南京五中2024-2025学年高三7月数学摸底测试卷

南京五中2024-2025学年高三7月数学摸底测试卷
一．选择题
1．若集合，N＝{y|y＝3x2+1}，则M∪N＝（）
A．[0，+∞）B．[0，1]C．[4，+∞）D．[1，+∞）
2．已知复数z满足z（1﹣i）＝|1+i|2，则z＝（）
A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i
3．已知等比数列{a n}的公比为q，若a1+a2＝12，且a1，a2+6，a3成等差数列，则q＝（）A．B．C．3D．﹣3
4．已知，则sinαsinβ＝（）
A．B．C．D．
5.已知轴截面为正三角形的圆锥的体积为，则圆锥的高为（）
A．B．C．D．
6．函数f（x）＝（1﹣）sin x的图象的大致形状是（）
A．B．
C．D．
7．某罐中装有大小和质地相同的4个红球和3个绿球，每次不放回地随机摸出1个球．记R1＝“第一次摸球时摸到红球”，G1＝“第一次摸球时摸到绿球”，R2＝“第二次摸球时摸到红球”，G2＝“第二次摸球时摸到绿球”，R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，则下列说法中正确的是（）A．P（R）＝P（R1）•P（R2）B．P（G）＝P（G1）+P（G2）
C．D．P（G2|G1）+P（G1|G2）＝1
8．纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研
究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量C、放电时间t和放电电流I之间关系的经验公式：C＝Iλt，其中λ为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为7.5A时，放电时间为60h；当放电电流为25A时，放电时间为15h，则该蓄电池的Peukert常数λ约为（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）（）
A．1.12B．1.13C．1.14D．1.15
二．多选题
（多选）9．若正数a，b满足a+b＝1，则（）
A．log2a+log2b≤﹣2B．
C．a+lnb＜0D．
（多选）10．已知函数，则下列结论正确的是（）
A．函数f（x）的单调递增区间是[1，+∞）
B．不等式f（x）＜1的解集是（﹣1，3）
C．函数f（x）的图象关于x＝1对称
D．函数f（x）的值域是R
（多选）11．棱长为2的正方体．ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点，F为正方形C1CDD1内一个动点（包括边界），且B1F∥平面A1BE，则下列说法正确的有（）
A．动点F轨迹的长度为
B．三棱锥B1﹣D1EF体积的最小值为
C．B1F与A1B不可能垂直
D．当三棱锥B1﹣D1DF的体积最大时，其外接球的表面积为
三．填空题
12.已知平面向量，，若，则＝．
13.在2024年巴黎奥运会志愿者活动中，甲、乙、丙、丁4人要参与到A，B，C三个项目的志愿者工作
中，每个项目必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一个项目，若甲只能参加C项目，那么不同的志愿者分配方案共有种（用数字表示）．
14.某个体户计划同时销售A，B两种商品，当投资额为x（x＞0）千元时，在销售A，B商品中所获收益分别为f（x）千元与g（x）千元，其中f（x）＝2x，g（x）＝4ln（2x+1），如果该个体户准备共投入5
千元销售A，B两种商品，为使总收益最大，则B商品需投千元．
四．解答题
15．已知△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且b＝2，a2＝（c﹣1）2+3．（1）求A；
（2）若＝4，求cos C的值．
16．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PC⊥PD，二面角A﹣CD﹣P为直二面角．（1）求证：PB⊥PD；
（2）当PC＝PD时，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值．
17．无人机已广泛用于森林消防、抢险救灾、环境监测等领域．
（1）消防员甲操纵某一品牌的无人机在不同的气候中进行了投弹试验，结果见下表.是否有99.9%的把握认为消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候有关.
