单级倒立摆及其控制系统的研究和图形化仿真

������
B
A
������
图 1 倒立摆的物理模型
控制倒立摆的目的是使摆杆不到，滑块不动，即 为 0 且 不随时间变化。这里，控 制量被定义为作用在滑块 A 上沿 方向的力 。
根据以上物理模型得到系统的动力学方程：
(
)
将滑块速度 和摆杆角速度 分别定义为：
若控制作用 恒为 0，则由动力学方程可知，倒立摆是非线性自治系统。该系统的状
参考文献
1. 施颂椒, 陈学中, 杜秀华. 现代控制理论基础. 北京:高等教育出版社, 2005 2. 刘崇新. 非线性电路理论及应用. 西安:西安交通大学出版社, 2007
3.2. 碰撞过程
定义：设物体 A 与物体 B 以一定相对速率碰撞，碰撞前后，撞击点切面法线方向上的速 率分量分别为 和 ，则物体 A 与物体 B 之间的碰撞分离率 被定义为：
显然，碰撞分离率 与物体 A 和 B 的材质有关，其取值范围为 [ ]，当
生完全弹性碰撞，当
则发生完全非弹性碰撞。
则发
设墙壁与滑块之间的碰撞分离率为 速度 撞击墙壁后，将以速度 击地面后，将以角速度
4. 镇定控制
倒立摆接近平衡状态
时，有
(
)
，系统动力学方程线性化为
令 [] [ 其特征方程为：
⁄
]
[ ⁄ ]，系统可用状态空间表示为：
(
)⁄
⁄
̇
(
)
令̅
̅
其中
̅
，原状态方程变换为能控标准型：
̅̇ ̅ ̅ ̅
⁄
⁄
[
⁄
⁄]
根据给定的极点位置，可以求得期望的特征方程，形如
能控标准型状态方程的反馈向量为：
������
图3
时
平面相图
运动轨迹在 轴上以 在轨迹上的任何一点。
为周期呈现周期性。同时，因 | |
，系统不会稳定
显然，图 3 中 区域及
(
) 区域就是摆起控制的目标，只要系统
运动在图 3 所示的轨迹上，就必然会在有限的时间间隔内（由 | |
保证）运
动到 | |
或| |
(
) 的状态，即实现摆起。
根据系统的动力学方程，有
(
()
)
令
̅
()
则
(
)
(
)
̅
为迫使系统运动在图 3 所示轨道上运动，需要通过控制力使
，即
。
令 ̅与(
)
同号且 |̅|
，则
其中
√|
|
是控制 衰减速率的时间常数。对应于作用力的控制规律为：
̅
()
此外，考虑到摆起过程中作用力使水平动量不守恒，会引起滑块较大的位移，可在 中 加入位移负反馈予以补偿。
6. 数值计算
将
代入上式，并在等号两边同乘以 ，整理得：
令
则
这便是墙壁与滑块碰撞前后
跃变量的数学关系。利用这个关系，根据碰撞前的滑
块速度 和给定的碰撞分离率
就可以计算出碰撞后的 。结合冲量型扰动不
改变位置参数 的特点，可以获得碰撞后完整的初始条件。
3.4. 摆杆与地面碰撞
如图 2 所示，碰撞瞬间地面 G 给摆杆 B 竖直向上的作用力 。 不改变系统在水平方 向上动力学方程，因此碰撞过程中仍有：
图 4 倒立摆仿真程序主界面 应用程序提供了以下功能： 1. 对倒立摆及其控制系统的运动轨迹进行数值计算并展现动画和波形。 2. 允许设置模型参数、控制参数和初始条件，提供图形化极点配置界面。 3. 用键盘和鼠标灵活操纵倒立摆，可产生各种扰动。 4. 提供拖拽、滚动、缩放和平移等多种方式自由查看运动轨迹。
2.1. 位置型扰动
位置型扰动改变倒立摆的位置参数 ，结束时速度参数
为 0。例如将倒立摆摆
放至某一特定的位置，然后突然撤去所有外力，则产生位置型扰动。
位置型扰动给定形如 (
) 的初始条件。
2.2. 冲量型扰动
冲量型扰动改变倒立摆的速度参数 ，结束时位置参数 击滑块或摆杆，则产生冲量型扰动。
与扰动前相同。例如撞
构造李亚普洛夫广义能量函数
(
)
其中
为常数， 是 和 的函数：
当且仅当
()
(
)
时， 取最小值 0，同时有：
()
(
)
分别取 和 为横纵坐标，上式描述了图 3 所示的运动轨迹。
������������ ����Fra bibliotek�������
