2018-2019学年辽宁省沈阳市回民中学高一下学期第一次月考数学试题(解析版)

2018-2019学年辽宁省沈阳市回民中学高一下学期第一次月
考数学试题
一、单选题
1．已知半径为1的扇形面积为
3
16
π，则扇形的圆心角为（ ） A ．
316
π B ．38π
C ．34
π
D ．
32
π 【答案】B
【解析】 设扇形的圆心角为α，所以扇形的面积为2211312216
S R παα==⨯=， 解得38
π
α=
，故选B. 2．如果sin cos 0αα⋅<，sin tan 0αα⋅<，那么角α的终边位于 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】B
【解析】分析：由sin cos 0αα⋅<，确定α的正弦值与余弦值异号，确定α角终边的位置，再者就是根据sin tan 0αα⋅<，得到cos 0α<，确定α角终边的位置，两者结合，求得正确结果.
详解：由已知可得sin tan 0αα⋅<，
即2sin 0cos αα
<，则cos 0α<，故α为第二或第三象限的角， 又sin cos 0αα⋅<，所以α为第二象限角或第四象限角， 综上，α为第二象限角，故选B.
点睛：该题考查的是有关通过角的三角函数值的符号来确定角的终边的位置的问题，解决该题的关键是要明确对应象限内的角的三角函数值的符号之间的关系，这就需要用三角函数的定义来把握.
3．为了得到函数sin 23y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象，只需要把函数sin y x =的图象上（ ）
A ．各点的横坐标缩短到原来的
12
倍，再向左平移3π
个单位
B ．各点的横坐标缩短到原来的
12
倍，再向左平移6π
个单位
C ．各点的横坐标缩短到原来的2倍，再向左平移3
π
个单位 D ．各点的横坐标缩短到原来的2倍，再向左平移6
π
个单位 【答案】B
【解析】分析：根据三角函数周期变换与相位变换的性质，逐一验证四个选项即可得结果.
详解：sin y x =图象上各点的横坐标缩短到原来的
1
2
倍， 得到2y sin x =的图象，再向左平移
6π
个单位2263sin x sin x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭， 所以，为了得到函数sin 23y x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图象，只需要把函数sin y x =的图象上， 各点的横坐标缩短到原来的
12倍，再向左平移6
π
个单位，故选B. 点睛：本题考查了三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.
4．总体由编号01，,02，…，19,20的20个个体组成。

利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为
A ．08
B ．07
C ．02
D ．01
【答案】D
【解析】从第一行的第5列和第6列起由左向右读数划去大于20的数分别为：08,02,14,07,01，所以第5个个体是01，选D.
【考点】此题主要考查抽样方法的概念、抽样方法中随机数表法，考查学习能力和运用能力.
5．已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为1
2，乙胜的概率为13
，则甲胜的概率和甲不输的概率分别为（ ）
A ．16，16
B ．
12，2
3 C ．16，23
D ．23，12
【答案】C
【解析】根据对立事件概率计算求得甲胜的概率，根据和事件概率计算求得甲不输的概率. 【详解】
“甲胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以“甲胜”的概率为111
1236
--=.设“甲不输”为事件A ，可看作是“甲胜”与“和棋”这两个互斥事件的和事件，所以P （A ）＝112
623
+=.
故选：C 【点睛】
本小题主要考查对立事件、互斥事件与和事件概率计算，属于基础题.
