新北师大版八年级下分式的基本性质与练习

分式的意义和基本性质
一、分式的定义与意义
1. 定义：一般的用A, B表示两个整式，如果整式A除以整式B,可以表示成A/B 的形式，如果除式B中含有字母，那么称为分式，其中A称为分式的分子，B称为分式的分母，对于任意一个分式，分母都不能为零。

2. 意义：一般的，对分式A/B都有：
①分式有意义B M 0;
②分式无意义B=0;
③分式的值为0=A=0且B M0；
④分式的值大于0 分子分母同号；
⑤分式的值小于0 分子分母异号。

二、分式的基本性质
1. 分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分
式的值不变。

字母表示为a/b=ac/bc= (a/c ) / (b/c )
2. 约分:把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分.
3. 分式的约分步骤:(1)如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去.(2)分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去.
注:公因式的提取方法：系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数，即为它们的公因式.
4. 最简分式：一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式.约分时,一般将一个分式化为最简分式.
5. 通分:把几个异分母分式分别化为与原分式值相等的同分母分式，叫做分式的
通分.
6. 分式的通分步骤：先求出所有分式分母的最简公分母，再将所有分式的分母变为最简公分母.同时各分式按照分母所扩大的倍数，相应扩大各自的分子.
注:最简公分母的确定方法：系数取各因式系数的最小公倍数，相同字母的最咼次幕及单独字母的幕的乘积.
注:(1)约分和通分的依据都是分式的基本性质.(2)分式的约分和通分都是互逆运算过
程.
x
专项练习----分式的定义及意义
X 亠1
1•当X 时，分式 值为0；x 2x _1 分式值无意义. 2.当x ，分式 X +1有意义； 2x _5 3•当x 为何值时，下列分式的值为零： (1) 5 _1 x -1 丨 x +4
__________ 时，这个分式值有意义 ,x 当x _______ 这个分式没有意义。

(2)
25—X 2
-2
x 「6x 5
4.当x 为何值时，分式 2
x
3 —x 的值为
负.
5.分式 x 2 -3x -18 -9 x 为何值时，分式无意义 当x 为何值时，分式值为 0.
时，这个
4
6当 x 为何值时，分式忑为正; 7.当x 为何值时，分式为非负数 8.当x 有何值时，下列分式有意义 (1)
x -4 x 4
3x (
2
) x 2
2
(3)
x 2
-1
6 -x
(5)
9.当x 取何值时, F 列分式的值为 (1)
x -1
|x|-2 x 2 -4
0.
(3) 2
x 2
-2x -3
x 2 -5x -6
3 3
专项练习----分式的基本性质
1•分式的基本性质可以用字母表示成 X 2.对于分式 x 2 (1)当
时，分式的值为0 ；
(2) 时，分式的值为1 (3)当 时，分式无意义;
(4)
时，分式有意义
3. (1) (3)
3. (1)) ab
a 2b
a 1
(a 工0
c
2 -x -x 2
3 (4) a 2 3a 2 ~2~
a 6a 5 a 5 (2) 4.把分式 -3a -3 a y -)
3，对吗？为什么?
2 2 x -y —对吗？为什么? x 一 y
------ (x MQ y 工0中的分子、 x y
分母的x , y 同时扩大2倍，那么分式的值
A •扩大2倍 5.下列等式正确的是
B .缩小2倍
C .改变
D .不改变 () C . 「a b a - b =0 D . 0J^03b=X 0.2a+b 2a + b 6.不改变分式的值，把下列各式的分子和分母中各项系数都化为整数。

0.01x -0.5y 0.3x 0.04 y 2a -3b
(2)
2 2
a -8b
3
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7•不改变分式的值，使下列各分式的分子、分母中最高次项的系数都是正整数。

’ 2
1 x x
2
1 x - y
&将下列各式约分
9.将下列各式通分
强化提高题
3x -y
1.不改变分式的值，使 ———的分子与分母中各项系数都化为整数，
其结果为
x 一 y
2
.已知
(1)
3 4a 2b
1 2~ 6ab c
(2)
1
(3)—
2x -2
1 (x-1)2
(4)
1 2
2， ~2 ， (x -1) x 2 -1
(x-1)(x-2) (5)
1 (a -b)(b -c)
2 (b -c)(a -c)
—2 2x 3 — 3x 4
3x — 2 - 4x 3
(1) (1)
32a 6b 4c 2 24a 5b 6c 3
(2)
4a -4b 8a 2 -8b 2
的值?
x
3.已知—
3
3
分式的四则运算与分式的乘方
、分式的乘除法法则
分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

式子表示
a c a*c
为：，* ■
分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

式子表示
a • d
a c a d
—4- —= —•—
二为：i
把分子、分母分别乘方。

式子表示为:
、分式的乘方
、分式的加减法则
同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。

式子表示为:
异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。

式子表示为:
a . c ad ± be
一士一= -----
d bd
整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号, 看作是分母为1的分式，再通分
四、分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活, 提高解题质量。

注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对有无错误或分析出错的原因。

加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）
10 .下列公式中是最简分式的是（
)
分式的四则运算专项训练 分式的乘除法 8z 2
（-込）等于（
y
X 2 x
9.将分式-^―化简得亠，则x 应满足的条件是 ___________________ A . 6xyz B 小
2 c 3
3xy 「8z 2.（技能题）计算: 3.（技能题） ab 2 2cd 4yz 2
x 2 x -6x 9
x -3
x 2 一4
-6xyz D . 6x 2y z
4cd 2b 2 3x 3x
3a 2b 2x
8c 2d 2
4.（技能题）计算: a -2 2
a ~2
a 6a 9
-4
5. (- 3a
) b 十6ab 的结果是
A . -8a 2 旦C 2b
18a
2b 2
6. -3xy 2y 2
3x
的值等于（
2y 9x 2
D . -2x 2y 2
7•若 x 等于它的倒数, x —3 的值是（） x 2 -5x 6
&计算： (xy-x 2 )•耳=
x — y
C
A .-2
.-3 B
.-1 D
1.（技能题）
3xy 2
4z 2
x +x x+1
10 .下列公式中是最简分式的是（)
3 3
2
2 2
5a -5 C . 5a +10a+5 D
12b
27a 2 2(a —b)2 b - a
(a -1)(a 2) (a 1)(a 2)
5 （a+1） 2
的结果是（
2 2 a -1 亠 a -a ~2 a 2a 1 a 1
13.已知-!+! = =1 ，则n + m 等于‘ m n m n m n A . 1 B
.-1 C . 0 D . 2
12. （2005 •南京市）计算 ) 分式的加减法 x 3y x 2y ~2 _ ~2 2
x 「y x _y 2 2
y -x
2
a +3
a+1 ’ (2) — 1.
a -1
a -1
⑶
1 6
(4)
2
x
-x - 1
x —1
(3) 2 a 3 9 —a
a 6
3 + —
2
小
a -3a a
2xy x y x 2_y 2
x y_y_x
⑺ a -b ■
2b 2 a b
2x 6
1 6 — 2x
A . 5a 2
-1
B
a 2+2a+1
学习必备欢迎下载四则混合运算:
(x - y x + y / xy (a2 - 5a 2
1)"
a2—
4
2
a 4a 4
(3) （丄-4 xy 亠1 1 1
x2_y2,x-y x + y」
（5）Fb（X 2一丄）(6) x2 - 2x 1
-1
(1
(7) (2x -3
-1T-
2 -9
(8)
3x
x 2 亠
一
亠
x-2 x 「4。