������������ ������
������������
������ ������
倒立摆的运动方程是非线性自治微分方程，将其写成状态微分方程组的形式 ̇ ()
其中
()
[
( (
))]
()
(
)
[
]
[]
这里采用局部截断误差为 ( ) 的四阶龙格库塔法求解上述非线性微分方程。对应于 采样率 的迭代公式为：
(
)
()
(
)
(
)
{
(
)
7. 图形化仿真
基于以上理论分析，在 Microsoft Visual Studio 2010 平台上开发了基于对话框的 MFC 应 用程序。
̅[
(
)⁄
]
令 ̅ ，则控制力为：
̅̅
如果将系统的四个极点都配置在左半平面，则在平衡状态 附近按上述规则施加控制 力 ，则系统将趋于并保持在平衡状态 ，即实现对倒立摆的镇定。
5. 摆起控制
当摆角 较大时，以上线性化近似将不再适用。称 从
运动到
的过
程为摆起，摆起控制要求 在整个实数域取值，因此只研究没有边界的情形。
设扰动前系统的状态为 (
)，扰动后系统的状态为 (
)，则：
这里 和 与扰动施加的冲量有关。
3. 边界行为
倒立摆的物理模型认为，滑块 A 沿水平面内直线导轨 运动，摆杆 B 在铅锤线与 张 成的平面上运动。然而，导轨有长度，平面有大小，完整的系统模型需要研究导轨和平 面的边界与滑块和摆杆的相互作用，即边界行为。
态由
唯一确定，系统的运动轨迹由初始状态唯一确定。
状态
(
)和
(
) 是系统仅有的两种平衡状态，其中，后者是稳
定平衡状态，而前者既是不稳定平衡状态，又是倒立摆的控制目标。
2. 扰动
扰动是指使倒立摆脱离平衡状态的作用，其特点是存在结束时刻。体现在数学模型上，
扰动既是设定系统的初始状态 (
)。
下面介绍两种典型的扰动形式：位置型扰动和冲量型扰动。
，地面与摆杆之间的碰撞分离率为 。滑块以 离开墙壁，同理，摆杆以角速度 撞
离开地面。
由于碰撞是冲量型扰动，因此碰撞前后系统的位置参数 保持不变，而速度参数
在碰撞冲量的作用下发生跃变。需要注意的是，不论是墙壁与滑块碰撞还是地面与摆杆
碰撞都会同时引起
的跃变。
3.3. 滑块与墙壁碰撞
如图 2 所示，碰撞瞬间墙壁 W 给滑块 A 与 反向的作用力 。 对系统的影响与控 制力 是相似的，因此碰撞过程中仍有：
单级倒立摆及其控制系统的研究
李弘昌
1. 数学模型
单级倒立摆的物理模型如图 1 所示，系统由滑块 A 和摆杆 B 构成，两者由位于摆杆端部 的铰链铰接。其中，滑块 A 的质量为 M，摆杆 B 的质量为 m，摆杆的长度为 ，重力 加速度为 g。滑块在水平面内的直线导轨 上运动，摆杆则在 与铅垂线张成的平面 上运动。系统共有两个自由度，分别是滑块的位置 ，摆杆与铅垂线的夹角 。认为滑 块和摆杆均为刚体，并忽略摩擦力和空气阻力。
3.1. 边界的物理描述
������������ W
������������ G
图 2 边界
位于导轨两侧且与导轨垂直的墙壁 W 将滑块的运动范围限制在一段线段内，位于导轨 下方的水平地面 G 将摆杆的运动范围限制在 G 以上的半平面内。
当滑块以一定的速度撞击墙壁，则墙壁对滑块产生水平反向的作用力 ，其他情况下 墙壁对系统没有影响。当摆杆以一定角速度撞击地面，地面对摆杆产生竖直向上的作用 力 ，此外，地面为系统提供了另一种平衡状态，即摆杆倒地，地面予以支撑。
(
)
将
代入上式，并在等号两边同乘以 ，整理得：
(
)
(
)
令
，由于
，有：
(
)
得到摆杆与地面碰撞前后
跃变量的数学关系。
3.5. 摆杆受地面支撑
如果摆杆与地面碰撞时角速度很小，则摆杆弹起的高度也很小，摆杆会由于重力矩作用 再次撞击地面。如果碰撞不是完全弹性的，则每次碰撞系统的能量都会减少，直到碰撞 前后摆杆角速度趋近于 0，碰撞的时间间隔亦趋近于 0，最终，摆杆角度保持不变，表 现为受地面支撑，系统平衡。因此，支撑与碰撞是等效的边界行为。