6．函数y = ）
A ．,33ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦ B ．2,2,3
3k k k π
πππ⎡
⎤
-
+
∈Z ⎢⎥⎣
⎦
C ．,33ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
D ．2,2,33k k k ππππ⎛⎫-+∈Z ⎪⎝
⎭
【答案】B
【解析】由2cosx ﹣1≥0，得cosx 1
2
≥， 解得：22k Z 3
3
k x k ，π
π
ππ-
≤≤+
∈．
∴函数y =的定义域为2,2,33k k k ππππ⎡
⎤-+∈Z ⎢⎥⎣
⎦
故选B ．
7．下列四个函数中,既是0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
上的减函数,又是以π为周期的偶函数的是( )
A ．sin y x =
B ．sin y x =
C ．cos y x =
D ．cos y x =
【答案】D
【解析】根据正弦函数和余弦函数图像性质,结合正弦函数和余弦函数的周期,逐项判断,
即可求得答案. 【详解】
对于A,因为sin y x =,根据正弦函数图像可知:是以2π为周期的奇函数,故A 不符题意; 对于B,因为sin y x =,当0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
,函数可化为:sin y x =,根据正弦函数图像可知:此时函数是增函数,故B 不符题意;
对于C,因为cos y x =,根据余弦函数图像可知:是以2π为周期的偶函数,故C 不符题意; 对于D,Q cos y x =, 画出其函数图像:
由图像可知:是以π为周期的偶函数,且0,2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上是减函数.故D 符合题意 故选:D. 【点睛】
解题关键是掌握正弦函数和余弦函数的基础知识,考查了分析能力,属于基础题. 8．设5sin
7a π=，2cos 7b π=，2tan 7
c π=，则（ ） A ．a b c << B ．a c b <<
C ．b c a <<
D ．b a c <<
【答案】D 【解析】【详解】 因为
，，所以，，且
，所以
，，所以,
故选D.
9．已知某8个数据的平均数为8,方差为4.现又加入一个新数据8,此时这9个数的平均数为x ,方差为2s ,则( ) A ．8x =，24s < B ．8x =，24s >
C ．8x >，24s <
D ．8x >，24s >
【答案】A
【解析】利用平均数和方差的定义直接求解,即可求得答案. 【详解】
Q 某8个数据的平均数为8,方差为4.
现又加入一个新数据8,此时这9个数的平均数为x 方差为2s
∴888
89
x ⨯+=
= 22
84(88)32499
S ⨯+-==<
故选:A. 【点睛】
本题考查了求数据的平均数和方差,解题关键是掌握平均数和方差的求法,考查了计算能力,属于基础题.
10． 函数f (x )＝tan ωx (ω＞0)的图象的相邻两支截直线y ＝2所得线段长为π
2
，则π()6
f 的值是( )
A ．3-
B ．
3 C ．3 D ．1
【答案】C
【解析】因为f (x )＝tan ωx (ω＞0)的图象的相邻两支截直线y ＝2所得线段长为，所以函数f (x )的最小正周期为，＝，ω＝2，则f (x )＝tan 2x ，f
＝tan ＝
，故选
C.
11．若α是第二象限角，则2
1
tan 1sin α
-化简的结果是（ ） A ．1- B ．1
C ．2tan α-
D ．2tan α
【答案】A
【解析】根据α的范围，利用同角三角函数的基本关系化简所给的式子可得结果. 【详解】
Q α
是第二象限角， ∴sin 0,cos 0αα><，
则sin cos sin cos tan 1cos sin cos sin αααα
ααααα
=⋅=-⋅=-， 故选A. 【点睛】
本题考查同角三角函数的基本关系的应用.
12．函数()()02f x sin x πωϕωϕ⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭＞，
＜的最小正周期为π，
若其图象向左平移6
π
个单位后得到的函数为奇函数，则函数f （x ）的图象（ ） A ．关于点,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 B ．关于点5,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 C ．关于直线512
x π
=对称 D ．关于直线12
x π
=
对称
【答案】C
【解析】利用最小正周期为π，求出ω的值，根据平移得出ϕ，然后利用对称性求解. 【详解】
因为函数()()f x sin x ωϕ=+的最小正周期为π，所以2ω=，图象向左平移6
π
个单位后得到sin(2)3
y x π
ϕ=+
+，由得到的函数是奇函数可得3
π
ϕ=-，即
()sin(2)3f x x π=-.令23
x k π
π-=得26k x ππ
=
+，k Z ∈，故A,B 均不正确；令232x k ππ-
=π+得212
k x π5π
=+，k Z ∈，0k =时可得C 正确.故选C. 【点睛】
本题主要考查三角函数的图像变换和性质.平移变换时注意平移方向和ω对解析式的影响，性质求解一般利用整体换元意识来处理.
