[推荐学习]高中数学初高中衔接读本专题4.1简单的二次方程组的解法高效演练学案
(初升高)高一数学衔接班第7讲——二元二次方程组
（初升高）高一数学衔接班第7讲——二元二次方程组一、学习目标：1、了解“代入消元法”的基本思想和一般步骤；掌握用“代入法”解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组；2、通过对二元二次方程组解法的学习，渗透“消元”、“降次”的数学思想方法，从而提高分析问题和解决问题的能力。
3、体会数学知识之间的内在联系，养成深入观察、分析的良好习惯。
二、学习重点：1、会用“代入消元法”解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组；2、理解解二元二次方程组的基本思想。
三、课程精讲：新知探秘：什么样的方程组是二元二次方程组？如何解二元二次方程组？ 1、二元二次方程含有两个未知数，且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫二元二次方程。
例如：xy ＝1，x 2－y ＝0，x －y －2xy ＝－3都是二元二次方程；x －y ＝1，x 2y ＝0都不是二元二次方程。
2、二元二次方程组由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或者由两个二元二次方程组成的方程组叫二元二次方程组。
知识点一：由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般都可以用代入法求解。
其中蕴含着转化的思想：将二元一次方程化归为熟悉的一元二次方程求解。
【例1】解方程组2220 (1)30 (2)x y x y -=⎧⎨-+=⎩ 思路导航：由于方程（1）是二元一次方程，故可由方程（1），得2y x =，代入方程（2）消去y 。
解：由（1）得：2y x = （3）将（3）代入（2）得：22(2)30x x -+=，解得：1211x x ==-或把1x =代入（3）得：12y =；把1x =-代入（3）得：22y =-。
∴原方程组的解是：12121122x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或。
点津：（1）解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤：①把由二元一次方程变形为用x 表示y 的方程，或用y 表示x 的方程（3）； ②把方程（3）代入二元二次方程，得到一个一元二次方程； ③解消元后得到的一元二次方程；④把一元二次方程的根，代入变形后的二元一次方程（3），求相应的未知数的值； ⑤写出答案。
初高中衔接——二元二次方程组求解讲义
知识梳理二元二次方程组的含义：二元二次方程组是指由两个未知数构成，且未知数的最高次数至少有一个为二次的方程组.其一般形式可以表示为：{a1x2+b1xy+c1y2+d1x+e1y+f1=0a2x2+b2xy+c2y2+d2x+e2y+f2=0.其中，a i,b i,c i,d i,e i,f i(i=1,2)为常数，且a1,b1,c1或a2,b2,c2不同时为零.二元二次方程组的求解思想：二元二次方程组的求解思想主要是“消元”与“降次”.消元，即通过一定的方法减少未知数的个数.例如，可以利用代入消元法或加减消元法，将两个未知数中的一个用另一个表示，从而将方程组转化为只含有一个未知数的方程.降次，是指降低方程中未知数的次数.通过对方程进行变形、因式分解、配方等操作，将二次方程转化为一次方程来求解.二元二次方程组的求解原理：二元二次方程组的求解原理主要基于等量代换和方程变形.通过对其中一个方程进行变形，用一个未知数表示另一个未知数，然后将其代入另一个方程，实现消元，把二元转化为一元.对于二次方程，利用配方法、因式分解等手段将其变形为乘积形式，从而降低方程的次数，达到求解的目的.其本质是利用数学的恒等变形和等量关系，逐步简化方程组，求出未知数的值，使得方程组中的两个方程同时成立.二元二次方程组的求解方法及步骤：1.代入消元法代入消元法是解决二元二次方程组的基本方法之一。
其基本思想是将一个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，然后代入另一个方程中，从而消去一个未知数，得到一个一元二次方程，先求出一个未知数再代回原式进而求出另一个未知数。
2.加减消元法加减消元法也是解决二元二次方程组的基本方法之一。
其基本思想是通过将两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元二次方程，先求出一个未知数再代回原式进而求出另一个未知数。
3.因式分解法因式分解法是解决二元二次方程组的一种特殊方法。
其基本思想是将方程组中的两个方程进行因式分解，然后将因式分解后的式子相乘，得到一个一元二次方程，先求出一个未知数再求出另一个未知数。
初高中数学衔接：第四讲 一元二次不等式及其解法
第四讲一元二次不等式及其解法1．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式Δ>0 Δ＝0 Δ<0 Δ＝b2－4ac二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程有两相异实根x1，x2(x1<x2) 有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}{x|x≠x1}Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2} ∅∅2.用程序框图表示一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的求解过程3．简单的分式不等式(1)f（x）g（x）＞0⇔f(x)·g(x)＞0；(2)f（x）g（x）≤0⇔f(x)·g(x)≤0且g(x)≠0．ax2＋bx＋c>0(a≠0)对一切x∈R恒成立的条件是什么？【提示】 a >0且b 2－4ac <0.【自主测试】1．(人教A 版教材习题改编)不等式2x 2－x －1＞0的解集是( ) A ．(－12，1) B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－12)∪(1，＋∞) 【解析】 ∵2x 2－x －1＝(x －1)(2x ＋1)＞0， ∴x ＞1或x ＜－12.故原不等式的解集为(－∞，－12)∪(1，＋∞)． 【答案】 D2．不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A ．(－12，1]B ．{x |x ≥1或x ＜－12} C ．－12，1] D ．{x |x ≥1或x ≤－12}【答案】 A3．已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】 ∵x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立， ∴Δ＝a 2－4×2a <0，∴0<a <8. 【答案】 (0，8)4．一元二次不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是(－12，13)，则a ＋b 的值是________． 【解析】 由已知得方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12，13.则⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝－12＋132a ＝（－12）×13解得⎩⎨⎧a ＝－12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－14. 【答案】 －14例一 解下列不等式 (1)3＋2x －x 2≥0； (2)x 2＋3＞2x ； (3)2xx －1≤1. 【思路点拨】 (1)先把二次项系数化为正数，再用因式分解法；(2)用配方法或用判别式法求解；(3)移项通分，转化为一元二次不等式求解．1．熟记一元二次不等式的解集公式是掌握一元二次不等式求解的基础，可结合一元二次方程及判别式或二次函数的图象来记忆求解．2．解一元二次不等式的步骤：(1)把二次项系数化为正数；(2)先考虑因式分解法，再考虑求根公式法或配方法或判别式法；(3)写出不等式的解集．解下列不等式： (1)－2x 2－5x ＋3＞0； (2)－1≤x 2＋2x －1≤2；【解】 (1)∵－2x 2－5x ＋3＞0，∴2x 2＋5x －3＜0， ∴(2x －1)(x ＋3)＜0，∴原不等式的解集为{x |－3＜x ＜12}．(2)这是一个双向不等式，可转化为不等式组⎩⎨⎧x 2＋2x －1≥－1，x 2＋2x －1≤2，即⎩⎨⎧x 2＋2x ≥0， ①x 2＋2x －3≤0. ② 由①得x ≥0或x ≤－2； 由②得－3≤x ≤1.故得所求不等式的解集为{x |－3≤x ≤－2或0≤x ≤1}.例二 求不等式12x 2－ax ＞a 2(a ∈R )的解集．【思路点拨】 先求方程12x 2－ax ＝a 2的根，讨论根的大小，确定不等式的解集．解含参数的一元二次不等式的步骤(1)二次项若含有参数应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程实根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定方程无实根时可直接写出解集，确定方程有两个相异实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．变式解关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0. 【解】 原不等式可化为(x －a )(x －1)＜0. 当a ＞1时，原不等式的解集为(1，a )； 当a ＝1时，原不等式的解集为空集； 当a ＜1时，原不等式的解集为(a ，1)．例三 已知关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集(－1，2)，试求关于x 的不等式ax 2＋x ＋b ＜0的解集．【思路点拨】 不等式解集的端点值是相应方程的根．【尝试解答】 由于x 2＋ax ＋b ＜0的解集是(－1，2)，所以⎩⎨⎧1－a ＋b ＝0，4＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－2.故不等式即为－x 2＋x －2＜0， ∵⎩⎨⎧－1＜0，Δ＝1－8＝－7＜0∴不等式ax 2＋x ＋b ＜0的解集为R .,(1)给出一元二次不等式的解集，则可知二次项系数的符号和相应一元二次方程的两根．(2)三个二次的关系体现了数形结合，以及函数与方程的思想方法．若关于x 的不等式axx －1＜1的解集是{x |x ＜1或x ＞2}，求实数a 的取值范围．例四 若不等式mx 2－mx －1＜0对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围． 【思路点拨】 分m ＝0与m ≠0两种情况讨论，当m ≠0时，用判别式法求解． 【尝试解答】 要使mx 2－mx －1＜0对一切实数x 恒成立， 若m ＝0，显然－1＜0；若m ≠0，则⎩⎨⎧m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0，解得－4＜m ＜0， 故实数m 的取值范围是(－4，0]．1．不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c ＞0；当a ≠0时，⎩⎨⎧a ＞0，Δ＜0；不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c ＜0；当a ≠0时，⎩⎨⎧a ＜0，Δ＜0.2．解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．对任意a ∈－1，1]不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则实数x 的取值范围是________．【答案】 x ＜1或x ＞3 一个过程解一元二次不等式的一般过程是：一看(看二次项系数的符号)，二算(计算判别式，判断方程根的情况)，三写(写出不等式的解集)．两点联想不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(a≠0)的求解，善于联想：(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点，(2)方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，运用好“三个二次”间的关系．三个防范1.二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数是否为零的情况．2．解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．3．不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述．从近两年的高考试题来看，一元二次不等式的解法、含参数不等式的解法以及二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的综合应用等问题是高考的热点．常与集合、函数、导数等知识交汇命题，主要考查分析问题、解决问题的能力、推理论证能力及转化与化归的思想．思想方法之一巧用一元二次不等式求代数式的最值设x，y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是________．【解析】法一设2x＋y＝t，∴y＝t－2x，代入4x2＋y2＋xy＝1，整理得6x2－3tx＋t2－1＝0.关于x的方程有实根，因此Δ＝(－3t)2－4×6×(t2－1)≥0，解得－210 5≤t≤2105.则2x＋y的最大值是2105.法二∵1＝4x2＋y2＋xy＝(2x＋y)2－3xy＝(2x＋y)2－32(2x)·y≥(2x＋y)2－32·(2x＋y2)2＝58(2x＋y)2，∴(2x＋y)2≤8 5，∴－85≤2x＋y≤85，即－2105≤2x ＋y ≤2105. 【答案】2105易错提示：(1)换元后，不会从关于x 的一元二次方程有实数解入手解决问题，致使思维受阻．(2)不会利用化归与转化思想化未知为已知，致使解题时无从下手，盲目作答． 防范措施：(1)应熟练掌握一元二次方程与其判别式Δ之间的关系，关于x 的一元二次不等式有实根的充要条件是其对应的判别式非负．(2)遇到一个问题，要注意寻找结论和已知间的关系，化已知为未知或化未知为已知． 自主测试1．设x ∈R ，则“x >12”是“2x 2＋x －1>0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】 A2．不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】 (2，＋∞)。
