第7章立体几何第2节空间点直线平面之间的位置关系教学案含解析理20190627341_最新修正版

第二节 空间点、直线、平面之间的位置关系
[考纲传真] 1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．
1．平面的基本性质
(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． (2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
(4)公理2的三个推论
推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 2．空间直线的位置关系 (1)位置关系的分类
⎩⎨
⎧
共面直线⎩⎪⎨
⎪⎧
平行直线相交直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点
(2)异面直线所成的角
①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与
b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．
②范围：⎝
⎛⎥⎤0，π2.
(3)平行公理(公理4)和等角定理
平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)空间中直线与平面的位置关系
位置关系
图形表示
符号表示
公共点
直线a在平面α内a⊂α有无数个公共点
直线在平面
外直线a平面α
平行
a∥α没有公共点
直线a与平面
α斜交
a∩α＝A
有且只有一个公共点直线a与平面
α垂直
a⊥α
(2)空间中两个平面的位置关系
位置关系图形表示符号表示公共点两平面平行α∥β没有公共点
两平面相
交斜交α∩β＝l
有一条公共直线垂直
α⊥β且
α∩β＝a
[常用结论]
1．异面直线的判定定理
经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．
2．等角定理的引申
(1)在等角定理中，若两角的两边平行且方向相同或相反，则这两个角相等．
(2)在等角定理中，若两角的两边平行且方向一个边相同，一个边相反，则这两个角互补．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．
( )
(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．( )
(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．( )
(4)若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异面．( )
[答案](1)×(2)√(3)×(4)×
2．(教材改编)如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异
面直线B1C与EF所成的角的大小为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
C[连接B1D1，D1C(图略)，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求的角，又B1D1＝B1C＝D1C，
∴∠D1B1C＝60°.]
3．(教材改编)下列命题正确的是( )
A．经过三点确定一个平面
B．经过一条直线和一个点确定一个平面
C．四边形确定一个平面
D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
D[根据确定平面的公理和推论知选项D正确．]
4．已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是( ) A．空间四边形B．矩形
C．菱形D．正方形
B[四边形的相邻两边分别平行于空间四边形的两角对角线，故选B.]
5．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
A[由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A.]
平面的基本性质
【例1】(1)
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；
③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
A．0 B．1 C．2 D．3
B[①正确，可以用反证法证明，假设任意三点共线，则四个点必共面，与不共面的四点矛盾；②中若点A，B，C在同一条直线上，则A，B，C，D，E不一定共面，故②错误；③中，直线b，c可能是异面直线，故③错误；④中，当四条线段构成空间四边形时，四条线段不共面，故④错误．]
(2)如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：
①E，C，D1，F四点共面；
②CE，D1F，DA三线共点．
[解]①如图，连接EF，CD1，A1B.
∵E，F分别是AB，AA1的中点，
∴EF∥BA1.
又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1，
∴E，C，D1，F四点共面．
②∵EF∥CD1，EF<CD1，
∴CE与D1F必相交，设交点为P，
则由P∈直线CE，CE⊂平面ABCD，
得P∈平面ABCD.
同理P∈平面ADD1A1.
又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，
∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点．
[规律方法]共点、共线、共面问题的证明方法
1证明点共线问题：①公理法：先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据基本公理3证明这些点都在交线上；②同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上.
2证明线共点问题：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点.
3证明点、直线共面问题：①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合.
不共面的一个图是 ( )
A B C D
D[根据异面直线的判定定理，选项D中PS与QR是异面直线，则四点P，Q，R，S不共面．故选D.]
(2)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点．求证：D1，H，O三点共线．
[证明]如图，连接BD，B1D1，
则BD∩AC＝O，
因为BB1綊DD1，
所以四边形BB1D1D为平行四边形，
又H∈B1D，
B1D⊂平面BB1D1D，
则H∈平面BB1D1D，
因为平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，
所以H∈OD1.
即D1，H，O三点共线．
空间两条直线的位置关系
【例2】(1)已知a，b，c为三条不同的直线，且a⊂平面α，b⊂平面β，α∩β＝c，给出下列命题：
①若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交；
②若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；
③若a∥b，则必有a∥c.