二、填空题
13．已知sin ,52
π
ααπ=<<，则tan α=______________． 【答案】-2
【解析】利用同角的三角函数中的平方和关系求出cos α，再利用同角的三角函数关系中的商关系求出tan α即可. 【详解】
2255sin sin ,cos 1sin tan 2525cos πα
ααπαααα
=
<<∴=--=-∴==-Q . 【点睛】
本题考查了同角三角函数关系中的平方和关系和商关系，考查了角的余弦值的正负性的判断，考查了数学运算能力.
14．函数()sin()f x A x ωϕ=+（A>0，ω>0 2
π
ϕ<）的部分图象如图所示，
则函数()f x 的单调递增区间为________________
【答案】5,1212k k ππππ⎡⎤-
++⎢⎥⎣⎦
k z ∈
【解析】根据φ（x ）=Asin （ωx+φ）的部分图象知，A=2，=
π５１２﹣６
π
， ∴T=π，ω=π２Ｔ=2；又2sin （2×π５１２+φ）=2，∴π５６+φ=π
２+2kπ，k ∈Z ，
∴φ=﹣３π+2kπ，k ∈Z ；又|φ|＜π２，∴φ=３π，∴φ（x ）=2sin （2x ﹣３
π）；
单调增区间为2,232
k x k π
ππ
ππ-
+≤≤+﹣
512
12k x k π
πππ-
+≤≤
+ ，结果为得5,1212k k ππππ⎡⎤
-++⎢⎥⎣⎦
k z ∈． 15．若π1sin 123α⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，则7πcos 12α⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的值为______. 【答案】1.3
-
【解析】分析：根据三角函数的诱导公式，即可求解对应的函数值． 详解：由1sin 123
πα⎛⎫
+
= ⎪⎝⎭， 则71cos cos sin 12
122123ππππααα⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+
=++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪
⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
． 点睛：本题主要考查了三角函数的诱导公式的应用问题，其中熟记三角函数的诱导公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
16．已知12sin 13x =-
,3,2x ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭,则x 等于________.
【答案】12
arcsin
13
π+ 【解析】根据12sin 13x =-,3,
2x ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
,用反三角函数表示x ,即可求得答案. 【详解】
Q 3,
2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭
∴,02x ππ⎛⎫
-∈- ⎪⎝⎭
Q 12sin 13
x =-
∴12sin()13
x π-=-
∴1212arcsin arcsin 1313x π⎛⎫
-=-=- ⎪⎝⎭
∴12
arcsin
13
x π=+ 故答案为:12arcsin 13
π+. 【点睛】
本题考查根据三角函数的值求角和反三角函数,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
三、解答题
17．自2017年2月底,90多所自主招生试点高校将陆续出台2017年自主招生简章,某校高三年级选取了在期中考试中成绩优异的100名学生作为调查对象,对是否准备参加2017年的自主招生考试进行了问卷调查,其中“准备参加”“不准备参加”和“待定”的人数如表: 准备参加 不准备参加 待定 男生 30 6 15 女生 15
9
25
(1)在所有参加调查的同学中,在三种类型中用分层抽样的方法抽取20人进行座谈交流,则在“准备参加”“不准备参加”和“待定”的同学中应各抽取多少人?
(2)在“准备参加”的同学中用分层抽样方法抽取6人,从这6人中任意抽取2人,求至少有一名女生的概率. 【答案】(1)见解析;(2)0.6.
【解析】试题分析：（1）根据分层抽样原理，分层抽样时的比值为20
100
，即可求出在“准备参加”、“不准备参加”和“待定”的同学中应各抽取多少人；
（2）求出所抽取的6人中男生应抽4人，女生抽2人，用列举法计算所有的基本事件数，求出对应的概率即可． 试题解析：
(1)分层抽样时的抽样比为
20
100
=0.2,所以,在“准备参加”的同学中应抽取(30+15)×0.2=9(人),在“不准备参加”的同学中应抽取(6+9)×0.2=3(人),在“待定”的同学中应抽取(15+25)×0.2=8(人).
