3.4 连续谱本征函数的“归一化”

量子力学教程(第二版) 3.4.1 连续谱本征函数是不能归一化的
在量子力学中, 坐标和动量的取值是连续变化 的; 角动量的取值是离散的; 而能量的取值则视边条 件而定. 例如 一维粒子的动量本征值为 p 的本征函数(平面波)为
p x Ceipx / p 可以取 , 中连续变化的一切实数值.
自然界中实际的物理体系的 H 的本征值都有 下界. 因此, 体系的任何态总可以用包含 H 在内的 一组力学量完全集的共同本征态来展开.
在 H 不显含 t 的情况下,这种力学量完全集称为 守恒量完全集. 在量子力学中, 找寻体系的守恒量完全 集是一个极重要的问题.
3.4 连续谱本征函数的归一化
量子力学教程(第二版)
此时, 与 pn 相应的动量本征态取为
1 ipn x / 1 i2 nx / L pn x e e L L
利用正交归一化条件

L/2
L/ 2
dx * pn x pm x δnm
n
利用这一组正交归一完备的函数 p x ,可以构成 如下 δ 函数: 1 ipn x x / 1 i2 n x x / L δ x x e e L n L n
3.4 连续谱本征函数的归一化
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最后, 当 L 时
px , py , pz 将连续变化
h / L dpxdpy dpz
3 3
而
L3 3 h n ,l , m




d px dp y dpz
1 δ r r 3 h
上式表明, 相空间一个体积元



f x δ x x0 dx f x0
(a)
由Fourier积分公式, 对于分段连续函数 f x
1 ik x x0 f x0 d x d k f x e 2
(b)
比较式(a)与(b), δ 函数也可表成
1 ik x x0 δ x x0 d k e 2
3.4 连续谱本征函数的归一化
量子力学教程(第二版) 3.4.3 箱归一化
平面波的“归一化”问题, 还可以采用数学上传统的做法 即先让粒子局限于有限空间 L / 2, L / 2 中运动 (最 后才让 L ).
3.4



3
de
3 ip r r /
h 相当于有一个量子态.
连续谱本征函数的归一化
量子力学教程(第二版) 3.4.4 力学量完全集
定义
设有一组彼此对易,且函数独立的厄米算符
ˆ A ˆ ,A ˆ , , A 1 2 它们的共同本征函数记为 k ,


k 是
一组量子数的笼统记号. 设给定
x , x δ x x δ x x dx δ x x
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由周期条件, 得 即e
ipL /
e
ipL / 2
e
ipL / 2
,
所以
1, 或 sin pL / 0,cos pL / 1,
1 2
k 之后就能够确定体系的一个可能状态，
ˆ ,A ˆ , A 则称 构成体系的一组力学量完全集.
3.4
连续谱本征函数的归一化
量子力学教程(第二版)
按照态叠加原理, 体系的任何一个状态 均可用 k 展 ˆ 的本征值是离散的) 开 (这里假定 A
ak k ,
k
利用
k 的正交归一性
注意 体系的一组力学量完全集中,力学量的个数
并不一定等于自由度的数目.一般说来,力学量完全集
中力学量的个数≥体系的自由度数目.
用一组力学量完全集的共同本征函数来展开体 系的任意波函数 , 在数学上涉及完备性这样一个颇
为复杂的问题.
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如力学量完全集中包含有体系的 Hamilton量 经验 H , 而 H 本征值又有下界, 则可以证明, 这一组 力学量完全集的共同本征态构成该体系的态空 间的一组完备的基矢, 即体系的任何一个态均 可用它们展开.
如果此波包的广延比所讨论的问题中的特征长度 大得多, 而粒子在此空间区域中各点的概率密度变化 极微, 则不妨用平面波来近似描述其状态.
3.4
连续谱本征函数的归一化
量子力学教程(第二版) 3.4.2
δ 函数
为方便地处理连续谱本征函数的“归一化”, 我们 可以引用数学上的Dirac的 δ 函数.
δ 函数的定义
量子力学中的力学量用相应的线性厄米算符来 表达, 其含义如下:
ˆ 的某一本征值. 实验上观测 A 的可能值, 必为算符 A
在量子态 之下, 力学量 A 的平均值由下式确定,
ˆ A ,A


力学量之间的关系通过相应的算符之间的关系反 映出来. 例如两个力学量 A 与 B 可以同时具有确 ˆ, B ˆ 0. A 定的观测值的必要条件, 在一般情况下,为 ˆ, B ˆ 0,则一般说来, 力学量 A 与 B 不能 A 反之, 若 同时测定.
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特别是, 在H 不显含 t 的情况下,一个力学量 A
ˆ 与 Η ˆ 是否对易来判断. 是否是守恒量,可以根据 A
具体详见 4.1 节!
3.4
连续谱本征函数的归一化
ˆ 此时, 为了保证动量算符 px i x 为厄米算符,就要
求波函数满足周期性边条件.
ipx / 动量本征态为 p x ~ e , 在周期条件下
p L / 2 p L / 2
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因此, 若取动量本征态为
ˆ x 就构成力学量完全集 对于一维粒子, 动量 p ˆ 也可以构成力学量完全集. 与此类似, 坐标 x
对于一维自由粒子 H p2 / 2m, 由于能量本征态有简 并,并不构成力学量完全集.但把空间反射 P 考虑进去, 力学量完全集可以选为 H , P .
3.4
连续谱本征函数的归一化
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δ x x0
x0
0
0,
x x0
x x0
,
x δ x x0 dx δ x x0 dx 1
3.4

( 0)
连续谱本征函数的归一化
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等价地表示为: 对于在 x x0 领域连续的任何函数 f x
L dp h n

1 1 ip x x / ik x x δ x x dpe dke 2π 2π
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结论 在处理具体问题时,如要避免计算过程中出现的平面 波“归一化”困难, 则可以用箱归一化波函数 p x 代替不能归一化的 p x . 在计算的最后结果才让 L .
ak k ,
2
的归一化条件
, ak
k 2
1
这是波函数统计诠释的一般表述.
ห้องสมุดไป่ตู้3.4
ak 表示在 下测量 A 得到 Ak 值的概率.
连续谱本征函数的归一化
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例如 一维谐振子, Hamilton 量本身就构成力学量完全 集(也是守恒量完全集).
pL / 2n,
n 0, 1, 2,
或
p pn
2n nh L L
(粒子波长 h / p L / n ; 即 n / L ). 可以看出
只要 L , 动量的可能取值 p pn 就是不连续的.
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n
三维情况
正交完备的归一化波函数为
1 ipr / p r 3/ 2 e L
则 δ 函数可如下构成: δ r r δ x x δ y y δ z z 1 i2 n x x l y y m z z / 3 e L n,l ,m
1 p x eipx / 2
则
1 i p p x / δ p p p , p 2 dxe
这样,就用 δ 函数的形式把平面波的“归一化” 表示出来了. 同样, 不能归一化的坐标本征态也可类似处理.
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现在让 L , pn pn1 pn h / L 0, 即动量的可能取值趋于连续变化. 此时, 可以把 h / L dp , 而 h pn dp L n n 或 于是
不难看出，只要 C 0, 则



p x dx C
2
2



dx
3.4
连续谱本征函数的归一化
量子力学教程(第二版)
在上例中, p 是不能归一化的. 连续谱的本征函数是不能归一化的. 当然,任何真实的波函数都不会是严格的平 面波, 而是某种形式的波包. 它只在空间某有 限区域不为零.