鸡西市第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

鸡西市第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 设集合，，则（ ）
{}|||2A x R x =∈≤{}|10B x Z x =∈-≥A B = A.
B.
C. D. {}|12x x <≤{}|21x x -≤≤{}
2,1,1,2--{}
1,2【命题意图】本题考查集合的概念，集合的运算等基础知识，属送分题．2． 曲线y=x 3﹣2x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角为（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．120°3． 若函数()()()()()1cos sin cos sin 3sin cos 412f x x x x x a x x a x =-++-+-在02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，上单调递增，则实数的取值范围为（
）
A ．117⎡⎤⎢⎥⎣⎦，
B ．117⎡
⎤-⎢⎥
⎣
⎦，C.1
(][1)7
-∞-+∞ ，， D ．[1)
+∞，4． 一个几何体的三视图如图所示，如果该几何体的侧面面积为12π，则该几何体的体积是（
）
A ．4π
B ．12π
C ．16π
D ．48π
5． 用反证法证明命题“a ，b ∈N ，如果ab 可被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除．”则假设的内容是（ ）
A ．a ，b 都能被5整除
B ．a ，b 都不能被5整除
C ．a ，b 不能被5整除
D ．a ，b 有1个不能被5整除
6． 如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱线长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF=，则下列结论中
错误的是（
）
A ．AC ⊥BE
B ．EF ∥平面ABCD
C ．三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值
D ．异面直线A
E ，B
F 所成的角为定值
7． 阅读如下所示的程序框图，若运行相应的程序，则输出的的值是（ ）
S A ．39
B ．21
C ．81
D ．
102
8． 如图所示，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面对角线A 1C 1的中点，若=
+x +y
，则（
）
A ．x=
﹣B ．
x=C ．x=
﹣D ．x=
9． 若,则的值为（ ）()()()()2,106,10x x f x f f x x -≥⎧⎪=⎨+<⎡
⎤⎪⎣⎦⎩()5f A ． B ． C.
D ．10111213
10．已知直线的参数方程为（为参数，为直线的倾斜角），以原点O 为极点，轴
l 1cos sin x t y t α
α
=+⎧⎪⎨=+⎪⎩t αl x 正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，直线与圆的两个交点为，当C 4sin(3
π
ρθ=+
l C ,A B 最小时，的值为（ ）
||AB αA ．
B ．
C ．
D ．4
π
α=
3
π
α=
34
πα=
23
π
α=
11．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下面四个命题：（1）α∥β⇒l ⊥m ，（2）α⊥β⇒l ∥m ，（3）l ∥m ⇒α⊥β，（4）l ⊥m ⇒α∥β，其中正确命题是（
）
A ．（1）与（2）
B ．（1）与（3）
C ．（2）与（4）
D ．（3）与（4）
12．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b=a ；当a ＜b 时，a ⊕b=b 2，则函数f （x ）=（1⊕x ）x ﹣（2⊕x ），x ∈[﹣2，2]的最大值等于（ ）
A ．﹣1
B ．1
C ．6
D ．12
二、填空题
13．某种产品的加工需要 A ，B ，C ，D ，E 五道工艺，其中 A 必须在D 的前面完成（不一定相邻），其它工艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了节省加工时间，B 与C 必须相邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有 种．（用数字作答）
14．阅读下图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的的值等于_________. n 15．已知双曲线的标准方程为
，则该双曲线的焦点坐标为， 渐近线方程为
．
16．已知函数322()f x x ax bx a =++--b
a
的值为 ▲ ．
17．已知一组数据，，，，，，，，（）1x 2x 3x 4x 1ax 2ax 3ax 4ax 5ax 0a >的标准差是，则
．
a =18．2cm 和4cm ,侧棱长为
2cm ,则其
表面积为__________2cm .
三、解答题
19．如图所示，一动圆与圆x 2+y 2+6x+5=0外切，同时与圆x 2+y 2﹣6x ﹣91=0内切，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线．
20．设集合.
{}
()(
){
}
2
2
2
|320,|2150A x x x B x x a x a =-+==+-+-=（1）若,求实数的值；{}2A B = （2）,求实数的取值范围.1111]
A B A = 21．设锐角三角形的内角所对的边分别为．ABC ,,A B C ,,a b c 2sin a b A =（1）求角的大小；
B
（2）若，，求．
a =5c =
22．（本小题满分12分）
设函数()()2741201x x f x a a a --=->≠且.