2024年新高一数学初升高衔接《二次函数与一元二次方程、不等式》含答案解析
第08讲二次函数与一元二次方程、不等式模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集；2．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系3．掌握一元二次不等式的实际应用；4．会解一元二次不等式中的恒成立问题.知识点1一元二次不等式1、定义：一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．2、一般形式：ax2＋bx＋c>0（≥0），ax2＋bx＋c<0（≤0），（其中a≠0，a，b，c均为常数）．3、一元二次不等式的解与解集使某一个一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解；一元二次不等式的所有的解组成的集合，叫做这个一元二次不等式的解集；将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫做不等式的同解变形．知识点2二次函数与一元二次方程、不等式的关系1、二次函数的零点一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数的零点．2、三个“二次”之间的关系对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤，设ac b 42-=∆，它的解按照0>∆，0=∆，0<∆可分三种情况，相应地，二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >或20ax bx c ++<(0)a >的解集．知识点3一元二次不等式的解法1、解一元二次不等式的一般步骤（1）判号：检查二次项的系数是否为正值，若是负值，则利用不等式的性质将二次项系数化为正值；（2）求根：计算判别式∆，求出相应方程的实数根；①0∆>时，求出两根12x x 、，且12x x <（注意灵活运用因式分解和配方法）；②0∆=时，求根abx x 221-==；③0∆<时，方程无解．（3）标根：将所求得的实数根标在数轴上（注意两实数根的大小顺序，尤其是当实数根中含有字母时），并画出开口向上的抛物线示意图；（4）写解集：根据示意图以及一元二次不等式解集的几何意义，写出解集．口诀：大于零取（根）两边，小于零取（根）中间2、含参一元二次不等式的讨论依据（1）对二次项系数进行大于0，小于0，等于0分类讨论；（2）当二次项系数不等于0时，再对判别式进行大于0，小于0，等于0的分类讨论；（3）当判别式大于0时，再对两根的大小进行讨论，最后确定出解集．考点一：解不含参的一元二次不等式例1．（23-24高一上·北京·期中）不等式2230x x --<的解集为（）A ．()1,3-B ．()3,1-C ．(1)(3)∞∞--⋃+，，D ．(3)(1)∞∞--⋃+，，【变式1-1】（23-24高一上·吉林延边·月考）不等式29124x x -≤-的解集为（）A ．RB ．∅C ．3|2x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭D ．3|2x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭【变式1-2】（23-24高一上·江苏徐州·期中）不等式()()231x x x x +<-+的解集为（）A ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()1,1,2∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭D ．()1,1,2∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭【变式1-3】（23-24高一上·广东广州·期中）下列不等式解集为R 的是（）A ．23710x x -≤B ．21122x x -+-≤C ．()()230x x +->D ．223x x -+<-考点二：解含参一元二次不等式例2.（22-23高一上·江苏宿迁·月考）若01a <<，则不等式1(0)(x a x a --<的解集是（）A ．1}|{x a x a<<B ．1{|}x x x a a><或C ．1{|}x x a a <<D ．1{|}x x a x a><或【变式2-1】（23-24高一下·广东潮州·开学考试）（多选）对于给定的实数a ，关于实数x 的一元二次不等式()(2)0x a x --<的解集可能为（）A ．(2)()a -∞+∞ ,,B ．()(2)a -∞+∞ ,,C ．(),2a D ．∅【变式2-2】（23-24高一上·安徽马鞍山·月考）解关于x 的不等式：()2330x m x m --->.【变式2-3】（23-24高一上·湖南长沙·期末）当1a <时，解关于x 的不等式(1)(1)0ax x --<.考点三：由一元二次不等式解集求参例3.（23-24高一下·广东湛江·开学考试）关于x 的不等式2102x mx n -++>的解集为{}|12x x -<<，则m n +的值为（）A ．12-B ．32-C ．32D ．12【变式3-1】（23-24高一上·云南昭通·期末）不等式230ax bx +-<的解集是()(),13,-∞⋃+∞，则b a -的值是（）A ．3-B ．3C ．5-D ．5【变式3-2】（23-24高一上·吉林延边·月考）已知不等式20ax bx c ++<的解集为{|13}x x x <->或,则下列结论错误的是（）A ．0a <B ．20a b c ++>C ．0a b c ++>D ．20cx bx a -+<的解集为1{|1}3x x x <->或【变式3-3】（23-24高一下·云南·月考）若关于x 的不等式()210x m x m -++<的解集中恰有三个整数，则实数m 的取值范围为（）A ．[)(]3,24,5--⋃B ．[)(]2,14,5--⋃C ．()()3,14,5-⋃D ．[]3,5-考点四：三个“二次”关系的应用例4.（23-24高一上·湖南长沙·月考）不等式20ax bx c -+>的解集为{}21x x -<<，则函数2y ax bx c =-+的图象大致为（）A ．B ．C．D．【变式4-1】（23-24高一上·江苏苏州·月考）（多选）关于x 的不等式20ax bx c ++>，下列说法不正确的是（）A ．若关于x 的不等式20ax bx c ++>解集为{1x x >或}3x <-，则二次函数2y ax bx c =++的零点为()30A -,，()10B ,B ．若关于x 的不等式20ax bx c ++<解集为{3x x >或}1x <-，则20cx bx a ++>的解集为113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭C ．若关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++>解集为R ，则0a >且240b ac -<D ．若关于x 的不等式()200ax bx c abc ++>≠的解集与关于x 的二次不等式()211111100a x b x c a b c ++>≠的解集相同都是R ，则111a b c a b c ==【变式4-2】（22-23高一上·宁夏石嘴山·期中）关于x 的不等式22280x ax a --<的解集为()12,x x ，且221215x x -=，则实数=a ．