广东省广州市海珠区2018届高三综合测试(一)数学文试题(解析版)

海珠区2018届高三综合测试（一）
数学（文科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. ，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】,
2. 已知为虚数单位，复数的模（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
故选C
3. 如图所示，该程序运行后输出的结果为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】第一次循环：S=2，i=5
第二次循环：S=4.i=4
第三次循环：S=6，i=3，
第四次循环：S=8，i=2,结束输出S=8
故选C
4. 的内角的对边分别为，已知，则的面积为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，
∴由正弦定理得,c==，
又sin A=sin(π−B−C)=sin(π−−)=sin(+)
=，
∴△ABC的面积S=12×b×c×sin A=，
故答案为：
故选B
5. 在“某中学生歌手大赛”比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图如图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）
A. 和
B. 和
C. 和
D. 和
【答案】A
【解析】试题分析：，所以，故选B.
考点：样本的平均数与方差.
6. 函数图象的大致形状是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】当时，单调递减,去掉A,B; 当时，，单调递减，去掉D;选C.
7. 设函数，则下列结论错误的是（）
A. 的一个周期为
B. 的图像关于直线对称
C. 的一个零点为
D. 在区间上单调递减
【答案】C
【解析】的周期为T=k,所以A对；
当时，=-1,所以B对；
时，所以C错；
时，，y=cosx在上递减，所以D对；
故选C
8. 如图，点分别是正方体的棱的中点，用过点和点的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体的正（主）视图、侧（左）视图、俯视图依次为（）
A. ①③④
B. ②④③
C. ①②③
D. ②③④
【答案】D
【解析】由正视图的定义可知：
点A. B. 在后面的投影点分别是点D. C. ，
线段AN在后面的投影面上的投影是以D为端点且与线段C平行且相等的线段，即正视图为正方形，
另外线段AM在后面的投影线要画成实线,被遮挡的线段D要画成虚线，
故几何体的正视图为②，左视图为③，俯视图为④；
故答案为：②、③、④
选D
点睛：直接利用三视图的定义，正视图是光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图，据此可以判断出其正视图．左视图是光线从几何体的左侧向右侧正投影得到的投影图，据此可以判断出其左视图．类似判断俯视图即可9. 已知双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵双曲线(a>0,b>0)的渐近线为bx±ay=0，
依题意,直线bx±ay=0与圆相切，
设圆心(0,3)到直线bx±ay=0的距离为d，
则d==1,所以8
∴双曲线离心率e==3.
故选：D.
10. 若函数为奇函数，，则不等式的解集为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵函数为奇函数，
∴f(0)=0，
即a=−1，
∴，
当x>0时,解g(x)=−ln x>1得：x∈(0,e−1)，
当x<0时,解g(x)=>1得：x∈(−∞,0)，
故不等式g(x)>1的解集为(−∞,0)∪((0,e−1)，
故选：C
11. 《九章算术》之后，人们进一步地用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张邱建算经》卷上第题为：今有
女善织，日益功疾（注：从第天起每天比前一天多织相同量的布），第一天织尺布，现在一月（按天计），共织
尺布，则第天织的布的尺数为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设公差为d,由题意可得：前30项和=420=30×5+d,解得d=.
∴第2天织的布的尺数=5+d=.
故选：A.
12. 已知是自然对数的底数，函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵函数的零点为，f（0）=-1＜0，f（1）=e-1＞0，∴0＜a＜1．
∵函数的零点为b，g（1）=-1＜0，g（2）=ln2＞0，∴1＜b＜2．
综上可得，0＜a＜1＜b＜2．
再由函数在（0，+∞）上是增函数，可得，
故选D．
点睛：本题主要考查函数的零点的存在性定理，函数的单调性的应用，一般地，如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=O，这个c也就是f（x）=0的根．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 已知向量，若，则__________．
【答案】2
【解析】根据题意,向量,且，
则有=1×3=3，
解可得x=，
则=；
故答案为：2.
14. 已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，若为抛物线上一点，且，则直线的斜率等于__________．
【答案】
【解析】双曲线的右焦点为(2,0),∴抛物线方程为=8x，p=4.
∵|AF|=3,∴+2=3,∴=1
代入抛物线方程可得
∵点A在x轴上方,∴A(1,)，
∴直线AF斜率等于=−2
故答案为：−2
15. 已知高为的圆柱内接于一个直径为的球内，则该圆柱的体积为__________．
【答案】
【解析】∵圆柱的高为8,它的两个底面的圆周在直径为10的同一个球的球面上,
∴该圆柱底面圆周半径r=，
∴该圆柱的体积：V=Sh=.
16. 已知函数，当时，有最大值，则=__________．
【答案】-5/12
【解析】
当时，有最大值,
=tan
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知数列的首项，前项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和；
【答案】(1) ；（2）.
【解析】试题分析:（1）由，得（n≥2），两式相减得（n≥2），
,利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）由（1）知，故=log33n=n，可得,利用分组求和得结果.
试题解析:
（1）由题意得
两式相减得，
所以当时，是以为公比的等比数列.
