山西省榆社中学20172018学年高一数学下学期期中试题

山西省榆社中学2017-2018学年高一数学下学期期中试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．cos （﹣120o ）=（ ）
A ．12 B.32 C ．－12 D ．－3
2 2. 下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（ ）
A. sin(2)2y x π=+
B. cos()cos()2y x x π
π=++
C. sin 2cos 2y x x =+
D. sin cos y x x =+
3.已知点A(－1，1)，B(2，y)，向量a →＝(1，2)，若AB →∥a →，则实数y 的值为(
) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8
4. 若向量(1,2),(1,1)a b ==-，则2a b +与a b -的夹角等于（ ） A. 4π
- B. 6π
C. 4π
D. 34π
5．下列各式中，值为3
2的是( )
A ．2sin15cos15°
B ．cos 215－sin 215°
C ．2sin 215°－1
D ．sin 215°＋cos 215°
6. 在△ABC 中，AB →=a →，BC →=b →，且a →.b →>0，则△ABC 的形状是（ ）
A. 锐角三角形
B.直角三角形
C. 钝角三角形
D. 不能确定
7． sin160°cos10°－ cos200°cos80°＝( )
A ．－32 B.32 C ．－12 D. 1
2
8. 已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是
A. 1
B. 4
C. 1或4
D. 2或4
9. 已知0cos 78约等于0.20，那么0sin 66约等于（ ）
A. 0.92
B. 0.85
C. 0.88
D. 0.95
10. 已知锐角α的终边上一点00(sin 40,1cos 40)P +，则锐角α＝（ ）
A. 080
B. 020
C. 070
D. 010
11．对任意向量a →，b →，下列关系式中不恒成立的是( )
A ．|a →·b →|≤|a →||b →|
B ．|a →－b →|≤||a →|－|b →||
C ．(a →＋b →)2＝|a →＋b →|2
D ．(a →＋b →)·(a →－b →)＝a →2－b →2
12. 将函数3sin(2)3y x π=+
的图象向右平移2π个单位长度，所得图像对应的函数（ ） A. 在区间7[,]1212ππ上单调递减 B. 在区间7[,]1212π
π上单调递增 C. 在区间[,]63ππ-上单调递减 D. 在区间[,]63
ππ-上单调递增 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 当22
x ππ-≤≤时，函数()sin 3f x x x =+的值域是 . 14．若1||||||=-==b a b a ，则||b a += 。