晴天
雨天命中4530不命中
5
20
附：
其中n ＝a +b +c +d
α0.150.100.050.0100.001x α
2.072
2.706
3.841
6.635
10.828（2）某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员乙操控无人机对同一目
标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为，每次投弹是否击中目
标相互独立．无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为，击中目标两次起火点被扑灭的概率为
，
击中目标三次起火点必定被扑灭．
（i X 的分布列及数学期望；（ii ）求起火点被无人机击中且被扑灭的概率．
18．已知函数f （x ）＝a （x ﹣1）﹣lnx （a ∈R ）．（1）求函数f （x ）的单调区间；
（2）若f （x ）≥0恒成立，求实数a 的取值集合．
19.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b
的离心率为1
2，左､右焦点分别为1F ，2F ，上､下顶点分别为1A ，2A ，
且四边形1122A F A F 的面积为(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)直线l ：(0)y kx m m 与椭圆C 交于P ，Q 两点，且P ，Q 关于原点的对称点分别为M ，N ，
若2
2
OP OQ
是一个与m无关的常数，则当四边形PQMN面积最大时，求直线l的方程.
南京五中2024-2025学年高三7月数学摸底测试卷
一．选择题
1．若集合，N＝{y|y＝3x2+1}，则M∪N＝（）
A．[0，+∞）B．[0，1]C．[4，+∞）D．[1，+∞）
【解答】解：由x﹣4≥0，得x≥4，故M＝[4，+∞），
由y＝3x2+1，得y≥1，故N＝[1，+∞），
故M∪N＝[1，+∞）．
故选：D．
2．已知复数z满足z（1﹣i）＝|1+i|2，则z＝（）
A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i
【解答】解：∵z（1﹣i）＝|1+i|2＝（）2＝2，
∴z ＝＝＝1+i．
故选：B．
3．已知等比数列{a n}的公比为q，若a1+a2＝12，且a1，a2+6，a3成等差数列，则q＝（）A ．B ．C．3D．﹣3
【解答】解：∵a1，a2+6，a3成等差数列，∴2（a2+6）＝a1+a3，又a1+a2＝12，
∴2（12﹣a1+6）＝a1+a3，整理可得：，
∴，解得：q＝0（舍）或q＝3．
故选：C．
4．已知，则sinαsinβ＝（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ＝，
cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ＝，
两式相减得sinαsinβ＝．
故选：B．
6.已知轴截面为正三角形的圆锥的体积为，则圆锥的高为（）
B．B．C．D．
【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线为l，高为h，
∵圆锥的轴截面为正三角形，
∴l＝2r，h＝r，
依题意，得πr2h＝πr2•r＝，
∴r＝3，h＝3．
故选：D．
6．函数f（x）＝（1﹣）sin x的图象的大致形状是（）
A．B．
C．D．
【解答】解：f（x）＝＝•sin x，
则f（﹣x）＝•sin（﹣x）＝（﹣sin x）＝•sin x＝f（x），
则函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除C，D，
当x＞0，且x→0，f（x）＞0，排除B，
故选：A．
7．某罐中装有大小和质地相同的4个红球和3个绿球，每次不放回地随机摸出1个球．记R1＝“第一次摸球时摸到红球”，G1＝“第一次摸球时摸到绿球”，R2＝“第二次摸球时摸到红球”，G2＝“第二次摸球时摸到绿球”，R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，则下列说法中正确的是（）A．P（R）＝P（R1）•P（R2）B．P（G）＝P（G1）+P（G2）
C．D．P（G2|G1）+P（G1|G2）＝1
