2）
3
5
【解析】 【分析】
(1) 根据公式代入求解；
(2) 先列出基本事件空间Ω，再列出要求的事件，最后求概率即可. 【详解】
解：（1）由表格可求出5
5
21
1
1,156,
20,5780,85n n i i
i i i x y x y
x y x =======⋅==∑∑代入公式求出9.5b =-，
所以165.5a y bx =-=，所以ˆ9.5165.5y
x =-+ 当7x =-时，ˆ(9.5)(7)165.5232y
=-⨯-+=. 所以可预测日平均气温为7C -︒时该出租车公司的网约订单数约为232份.
（2）记这5天中气温不高于5C -︒的三天分别为,,A B C ，另外两天分别记为,D E ，则在这5天中任意选取2天有,,,,,,,,,AB AC AD AE BC BD BE CD CE DE ，共10个基本事件，其中恰有1天网约订单数不低于210份的有, , , , , AD AE BD BE CD CE ，共6个基本事件， 所以所求概率63105
P ==，即恰有1天网约订单数不低于20份的概率为3
5.
【点睛】
考查线性回归系数的求法以及古典概型求概率的方法，中档题. 19．（1）1
e
（2）证明见解析（3）证明见解析 【解析】 【分析】
（1）由题意可得，ln 1x x a e +≤，令()ln 1
x
x k x e
+=，利用导数得()k x 在[)1,+∞上单调递减，进而可得结论；
（2）不等式转化为11ln x x x e +>，令()1ln t x x x =+，()1
x h x e
=，利用导数得单调性即可得到答案； （3）由题意可得0
01
ln x x e =
，进而可将不等式转化为()()1012F x F x x <-，再利用单调性可得0
1
011122ln x x x x
x x e --<，记()0
022ln x x x x m x x x e --=-，01x x <<，再利用导数研究单调性可得()m x 在()
01,x 上单调递增，即()()00m x m x <=，即01
01
1122ln x x x x x x e --<，即可得到结论.
【详解】
（1）()()2
f x
g x ax ≥，即()2
ln x x x x x ax e +⋅
≥，化简可得ln 1x
x a e +≤. 令()ln 1x x k x e
+=，()()1
ln 1x
x x k x e -+'=，因为1x ≥，所以11x ≤，ln 11x +≥. 所以()0k x '≤，()k x 在[
)1,+∞上单调递减，()()11k x k e
≤=. 所以a 的最小值为
1e
. （2）要证()()1f x x g x +->，即()ln 10x x
x x x e
+>
>. 两边同除以x 可得11
ln x
x x e +
>. 设()1ln t x x x =+
，则()22111x t x x x x
-'=-=. 在()0,1上，()0t x '
<，所以()t x 在()0,1上单调递减.
在()1,+∞上，()0t x '>，所以()t x 在()1,+∞上单调递增，所以()()11t x t ≥=. 设()1
x h x e
=
，因为()h x 在()0,∞+上是减函数，所以()()01h x h <=. 所以()()t x h x >，即()()1f x x g x +->.
（3）证明：方程()()f x g x x -=在区间()1,+∞上的实根为0x ，即001
ln x x e
=
，要证
()()2012F x F x x <-，由()()12F x F x =可知，即要证()()1012F x F x x <-.
当01x x <<时，()ln F x x x =，()1ln 0F x x '=+>，因而()F x 在()01,x 上单调递增. 当0x x >时，()x x F x e =
，()10x
x
F x e
-'=<，因而()F x 在()0,x +∞上单调递减. 因为()101,x x ∈，所以0102x x x ->，要证()()1012F x F x x <-.
即要证01
01
1122ln x x x x x x e --<
.
记()0022ln x x
x x
m x x x e
--=-
，01x x <<. 因为001ln x x e =，所以0000ln x x x x e =，则()0
0000ln 0x x
m x x x e =-=.
()0000022212121ln 1ln x x x x x x
x x x x
m x x x e e e
---+--'=++=++-. 设()t t n t e =，()1t t
n t e
-'=，当()0,1t ∈时，()0n t '>.
()1,t ∈+∞时，()0n t '<，故()max 1
n t e
=.
且()0n t >，故()10n t e <<，因为021x x ->，所以0
02120x x x x
e e ---<<.
因此()0m x '
>，即()m x 在()01,x 上单调递增.
所以()()00m x m x <=，即01
01
1122ln x x x x x x e --<.
故()()2012F x F x x <-得证. 【点睛】
本题考查函数的单调性、最值、函数恒成立问题，考查导数的应用，转化思想，构造函数研究单调性，属于难题.
20．（1）证明见解析；（2【解析】 【分析】
（1）要证明平面BEF ⊥平面BDE ，只需在平面BEF 内找一条直线垂直平面BDE 即可；
（2）以O 为坐标原点，OA ，OB ，OG 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图空间直角坐标系，分别求出平面BEF 的法向量n ，平面CDEF 的法向量m ，算出cos ,n m <>即可. 【详解】
（1）∵DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD. ∴DE AC ⊥.
又∵底面ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥. ∵
BD DE D ⋂=，∴AC ⊥平面BDE ，
设AC ，BD 交于O ，取BE 的中点G ，连FG ，OG ，
//OG CF ，OG CF =，四边形OCFG 是平行四边形
//FG AC ，AC ⊥平面BDE
∴FG ⊥平面BDE ， 又因FG ⊂平面BEF ，
∴平面BEF ⊥平面
BDE.