（1）当a =
时，求不等式()0f x <的解集；（2）当[]01x ∈，
时，()0f x <恒成立，求实数的取值范围．23．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E 、F 在AB 上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x （cm ）．（1）若广告商要求包装盒侧面积S （cm 2）最大，试问x 应取何值？
（2）若广告商要求包装盒容积V （cm 3）最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
24．已知函数f （x ）=lnx+ax 2+b （a ，b ∈R ）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=1处的切线为y=﹣1，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求证：对任意给定的正数m，总存在实数a，使函数f（x）在区间（m，+∞）上不单调；
（Ⅲ）若点A（x1，y1），B（x2，y2）（x2＞x1＞0）是曲线f（x）上的两点，试探究：当a＜0时，是否存在实数x0∈（x1，x2），使直线AB的斜率等于f'（x0）？若存在，给予证明；若不存在，说明理由．
鸡西市第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题
1． 【答案】D 【解析】由绝对值的定义及，得，则，所以，故选D.
||2x ≤22x -≤≤{}|22A x x =-≤≤{}1,2A B = 2． 【答案】B
【解析】解：y /=3x 2﹣2，切线的斜率k=3×12﹣2=1．故倾斜角为45°．故选B ．
【点评】本题考查了导数的几何意义，以及利用正切函数的图象求倾斜角，本题属于容易题．　
3． 【答案】D 【
解
析
】
考
点：1、导数；2、单调性；3、函数与不等式.
4． 【答案】B
【解析】解：由三视图可知几何体是底面半径为2的圆柱，∴几何体的侧面积为2π×2×h=12π，解得h=3，∴几何体的体积V=π×22×3=12π．故选B ．
【点评】本题考查了圆柱的三视图，结构特征，体积，表面积计算，属于基础题．　
5． 【答案】B
【解析】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．
命题“a ，b ∈N ，如果ab 可被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除．”的否定是“a ，b 都不能被5整除”．故应选B ．
【点评】反证法是命题的否定的一个重要运用，用反证法证明问题大大拓展了解决证明问题的技巧．　
6． 【答案】 D
【解析】解：∵在正方体中，AC ⊥BD ，∴AC ⊥平面B 1D 1DB ，BE ⊂平面B 1D 1DB ，∴AC ⊥BE ，故A 正确；∵平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，EF ⊂平面A 1B 1C 1D 1，∴EF ∥平面ABCD ，故B 正确；
∵EF=
，∴△BEF 的面积为定值×EF ×1=
，又AC ⊥平面BDD 1B 1，∴AO 为棱锥A ﹣BEF 的高，∴三棱锥
A ﹣BEF 的体积为定值，故C 正确；
∵利用图形设异面直线所成的角为α，当E 与D 1重合时sin α=，α=30°；当F 与B 1重合时tan α=，∴异面
直线AE 、BF 所成的角不是定值，故D 错误；故选D ．
7． 【答案】]【解析】
试题分析：第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：．结束循环，2,3==n S 3,21==n S 4,102==n S 输出．故选D. 1102=S 考点：算法初步．8． 【答案】A
【解析】解：根据题意，得；
=+（+
）
=
++
=﹣+，
又∵
=
+x
+y
，
∴x=﹣，y=，故选：A ．
【点评】本题考查了空间向量的应用问题，是基础题目．　
9． 【答案】B 【
解
析
】
考
点：函数值的求解.10．【答案】A
【解析】解析：本题考查直线的参数方程、圆的极坐标方程及其直线与圆的位置关系．在直角坐标系中，圆C
的方程为，直线的普通方程为，直线过定点，∵
2
2
((1)4x y +-=l tan (1)y x α-=-l M ，∴点在圆的内部．当最小时，直线直线，，∴直线的斜率为，∴
||2MC <M C ||AB l ⊥MC 1MC k =-l 1，选A ．
4
π
α=
11．【答案】B