【解答】解：对于A，因为R＝R1∩R2，R1，R2不相互独立，所以P（R）≠P（R1）P（R2），故A错误；
对于B，因为，所以P
（G）≠P（G1）+P（G2），故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，则
，故D错误．
故选：C．
8．纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量C、放电时间t和放电电流I之间关系的经验公式：C＝Iλt，其中λ为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为7.5A时，放电时间为60h；当放电电流为25A时，放电时间为15h，则该蓄电池的Peukert常数λ约为（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）（）
A．1.12B．1.13C．1.14D．1.15
【解答】解：由题意可得，，
所以60×7.5λ＝15×25λ，
所以（）λ＝，
则有＝，
则λ＝＝＝≈1.15．
故选：D．
二．多选题
（多选）9．若正数a，b满足a+b＝1，则（）
A．log2a+log2b≤﹣2B．
C．a+lnb＜0D．
【解答】解：因为正数a，b满足a+b＝1，
所以ab＝，当且仅当a＝b＝时取等号，
所以log2a+log2b＝log2ab≤log2＝﹣2，A正确；
＝2＝2，当且仅当a＝b＝时取等号，B正确；
a+lnb＝1﹣b+lnb，0＜b＜1，
令f（x）＝1﹣x+lnx，0＜x＜1，
则＝＞0，
故f（x）在（0，1）上单调递增，f（x）＜f（1）＝0，
所以1﹣x+lnx＜0，
所以1﹣b+lnb＜0，即a+lnb＜0，C正确；
因为＝，当且仅当a＝b＝时取等号，D错误．
故选：ABC．
（多选）10．已知函数，则下列结论正确的是（）
A．函数f（x）的单调递增区间是[1，+∞）
B．不等式f（x）＜1的解集是（﹣1，3）
C．函数f（x）的图象关于x＝1对称
D．函数f（x）的值域是R
【解答】解：对A：令x2﹣2x＞0，解得x＞2或x＜0，故f（x）的定义域为I＝（﹣∞，0）∪（2，+∞），∵y＝log3u在定义域内单调递增，u＝x2﹣2x在（﹣∞，0）上单调递减，在（2，+∞）上单调递
增，故f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，A错误；
对B：，且y＝log3x在定义域内单调递增，
可得0＜x2﹣2x＜3，解得2＜x＜3或﹣1＜x＜0，
故不等式f（x）＜1的解集是（﹣1，0）∪（2，3），B错误．
对C：∵，即f（2﹣x）＝f（x），故函数f（x）的图象关于x＝1对称，C正确；
对D：∵x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1≥﹣1，即y＝x2﹣2x的值域M＝[﹣1，+∞），∵（0，+∞）⊆M，故函数f（x）的值域是R，D正确．
故选：CD．
（多选）11．棱长为2的正方体．ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点，F为正方形C1CDD1内一个动点（包括边界），且B1F∥平面A1BE，则下列说法正确的有（）
A．动点F轨迹的长度为
B．三棱锥B1﹣D1EF体积的最小值为
C．B1F与A1B不可能垂直
D．当三棱锥B1﹣D1DF的体积最大时，其外接球的表面积为
【解答】解：对A选项，如图，分别取C1D1，CC1的中点G，H，
则易知HG∥CD1∥BA1，B1H∥A1E，且HG∩B1H＝H，
∴可得平面B1GH∥平面A1BE，
∴当F为GH上的点时，B1F∥平面A1BE，
∴动点F轨迹为线段GH，又易知GH＝D1C＝，∴A选项正确；
对B选项，由A选项分析可知，当F与G点重合时，△EFD1的面积取得最小值为＝，
∴三棱锥B1﹣EFD1的体积的最小值为＝，
即三棱锥B1﹣D1EF的体积的最小值为，∴B选项正确；
对C选项，由A选项分析可知A1B∥GH，又易知B1G＝B1F＝，
∴当F为GH的中点时，B1F⊥GH，即B1F⊥A1B，∴C选项错误；
对D选项，根据A选项分析可知，当F为CC1的中点时，△D1DF的面积最大，
从而可得三棱锥B1﹣D1DF的体积最大，如图，
取B1D的中点H，连接HF，则易证HF∥AC，且HF＝AC＝，
又易证AC⊥平面BDD1B1，∴HF⊥平面BDD1B1，