因为
所以，，对任意正整数成立，是首项为，公比为的等比数列，
所以得.
（2），
所以，
点睛：已知与的关系，再写一项得出为等比数列，求和用到了分组求和，此外还有错位相减，裂项相消，并项求和，倒序相加等方法
18. 如图所示的多面体中，是菱形，是矩形，面.
（1）求证：平面平面；
（2）若，求四棱锥的体积.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】试题分析：（1）由是菱形知，推出；
由是矩形得推出，从而可得；
（2）连接，由是菱形，及面,得到，证得为四棱锥的高
由是菱形，，得到为等边三角形，
根据；得到，从而可计算几何体的体积.
试题解析：证明：（1）由是菱形
3分
由是矩形
6分
（2）连接，由是菱形，
由面,
，10分
则为四棱锥的高
由是菱形，，则为等边三角形，
由；则，14分考点：1.空间垂直关系；2.几何体的体积.
19. 小明家订了一份报纸，暑假期间他收集了每天报纸送达时间的数据，并绘制成频率分布直方图，如图所示. （1）根据图中的数据信息，求出众数和中位数（精确到整数分钟）；
（2）小明的父亲上班离家的时间在上午至之间，而送报人每天在时刻前后半小时内把报纸送达（每个时间点送达的可能性相等），求小明的父亲在上班离家前能收到报纸（称为事件）的概率.
【答案】（1），（2）
【解析】试题分析：（1），由频率分布直方图可知即，列方程
=0.5
即得；
（2）设报纸送达时间为，小明父亲上班前能取到报纸等价于，由几何概型概率计算公式即得.
试题解析：（1）2分
由频率分布直方图可知即，3分
∴=0.5
解得分即6分
（2）设报纸送达时间为7分
则小明父亲上班前能取到报纸等价于
，10分
如图可知，所求概率为
12分
考点：1.频率分布直观图；2.几何概型.
20. 已知椭圆的焦点在轴上，中心在原点，离心率，直线与以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆相切.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左、右顶点分别为，点是椭圆上异于的任意一点，直线的斜率分别为.证明：为定值.
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析:（I）设椭圆的方程，利用离心率e＝直线l：y=x+2与以原点为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆O相切，确定几何量，从而可得椭圆的方程；
（Ⅱ）利用M点在椭圆上，计算斜率，化简即可得到结论．
试题解析:
（1）设椭圆的方程为.
离心率.
直线与以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆相切，
.
椭圆的方程为.
（2）证明：由椭圆的方程得，
设点的坐标为，则.
.
.
为定值.
点睛：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与圆相切，考查斜率的计算，主要应用点在曲线上得出定值.
21. 已知函数.
（1）若是的极值点，求的极大值；
（2）求实数的范围，使得恒成立.
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析:（Ⅰ）由于x=3是f（x）的极值点，则f′（3）=0求出a，进而求出f′（x）>0得到函数的增区间，求出f′（x）<0得到函数的减区间，即可得到函数的极大值；
（Ⅱ）由于f（x）≥1恒成立，即x>0时，恒成立，设g(x)=，则
，分类讨论参数a，得到函数g（x）的最小值≥0，即可得到a的范围．
试题解析：
（1）
是的极值点
解得
当时，
当变化时，
的极大值为.
（2）要使得恒成立，即时，恒成立，
设，
则
（i）当时，由得函数单调减区间为，由得函数单调增区间为，此时
，得.
（ii）当时，由得函数单调减区间为，由得函数单调增区间为，此时
，不合题意.
（iii）当时，在上单调递增，此时，不合题意
（iv）当时，由得函数单调减区间为，由得函数单调增区间为，此时
，不合题意.
综上所述：时，恒成立.
点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性及函数恒成立时所取的条件，恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. 选修4-4：坐标系与参数方程
在直线坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的参数方程为（为
参数），曲线的极坐标方程为.
（1）直线的普通方程和曲线的参数方程；
（2）设点在上，在处的切线与直线垂直，求的直角坐标.
【答案】（1），（为参数，）（2）或
【解析】试题分析（1）：由，得消去得直线的普通方程，由
两边直接乘以得，得出
（2）由（1）知是以为圆心，半径为的圆，设曲线上的点为，因为在处的切线与直线垂直，所以直线与的斜率相等，得，出坐标.
试题解析：
（1）由，得，
消去得直线的普通方程为.
由，
得.将代入上式，
曲线的直角坐标方程为，即.
得曲线的参数方程为（为参数，）
（2）设曲线上的点为，
由（1）知是以为圆心，半径为的圆.
因为在处的切线与直线垂直，所以直线与的斜率相等，
或者，
故得直角坐标为或者.
23. 选修4-5：不等式选讲
已知.
（1）求不等式的解集；
（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（Ⅰ）根据零点分段法，分三种情况讨论去绝对值，求不等式的解集；（Ⅱ）若存在不等式成立，即，根据含绝对值三角不等式得到
，然后再解含的绝对值不等式.
试题解析：（Ⅰ）不等式等价于或
或，解得或，
所以不等式的解集是；
（Ⅱ），，
，解得实数的取值范围是．。