2013届新课标高中数学(理)第一轮总复习第15章 第83讲 含有绝对值的不等式

2 x 1 ( x 3) 于是g x | x 2 | | x 3 | 5 (3 x 2)， 2 x 1 ( x 2) 所以g x 5，故m 5.
所以g x ＝ | x－2 | ＋ | x＋3 | 的图象如右图所示，
4.若不等式 | 2 x＋ － | x－4 | m恒成立， 1| 求实数m的取值范围．
【解析】设f x | 2 x 1| | x 4 | ， 1 x 5 (x ) 2 1 则f x 3x 3 ( x 4) , 2 ( x 4) x5
本题主要考查绝对值的意义、绝对值不 等式的解法等基础知识，考查运算求解能
力．不等式恒成立问题一般转化为函数最值
问题，再利用函数图象求最值．
【变式练习3】已知关于x的不等式 | ax 1| | ax a | 1 a 0 ．
1 当a＝1时，求此不等式的解集； 2 若此不等式的解集为R，求实数a的取值
不等式(2)
3 x 3 所以原不等式的解集是 {x|2≤x≤4 或 x= -3}. x 3或x 2
2≤x＜3.
x 3 0 方法2：原不等式 ( x 3) x 2 9 x 3
x 3 x 3或x 2 x = -3或 2≤x≤4. 3 x 4
不含参数的绝对值不 等式的解法
【例1】解不等式 |2x+1|+|x -2|＞4.
1 【解析】当x≤ 2时，
原不等式可化为-2x -1+2 -x>4， 解得 x< -1;
1 当 < x≤2时，原不等式可化为 2
2x+1+2 -x>4, 所以 x >1.
1 又 < x≤2 , 所以 1< x≤2； 2
证明：因为f x x 2 x 1， a ＜1， x 所以 f x f a x 2 x a 2 a x a x a 1 ＜ x a 1 ， | x a 2a 1| x a | 2a 1| ＜1 | 2a 1 2( a | 1)．
x 0 1.解不等式组 2 x 3 x 3 x 2 x
.
x 0 【解析】由题意知 3 x ，得 0< x <3. 3 x 0 故当0< x≤2时，有 3 x 2 x , 得0<x≤2; 3 x 2 x 3 x x 2 当2<x<3时，有 ，得 3 x 2 x
1 由③得 -1 x .综上，得 -1 x 1. 2 所以原不等式的解集为{x | －1 x 1}． 方法2：原不等式即 | 2 x－1 x－2 | ， 两边平方得(2 x－1) 2 ( x－2) 2， 化简整理得x 1，所以－1 x 1.
2
所以原不等式的解集为{x | －1 x 1}．
与含参数的绝对值 不等式有关的问题
【例3】已知函数f(x)＝|x-a|. (1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求 实数a的值； (2)在(1)的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切 实数x恒成立，求实数m的取值范围．
【解析】1由f x 3得 | x a | 3，解得a 3 x a 3， 又已知不等式f x 3的解集为{x | 1 x 5}， a 3 1 所以 ，解得a＝2. a3 5 2 当a 2时，f x | x 2 | . 设g x f x f ( x 5)，
0<x< 6 ，则2< x < 6 .
综上，得原不等式组的解集为(0 , 6 ).
2.若不等式 |ax+2|<6 的解集为(-1 , 2)，求实数 a 的 值. 【解析】 由-1，2是方程 (ax+2)2=36 的两个根，代
入即得 a | x 2 | 0.
【解析】因为 | f a f b || 1 a 1 b |
2 2
1 a 2 1 b2 | a 2 b2 | | a || b | | (a b)(a b) | | ab | | a b | ， 所以原不等式成立．
【解析】当a 0时，x 0; xa 当a 0时， , 即x 2a; x 2a或x a x 2a 当a 0时， , 即x a; x 2a或x a 综上，当a 0时，x | x－a | 2a 的解集是
2
{x | x 2a}； 当a 0时，x | x－a | 2a 2的解集是{x | x －a}．
含有绝对值不等式 的证明
【例4】已知 0, | x a | , | y b | ， 求证：2 x 3 y 2a 3b | 5 . |
【解析】因为 |x -a|<ξ, |y -b|<ξ, 所以|2x+3y -2a -3b|=|(2x -2a)+(3y -3b)| =|2(x-a)+3(y-b)| ≤|2(x-a)|+|3(y-b)| =2|x-a|+3|y-b| <2ξ+3ξ =5ξ. 所以|2x+3y -2a -3b|<5ξ.
当 x >2时，原不等式可化为 2x+1+x -2 >4,
所以 x >
5 3
.
又 x>2 , 所以 x>2. 综上，得原不等式的解集为 {x|x＜-1 或 x >1}.
