第二章平面问题的基本理论_第一次

2.3 一点的应力状态和主应力 2.3 .1一点的应力状态 一点的应力状态 设 任 一 点 P 在 坐 标 轴 上 的 应 力 分 量 σx,σy,τxy 已 知 , 见 σ τ Fig.2.4(a), 试求经过该点 平行于 轴,而倾斜于 和 y 轴的任意斜面 试求经过该点, 平行于z 而倾斜于x 而倾斜于 上的应力。 上的应力。 我们取一个面AB ,平行于上述斜面 并与经过 点而垂直于 和 y 平行于上述斜面, 点而垂直于x 我们取一个面 平行于上述斜面 并与经过P点而垂直于 轴的两个平面划出一个微小的三角板或三棱柱PAB, 见图 见图2.4(b). 轴的两个平面划出一个微小的三角板或三棱柱 用 n 代表 AB面的外法线 用l 和 m 表示法线n 和 x , y 之间的角 面的外法线, 表示法线 面的外法线 度的方向余弦, 度的方向余弦
Shaft
Dam
如图2.2所示， 所示， 如图 所示 (1) 以任一横截面为 xy 面, 任一纵线为 轴, 任一纵线为z轴 则所有一切应力分量、 则所有一切应力分量、形变分量和位移分量 都不沿z方向变化 而只是x 方向变化, 的函数。 都不沿 方向变化 而只是 和 y 的函数。 (2) 由于对称性 在z轴方向上不能有任何位移和形变， 由于对称性, 轴方向上不能有任何位移和形变， 轴方向上不能有任何位移和形变 图2.2 故有w = 0 和εz = 0。 故有 。 (3) 由于对称性，应有 τ xz = 0 , τ yz = 0 . 由于对称性， 又有剪应力互等定理有
2
= 0,
(τ zy )
z =±
δ
2
= 0.
由于板很薄, 外力不沿厚度变化, 应力沿板的厚度又是连续分布, 由于板很薄 外力不沿厚度变化 应力沿板的厚度又是连续分布 因此, 因此 可以认为薄板所有的点都有
σ z = 0,
τ zx = τ xz = 0 ,
τ zy = τ yz = 0.
即，平面应力状态只有三个应力分量: σx,σy 和 τxy=τyx 平面应力状态只有三个应力分量
τ zx = 0 , τ zy = 0 .
ε z = γ zy = γ zx = 0
(4)由于胡克定律，有 γ zx = γ zy 。 由于胡克定律， 由于胡克定律 因此只有三个形变分量
{ε } = {ε x ε y γ xy }
2.2 平衡微分方程
从 图2.1的板中 或图2.2 柱形体中, 取出一个微小正平行六面体, 的板中 或图 柱形体中 取出一个微小正平行六面体 它在x 它在 方向 和y方向 的 尺寸分别是 dx and dy (见图 2.3)。为简便 方向 见图 。为简便, Z方向的尺寸取单位长度。 方向的尺寸取单位长度。 方向的尺寸取单位长度 一般地说, 的函数, 一般地说 应力分量是 x 和 y的函数 因此作用在左右两面 或 上下 的函数 两面的应力分量是不相同的. 例如, 两面的应力分量是不相同的 例如 设左侧的 正应力 是 σx , 则作用 在右侧的应力分量, 坐标的改变, 可以用Taylor’s 级数表示如 在右侧的应力分量 由于 x 坐标的改变 可以用 下: 2
两边除于dxdy, 并合并相同的项, 得
τ xy
1 ∂τ xy 1 ∂τ yx + dx = τ yx + dy 2 ∂x 2 ∂y
略去微小量, 得
τ xy = τ yx
(2.1)
其次, 以 x 轴为投影轴，列出力的平衡方程 ΣFx =0
∂σ x dx dy × 1 − σ x dy × 1 + σ x + ∂x ∂τ τ yx + yx dy dx × 1 − τ yx dx × 1 + f x dxdy × 1 = 0 ∂y
在应力主面, 由于剪应力等于零, 在应力主面 由于剪应力等于零 全应力就等于该面上的 正应力, σ,即 =p.这样 这样, 正应力 也就是主应力 σ,即σ=p.这样,它在 x 和 y 轴上的 投影为 p x = lp = lσ , p y = mp = mσ 将(2.3)代入, 即得 lσ = lσ x + mτ xy , 解出比值m/l , 得
设通过P点的某一斜面上的 剪应力 等于零, 那这个面 就叫做在 P点的应力主面 principal plane of stress), 而这 应力主面( 应力主面 个面的 主应力被叫做在P点的主应力 principal stress), 主应力( 主应力 该斜面的法线方向称为在P 点的主应力主向。 主应力主向。 主应力主向
∂σ x ∂τ yx + + f x = 0 ∂x ∂y ∂σ y ∂τ xy + + f y = 0 ∂y ∂x