【变式4-3】（23-24高一上·山西临汾·月考）已知二次函数()211y x a x a =----的图象与x 轴交于()1,0A x ，()2,0B x 两点.(1)当3a =时，求2212x x +的值；(2)求关于x 的不等式10y +≥的解集.考点五：一元二次不等式恒成立与有解例5.（23-24高一下·黑龙江绥化·开学考试）（多选）若对于R x ∀∈，都有220x mx m -+≥，则m 的值可以是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【变式5-1】（23-24高一下·贵州贵阳·期中）对任意的()0,x ∈+∞，2210x mx -+>恒成立，则m 的取值范围为（）A ．[)1,+∞B ．()1,1-C ．(],1-∞D ．(),1-∞【变式5-2】（23-24高一下·河北保定·开学考试）（多选）若关于x 的不等式2420ax x -+<有实数解，则a 的值可能为（）A ．0B ．3C ．1D ．2-【变式5-3】（23-24高一上·陕西商洛·期中）若关于x 的不等式240x mx +->在区间[]2,4上有解，则实数m 的取值范围为（）A ．()3,-+∞B ．()0,∞+C ．(),0∞-D ．(),3-∞-考点六：一元二次不等式的实际应用例6.（23-24高一下·河南·开学考试）河南是华夏文明的主要发祥地之一，众多的文物古迹和著名的黄河等自然风光构成了河南丰富的旅游资源，在旅游业蓬勃发展的带动下，餐饮、酒店、工艺品等行业持续发展．某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高10x 元（110x ≤≤，x ∈Z ），则被租出的客房会减少15x 套．若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为（）A ．250元B ．260元C ．270元D ．280元【变式6-1】（23-24高一上·陕西·月考）某礼服租赁公司共有300套礼服供租赁，若每套礼服每天的租价为200元，则所有礼服均被租出；若将每套礼服每天的租价在200元的基础上提高10x 元（120x ≤≤，x ∈Z ），则被租出的礼服会减少10x 套.若要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万元，则该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为（）A ．220元B ．240元C ．250元D ．280元【变式6-2】（23-24高一上·北京·月考）某市有块三角形荒地，如图ABC 所示，90,200A AB AC ∠=== （单位：米），现市政府要在荒地中开辟一块矩形绿地ADEF ，其中,,D E F点分别在线段,,AB BC CA 上，若要求绿地的面积不少于7500平方米，则AD 的长度（单位：米）范围是（）A ．[]40,160B ．[]50,150C ．[]55,145D ．[]60,140【变式6-3】（23-24高一上·陕西宝鸡·月考）如图，在长为8m ，宽为6m 的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪，如果要求草坪外侧四周的花卉带的宽度都相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，则花卉带的宽度至少应为多少米？一、单选题1．（23-24高一下·湖南株洲·开学考试）不等式2450x x --+<的解集是（）A ．(5,1)-B ．(1,5)-C ．(,5)(1,)-∞-+∞ D ．(,1)(5,)-∞-+∞ 2．（23-24高一上·河南商丘·期中）不等式2230x x --<的解集是（）A ．{|1x x <-或3}2x >B ．3|2x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭C ．3|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭D ．{}|1x x <-3．（23-24高一上·河南濮阳·月考）已知关于x 的一元二次不等式20ax bx c +-<的解集为{}|35x x <<，则不等式20cx bx a +->的解集为（）A ．15x x ⎧<⎨⎩或13x ⎫>⎬⎭B ．13x x ⎧<-⎨⎩或15x ⎫>-⎬⎭C ．1153x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D ．1135x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭4．（23-24高一上·甘肃·期末）若关于x 的不等式()222800x ax a a --<>的解集为()12,x x ，且221220x x +=，则=a （）A ．2B ．1C ．D5．（23-24高一上·安徽马鞍山·月考）若关于x 的不等式()2220x a x a ---<的解集中，恰有3个整数，则实数a 的取值集合是（）A ．{56}aa <≤∣B ．{65}aa -≤<-∣C ．{21aa -<≤-∣或56}a ≤<D ．{65aa -≤<-∣或12}a <≤6．（23-24高一上·江苏南京·期末）设a 为实数，则关于x 的不等式(2)(24)0ax x --<的解集不可能是（）A ．2,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2(,2)a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．(2,)+∞D ．22,a ⎛⎫⎪⎝⎭二、多选题7．（23-24高一上·吉林延边·期中）下列不等式的解集不是R 的是（）A ．210x x -++≥B ．20x ->C ．26100x x ++>D ．22340x x -+<8．（23-24高一上·湖北·月考）若不等式20ax bx c -+<的解集是{21}xx -<<∣，则下列说法正确的是（）A ．0b <且0c <B ．<0a b c -+C ．0a b c ++<D ．不等式20ax bx c ++<的解集是()1,2-三、填空题9．（23-24高一上·河北石家庄·月考）已知二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根分别为2和4，则不等式20ax bx c ++<的解集为．10．（23-24高一上·安徽亳州·期末）若关于x 的不等式210mx x ++>的解集为R ，则实数m 的取值范围为.11．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知正数x y ，满足2x y +=，若211m m x y+>-恒成立，则实数m 的取值范围为.四、解答题12．（23-24高一上·河南濮阳·月考）解下列一元二次不等式：(1)23710x x -≤；(2)2104x x -+<．13．（23-24高一上·江苏镇江·期中）（1）解关于x 的不等式()210x m x m -++<.（2）若对任意的[]()21,2,10x x m x m ∈-++≤恒成立，求实数m 的取值范围.第08讲二次函数与一元二次方程、不等式模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集；2．