2020年数学一轮复习考点与题型总结：第五章 平面向量

则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值．
[题组训练]
学起而飞 ―→ ―→
1．设 D 为△ABC 所在平面内一点，BC＝3CD，则( )
A．A―→D＝－1―A→B＋4―A→C 33
： B．A―→D＝1―A→B－4―A→C 33
C．A―→D＝4―A→B＋1―A→C 33
号D．A―→D＝4―A→B－1―A→C 33
∵―A→C＝λA―→M＋μ―A→N，∴λ＝2，μ＝2，λ＋μ＝4.
33
3
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答案：4 3
考点三 共线向量定理的应用
[典例] 设两个非零向量 a 与 b 不共线，
(1)若―A→B＝a＋b，―B→C＝2a＋8b，C―→D＝3a－3b，
求证：A，B，D 三点共线； (2)试确定实数 k，使 ka＋b 和 a＋kb 同向．
3
33
A―→D＋1―A→B 4
＝1―A→B＋2A―→D. 23
因为―A→E＝r―A→B＋sA―→D，所以 r＝1，s＝2，则 2r＋3s＝1＋2＝3. 23
[答案] (1)A (2)C
[解题技法] 向量线性运算的解题策略 (1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形
即 ka＋b＝λa＋λkb.
号
∴(k－λ)a＝(λk－1)b.
众 ∵a，b 是不共线的非零向量，
k－λ＝0，
k＝1，
k＝－1，
公 ∴
解得
或
信 λk－1＝0，
λ＝1
又∵λ>0，∴k＝1.
λ＝－1，
微 1.向量共线问题的注意事项
(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的
λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa ＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb
❷向量加法的多边形法则 多个向量相加，利用三角形法则，应首尾顺次连接，a＋b＋c 表示从始点指向终点的向
量，只关心始点、终点.
4．共线向量定理
学起而飞
： 向量 a(a≠0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得 b＝λa.
不是 a＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．
学起而飞 ④不正确．考虑 b＝0 这种特殊情况． ： 综上所述，正确命题的序号是①②. 号 [答案] ①②
[解题技法] 向量有关概念的关键点
众 (1)向量定义的关键是方向和长度． 公 (2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．
(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．
[典例] 给出下列命题： ①若 a＝b，b＝c，则 a＝c；
―→ ―→ ②若 A，B，C，D 是不共线的四点，则AB＝DC是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条 件；
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③a＝b 的充要条件是|a|＝|b|且 a∥b；
④若 a∥b，b∥c，则 a∥c.
其中正确命题的序号是________． [解析] ①正确．∵a＝b，∴a，b 的长度相等且方向相同，
时 a＝－|a|a0，故②③也是假命题． 综上所述，假命题的个数是 3.
考点二 平面向量18·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则―E→B
＝( )
：
A.3―A→B－1―A→C 44
号B.1―A→B－3―A→C 44
C.3―A→B＋1―A→C 44
―→
―→
―→ ―→ AB ―→ ―→ AB ―→ 1 ―→
由OP＝OA＋ ―→ ，得OP－OA＝ ―→ ，∴AP＝ ―→ ·AB，∴点 P 在射线 AB
|AB|
|AB|
|AB|
上，故选 D.
[课时跟踪检测]
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1．设 D，E，F 分别为△ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点，则―E→B＋―F→C＝( )
A．λ＝0
B．e2＝0
C．e1∥e2
D．e1∥e2 或λ＝0
解析：选 D 因为向量 e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，又因为向量 a 和 b 共线，
存在实数 k，使得 a＝kb，所以 e1＋λe2＝2ke1，所以λe2＝(2k－1)e1，所以 e1∥e2 或λ＝0.