(2)在“准备参加”的同学中用分层抽样方法抽取6人,
则男生抽4人,女生抽2人,男生4人分别记作1,2,3,4,女生2人分别记作5,6. 从6人中任取2人共有以下15种情况: (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,4),(3,5),(3,6), (4,5),(4,6), (5,6).
其中至少有一名女生的情况共有9种:(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6). 所以,至少有一名女生的概率P=9
15
=0.6. 18．已知()()()()
()()
2sin cos 2tan sin tan 3f
παπαπααπααπ-⋅-⋅-+=
-+⋅-+.
（1）化简()f
α；
（2）若()18f α=
，且42
ππ
α<<，求cos sin αα-的值． 【答案】（1）sin α·cos α.
（2）
【解析】试题分析：（1）利用三角函数的诱导公式，即可化简得到()f
α；
（2）由（1）和()18f α=得2
3(cos sin )4
αα-=，进而可得cos sin αα-的值．
试题解析： (1)f (α)＝
＝sin α·
cos α. (2)由f (α)＝sin α·cos α＝可知，
(cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin α·cos α＋sin 2α＝1－2sin α·cos α＝1－2×＝ 又∵＜α＜， ∴cos α＜sin α，即cos α－sin α＜0.
∴cos α－sin α＝32
-
. 19．2017年“十一”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（/km h ）分成六段： [)60,65， [)65,70，
[)70,75， [)75,80， [)80,85， [)85,90，后得到如图的频率分布直方图．
（1）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值；
（2）若从车速在[)60,70的车辆中任抽取2辆，求车速在[)65,70的车辆恰有一辆的概率．
【答案】（1）众数的估计值等于77．5 中位数的估计值为77．5（2）
8
15
【解析】试题分析; （1）选出直方图中最高的矩形求出其底边的中点即为众数；求出从左边开始小矩形的面积和为0.5对应的横轴的左边即为中位数；利用各个小矩形的面积乘以对应矩形的底边的中点的和为数据的平均数．
（2）从图中可知，车速在[6065，
） 的车辆数和车速在[6570，） 的车辆数．从车速在
6070（，）
的车辆中任抽取2辆，设车速在[6065，） 的车辆设为a b ，， 车速在[6570，） 的车辆设为c d e f ，，，，
列出各自的基本事件数，从而求出相应的概率即可． 试题解析：
（1）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于77.5，
设图中虚线所对应的车速为x ，则中位数的估计值为：
()0.0150.0250.0450.06750.5x ⨯+⨯+⨯+⨯-=，解得77.5x =．
即中位数的估计值为77.5．
（2）从图中可知，车速在[)60,65的车辆数为：10.015402m =⨯⨯=（辆）， 车速在[)65,70的车辆数为：20.025404m =⨯⨯=（辆），
设车速在[)60,65的车辆设为a ，b ，车速在[
)65,70的车辆设为c ，d ，e ，f ，则所有基本事件有： (),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),a f ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),b f ，(),c d ，(),c e ，(),c f ，(),d e ，(),d f ，(),e f 共15种，
其中车速在[
)65,70的车辆恰有一辆的事件有：(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),a f ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),b f 共8种．
所以，车速在[)65,70的车辆恰有一辆的概率为815
P =． 【点睛】本题考查率分布直方图的有关特征数问题，利用众数是最高矩形的底边中点；中位数是左右两边的矩形的面积相等的底边的值；平均数等于各个小矩形的面积乘以对应的矩形的底边中点的和等知识．此题把统计和概率结合在一起，比较新颖，也是高考的方向，应引起重视．
20．已知角α终边上的一点()7,3P m m -()0m ≠.
（1）求()cos sin 2119cos sin 22παπαππαα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的值； （2）求22sin cos cos ααα+-的值.