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系3．掌握一元二次不等式的实际应用；4．会解一元二次不等式中的恒成立问题.知识点1一元二次不等式1、定义：一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．2、一般形式：ax2＋bx＋c>0（≥0），ax2＋bx＋c<0（≤0），（其中a≠0，a，b，c均为常数）．3、一元二次不等式的解与解集使某一个一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解；一元二次不等式的所有的解组成的集合，叫做这个一元二次不等式的解集；将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫做不等式的同解变形．知识点2二次函数与一元二次方程、不等式的关系1、二次函数的零点一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数的零点．2、三个“二次”之间的关系对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤，设ac b 42-=∆，它的解按照0>∆，0=∆，0<∆可分三种情况，相应地，二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >或20ax bx c ++<(0)a >的解集．知识点3一元二次不等式的解法1、解一元二次不等式的一般步骤（1）判号：检查二次项的系数是否为正值，若是负值，则利用不等式的性质将二次项系数化为正值；（2）求根：计算判别式∆，求出相应方程的实数根；①0∆>时，求出两根12x x 、，且12x x <（注意灵活运用因式分解和配方法）；②0∆=时，求根abx x 221-==；③0∆<时，方程无解．（3）标根：将所求得的实数根标在数轴上（注意两实数根的大小顺序，尤其是当实数根中含有字母时），并画出开口向上的抛物线示意图；（4）写解集：根据示意图以及一元二次不等式解集的几何意义，写出解集．口诀：大于零取（根）两边，小于零取（根）中间2、含参一元二次不等式的讨论依据（1）对二次项系数进行大于0，小于0，等于0分类讨论；（2）当二次项系数不等于0时，再对判别式进行大于0，小于0，等于0的分类讨论；（3）当判别式大于0时，再对两根的大小进行讨论，最后确定出解集．考点一：解不含参的一元二次不等式例1．（23-24高一上·北京·期中）不等式2230x x --<的解集为（）A ．()1,3-B ．()3,1-C ．(1)(3)∞∞--⋃+，，D ．(3)(1)∞∞--⋃+，，【答案】A【解析】不等式2230x x --<，即()()130x x +-<，解得13x -<<，所以不等式2230x x --<的解集为()1,3-.故选：A【变式1-1】（23-24高一上·吉林延边·月考）不等式29124x x -≤-的解集为（）A ．RB ．∅C ．3|2x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭D ．3|2x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭【答案】C【解析】由29124x x -≤-，得241290x x -+≤，得2(23)0x -≤，解得32x =，所以不等式的解集为3|2x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，故选：C【变式1-2】（23-24高一上·江苏徐州·期中）不等式()()231x x x x +<-+的解集为（）A ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()1,1,2∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭D ．()1,1,2∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】不等式()()231x x x x +<-+，化为2210x x --<，即(21)(1)0x x +-<，解得112x -<<，所以不等式()()231x x x x +<-+的解集为1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：A【变式1-3】（23-24高一上·广东广州·期中）下列不等式解集为R 的是（）A ．23710x x -≤B ．211022x x -+-≤C ．()()230x x +->D ．223x x -+<-【答案】B【解析】对于A ，()()23710,13100x x x x -≤+-≤，解得1013x -≤≤，A 错；对于B ，211022x x -+-≤，()210x -≥，解集为R ，B 对；对于C ，()()230x x +->，解得<2x -或3x >，C 错；对于D ，223x x -+<-，()()1230x x +->，解得1x <-或32x >，D 错.故选：B.考点二：解含参一元二次不等式例2.（22-23高一上·江苏宿迁·月考）若01a <<，则不等式1(0)(x a x a --<的解集是（）A ．1}|{x a x a<<B ．1{|}x x x a a><或C ．1{|}x x a a <<D ．1{|}x x a x a><或【答案】A【解析】由01a <<，得110a a>>>，解不等式1(0)(x a x a --<，得1a x a <<，所以不等式1(0)()x a x a --<的解集是1}|{x a x a<<.故选：A【变式2-1】（23-24高一下·广东潮州·开学考试）（多选）对于给定的实数a ，关于实数x 的一元二次不等式()(2)0x a x --<的解集可能为（）A ．(2)()a -∞+∞ ,,B ．()(2)a -∞+∞ ,,C ．(),2a D ．∅【答案】CD【解析】当2a <时，此时解集为(),2a ；当2a =时，此时解集为∅；当2a >时，此时解集为()2,a ；故选：CD.【变式2-2】（23-24高一上·安徽马鞍山·月考）解关于x 的不等式：()2330x m x m --->.【答案】答案见解析【解析】不等式()2330x m x m --->，即()()30x x m +->，当3m =-时，原不等式即()230x +>，解得3x ≠-，即不等式的解集为{}|3x x ≠-；当3m >-时，解得x >m 或3x <-，即不等式的解集为{|x x m >或3}x <-；当3m <-时，解得3x >-或x m <，即不等式的解集为{|3x x >-或}x m <；综上可得：当3m =-时不等式的解集为{}|3x x ≠-，当3m >-时不等式的解集为{|x x m >或3}x <-，当3m <-时不等式的解集为{|3x x >-或}x m <.【变式2-3】（23-24高一上·湖南长沙·期末）当1a <时，解关于x 的不等式(1)(1)0ax x --<.