2020高考数学刷题首秧第五章不等式推理与证明算法初步与复数考点测试37直接证明与间接

考点测试37 直接证明与间接证明
(高|考 )概览
(高|考 )在本考点的常考题型为解答题
分值12分
中、高等难度
考纲研读
根本方法 - -分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点
2．了解反证法的思考过程和特点
一、根底小题
1．命题 "对于任意角θ ,cos4θ－sin4θ＝cos2θ〞的证明： "cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)·(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ〞过程应用了( ) A．分析法 B．综合法
C．综合法、分析法综合使用 D．间接证明法
答案 B
解析因为证明过程是 "从左往右〞 ,即由条件⇒结论．
2．用反证法证明结论 "三角形内角至||少有一个不大于60°〞 ,应假设( )
A．三个内角至||多有一个大于60°
B．三个内角都不大于60°
C．三个内角都大于60°
D．三个内角至||多有两个大于60°
答案 C
解析 "三角形内角至||少有一个不大于60°〞即 "三个内角至||少有一个小于等于60°〞 ,其否认为 "三角形内角都大于60°〞．应选C.
3．假设a ,b ,c是不全相等的实数 ,求证：a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.
证明过程如下：
∵a ,b ,c∈R ,∴a2＋b2≥2ab ,
b2＋c2≥2bc ,c2＋a2≥2ac.
又∵a ,b ,c不全相等 ,
∴以上三式至||少有一个 "＝〞不成立．
∴将以上三式相加得2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)．
∴a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.
此证法是( )
A．分析法 B．综合法
C．分析法与综合法并用 D．反证法
答案 B
解析由条件入手证明结论成立 ,满足综合法的定义．
4．分析法又称执果索因法 ,假设用分析法证明： "设a>b>c ,且a＋b＋c＝0 ,求证b2－ac<3a〞索的因应是( )
A．a－b>0 B．a－c>0
C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0
答案 C
解析b2－ac<3a⇔b2－ac<3a2
⇔(a＋c)2－ac<3a2
⇔a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0
⇔－2a2＋ac＋c2<0
⇔2a2－ac－c2>0
⇔(a－c)(2a＋c)>0⇔(a－c)(a－b)>0.
5．假设P＝a＋a＋7 ,Q＝a＋3＋a＋4 ,a≥0 ,那么P ,Q的大小关系是( ) A．P>Q B．P＝Q
C．P<Q D．由a的取值确定
答案 C
解析令a＝0 ,那么P＝7 ,Q＝3＋ 4 ,
∴P<Q.
据此猜想a≥0时P<Q.
证明如下：
要证P<Q ,
只要证P2<Q2 ,
只要证2a＋7＋2a(a＋7)<2a＋7＋2(a＋3)(a＋4) ,
只要证a2＋7a<a2＋7a＋12 ,
只要证0<12 ,
∵0<12成立 ,∴P<Q成立．应选C.
6．两旅客坐火车外出旅游 ,希望座位连在一起 ,且有一个靠窗 ,火车上的座位如下列图 ,那么以下座位号码符合要求的应当是( )
,49 B ．答案 D
解析 由图形中座位的排序规律可知 ,被5除余1的数和能被5整除的座位号靠窗 ,由于两旅客希望座位连在一起 ,且有一个靠窗 ,分析答案中的4组座位号知 ,只有D 符合条件．
7．有6名选手参加演讲比赛 ,观众甲猜想：4号或5号选手得第|一名；观众乙猜想：3号选手不可能得第|一名；观众丙猜想：1 ,2 ,6号选手中的一位获得第|一名；观众丁猜想：4 ,5 ,6号选手都不可能获得第|一名．比赛后发现没有并列名次 ,且甲、乙、丙、丁中只有1人猜比照赛结果 ,此人是( )
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁 答案 D
解析 假设1 ,2号得第|一名 ,那么乙丙丁都对 ,假设3号得第|一名 ,那么只有丁对 ,假设4 ,5号得第|一名 ,那么甲乙都对 ,假设6号得第|一名 ,那么乙丙都对 ,因此只有丁猜对．应选D.
8．记S ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1
211－1 ,那么S 与1的大小关系是________．
答案 S <1
解析 ∵1210＋1<1210 ,1210＋2<1
210 ,… ,
1211－1＝1210＋210－1<12
10 , ∴S ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1<1210＋1210＋…＋1
210＝1.