在这两个方程中, 包含3个未知量 个未知量, 在这两个方程中 包含 个未知量 即 σx,σy andτxy=τyx. 因此 σ τ τ 因此, 确定应力分量的弹性问题是超静定的，要解出未知应力分量， 确定应力分量的弹性问题是超静定的，要解出未知应力分量， 还 要考虑几何和物理关系. 要考虑几何和物理关系
σy +
∂σ y ∂y dy
τ yx +
∂τ yx ∂y
dy
以通过中心点C 面的直线为轴, 列出力矩的平衡方程： 以通过中心点 并垂直于 xy 面的直线为轴 列出力矩的平衡方程： ΣMC =0
∂τ xy dx dx τ xy + dy × 1 × dx + τ xy dy × 1 × − 2 2 ∂x ∂τ yx dy dy τ yx + − τ yx dx × 1 × =0 dy dx × 1 × ∂y ∂y 2 2
2
(2.6)
从 Eqs.(2.6), 我们可推出 σ1 + σ 2 = σ x + σ y 设α1 为σ1 和 x axis 之间的夹角, 如 图 α 1 cos(90 0 − α 1 ) m1 tan α 1 = = = cos α 1 cos α 1 l1 这里 l1 and m1 是are σ1 的方向余弦. 利用公式 (a)中的第一式, 可得 σ1 − σ x tan α 1 = (a) τ
2.1.2 平面应变问题 平面应变问题(plane strain problem) 设有很长的柱形体, 它的横截面不沿长度变化, 设有很长的柱形体 它的横截面不沿长度变化 在柱面上受 有平行于横截面并且不沿长度变化的面力或约束。同时, 有平行于横截面并且不沿长度变化的面力或约束。同时 体力 也平行于横截面并且不沿长度变化, 则这种情况叫平面应变。 也平行于横截面并且不沿长度变化 则这种情况叫平面应变。
p x ds − σ x lds − τ xy mds + f x ldsmds =0 2
向分量， 趋向零, 这里 fx 是 体积力 沿x 向分量，上式除于 ds, 然后令 ds 趋向零 即得
p x = lσ x + mτ xy
同样可以由力的平衡Σ 得出一个相似的方程， 同样可以由力的平衡ΣFy =0, 得出一个相似的方程，总共得两个方 程:
工程实例
如图2.1所示，假定薄板的厚度为δ，以 所示，假定薄板的厚度为 ， 如图 所示 薄板的中面为 x y面 ,以垂直于中面的任 以垂直于中面的任 因为板面上( 一直线为 z 轴. 因为板面上 不受力, 不受力 所以有
z = ±
δ
2
)
图2.1
(σ z )
z =±
δ
2
=0,
(τ zx )
z =±
δ
(2.4)
设斜面AB上的剪应力为 设斜面 上的剪应力为τn.则由 px and py 在垂直法线 n 方向上的投 则由 影得: 影得
τ n = lp y − mp x
将式(2.3)代入 即得 代入,即得 将式 代入
τ n = lm(σ y − σ x ) + (l 2 − m 2 )τ xy
(2.5)
2 .4 几何方程 刚体位移
2.4.1几何方程 现在考虑几何学方面的问题. 几何方程: 几何方程 在弹性体中的任一点 P , 沿坐标轴正方向取两个微小长度的线 段 PA=dx 和PB=dy (图2.5). 物体变形后, 点 P, A, B 移动到 P’, A’, B’. 设点P 在x 轴方向的位移是u, 则点A在x 轴方向的位移是 ∂u u+ dx ∂x 可见线段PA的线应变是 ∂u dx − u u + ∂u ∂x = εx = dx ∂x
mσ = mσ y + lτ xy
m σ −σ x = , l τ xy
τ xy m = l σ −σ y
(a)
于是得
2 (σ − σ x )(σ − σ y ) = τ xy
于是可得二次方程
2 σ 2 − (σ x + σ y )σ + (σ xσ y − τ xy ) = 0
我们知道二次方程
ax + bx + c = 0
cos(n, x) = l
cos(n, y) = m
图2.4
并用 px and py 代表斜面AB 上的全应力p在 x 和 y 轴上的投影。 代表斜面 上的全应力 在 轴上的投影。 假设AB的 长 是 ds, 则面PB 和 PA 的 长度 分别是 lds 和 mds, 而 假设 的 则面 PAB的面积 是 ldsmds/2. z 向的尺寸还取单位1, 由力的平衡ΣFx =0 的面积 向的尺寸还取单位 由力的平衡 给出
p x = lσ x + mτ xy ,
p y = mσ y + lτ xy
(2.3)
的投影得 设斜面AB上的 正应力 是σn , 则由 px and py 在法线 n 的投影得: 设斜面
σ n = lp x + mp y