【解析】解：∵直线l ⊥平面α，α∥β，∴l ⊥平面β，又∵直线m ⊂平面β，∴l ⊥m ，故（1）正确；∵直线l ⊥平面α，α⊥β，∴l ∥平面β，或l ⊂平面β，又∵直线m ⊂平面β，∴l 与m 可能平行也可能相交，还可以异面，故（2）错误；
∵直线l ⊥平面α，l ∥m ，∴m ⊥α，∵直线m ⊂平面β，∴α⊥β，故（3）正确；
∵直线l ⊥平面α，l ⊥m ，∴m ∥α或m ⊂α，又∵直线m ⊂平面β，则α与β可能平行也可能相交，故（4）错误；故选B ．
【点评】本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，其中熟练掌握空间中直线与平面位置关系的判定及性质定理，建立良好的空间想像能力是解答本题的关键．　
12．【答案】C 【解析】解：由题意知
当﹣2≤x ≤1时，f （x ）=x ﹣2，当1＜x ≤2时，f （x ）=x 3﹣2，
又∵f （x ）=x ﹣2，f （x ）=x 3﹣2在定义域上都为增函数，∴f （x ）的最大值为f （2）=23﹣2=6．故选C ．　
二、填空题
13．【答案】　24　
【解析】解：由题意，B 与C 必须相邻，利用捆绑法，可得=48种方法，
因为A 必须在D 的前面完成，所以完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有48÷2=24种，
故答案为：24．
【点评】本题考查计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础．　
14．【答案】
6【解析】解析：本题考查程序框图中的循环结构．第1次运行后，；第2次运行后，
9,2,2,S T n S T ===>；第3次运行后，；第4次运行后，13,4,3,S T n S T ===>17,8,4,S T n S T ===>；第5次运行后，，此时跳出循环，输出结果21,16,5,S T n S T ===>25,32,6,S T n S T ===<6
n =程序结束．
15．【答案】　（±，0） y=±2x ．
【解析】解：双曲线的a=2，b=4，
c=
=2
，
可得焦点的坐标为（±
，0），
渐近线方程为y=±x ，即为y=±2x ．故答案为：（±，0），y=±2x ．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是焦点的求法和渐近线方程的求法，考查运算能力，属于基础题
．　
16．【答案】12
-
考
点：函数极值
【方法点睛】函数极值问题的常见类型及解题策略
（1）知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号.
（2）已知函数求极值.求f ′（x ）―→求方程f ′（x ）＝0的根―→列表检验f ′（x ）在f ′（x ）＝0的根的附近两侧的符号―→下结论.
（3）已知极值求参数.若函数f （x ）在点（x 0，y 0）处取得极值，则f ′（x 0）＝0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反.17．【答案】2【解析】
试题分析：第一组数据平均数为，
2)((()()(,2
52
42
32
22
1=-+-+-+-+-∴x x x x x x x x x x x ．
22222212345()()()()()8,4,2ax ax ax ax ax ax ax ax ax ax a a -+-+-+-+-=∴=∴=考点：方差；标准差．
18．【答案】20+【解析】
考
点：棱台的表面积的求解.
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（方法一）设动圆圆心为M （x ，y ），半径为R ，设已知圆的圆心分别为O 1、O 2，将圆的方程分别配方得：（x+3）2+y 2=4，（x ﹣3）2+y 2=100，当动圆与圆O 1相外切时，有|O 1M|=R+2…①当动圆与圆O 2相内切时，有|O 2M|=10﹣R …②将①②两式相加，得|O 1M|+|O 2M|=12＞|O 1O 2|，
∴动圆圆心M （x ，y ）到点O 1（﹣3，0）和O 2（3，0）的距离和是常数12，所以点M 的轨迹是焦点为点O 1（﹣3，0）、O 2（3，0），长轴长等于12的椭圆．∴2c=6，2a=12，∴c=3，a=6∴b 2=36﹣9=27∴圆心轨迹方程为
，轨迹为椭圆．
（方法二）：由方法一可得方程
，移项再两边分别平方得：2
两边再平方得：3x 2+4y 2﹣108=0，整理得所以圆心轨迹方程为
，轨迹为椭圆．
【点评】本题以两圆的位置关系为载体，考查椭圆的定义，考查轨迹方程，确定轨迹是椭圆是关键．　
20．【答案】（1）或；（2）．1a =5a =-3a >【解析】
（2） .