二、 (高|考 )小题
9．(2021·山东 (高|考 ))用反证法证明命题 "设a ,b 为实数 ,那么方程x 3
＋ax ＋b ＝0至||少有一个实根〞时 ,要做的假设是( )
A ．方程x 3
＋ax ＋b ＝0没有实根 B ．方程x 3
＋ax ＋b ＝0至||多有一个实根 C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至||多有两个实根 D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根 答案 A
解析 "方程x 3
＋ax ＋b ＝0至||少有一个实根〞的否认是 "方程x 3
＋ax ＋b ＝0没有实根〞．
三、模拟小题
10．(2021·山东济南模拟)用反证法证明：假设整系数一元二次方程ax 2
＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理数根 ,那么a ,b ,c 中至||少有一个是偶数．用反证法证明时 ,以下假设正确的选项是( )
A ．假设a ,b ,c 都是偶数
B ．假设a ,b ,c 都不是偶数
C ．假设a ,b ,c 至||多有一个偶数
D ．假设a ,b ,c 至||多有两个偶数 答案 B
解析 "至||少有一个〞的否认为 "都不是〞 ,应选B.
11．(2021·宁夏银川调研)设a ,b ,c 是不全相等的正数 ,给出以下判断： ①(a －b )2
＋(b －c )2
＋(c －a )2
≠0； ②a >b ,a <b 及a ＝b 中至||少有一个成立； ③a ≠c ,b ≠c ,a ≠b 不能同时成立． 其中正确判断的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 C
解析 ①②正确；③中 ,a ≠b ,b ≠c ,a ≠c 可以同时成立 ,如a ＝1 ,b ＝2 ,c ＝3 ,故正确的判断有2个．
12．(2021·长春模拟)设a ,b ,c 都是正数 ,那么a ＋1b ,b ＋1c ,c ＋1
a
三个数( )
A ．都大于2
B ．都小于2
C ．至||少有一个不大于2
D ．至||少有一个不小于2 答案 D
解析 假设a ＋1b ,b ＋1c ,c ＋1a 都小于2 ,那么有a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1
a
<6.
因为a ,b ,c 都是正数 ,
所以a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1
a
＝⎝
⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝
⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫c ＋1c ≥2
a ·1
a ＋2
b ·1
b
＋2c ·1
c
＝6 , 这与a ＋1b
＋b ＋1c
＋c ＋1
a
<6矛盾 ,
故假设不成立 ,所以a ＋1a ,b ＋1b ,c ＋1
a
至||少有一个不小于2.应选D.
13．(2021·山东烟台模拟)设a >b >0 ,m ＝a －b ,n ＝a －b ,那么m ,n 的大小关系是________．
答案 n >m
解析 解法一(取特殊值法)：取a ＝2 ,b ＝1 ,那么m <n . 解法二(分析法)：a －b <a －b ⇐b ＋a －b >a ⇐a <b ＋2b ·a －b ＋a －b ⇐
2b ·a －b >0 ,显然成立．
一、 (高|考 )大题
1．(2021·北京 (高|考 ))设n 为正整数 ,集合A ＝{α|α＝(t 1 ,t 2 ,… ,t n ) ,t k ∈{0 ,1} ,k ＝1 ,2 ,… ,n }．对于集合A 中的任意元素α＝(x 1 ,x 2 ,… ,x n )和β＝(y 1 ,y 2 ,… ,y n ) ,记M (α ,β)＝1
2[(x 1＋y 1－|x 1－y 1|)＋(x 2＋y 2－|x 2－y 2|)＋…＋(x n ＋y n
－|x n －y n |)]．
(1)当n ＝3时 ,假设α＝(1 ,1 ,0) ,β＝(0 ,1 ,1) ,求M (α ,α)和M (α ,β)的值； (2)当n ＝4时 ,设B 是A 的子集 ,且满足：对于B 中的任意元素α ,β ,当α ,β相同时 ,M (α ,β)是奇数；当α ,β不同时 ,M (α ,β)是偶数．求集合B 中元素个数的最||大值；
(3)给定不小于2的n ,设B 是A 的子集 ,且满足：对于B 中的任意两个不同的元素
α ,β ,M (α ,βB ,使其元素个数最||多 ,并说明理由．
解 (1)因为α＝(1 ,1 ,0) ,β＝(0 ,1 ,1) ,
所以M (α ,α)＝1
2
[(1＋1－|1－1|)＋(1＋1－|1－1|)＋(0＋0－|0－0|)]＝2 ,
M (α ,β)＝12
[(1＋0－|1－0|)＋(1＋1－|1－1|)＋(0＋1－|0－1|)]＝1.