（2）以O 为坐标原点，OA ，OB ，OG 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图空间直角坐标系 ∵BE 与平面ABCD 所成的角为45︒，60BAD ∠=︒
2DE BD AB ===，3OA =()0,1,0D -，()0,1,0B ，(3,0,0)C ，()0,1,2E -，(3,0,1)F .
(0,2,2)BE =-，(3,1,1)BF =--
设平面BEF 的法向量为(,,)n x y z =，220
30y z x y z -+=⎧⎪⎨--+=⎪⎩，(0,1,1)n =
(3,1,0)DC =-，(0,0,2)DE =
设平面CDEF 的法向量(,,)m x y z =
30
(1,3,0)0x y m z ⎧-+=⎪⇒=⎨
=⎪⎩
设二面角B EF D --的大小为θ.
36
cos |cos ,|22
n m θ=<>=
=. 【点睛】
本题考查线面垂直证面面垂直、面面所成角的计算，考查学生的计算能力，解决此类问题最关键是准确写出点的坐标，是一道中档题.
21．（1）22153x y +=；（2）存在，且方程为252y x =+或85
2y x =+.
【解析】 【分析】
（1）依题意列出关于a,b,c 的方程组，求得a,b,进而可得到椭圆方程；（2）联立直线和椭圆得到
()2
2
352050k x
kx +++=，要使以AB 为直径的圆过椭圆C 的左顶点()
5,0D ，则0DA DB ⋅=，
结合韦达定理可得到参数值. 【详解】
（1）直线
1x y
a b
+=的一般方程为0bx ay ab +-=.
依题意22224ab a b c ⎧=⎪
==+⎩
，解得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩C 的方程式为22
153x y +=. （2）假若存在这样的直线l ，
当斜率不存在时，以AB 为直径的圆显然不经过椭圆C 的左顶点， 所以可设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为2y kx =+.
由22
23515
y kx x y =+⎧⎨
+=⎩，得()22
352050k x kx +++=. 由(
)
2
2
40020350k k
∆=-+>
，得,k ⎛⎫∈-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
记A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ， 则1222035k x x k +=-
+，122
5
35x x k
=+， 而()()121222y y kx kx =++ ()2
121224k x x k x x =+++.
要使以AB 为直径的圆过椭圆C
的左顶点()
D ，则0DA DB ⋅=，
即(
1212y y x x + (
)(()2
1212
129k x x k x x =+++++ 0=， 所以(
)(2
22
5201293535k
k k k k
+-+++ 0=，
整理解得k =
k = 所以存在过P 的直线l ，使l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的左顶点，直线l
的方程为2y x =+
或2y =+. 【点睛】
本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用． 22．（1）(,0)-∞.
（2）2
(,2)3
-. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）通过讨论x 的范围，得到关于x 的不等式组，解出取并集即可； （Ⅱ）求出f （x ）的最大值，得到关于a 的不等式，解出即可． 试题解析：
（1）不等式()2f x <等价于()()3223212x x x ⎧<-⎪⎨⎪-++-<⎩或()()312223212x x x ⎧-≤≤⎪
⎨
⎪++-<⎩ 或()()1223212
x x x ⎧
>⎪
⎨⎪+--<⎩
，解得32x <-或302x -≤<，
所以不等式()2f x <的解集是(),0-∞； （2）
()()()23214f x x x ≤+--=，()max 4f x ∴=，
324a ∴-<，解得实数a 的取值范围是2,23
⎛⎫- ⎪⎝
⎭
．
点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．
23．（1）22143
y x +=；
（2）2SPQ π∠=，理由见解析. 【解析】 【分析】
（1）求出椭圆的上、下焦点坐标，利用椭圆的定义求得a 的值，进而可求得b 的值，由此可得出椭圆的方程；
（2）设点Q 的坐标为()()000,0x y x ≠，求出直线BQ 的方程，求出点S 的坐标，由此计算出直线AQ 和
2F S 的斜率，可计算出2AQ F S k k ⋅的值，进而可求得SPQ ∠的值，即可得出结论.
【详解】
（1）由题意可知，椭圆的上焦点为()10,1F 、()20,1F
-，
由椭圆的定义可得24a ==，可得2a =
，b ∴=
因此，所求椭圆的方程为22
143
y x +=；
（2）设点Q 的坐标为()()000,0x y x ≠，则2
200143y x +=，得2200443x y =-，
直线BQ 的斜率为002BQ y k x +=，所以，直线BQ 的方程为00
22y y x x +=-， 联立00222y y y x x =⎧⎪+⎨=-⎪⎩，解得00422x x y y ⎧=⎪+⎨⎪=⎩
，即点004,22x S y ⎛⎫ ⎪+⎝⎭， 直线AQ 的斜率为002AQ y k x -=，直线2F S 的斜率为()200003221442F S y k x x y ++==+， 所以，()()2202000220000433432231444AQ F S x y y y k k x x x x -⨯-+-⋅=⋅===-，2AQ F S ∴⊥， 因此，2SPQ π∠=
.
【点睛】 本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中定值问题的求解，考查计算能力，属于中等题.。