{}{}1,2,1,2A A B == ①无实根,, 解得;
()()
2
2
,2150B x a x a =∅+-+-=0∆<3a >② 中只含有一个元素，仅有一个实根,
B ()()
2
2
2150x a x a +-+-=故舍去;
{}{}0,3,2,2,1,2a B A B ∆===-=- ③中只含有两个元素，使 两个实根为和,
B ()()
2
2
2150x a x a +-+-=需要满足方程组无根，故舍去, 综上所述]
()2
212121=a 5
a ⎧+=--⎪⎨
⨯-⎪⎩3a >考点：集合的运算及其应用.21．【答案】（1）；（2）．
6
B π
=
b =【解析】1111]
（2）根据余弦定理，得
，
2222cos 2725457b a c ac B =+-=+-=
所以.
b =
考点：正弦定理与余弦定理．
22．【答案】（1）158⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭，；（2）()11128a ⎫∈⎪⎪⎭
，，．【解析】
试题分析：（1）由于1
2
2a -==⇒()141272
22x x ---<⇒()127412x x -<--⇒158
x <⇒原不等式的解集为158⎛⎫-∞ ⎪
⎝
⎭，；（2）由()()2741
44227lg 241lg lg lg 0128x x a a x x a x a --<⇒-<-⇒+<A ．设()44lg lg 128a g x x a =+A ，
原命题转化为()()10
12800g a g <⎧⎪⇒<⎨<⎪⎩
⇒又0a >且1a ≠⇒()11128a ⎫∈⎪⎪⎭ ，，．考
点：1、函数与不等式；2、对数与指数运算.
【方法点晴】本题考查函数与不等式、对数与指数运算，涉及函数与不等式思想、数形结合思想和转化化高新，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力与能力，综合性较强，属于较难题型. 第一小题利用函数
与不等式思想和转化化归思想将原不等式转化为()127412x x -<--，解得15
8
x <；第二小题利用数学结合思
想和转化思想，将原命题转化为()()10
12800
g a g <⎧⎪⇒<⎨<⎪⎩ ，进而求得：()11128a ⎫∈⎪⎪⎭ ，，．
23．【答案】
【解析】解：设包装盒的高为h （cm ），底面边长为a （cm ），则a=x ，h=
（30﹣x ），0＜x ＜30
．
（1）S=4ah=8x （30﹣x ）=﹣8（x ﹣15）2+1800，∴当x=15时，S 取最大值．
（2）V=a 2h=2（﹣x 3+30x 2），V ′=6
x （20﹣x ），
由V ′=0得x=20，
当x ∈（0，20）时，V ′＞0；当x ∈（20，30）时，V ′＜0；∴当x=20时，包装盒容积V （cm 3）最大，此时，
．
即此时包装盒的高与底面边长的比值是．
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由已知得解得…
此时
，
（x ＞0）．
令f'（x ）=0，得x=1，f （x ），f'（x ）的变化情况如下表：x （0，1）1（1，+∞）f'（x ）+0﹣f （x ）
单调递增
极大值
单调递减
所以函数f （x ）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）． (Ⅱ)
（x ＞0）．
（1）当a ≥0时，f'（x ）＞0恒成立，此时，函数f （x ）在区间（0，+∞）上单调递增，不合题意，舍去．…（2）当a ＜0时，令f'（x ）=0，得，f （x ），f'（x ）的变化情况如下表：
x （0，）
（，+∞）
f'（x ）+0﹣f （x ）
单调递增
极大值单调递减所以函数f （x ）的增区间为（0，
），减区间为（
，+∞）．…
要使函数f（x）在区间（m，+∞）上不单调，须且只须＞m，即．
所以对任意给定的正数m，只须取满足的实数a，就能使得函数f（x）在区间（m，+∞）上不
单调．…
（Ⅲ）存在实数x0∈（x1，x2），使直线AB的斜率等于f'（x0）．…
证明如下：令g（x）=lnx﹣x+1（x＞0），则，
易得g（x）在x=1处取到最大值，且最大值g（1）=0，即g（x）≤0，从而得lnx≤x﹣1．（*）…
由，得．…
令，，则p（x），q（x）在区间[x1，x2]上单调递增．
且，
，
结合（*）式可得，，
．
令h（x）=p（x）+q（x），由以上证明可得，h（x）在区间[x1，x2]上单调递增，且h（x1）＜0，h（x2）＞0，…
所以函数h（x）在区间（x1，x2）上存在唯一的零点x0，
即成立，从而命题成立．…
（注：在（Ⅰ）中，未计算b的值不扣分．）
【点评】本小题主要考查函数导数的几何意义、导数的运算及导数的应用，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想．。