(2)设α＝(x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4)∈B ,
那么M (α ,α)＝x 1＋x 2＋x 3＋x 4.
由题意知x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4∈{0 ,1} ,且M (α ,α)为奇数 , 所以x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4中1的个数为1或3. 所
以
B ⊆
{(1 ,0 ,0 ,0) ,(0 ,1 ,0 ,0) ,(0 ,0 ,1 ,0) ,(0 ,0 ,0 ,1) ,(0 ,1 ,1 ,1) ,(1 ,0 ,1 ,1) ,(1 ,1 ,0 ,1) ,(1 ,1 ,1 ,0)}．
将上述集合中的元素分成如下四组：
(1 ,0 ,0 ,0) ,(1 ,1 ,1 ,0)；(0 ,1 ,0 ,0) ,(1 ,1 ,0 ,1)；(0 ,0 ,1 ,0) ,(1 ,0 ,1 ,1)；(0 ,0 ,0 ,1) ,(0 ,1 ,1 ,1)．
经验证 ,对于每组中两个元素α ,β均有M (α ,β)＝1. 所以每组中的两个元素不可能同时是集合B 的元素． 所以集合B 中元素的个数不超过4.
又集合{(1 ,0 ,0 ,0) ,(0 ,1 ,0 ,0) ,(0 ,0 ,1 ,0) ,(0 ,0 ,0 ,1)}满足条件 , 所以集合B 中元素个数的最||大值为4.
(3)设S k ＝{(x 1 ,x 2 ,… ,x n )|(x 1 ,x 2 ,… ,x n )∈A ,
x k ＝1 ,x 1＝x 2＝…＝x k －1＝0}(k ＝1 ,2 ,… ,n ) , S n ＋1＝{(x 1 ,x 2 ,… ,x n )|x 1＝x 2＝…＝x n ＝0} ,
所以A ＝S 1∪S 2∪…∪S n ＋1.
对于S k (k ＝1 ,2 ,… ,n －1)中的不同元素α ,β ,经验证 ,M (α ,β)≥1. 所以S k (k ＝1 ,2 ,… ,n －1)中的两个元素不可能同时是集合B 的元素． 所以B 中元素的个数不超过n ＋1.
取e k ＝(x 1 ,x 2 ,… ,x n )∈S k 且x k ＋1＝…＝x n ＝0(k ＝1 ,2 ,… ,n －1)．
令B ＝{e 1 ,e 2 ,… ,e n －1}∪S n ∪S n ＋1 ,那么集合B 的元素个数为n ＋1 ,且满足条件． 故B 是一个满足条件且元素个数最||多的集合．
2．(2021·江苏 (高|考 ))记f ′(x ) ,g ′(x )分别为函数f (x ) ,g (x )的导函数 ,假设存在x 0∈R ,满足f (x 0)＝g (x 0)且f ′(x 0)＝g ′(x 0) ,那么称x 0为函数f (x )与g (x )的一个 "S 点〞．
(1)证明：函数f (x )＝x 与g (x )＝x 2
＋2x －2不存在 "S 点〞；
(2)假设函数f (x )＝ax 2
－1与g (x )＝ln x 存在 "S 点〞 ,求实数a 的值；
(3)函数f (x )＝－x 2
＋a ,g (x )＝b e x
x
,对任意a >0 ,判断是否存在b >0 ,使函数f (x )与
g (x )在区间(0 ,＋∞)内存在 "S 点〞 ,并说明理由．
解 (1)证明：函数f (x )＝x ,g (x )＝x 2
＋2x －2 , 那么f ′(x )＝1 ,g ′(x )＝2x ＋2 ,
由f (x )＝g (x )且f ′(x )＝g ′(x ) ,
得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝x 2
＋2x －2 1＝2x ＋2
此方程组无解．
因此 ,f (x )＝x 与g (x )＝x 2
＋2x －2不存在 "S 点〞． (2)函数f (x )＝ax 2
－1 ,g (x )＝ln x , 那么f ′(x )＝2ax ,g ′(x )＝1x
,
设x 0为f (x )与g (x )的 "S 点〞 ,由f (x 0)＝g (x 0)且f ′(x 0)＝g ′(x 0) ,得
⎩
⎨⎧
ax 20－1＝ln x 0
2ax 0
＝1x 0
即⎩
⎪⎨⎪⎧
ax 2
0－1＝ln x 0 2ax 2
0＝1 (*)
得ln x 0＝－12 ,即x 0＝e －1
2
,那么a ＝
1
2(e －12)
2＝e
2. 当a ＝e 2时 ,x 0＝e －1
2
满足方程组(*) ,
即x 0为f (x )与g (x )的 "S 点〞 ,因此 ,a 的值为e 2
.