又H到D，D1，B1三点的距离相等，直线HF上的点到D，D1，B1三点的距离也相等，
在FH的延长线上取点O，使得OF＝OD1，则O即为三棱锥B1﹣D1DF的外接球的球心，设三棱锥B1﹣D1DF的外接球的半径为R，则R＝OF＝OD1，又易知D1H＝BD1＝，∴在Rt△OD1H中，由勾股定理可得，解得R＝，
∴当三棱锥B1﹣D1DF的体积最大时，其外接球的表面积为4πR2＝，∴D选项正确．故选：ABD．
三．填空题
12.已知平面向量，，若，则＝．
【解答】解：根据题意，平面向量，，
若，则，解得k＝2，
故，
所以．
故答案为：．
13.在2024年巴黎奥运会志愿者活动中，甲、乙、丙、丁4人要参与到A，B，C三个项目的志愿者工作
中，每个项目必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一个项目，若甲只能参加C项目，那么不同的志愿者分配方案共有种（用数字表示）．
【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①只有甲1人参加C项目，将其他3人分成2组，有种分组方法，
将分好的2组全排列，对应AB两个项目，有＝2种情况，
则此时有3×2＝6种分配方案；
②甲和另外1人参加C项目，在乙、丙、丁中任选1人，有种选法，
将其他2人全排列，对应AB两个项目，有＝2种情况，
则此时有3×2＝6种分配方案；
则一共有6+6＝12种不同的分配方案．
故答案为：12．
15.某个体户计划同时销售A，B两种商品，当投资额为x（x＞0）千元时，在销售A，B商品中所获收益分别为f（x）千元与g（x）千元，其中f（x）＝2x，g（x）＝4ln（2x+1），如果该个体户准备共投入5千元销售A，B两种商品，为使总收益最大，则B商品需投千元．
【解答】解：设B商品需投x千元（0≤x≤5），则A商品为（5﹣x）千元，
则：F（x）＝4ln（2x+1）+2（5﹣x）＝4ln（2x+1）﹣2x+10，x∈[0，5]，
所以F′（x）＝，
当0≤x＜1.5时，F′（x）＞0，函数F（x）在[0，1.5）上单调递增，
当1.5＜x≤5时，F′（x）＜0，函数F（x）在（1.5，5]上单调递减，
所以F（x）max＝F（1.5）＝4ln4+7，
所以当B商品投入1.5千元时，总收益最大．
故答案为：1.5．
四．解答题
15．已知△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且b＝2，a2＝（c﹣1）2+3．（1）求A；
（2）若＝4，求cos C的值．
【解答】解：（1）由a2＝（c﹣1）2+3．得a2＝c2﹣2c+4，
又b＝2，得cos A＝＝＝＝，
又因为0＜A＜π，所以A＝；
（2）∵＝4，∴＝2，在△ABC中，由正弦定理＝
得＝，
解得sin B＝，由A＝，得B＜，所以B＝，
因为在△ABC中，A+B+C＝π，
所以cos C＝﹣cos（A+B）＝sin A sin B﹣cos A cos B＝×﹣×＝．
16．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PC⊥PD，二面角A﹣CD﹣P为直二面角．（1）求证：PB⊥PD；
（2）当PC＝PD时，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值．
【解答】解：（1）证明：由于底面ABCD是边长为2的正方形，则BC⊥CD，
由于二面角A﹣CD﹣P为直二面角，则BC⊥平面PCD，
由于PD⊂平面PCD，则PD⊥BC，又PC⊥PD，PC∩BC＝C，PC、BC⊂平面PBC，
则PD⊥平面PBC，由于PB⊂平面PBC，则PB⊥PD．
（2）取CD中点F，连PF、BF，由PC＝PD知PF⊥CD，由于二面角A﹣CD﹣P为直二面角，则PF⊥平面ABC，于是PF⊥BF，由于底面ABCD是边长为2的正方形，则PF＝，
BF＝，于是PB＝，同理PA＝，于是
，又，设C到平面PAB距离为d，则由V P
﹣ABC＝V C﹣PAB得：，于是解得：d＝，故直线PC与平面PAB所成角的正弦值为：．
17．无人机已广泛用于森林消防、抢险救灾、环境监测等领域．
（1）消防员甲操纵某一品牌的无人机在不同的气候中进行了投弹试验，结果见下表.是否有99.9%的把握认为消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候有关.