【答案】(1)37-；(2)2329
. 【解析】试题分析：（1）利用角的终边上点坐标可得tan α，进而由诱导公式化简代入
求值即可；
（2）利用22sin cos 1αα+=，可求
22222sin cos cos tan 12sin cos cos 22sin cos tan αααααααααα--+-=+=++，代入求值即可. 试题解析：
（1）依题意有3tan 7α=-，原式sin sin 3tan sin cos 7
ααααα-⋅===--. （2）原式2222sin cos cos tan 13523222sin cos tan 2929
ααααααα--=+=+=-=+. 21．若正弦型函数()()sin 0,06f x A x b A πωω⎛⎫=++>> ⎪⎝
⎭有如下性质：最大值为4,最小值为2-；相邻两条对称轴间的距离为
2
π. （I ）求函数()y f x =解析式;
（II ）当5,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时,求函数()y f x =的值域. （III ）若方程()f x m =在区间5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实根,求实数m 的取值范
【答案】（I ）()3sin(2)16f x x π
=++；（II ）[1,4]；（III ）3314m +≤<. 【解析】试题分析：根据函数的最大值和最小值求出A ，根据相邻两条对称轴间的距离求出ω，得出解析式，根据范围优先原则，由x 的范围求出 试题解析：26x π
+的范围，得出函数的值域；根据x 的范围研究函数()f x 的
单调形及取值范围，画出模拟图象，根据方程
在区间上有两个不同的实根,写出实数的取值范围.
（I ）由已知得42A b A b +=⎧⎨-+=-⎩,解得31A b =⎧⎨=⎩
. 由相邻两条对称轴间的距离为2
π可知周期22T ππ=⨯=,于是22T πω== 故函数()y f x =解析式为()3sin 216f x x π⎛
⎫=++ ⎪⎝⎭
;
（II ）当5,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,2,63x πππ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦, 此时[]sin 20,16x π⎛
⎫+∈ ⎪⎝⎭,故()[]3sin 211,46f x x π⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭
于是所求函数 ()y f x =的值域为[]1,4;
（III ）由sin y x =在,3ππ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦先增再减可知()3sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭在区间5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上先增再减，
而112f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，5112f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，于是实数m 14m +≤<.
22．已知函数23()sin cos tan 82
f x x x θθ=+⋅+-，其中0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，03n πθ⎡
⎤∈⎢⎥⎣⎦
（1）若3π
θ=时，求()f x 的最大值及相应的x 的值；
（2）是否存在实数θ，使得函数()f x 最大值是18-？若存在，求出对应的θ值；若不存在，试说明理由.
【答案】（1）0x =时，max 15()8f x = （2）存在6
πθ=. 【解析】【试题分析】（1）运用同角三角函数之间的关系将其化为()22
333171cos 3cos cos 8228f x x x x ⎛⎫=-++-=--+ ⎪⎝⎭，再运用二次函数的图像与性质分析求解；（2）依据题设先假定存在符合题设条件的实数θ，然后运用分类整合思想探求函数的最大值，建立方程分析求解实数θ的值：
（1）()2
2333171cos 3cos cos 8228f x x x x ⎛⎫=-++-=--+ ⎪⎝⎭ 当()max 15cos 10,.8
x x f x ===即时
（2）()223tan 1cos 42f x x θ⎛=--++- ⎝
⎭
当30,0cos 1,,0,222x x a a π
θ⎡⎤≤≤≤≤=∈⎢⎥⎣⎦
时令则
()()221cos 42a f x x a a =--++
- 若()max 3311,cos 1,22428a a x f x a <≤
==+-=-则当时 解得11118
a =<，所以此时不成立 若()2
max 1101,cos ,428a a x a f x a ≤≤==+-=-则当时 解得13024a a ==-<或
1,tan 26
πθθ==∴=.综合上述知，存在6πθ=符合题设. 点睛：本题旨在考查同角三角函数之间的关系式的运用及二次函数的图像性质的等基础知识的运用，同时考查数形结合思想、分类整合思想等数学思想的综合运用．求解第一问时，充分借助题设条件先将其化为
()2
2333171cos 3cos cos 8228f x x x x ⎛⎫=-++-=--+ ⎪⎝
⎭的形式，再运用二次函数的图像分析求解；解答第二问时，先依据题设先假定存在符合题设条件的实数θ，然后运用
分类整合思想探求函数()2
23tan 1cos 2482f x x θθθ⎛⎫=--++- ⎪ ⎪⎝⎭
的最大值，进而建立方程分析探求解实数θ的值，使得问题获解．。