其中真命题有________．(填序号)
(2)在图中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．
① ② ③ ④
(1)①③(2)②④[(1)对于①，若c与a，b都不相交，则c∥a，c∥b，从而a∥b，这与a与b是异面直线矛盾，故①正确．
对于②，a与b可能异面垂直，故②错误．
对于③，由a∥b可知a∥β，又α∩β＝c，从而a∥c，故③正确．
(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG(图略)，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面，所以在图②④中，GH与MN异面．]
[规律方法]异面直线的判定方法
A．一定是异面直线B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线
(2)如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：
①直线AM 与CC 1是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与MB 1是异面直线； ④直线AM 与DD 1是异面直线．
其中正确的结论为________．(把你认为正确的结论的序号都填上)
(1)C (2)③④ [(1)c 与b 可能相交，也可能异面，但可不能平行，故选C. (2)根据两条异面直线的判定定理知，③④正确．]
异面直线所成的角
【例3】 (1)(2018·全国卷Ⅱ)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为( )
A.22
B.32
C.52
D.72
(2)如图，在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝1，BB 1＝1，P 是AB 的中点，则异面直线BC 1与PD 所成的角等于( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
(1)C (2)C [(1)如图，连接BE ，因为AB ∥CD ，所以异面直线AE 与CD 所成的角等于相交直线AE 与AB 所成的角，即∠EA B.不妨设正方体的棱长为2，则CE ＝1，BC ＝2，由勾股定理得BE ＝ 5.又由AB ⊥平面BCC 1B 1可得AB ⊥BE ，所以t a n∠EAB ＝BE AB ＝
5
2
.故选C.
(2)取CD 的中点Q ，连接BQ ，C 1Q ∵P 是AB 的中点， ∴BQ ∥PD
∴∠C 1BQ 是异面直线BC 1与PD 所成的角．
在△C 1BQ 中，C 1B ＝BQ ＝C 1Q ＝2， ∴∠C 1BQ ＝60°，
即异面直线BC 1与PD 所成的角等于60°，故选C.]
[规律方法] 用平移法求异面直线所成的角的步骤 1一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角； 2二证：证明作出的角是异面直线所成的角；
3三求：解三角形，求出作出的角.如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；
如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.
(1)已知P 是△ABC 所在平面外的一点，M ，N 分别是AB 、PC 的中点，若MN
＝BC ＝4，PA ＝43，则异面直线PA 与MN 所成角的大小是( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
(2)如图，已知圆柱的轴截面ABB 1A 1是正方形，C 是圆柱下底面弧AB 的中点，C 1是圆柱上底面弧A 1B 1的中点，那么异面直线AC 1与BC 所成角的正切值为________．
(1)A (2)2 [(1)取AC 的中点O ，连接OM ，ON ，则
OM 綊12BC ，ON 綊12
P A.
∴∠ONM 就是异面直线PA 与MN 所成的角． 在△OMN 中，MN ＝4，OM ＝2，ON ＝23，
∴cos∠ONM ＝ON 2＋MN 2－OM 22ON ·MN ＝12＋16－42×23×4＝3
2
，
∴∠ONM ＝30°
即异面直线PA 与MN 所成角的大小为30°，故选A. (2)取圆柱下底面弧AB 的另一中点D ，连接C 1D ，AD ， 因为C 是圆柱下底面弧AB 的中点，所以AD ∥BC ，
所以直线AC 1与AD 所成角等于异面直线AC 1与BC 所成角，因为C 1是圆柱上底面弧A 1B 1的中点，所以C 1D ⊥圆柱下底面，所以C 1D ⊥AD .
因为圆柱的轴截面ABB 1A 1是正方形，所以C 1D ＝2AD ，所以直线AC 1与AD 所成角的正切值为2，所以异面直线AC 1与BC 所成角的正切值为 2.]
1．(2017·全国卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( )
A.3
2 B.155 C.105
D.
33
C [将直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1补形为直四棱柱ABC
D ­A 1B 1C 1D 1，如图所示，连接AD 1，B 1D 1，BD .
由题意知∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1， 所以AD 1＝BC 1＝2，AB 1＝5，∠DAB ＝60°.
在△ABD 中，由余弦定理知BD 2
＝22
＋12
－2×2×1×cos 60°＝3，所以BD ＝3，所以B 1D 1
＝ 3.
又AB 1与AD 1所成的角即为AB 1与BC 1所成的角θ，
所以cos θ＝AB 21＋AD 21－B 1D 212×AB 1×AD 1＝5＋2－32×5×2＝10
5
.
故选C.]
2．(2016·全国卷Ⅰ)平面α过正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m ，n 所成角的正弦值为( )
A.
32 B.2
2
C.
33 D.1
3
A [根据平面与平面平行的性质，将m ，n 所成的角转化为平面C
B 1D 1与平面ABCD 的交线及平面CB 1D 1与平面ABB 1A 1的交线所成的角．
设平面CB 1D 1∩平面ABCD ＝m 1.∵平面α∥平面CB 1D 1，∴m 1∥m . 又平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1， 且平面CB 1D 1∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1， ∴B 1D 1∥m 1.∴B 1D 1∥m .
∵平面ABB 1A 1∥平面DCC 1D 1，且平面CB 1D 1∩平面DCC 1D 1＝CD 1，同理可证CD 1∥n . 因此直线m 与n 所成的角即直线B 1D 1与CD 1所成的角． 在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，△CB 1D 1是正三角形， 故直线B 1D 1与CD 1所成角为60°，其正弦值为
3
2
.] 自我感悟：______________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________。