【答案】答案见解析【解析】当0a =时，代入不等式可得10x -+<，解得1x >；当01a <<时，化简不等式可得1(1)0a x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭即1(1)0x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，由11a>得不等式的解为11x a <<，当a<0时，化简不等式可得1(1)0a x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭即1(1)0x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，由11a <得不等式的解为1x >或1x a<，综上可知，当0a =时，不等式(1)(1)0ax x --<的解集为{|1}x x >；当01a <<时，不等式(1)(1)0ax x --<的解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；当a<0时，不等式(1)(1)0ax x --<的解集为1x x a ⎧<⎨⎩或}1x >.考点三：由一元二次不等式解集求参例3.（23-24高一下·广东湛江·开学考试）关于x 的不等式2102x mx n -++>的解集为{}|12x x -<<，则m n +的值为（）A ．12-B ．32-C ．32D ．12【答案】C【解析】因为不等式2102x mx n -++>的解集为{}|12x x -<<，所以1,2-是方程2102x mx n -++=的两个实根，所以()()221110212202m n m n ⎧-⨯-+⨯-+=⎪⎪⎨⎪-⨯++=⎪⎩，解得121m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以32m n +=.故选：C.【变式3-1】（23-24高一上·云南昭通·期末）不等式230ax bx +-<的解集是()(),13,-∞⋃+∞，则b a -的值是（）A ．3-B ．3C ．5-D ．5【答案】D【解析】因为不等式230ax bx +-<的解集是()(),13,-∞⋃+∞，所以a<0，1x =和3x =是方程230ax bx +-=的根，所以13313b a a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⨯=-⎪⎩，即1a =-，4b =，则5b a -=．故选：D ．【变式3-2】（23-24高一上·吉林延边·月考）已知不等式20ax bx c ++<的解集为{|13}x x x <->或,则下列结论错误的是（）A ．0a <B ．20a b c ++>C ．0a b c ++>D ．20cx bx a -+<的解集为1{|1}3x x x <->或【答案】D【解析】根据题意,可以知道,20ax bx c ++=的两根为1,3-.由根与系数的关系得到：2233b b a ac c a a ⎧=-⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪-=⎪⎩.因为2()f x ax bx c =++开口向下,则a<0,故A 正确.22(2)(3)30a b c a a a a ++=+-+-=->,故B 正确.且(1)(3)0f f -==,对称轴为1x =,(1)40f a b c a =++=->,故C 正确.22320cx bx a ax ax a -+=-++<,两边同时除以a -,得到23210x x --<,解得1|13{}x x -<<,故D 错误.故选:D.【变式3-3】（23-24高一下·云南·月考）若关于x 的不等式()210x m x m -++<的解集中恰有三个整数，则实数m 的取值范围为（）A ．[)(]3,24,5--⋃B ．[)(]2,14,5--⋃C ．()()3,14,5-⋃D ．[]3,5-【答案】A【解析】原不等式可化为(1)()0x x m --<，当1m >时，得1x m <<，此时解集中的整数为2，3，4，则45m <≤；当1m <时，得1m x <<，此时解集中的整数为2-，1-，0，则32m -≤<-，综上所述，m 的取值范围是[)(]3,24,5--⋃.故选：A考点四：三个“二次”关系的应用例4.（23-24高一上·湖南长沙·月考）不等式20ax bx c -+>的解集为{}21x x -<<，则函数2y ax bx c =-+的图象大致为（）A ．B ．C．D．【答案】A【解析】因为20ax bx c -+>的解集为{}21x x -<<，所以方程20ax bx c -+=的两根分别为2-和1，且a<0，则()21,21,b ac a ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩变形可得,2,b a c a =-⎧⎨=-⎩故函数()()22221y ax bx c ax ax a a x x =-+=+-=+-的图象开口向下，且与x 轴的交点坐标为()1,0和()2,0-，故A 选项的图象符合.故选：A【变式4-1】（23-24高一上·江苏苏州·月考）（多选）关于x 的不等式20ax bx c ++>，下列说法不正确的是（）A ．若关于x 的不等式20ax bx c ++>解集为{1x x >或}3x <-，则二次函数2y ax bx c =++的零点为()30A -,，()10B ,B ．若关于x 的不等式20ax bx c ++<解集为{3x x >或}1x <-，则20cx bx a ++>的解集为113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭C ．若关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++>解集为R ，则0a >且240b ac -<D ．若关于x 的不等式()200ax bx c abc ++>≠的解集与关于x 的二次不等式()211111100a x b x c a b c ++>≠的解集相同都是R ，则111a b c a b c ==【答案】BC【解析】A 选项：若关于x 的不等式20ax bx c ++>解集为{1x x >或}3x <-，则0a >，且其对应方程20ax bx c ++=有两个解11x =，23x =-，所以对应函数2y ax bx c =++的两个零点为1和3-，A 选项错误；B 选项：若关于x 的不等式20ax bx c ++<解集为{3x x >或}1x <-，则a<0，且其对应方程20ax bx c ++=有两个解13x =，21x =-，且122b x x a=-+=，123cx x a=-=，即2b a =-，3c a =-，所以22320cx bx a ax ax a ++=--+>，即()()23213110x x x x +-=-+<，解得113x -<<，所以不等式的解集为113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，B 选项正确；C 选项：若关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++>解集为R ，则0a >且其对应方程20ax bx c ++=无解，即240b ac -<，C 选项正确；D 选项：若关于x 的不等式()200ax bx c abc ++>≠的解集为R ，则0a >，且240b ac -<，关于x 的二次不等式()211111100a x b x c a b c ++>≠的解集是R ，则10a >，且211140b a c -<，无法确定其比例关系，D 选项错误；故选：BC.【变式4-2】（22-23高一上·宁夏石嘴山·期中）关于x 的不等式22280x ax a --<的解集为()12,x x ，且221215x x -=，则实数=a ．