2019届一轮复习人教A版理 选修4-4 第1节 坐标系 教案

选修4－4 坐标系与参数方程
第一节 坐标系
[考纲传真] (教师用书独具)1.理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．
(对应学生用书第198页)
[基础知识填充]
1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：
⎩⎨⎧
x ′＝λx ，λ＞0，
y ′＝μy ，μ＞0
的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．
2．极坐标系与点的极坐标
(1)极坐标系：如图1所示，在平面内取一个定点O (极点)，自极点O 引一条射线Ox (极轴)；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
图1
(2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角．
3．极坐标与直角坐标的互化
4.
(1)直线l 过极点，且极轴到此直线的角为α，则直线l 的极坐标方程是θ＝α(ρ∈R )．
(2)直线l 过点M (a,0)且垂直于极轴，则直线l 的极坐标方程为ρcos θ＝a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π
2＜θ＜π2. (3)直线过M ⎝ ⎛
⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴，则直线l 的极坐标方程为ρsi n θ＝b (0＜θ
＜π)．
[基本能力自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．( )
(2)若点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的一个极坐标是⎝ ⎛
⎭⎪⎫2，－π3.( )
(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．( ) (4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．(教材改编)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( )
A ．ρ＝
1cos θ＋si n θ
，0≤θ≤π
2
B ．ρ＝
1cos θ＋si n θ
，0≤θ≤π
4
C ．ρ＝cos θ＋si n θ，0≤θ≤π
2 D ．ρ＝cos θ＋si n θ，0≤θ≤π
4
A [∵y ＝1－x (0≤x ≤1)，
∴ρsi n θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)， ∴ρ＝
1
si n θ＋cos θ⎝
⎛
⎭⎪⎫0≤θ≤π2.]
3．(2017·北京高考)在极坐标系中，点A 在圆ρ2－2ρcos θ－4ρsi n θ＋4＝0上，点P 的坐标为(1,0)，则|AP |的最小值为________．
1 [由ρ2－2ρcos θ－4ρsi n θ＋4＝0，得 x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0， 即(x －1)2＋(y －2)2＝1， 圆心坐标为C (1,2)，半径长为1. ∵点P 的坐标为(1,0)， ∴点P 在圆C 外． 又∵点A 在圆C 上， ∴|AP |mi n ＝|PC |－1＝2－1＝1.]
4．已知直线l 的极坐标方程为2ρsi n ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ－π4＝2，点A 的极坐标为
A ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫22，7π4，则点A 到直线l 的距离为______． 522 [由2ρsi n
⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ－π4＝2，得2ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22si n θ－22cos θ＝2， ∴y －x ＝1.
由A ⎝ ⎛
⎭⎪⎫22，7π4，得点A 的直角坐标为(2，－2)．
∴点A 到直线l 的距离d ＝
|2＋2＋1|2
＝52
2.]
5．已知圆C 的极坐标方程为ρ2
＋22ρ·si n ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
θ－π4－4＝0，求圆C 的半径．
[解] 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .
圆C 的极坐标方程可化为ρ2＋22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22si n θ－2
2cos θ－4＝0，
化简，得ρ2＋2ρsi n θ－2ρcos θ－4＝0.
则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6， 所以圆C 的半径为 6.
(对应学生用书第199页)
在平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：
⎩⎨⎧
x ′＝3x ，
2y ′＝y .
(1)求点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫
13，－2经过φ变换所得点A ′的坐标；
(2)求直线l ：y ＝6x 经过φ变换后所得直线l ′的方程． [解] (1)设点A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换 φ：⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝3x ，
2y ′＝y ，得⎩⎨⎧
x ′＝3x ，y ′＝y
2，
∴x ′＝1
3×3＝1，y ′＝－22＝－1. ∴点A ′的坐标为(1，－1)．
(2)设P ′(x ′，y ′)是直线l ′上任意一点． 由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝3x ，2y ′＝y ，得⎩⎨
⎧
x ＝x ′3
，y ＝2y ′，
代入y ＝6x ，
得2y ′＝6·x ′
3＝2x ′，
∴y ＝x 即为所求直线l ′的方程．
[规律方法] 伸缩变换后方程的求法,平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)
的作用下的变换方程的求法是将⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝x ′
λ，
y ＝y ′
μ
代入y ＝f (x )，得
y ′μ＝f ⎝ ⎛⎭⎪
⎫
x ′λ，整理之后得到y ′＝h (x ′)，即为所求变换之后的方程.