3．已知 O 为△ABC 内一点，且A―→O＝1(O―→B＋O―→C)，A―→D＝t―A→C，若 B，O，D 三点共线， 2
其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与
联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．
[题组训练]
1．在四边形 ABCD 中，―A→B＝a＋2b，―B→C＝－4a－b，C―→D＝－5a－3b，则四边形 ABCD
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微 解析：如图，∵A―→M＝―A→B＋B―→M＝―A→B＋1―B→C＝D―→C＋1―B→C，①
2
2
―A→N＝A―→D＋D―→N＝―B→C＋1D―→C，② 2
由①②得―B→C＝4―A→N－2A―→M，D―→C＝4A―→M－2―A→N，
33
33
∴―A→C＝―A→B＋―B→C＝D―→C＋―B→C＝4A―→M－2―A→N＋4―A→N－2A―→M＝2A―→M＋2―A→N， 3 333 3 3
―→ A．AD
B.1A―→D 2
C.1―B→C 2
―→ D．BC
解析：选 A 由题意得―E→B＋―F→C＝1(―A→B＋―C→B)＋1(―A→C＋―B→C)＝1(―A→B＋―A→C)＝A―→D.
2
2
2
2．已知向量 a，b 不共线，且 c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若 c 与 d 共线反向，则实
解析：选 A
众 由题意得A―→D＝―A→C＋C―→D＝―A→C＋1―B→C＝―A→C＋1―A→C－1―A→B＝－1―A→B＋4―A→C.
3
33
33
公 2．(2019·太原模拟)在正方形
ABCD
中，M，N
分别是
BC，CD
―→ ―→ 的中点，若AC＝λAM＋
信 ―→
μAN，则实数λ＋μ＝________.
的形状是( )
A．矩形
B．平行四边形
C．梯形
D．以上都不对
解析：选 C 由已知，得A―→D＝―A→B＋―B→C＋C―→D＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2―B→C，故A―→D∥―B→C.
―→ ―→ 又因为AB与CD不平行，所以四边形 ABCD 是梯形．
2．已知向量 e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，若向量 a 与向量 b 共线，则( )
众
D.1―A→B＋3―A→C 44
公 (2)如图，在直角梯形
ABCD
中，D―→C＝1―A→B，―B→E＝2―E→C，
―→ ―→ 且AE＝rAB
4
信 ＋sA―→D，则 2r＋3s＝( )
微 A．1
C．3
B．2 D．4
[解析]
(1)
作
出
示
意
图
如
图
所
示
．
―→ EB
＝
―→ ED
＋
―→ DB
＝
1
―→ AD
＋
1
不一定是相等向量 若 a，b 为相反向量，则 a＝－b
信 单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与向量 a 平行的单位向量有两
微a a
个，即向量 和－ . |a| |a|
3．向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向 量和的运
算
(1)交换律：a＋b＝b＋a；
三角形法则
―→ CB
＝
2
2
1×1(―A→B＋―A→C)＋1(―A→B－―A→C)＝3―A→B－1―A→C.故选 A.
22
2
44
(2)根据图形，由题意可得―A→E ＝―A→B ＋―B→E ＝―A→B ＋2―B→C ＝―A→B ＋2(―B→A ＋A―→D＋D―→C)＝1―A→B ＋
3
3
3
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2(A―→D＋D―→C)＝1―A→B＋2
B．1 D．3
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解析：选 D ①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②错误，当 a＝0 时，
不论λ为何值，λa＝0.③错误，当λ＝μ＝0 时，λa＝μb＝0，此时，a 与 b 可以是任意向量．故
错误的命题有 3 个，故选 D. 2．设 a0 为单位向量，下列命题中：①若 a 为平面内的某个向量，则 a＝|a|·a0；②若 a
则 t＝( )
A.1 4
学起而飞 B.1 3
C.1 2
： D.2 3
解析：选 B
号 设 E 是 BC 边的中点，则1(O―→B＋O―→C)＝O―→E，由题意得A―→O＝O―→E，所以A―→O＝ 2
1―A→E＝1(―A→B＋―A→C)＝1―A→B＋ 1 A―→D，又因为 B，O，D 三点共线，所以1＋ 1 ＝1，解得 t＝1，故
众 2 4
4 4t
4 4t
3
公 选 B.