晴天雨天
命中4530
不命中520
附：其中n＝a+b+c+d
α0.150.100.050.0100.001
xα 2.072 2.706 3.841 6.63510.828（2）某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员乙操控无人机对同一目
标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为，每次投弹是否击中目
标相互独立．无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为，击中目标两次起火点被扑灭的概率为，击中目标三次起火点必定被扑灭．
（i）求起火点被无人机击中次数X的分布列及数学期望；
（ii
【解答】解：（1）零假设H0：消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候无关，
2×2列联表如下：
晴天雨天合计
命中453075
不命中52025
合计5050100
，
根据小概率值α＝0.001的独立性检验，零假设H0不成立，消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候有关．
（2）（i）起火点被无人机击中次数X的所有可能取值为0，1，2，3
，
．
X的分布列如下：
X0123
P
∵，∴．
（ii）击中一次被扑灭的概率为，
击中两次被火扑灭的概率为，
击中三次被火扑灭的概率为，
所求概率．
18．已知函数f（x）＝a（x﹣1）﹣lnx（a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）≥0恒成立，求实数a的取值集合．
【解答】解：（1）由题意得：f（x）定义域为（0，+∞），
则，
当a≤0时，f′（x）＜0，则f（x）单调递减区间为（0，+∞），无单调递增区间；
当a＞0时，令f′（x）＝0，解得，
∴当时，f′（x）＜0；当时，f′（x）＞0，
∴f（x）的单调递增区间为；单调递减区间为；
综上所述：当a≤0时，则f（x）的单调递减区间为（0，+∞），无单调递增区间；当a＞0时，f（x）
的单调递增区间为；单调递减区间为；
（2）当a≤0时，f（2）＝a﹣ln2＜0，不合题意；
当a ＞0时，由（1）知；则1﹣a +lna ≥0；
令g （a ）＝1﹣a +lna ，则
，
∴当a ∈（0，1）时，g ′（a ）＞0；当a ∈（1，+∞）时，g ′（a ）＜0；∴g （a ）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴g （a ）max ＝g （1）＝0，∴实数a 的取值集合为{1}．
19.已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
的离心率为12，左､右焦点分别为1F ，2F ，上､下顶点分别为1A ，2A ，
且四边形1122A F A F 的面积为23.(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)直线l ：(0)y kx m m 与椭圆C 交于P ，Q 两点，且P ，Q 关于原点的对称点分别为M ，N ，
若2
2
OP OQ 是一个与m 无关的常数，则当四边形PQMN 面积最大时，求直线l 的方程.【详解】
（1）12
c e a ，11221
222232
A F A F S c b bc
四边形，所以3bc ，因为a 2＝b 2+c 2，所以a ＝2，3b ，c ＝1，
所以椭圆方程为22
143
x y ．
（2）
如图，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），
222222
222
2112
2112
233||3344
OP OQ x y x y x x x x
22
212
12121166[)24
4x x x x x x
，联立2214
3y kx m
x y
，消去y 整理得（3+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣12＝0，
Δ＝（8km ）2﹣4（4m 2﹣12）
（3+4k 2）＞0，即m 2＜3+4k 2，所以122834km x x k ，2122
412
34m x x k .，22
2
22218824||6[)43434km m OP OQ k k
222222
132********(34)k m m k k ，
因为|OP |2+|OQ |2是一个与m 无关的常数，所以32k 2﹣24＝0，234k
，3
2
k ，1243km x x ，21226
3
m x x ，
PQ
点O 到直线l 的距离O d
，
所以1
2
POQ
O S PQ d
，即m 2＝3，
因为m ＞0，所以m 因为S 四边形MNPQ ＝4S △POQ ，所以S △POQ 最大时，S 四边形MNPQ 最大，
所以3
2l y x
：或32
y x。