(3)f ′(x )＝－2x ,g ′(x )＝b e x (x －1)
x 2
,x ≠0 ,
f ′(x 0)＝
g ′(x 0)⇒b e x 0＝－2x 3
x 0－1
>0⇒x 0∈(0 ,1) ,
f (x 0)＝
g (x 0)⇒－x 2
＋a ＝b e x 0x 0＝－2x 2
x 0－1
⇒
a ＝x 20
－2x 2
x 0－1
,
令h (x )＝x 2
－2x 2x －1－a ＝－x 3＋3x 2
＋ax －a
1－x
,
x ∈(0 ,1) ,a >0 ,
设m (x )＝－x 3
＋3x 2
＋ax －a ,x ∈(0 ,1) ,a >0 , 那么m (0)＝－a <0 ,m (1)＝2>0⇒m (0)·m (1)<0 , 又m (x )的图象在(0 ,1)上连续不断 ,
∴m (x )在(0 ,1)上有零点 ,那么h (x )在(0 ,1)上有零点．因此 ,对任意a >0 ,存在b >0 ,
使函数f (x )与g (x )在区间(0 ,＋∞)内存在 "S 点〞．
二、模拟大题
3．(2021·贵州安顺调研)函数f (x )＝3x
－2x ,求证：对于任意的x 1 ,x 2∈R ,均有
f (x 1)＋f (x 2)
2
≥f
x 1＋x 2
2
.
证明 要证明
f (x 1)＋f (x 2)
2
≥f ⎝
⎛⎭
⎪⎫x 1＋x 22 ,
即证明(3x 1－2x 1)＋(3x 2－2x 2)2≥3x 1＋x 22－2·x 1＋x 2
2 ,
因此只要证明3x 1＋3x 22－(x 1＋x 2)≥3x 1＋x 2
2－(x 1＋x 2) ,
即证明3x 1＋3x 22≥3x 1＋x 2
2
,
因此只要证明3x 1＋3x 2
2≥3x 1·3x 2 ,
由于x 1 ,x 2∈R 时 ,3x 1>0 ,3x 2>0 ,
由根本不等式知3x 1＋3x 2
2≥3x 1·3x 2(当且仅当x 1＝x 2时 ,等号成立)显然成立 ,
故原结论成立．
4．(2021·山东临沂三校联考)数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a n ＋S n ＝2. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)求证：数列{a n }中不存在三项按原来顺序成等差数列． 解 (1)当n ＝1时 ,a 1＋S 1＝2a 1＝2 ,那么a 1＝1. 又a n ＋S n ＝2 ,所以a n ＋1＋S n ＋1＝2 ,
两式相减得a n ＋1＝12a n ,所以{a n }是首||项为1 ,公比为12的等比数列 ,所以a n ＝1
2n －1.
(2)证明：(反证法)假设存在三项按原来顺序成等差数列 ,记为a p ＋1 ,a q ＋1 ,a r ＋1(p <q <r ,且p ,q ,r ∈N *
) ,
那么2·12q ＝12p ＋1
2r ,
所以2·2
r －q ＝2
r －p
＋1.①
又因为p <q <r ,且p ,q ,r ∈N *
,所以r －q ,r －p ∈N *
. 所以①式左边是偶数 ,右边是奇数 ,等式不成立． 所以假设不成立 ,原命题得证．。