―→ ―→ ―→ AB 4．已知 O，A，B 三点不共线，P 为该平面内一点，且OP＝OA＋ ―→ ，则(
信 |AB| 微 A．点 P 在线段 AB 上
)
B．点 P 在线段 AB 的延长线上
C．点 P 在线段 AB 的反向延长线上
D．点 P 在射线 AB 上
解析：选 D
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第五章 平面向量
第一节 平面向量的概念及线性运算
一、基础知识
1．向量的有关概念
(1)向量的定义及表示：既有大小又有方向的量叫做向量．以 A 为起点、B 为终点的向
―→ 量记作AB，也可用黑体的单个小写字母
a，b，c，…来表示向量．
―→
―→
―→
(2)向量的长度(模)：向量AB的大小即向量AB的长度(模)，记为|AB|.
[解] (1)证明：∵―A→B＝a＋b，―B→C＝2a＋8b，C―→D＝3a－3b，
∴B―→D＝―B→C＋C―→D＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5―A→B，
∴―A→B，B―→D共线．
又∵它们有公共点 B，
∴A，B，D 三点共线． (2)∵ka＋b 与 a＋kb 同向，
学起而飞
： ∴存在实数λ(λ>0)，使 ka＋b＝λ(a＋kb)，
信 (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．
(5)零向量的关键是长度是 0，规定零向量与任意向量共线．
微 [题组训练]
1．给出下列命题： ①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；
②λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；
③λ，μ为实数，若λa＝μb，则 a 与 b 共线．
其中错误的命题的个数为( ) A．0 C．2
又 b＝c，∴b，c 的长度相等且方向相同，
∴a，c 的长度相等且方向相同，故 a＝c.
―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ②正确．∵AB＝DC，∴|AB|＝|DC|且AB∥DC， 又 A，B，C，D 是不共线的四点， ∴四边形 ABCD 为平行四边形； 反之，若四边形 ABCD 为平行四边形， 则―A→B∥D―→C且|―A→B|＝|D―→C|，因此，―A→B＝D―→C. ③不正确．当 a∥b 且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到 a＝b，故|a|＝|b|且 a∥b
平行四边形法则 ❷
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a ＋(b＋c)
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求a与b的
减法
相反向量 －b 的和的 运算叫做 a
三角形法则
a－b＝a＋(－b)
与 b 的差
数乘
求实数λ与 向量 a 的积
的运算
|λa|＝|λ||a|；当λ＞0 时，λa 的方向与 a 的方向相同；当λ＜0 时，λa 的方向与 a 的方向相反；当λ＝0 时，λa＝0
与 a0 平行，则 a＝|a|a0；③若 a 与 a0 平行且|a|＝1，则 a＝a0，假命题的个数是( )
A．0 C．2
B．1 D．3
解析：选 D 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|a0 的模相同，但方向不一定相同，
故①是假命题；若 a 与 a0 平行，则 a 与 a0 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向
法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则．
(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边
形或三角形中求解．
(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：
①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．
(4)与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法
2．几种特殊向量
名称
定义
备注
零向量
长度为 0 的向量
零向量记作 0，其方向是任意的
单位向量
长度等于 1 个单位的向量
学起而飞 a 单位向量记作 a0，a0＝ |a|
平行向量
： 方向相同或相反的非零向量(也叫共
0 与任意向量共线
线向量)
号
相等向量一定是平行向量，平行向量
相等向量 相反向量
众 长度相等且方向相同的向量 公 长度相等且方向相反的两个向量
号 只有 a≠0 才保证实数λ的存在性和唯一性.
二、常用结论
众
公 (1)若 P 为线段 AB 的中点，O 为平面内任一点，则O―→P＝1(O―→A＋O―→B)． 2 ―→ ―→ ―→
微信 (2)OA＝λOB＋μOC (λ，μ为实数)，若点 A，B，C 三点共线，则λ＋μ＝1.
考点一 平面向量的有关概念