【答案】/【解析】由题意，22280x ax a --=的两根为12,x x ，所以212122,8x x a x x a +=⋅=-，解得124,2x a x a ==-，或122,4x a x a =-=，当124,2x a x a ==-时，故222121215x x a -==，由12x x <知a<0，所以解得2a =，当122,4x a x a =-=时，222121215x x a -=-=不合题意.故答案为：2-【变式4-3】（23-24高一上·山西临汾·月考）已知二次函数()211y x a x a =----的图象与x 轴交于()1,0A x ，()2,0B x 两点.(1)当3a =时，求2212x x +的值；(2)求关于x 的不等式10y +≥的解集.【答案】(1)12；(2)答案见解析【解析】（1）当3a =时，224y x x =--.由题意可知12,x x 是方程2240x x --=的两个不同实根，则122x x +=，124x x =-，故()()2222121212222412x x x x x x +=+-=-⨯-=.（2）不等式10y +≥可转化为()()10x a x -+≥.当1a >-时，不等式1y ≥的解集是{}1x x x a ≤-≥或；当1a =-时，不等式1y ≥的解集是{}R x x ∈；当1a <-时，不等式1y ≥的解集是{}1x x a x ≤≥-或.考点五：一元二次不等式恒成立与有解例5.（23-24高一下·黑龙江绥化·开学考试）（多选）若对于R x ∀∈，都有220x mx m -+≥，则m 的值可以是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】AB【解析】依题意，命题等价于220x mx m -+≥恒成立，所以2440m m ∆=-≤，解得01m ≤≤，即[]0,1m ∈，故AB 正确，CD 错误.故选：AB.【变式5-1】（23-24高一下·贵州贵阳·期中）对任意的()0,x ∈+∞，2210x mx -+>恒成立，则m 的取值范围为（）A ．[)1,+∞B ．()1,1-C ．(],1-∞D ．(),1-∞【答案】D【解析】因为对任意的()0,x ∈+∞，2210x mx -+>恒成立，所以对任意的()0,x ∈+∞，2112x m x x x+<=+恒成立，又12x x +≥=，当且仅当1x x =，即1x =时取等号，所以22m <，解得1m <，即m 的取值范围为(),1-∞.故选：D【变式5-2】（23-24高一下·河北保定·开学考试）（多选）若关于x 的不等式2420ax x -+<有实数解，则a 的值可能为（）A ．0B ．3C ．1D ．2-【答案】ACD【解析】当0a =时，不等式420x -+<有解，符合题意；当a<0时，得Δ1680a =->，则不等式2420ax x -+<有解；当0a >时，由Δ1680a =->，解得02a <<.综上，a 的取值范围为(),2∞-，对照选项，选项ACD 中a 的值符合题意.故选：ACD【变式5-3】（23-24高一上·陕西商洛·期中）若关于x 的不等式240x mx +->在区间[]2,4上有解，则实数m 的取值范围为（）A ．()3,-+∞B ．()0,∞+C ．(),0∞-D ．(),3-∞-【答案】A【解析】易知2160m ∆=+>恒成立，即240x mx +-=有两个不等实数根12,x x ，又1240x x =-<，即二次函数24y x mx =+-有两个异号零点，所以要满足不等式240x mx +->在区间[]2,4上有解，所以只需24440m +->，解得3m >-，所以实数m 的取值范围是()3,-+∞．故选A ．考点六：一元二次不等式的实际应用例6.（23-24高一下·河南·开学考试）河南是华夏文明的主要发祥地之一，众多的文物古迹和著名的黄河等自然风光构成了河南丰富的旅游资源，在旅游业蓬勃发展的带动下，餐饮、酒店、工艺品等行业持续发展．某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高10x 元（110x ≤≤，x ∈Z ），则被租出的客房会减少15x 套．若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为（）A ．250元B ．260元C ．270元D ．280元【答案】C【解析】依题意，每天有()50015x -间客房被租出，该连锁酒店每天租赁客房的收入为()()250015200101502000100000x x x x -+=-++．因为要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，所以21502000100000106600x x -++>，即23401320x x -+<，解得2263x <<．因为110x ≤≤且x ∈Z ，所以7x =，即该连锁酒店每间客房每天的租价应定为270元．故选：C ．【变式6-1】（23-24高一上·陕西·月考）某礼服租赁公司共有300套礼服供租赁，若每套礼服每天的租价为200元，则所有礼服均被租出；若将每套礼服每天的租价在200元的基础上提高10x 元（120x ≤≤，x ∈Z ），则被租出的礼服会减少10x 套.若要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万元，则该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为（）A ．220元B ．240元C ．250元D ．280元【答案】C【解析】依题意，每天有30010x -套礼服被租出，该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入为()()23001020010100100060000x x x x -⋅+=-++元.因为要使该礼服租赁公司每天租赁6.24万元，所以2100100060000x x -++62400>，即210240x x -+<，解得46x <<.因为120x ≤≤且x ∈Z ，所以5x =，即该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为250元.故选：C.【变式6-2】（23-24高一上·北京·月考）某市有块三角形荒地，如图ABC 所示，90,200A AB AC ∠=== （单位：米），现市政府要在荒地中开辟一块矩形绿地ADEF ，其中,,D E F点分别在线段,,AB BC CA 上，若要求绿地的面积不少于7500平方米，则AD 的长度（单位：米）范围是（）A ．[]40,160B ．[]50,150C ．[]55,145D ．[]60,140【答案】B【解析】ABC 中，90,A AB AC ∠== ，ABC 为等腰直角三角形，设AD x =米，则EF FC AD x ===米，200FA x =-米，依题意有()2007500x x -≥，解得50150x ≤≤.即AD 的长度（单位：米）范围是[]50,150.故选：B.【变式6-3】（23-24高一上·陕西宝鸡·月考）如图，在长为8m ，宽为6m 的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪，如果要求草坪外侧四周的花卉带的宽度都相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，则花卉带的宽度至少应为多少米？【答案】花卉的宽度至少为1m【解析】设花卉带的宽度为m x ，则028026x x <<⎧⎨<<⎩，可得03x <<，所以，草坪的长为()82m x -，宽为()62m x -，则草坪的面积为()()()()8262443x x x x --=--，因为草坪的面积不超过总面积的一半，则()()1443682x x --≤⨯⨯，整理可得2760x x -+≤，解得16x ≤≤，又因为03x <<，可得13x ≤<.