易错警示：应用伸缩变换时，要分清变换前的点的坐标(x ，y )与变换后的点的坐标(x ′，y ′).
[跟踪训练] 求椭圆x 2
4＋y 2＝1，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝12x ，y ′＝y
后的曲线方程.
【导学号：97190390】
[解]
由⎩⎨
⎧
x ′＝1
2x ，
y ′＝y ，
得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2x ′，y ＝y ′.
① 将①代入x 24＋y 2
＝1，得4x ′2
4＋y ′2＝1， 即x ′2＋y ′2＝1.
因此椭圆x 24＋y 2
＝1经过伸缩变换后得到的曲线方程是x 2＋y 2＝1.
(2016·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝
25.
(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； (2)直线l 的参数方程是⎩⎨⎧
x ＝t cos α，y ＝t si n α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |
＝10，求l 的斜率．
[解] (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsi n θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.
(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )． 设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0，
于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2
＝
144cos 2α－44.
由|AB |＝10得cos 2α＝38，ta n α＝±153.
所以l 的斜率为153或－15
3.
[规律方法] 1.极坐标与直角坐标互化公式的三个前提条件 (1)取直角坐标系的原点为极点． (2)以x 轴的非负半轴为极轴． (3)两种坐标系规定相同的长度单位． 2.极坐标与直角坐标互化的策略
(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsi n θ直接代入并化简即可；
(2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如ρcos θ，ρsi n θ，ρ2的形式，进行整体代换.
[跟踪训练] (2018·合肥二检)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.
(1)求出圆C 的直角坐标方程；
(2)已知圆C 与x 轴相交于A ，B 两点，直线l ：y ＝2x 关于点M (0，m )(m ≠0)对称的直线为l ′.若直线l ′上存在点P 使得∠APB ＝90°，求实数m 的最大值．
[解] (1)由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，即x 2＋y 2－4x ＝0，即圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝4.
(2)直线l ：y ＝2x 关于点M (0，m )的对称直线l ′的方程为y ＝2x ＋2m ，而AB 为圆C 的直径，故直线l ′上存在点P 使得∠APB ＝90°的充要条件是直线l ′与圆C 有公共点，
故|4＋2m |
5
≤2，解得－2－5≤m ≤5－2，
所以实数m 的最大值为5－2.
(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半
轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.
(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；
(2)设点A 的极坐标为⎝ ⎛
⎭⎪⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值．
[解] (1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)． 由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4
cos θ.
由|OM |·|OP |＝16得C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ＞0)． 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)．
由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积
S ＝12|OA |·ρB ·si n ∠AOB ＝4cos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪si n ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α－π3＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3－32≤2＋ 3. 当α＝－π
12时，S 取得最大值2＋ 3. 所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.
[规律方法] 在用方程解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题时，将极坐标方程化为直角坐标方程，有助于对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是转化与化归思想的应用.
[跟踪训练] (2017·太原市质检)已知曲线C 1：x ＋3y ＝3和C 2：⎩⎨⎧
x ＝6cos φ，y ＝2si n φ
(φ为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．
(1)把曲线C 1和C 2的方程化为极坐标方程；
(2)设C 1与x ，y 轴交于M ，N 两点，且线段MN 的中点为P .若射线OP 与C 1，C 2交于P ，Q 两点，求P ，Q 两点间的距离. 【导学号：97190391】
[解] (1)曲线C 1化为ρcos θ＋3ρsi n θ＝ 3. ∴ρsi n ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ＋π6＝32.
曲线C 2化为x 26＋y 2
2＝1.(*) 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsi n θ代入(*)式
得ρ26cos 2θ＋ρ22si n 2
θ＝1，即ρ2(cos 2θ＋3si n 2θ)＝6. ∴曲线C 2的极坐标方程为ρ2＝6
1＋2si n 2
θ. (2)∵M (3，0)，N (0,1)，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫
32，12，
∴OP 的极坐标方程为θ＝π
6，
把θ＝π6代入ρsi n ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝32得ρ1＝1，P ⎝ ⎛
⎭⎪⎫1，π6.
把θ＝π
6代入ρ2＝
6
1＋2si n 2
θ
得ρ2＝2，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6. ∴|PQ |＝|ρ2－ρ1|＝1， 即P ，Q 两点间的距离为1.。