15.向量a →＝(1，2)，b →＝(－2，6)，则向量a →在向量b →方向上的投影为 。

16． o o
o o 2
cos 2sin 60cos 58sin += 。

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
平面内给定三个向量(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=
（1）求32a b c +-
（2）若()//(2)a kc b a +-，求实数k .
18.（本小题满分12分）
)sin()sin()sin()cos()cos()cos()cos()sin()(απααπαπαπ
απαπαπα+----++-=2
3222f
（1）化f （α）为最简形式.
（2）f （α）=﹣2，求sin 2α﹣sin αcos α﹣2cos 2α
19.（本小题满分12分）
已知向量a →=（cos α，sin α），b →=（cos β，sin β），|a →﹣b →|=1．
（1）求cos （α﹣β）的值；
（2）若
，且，求sin α的值．
20. （本小题满分12分）
函数2()122cos 2sin f x a a x x =---的最小值为()()g a a R ∈.
（1）求()g a ；
（2）若1()2g a =
，求a 及此时()f x 的最大值.
21．（本小题满分12分）
已知两个不共线的向量,a b 的夹角为θ，且||3,||1,a b x ==为正实数.
（1）若2a b +与4a b -垂直，求tan θ；
（2）若6πθ=
，求||xa b -的最小值及对应的x 的值，并指出此时向量a 与xa b -的位
置关系.
22. （本小题满分12分）
已知向量2(3sin ,1),(cos ,cos 1)m x n x x ωωω==+，设函数()f x m n b =⋅+.
（1）若函数()f x 的图象关于直线6x π=
对称，[0,3]ω∈，求函数()f x 的单调递增区间； （2）在（1）的条件下，当7[0,
]12
x π∈时，函数()f x 有且只有一个零点，求实数b 的取值范围.
19解：（1）∵向量 =（cos α，sin α），=（cos β，sin β），|﹣|=1，﹣=（cos α﹣cos β，sin α﹣sin β），
∴（cos α﹣cos β）2+（sin α﹣sin β）2=2﹣2（cos αcos β+sin αsin β）=2﹣2cos （α﹣β）=1，
∴cos （α﹣β）=．
（2）若，且
，∴cos β==． ∵cos （α﹣β）=，∴sin （α﹣β）=，
∴sin α=sin[（α﹣β）+β]=sin （α﹣β）cos β+cos （α﹣β）sin β=
•+•=．
20.解：（1）由22
()122cos 2sin 122cos 2(1cos )f x a a x x a a x x =---=---- 2
2
22cos 2cos (21)2(cos )2122a a x a x a x a =--+=----.这里1cos 1.x -≤≤ ①若11,2a -≤≤则当cos 2a x =时，2
min ()21;2
a f x a =--- ②若
1,2
a >当cos 1x =时，min ()14;f x a =- ③若1,2a <-则当cos 1x =-时，min () 1.f x = 因此2
1(2)()21(22)2
14(2)a a g a a a a a ⎧<-⎪⎪=-
---≤≤⎨⎪⎪->⎩ …………（6分） （2）1().2
g a = ∴①若2a >，则有114,2a -=
得18a =，矛盾； ②若22a -≤≤，则有2121,22
a a ---=即2430,1a a a ++=∴=-或3a =-（舍）. ∴1()2g a =时， 1.a =-此时211()2(cos ),22
f x x =++ 当cos 1x =时，()f x 取得最大值为5. …………（12分）
21.解：（1）由题意，得(2)(4)0a b a b +⋅-=即22280a a b b -⋅-=
223231cos 810θ-⨯⨯⨯-⨯= 故1cos ,6θ=又(0,)θπ∈，故(0,)2
πθ∈ 因此，22135sin sin 1cos 1()tan 35.6cos θθθθθ=-=-=
== ………（6分） （2）2222||()2xa b xa b x a xa b b -=-=-⋅+
22319231cos 19(),664
x x x π=-⨯⨯⨯+=-+故当3x =时，||xa b -取得最小值为1,2此时，23()931cos 0,6a xa b xa a b π⋅-=-⋅=⨯-⨯⨯= 故向量a 与xa b -垂直. …………（12分）
22.解：向量2(3sin ,1),(cos ,cos 1),m x n x x ωωω==+ 2()3cos cos 1f x m n b x x x b ωωω=⋅+=+++
31332cos 2sin(2).22262x x b x b πωωω=+++=+++ （1）函数()f x 的图象关于直线6x π
=对称，
2()662k k Z π
π
π
ωπ∴⨯+=+∈，解得31()k k Z ω=+∈.
3[0,3],1,()sin(2).62f x x b πωω∈∴=∴=+++ …………（3分） 由222()262k x k k Z π
π
π
ππ-≤+≤+∈，解得()36k x k k Z π
π
ππ-≤≤+∈.
故函数()f x 的单调递增区间为[,]().36
k k k Z ππ
ππ-+∈ …………（6分） （2）由（1）知3()sin(2).62
f x x b π=+++ 7[0,],12x π∈∴令26t x π=+，则4[,].63
t ππ∈
由()f x ＝0，得3sin(2).62x b π+
=--由题意，得3sin 2
t b =--只有一个解，即曲线sin y t =与直线32y b =--在区间4[,]63
ππ上只有一个交点.结合正弦函数的图象可知，3sin 22b π--=，或43sin sin 326b ππ≤--≤， 解得335(2,]{}22
b ∈--. …………（12分）。