解含绝对值的不等式，需先去掉绝对值 符号. 含多个绝对值的不等式可利用零 点分段法去掉绝对值符号求解. 如本题 中，令 2x+1=0，x -2=0，得两个零点 1 x1= 1，x2=2. 故分 x≤ ， 1 ＜x≤2 和 2 2 2 x＞2三种情况.
所以原不等式的解集是{x|2≤x≤4 或 x= -3}.
含有参数的绝对值不 等式的解法
【例2】解关于 x 的不等式｜x -a｜< ax(a>0).
【解析】原不等式等价于 –ax < x –a < ax,
(1 a ) x a 即 . (1 a ) x a 1 当a=1时，x > . 2 a a 当0< a <1时， ; x 1 a 1 a a x 当a >1时， . 1 a
【解析】方法1： x2 原不等式等价于不等式组① 2 x 1 ( x 2) 0 1 1 x2 x 或② 或③ 2 2 2 x 1 ( x 2) 0 (2 x 1) ( x 2) 0 1 不等式组①无解；由②得 x 1； 2
理解和掌握含有绝对值的不等式的两个 性质：|a+b|≤|a|+|b| (a , b∈R , ab>0时等号成
立)；|a -c|≤|a-b|+|b-c| (a , b∈R , (a-b)(b-c)≥0
时等号成立)，能解决一些证明和求最值的 问题.
【变式练习4】设f x x 2 x 1，实数a满足 x a ＜ ， 1 求证： x f a ＜2 a 1． f
【变式练习2】解关于x的不等式：
x|x-a|≥2a2.
xa 【解析】原不等式等价于 2 ① 2 x ax 2a xa 或 2 ② 2 x ax 2a xa 由①得 2 ，此不等式组无解； 2 x ax 2a 0 xa 由②得 , ( x 2a )( x a ) 0
综上所述, 当a≥1时，原不等式的解集
a 为{x｜x 1 a };
当 0< a <1时，原不等式的解集为
a a x {x｜ }. 1 a 1 a
) 1｜f ( x｜ g ( x) g ( x)
f ( x) g ( x)；
｜ ) 2 f ( x｜ g ( x) f ( x) g ( x)或f ( x) g ( x)； 3 带参数的含有绝对值的不等式是高考的热点 和难点问题，要求处理好如何去绝对值符号和 解一元一次(或一元二次)不等式的问题.此题也可 用图解法.作出函数y x a , y ax(a 0)的图象 ｜ ｜ ，联立方程组求交点，结合图象得解集，读者不 妨一试.
解析：设f x x 4 x 3 . 要使f x a有解，则a应该大于f x 的最小值． 由含有绝对值的不等式的性质得f x x 4 x 3 x 4 x 3 1， 所以f x 的最小值为1，所 以a 1.故实数a的取值范围是(1， )．
【解析】作出图象可知f x min 所以m f x min 9 ， 2
1 9 f ( ) ， 2 2
9 即实数m的取值范围是(， ]． 2
5.已知函数f x 1 x 2，设a，b R，且a b， 求证：f a f b a b | . |
x 1 3 x 1 解析：原不等式等价于 或 2 x 2 6 4 6 x 3 或 ， 2 x 2 6 解得x 2或x 4， 所以原不等式的解集是(， 4] [2， )．
5.求使不等式 x 4 x 3 a有解的a的取值范围．
3.解不等式3 5 2x 9.
解析： 5 2x 9 3 2x 5 9 3 9 2x 5 3或3 2x 5 9， 解得 2 x 1或4 x 7. 所以原不等式的解集为 2,1 4, 7 ．
4.解不等式 x 1 x 3 6.
范围．
1 【解析】1 当a 1时，得2 | x 1| 1，所以 | x -1| ， 2 3 1 即x 或x . 2 2 1 3 所以不等式的解集为(， ] U[ ，+)． 2 2 2 因为 | ax 1| | ax a || a 1| ， 所以原不等式的解集为R等价于 | a－1| 1. 所以a 2或a 0. 因为a 0，所以a 2. 故实数a的取值范围是[2，＋)．
x2 x2 1.求不等式 | | 的解集． x x
解析：绝对值大于本身，值为负数， x2 即 0，解得0 x 2， x 所以原不等式的解集为 0, 2 ．
2.解不等式 2x2 1 1.
解析：由 2x 2 1 1，得 1 2x 2 1 1， 所以0 x 2 1，即 1 x 1. 所以原不等式的解集为 1,1．
【变式练习 】解不等式 x 9 x 3. 1
2
【解析】方法1：
x2 9 0 (1) x 9 0 原不等式 或(2) 2 9 x2 x 3 x 9 x 3
2
x 3或x 3 不等式(1) x= -3 或 3≤x≤4； 3 x 4