所以，花卉的宽度至少为1m .一、单选题1．（23-24高一下·湖南株洲·开学考试）不等式2450x x --+<的解集是（）A ．(5,1)-B ．(1,5)-C ．(,5)(1,)-∞-+∞ D ．(,1)(5,)-∞-+∞ 【答案】C【解析】由2450x x --+<可得2450x x +->，故()()510x x +->，解得1x >或5x <-，故不等式的解为()(),51,-∞-⋃+∞故选：C2．（23-24高一上·河南商丘·期中）不等式2230x x --<的解集是（）A ．{|1x x <-或3}2x >B ．3|2x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭C ．3|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭D ．{}|1x x <-【答案】C【解析】不等式2230x x --<可化为()()1230x x +-<，所以312x -<<，即原不等式的解集为3|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.故选：C.3．（23-24高一上·河南濮阳·月考）已知关于x 的一元二次不等式20ax bx c +-<的解集为{}|35x x <<，则不等式20cx bx a +->的解集为（）A ．15x x ⎧<⎨⎩或13x ⎫>⎬⎭B ．13x x ⎧<-⎨⎩或15x ⎫>-⎬⎭C ．1153x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D ．1135x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭【答案】D【解析】因为关于x 的一元二次不等式20ax bx c +-<的解集为{}|35x x <<，所以0a >且方程20ax bx c +-=的解为3,5，所以8,15b ca a-=-=，所以8,15b a c a =-=-，则不等式20cx bx a +->，即为不等式21580ax ax a --->，则215810x x ++<，解得1135x -<<-，所以不等式20cx bx a +->的解集为1135x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭.故选：D.4．（23-24高一上·甘肃·期末）若关于x 的不等式()222800x ax a a --<>的解集为()12,x x ，且221220x x +=，则=a （）A ．2B ．1C．D【答案】B【解析】因为关于x 的不等式()222800x ax a a --<>的解集为()12,x x ，所以1x 和2x 是方程()222800x ax a a --=>的两根，则1221228x x a x x a +=⎧⎨⋅=-⎩.又因为221220x x +=，()2221212122x x x x x x +=+-，所以()()2222820a a --=，解得1a =±.又因为0a >，所以1a =.故选：B5．（23-24高一上·安徽马鞍山·月考）若关于x 的不等式()2220x a x a ---<的解集中，恰有3个整数，则实数a 的取值集合是（）A ．{56}aa <≤∣B ．{65}aa -≤<-∣C ．{21aa -<≤-∣或56}a ≤<D ．{65aa -≤<-∣或12}a <≤【答案】D【解析】()()()222020x a x a x x a ---<⇒-+<，当2a >-时，不等式解集为{}2x a x -<<，此时恰有3个整数解，则3个整数解分别为1,0,1-，故21a -≤-<-，解得12a <≤，当2a <-时，不等式解集为{}2x x a <<-，此时恰有3个整数解，则3个整数解分别为3,4,5，故56a <-≤，解得65a -≤<-，当2a =-时，不等式解集为∅，不合要求，故实数a 的取值集合为{65aa -≤<-∣或12}a <≤.故选：D 6．（23-24高一上·江苏南京·期末）设a 为实数，则关于x 的不等式(2)(24)0ax x --<的解集不可能是（）A ．2,2a ⎛⎫⎪⎝⎭B ．2(,2)a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．(2,)+∞D ．22,a ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】关于x 的不等式(2)(24)0ax x --<，若0a =，不等式为2(24)0x --<，解得2x >，此时解集为(2,)+∞；若0a ≠，方程(2)(24)0ax x --=，解得2x a=或2x =，a<0时，不等式(2)(24)0ax x --<解得2x a <或2x >，此时解集为()2,2,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ ；01a <<时，22a >，不等式(2)(24)0ax x --<解得22x a <<，此时解集为22,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；1a =时，22a=，不等式(2)(24)0ax x --<解集为∅，1a >时，22a <，不等式(2)(24)0ax x --<解得22x a <<，此时解集为2,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；所以不等式(2)(24)0ax x --<的解集不可能是2(,2),a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭.故选：B二、多选题7．（23-24高一上·吉林延边·期中）下列不等式的解集不是R 的是（）A ．210x x -++≥B ．20x ->C ．26100x x ++>D ．22340x x -+<【答案】ABD【解析】对于A ，由210x x -++≥，得210x x --≤，解得1122x ≤≤，所以A 正确，对于B ，由20x ->，解得x <x >，所以B 正确，对于C ，26100x x ++>，因为364040∆=-=-<，所以不等式26100x x ++>的解集为R ，所以C 错误，对于D ，22340x x -+<，因为932230∆=-=-<，所以不等式22340x x -+<的解集为∅，所以D 正确，故选：ABD8．（23-24高一上·湖北·月考）若不等式20ax bx c -+<的解集是{21}xx -<<∣，则下列说法正确的是（）A ．0b <且0c <B ．<0a b c -+C ．0a b c ++<D ．不等式20ax bx c ++<的解集是()1,2-【答案】ACD【解析】不等式20ax bx c -+<的解集是{21}xx -<<∣，则对应的方程20ax bx c -+=的两根为2-和1，211,212b ca a∴=-+=-=-⨯=-，且0a >，故0,2a b c a +==-，且0a >，故0,0c b <<，故A 正确；20a b c a a a -+=+-=，故B 错误；0a b c c ++=<，故C 正确；20ax bx c ++<，220ax ax a --<，即()()22120x x x x --=+-<的解集是()1,2-，故D 正确.故选：ACD三、填空题9．（23-24高一上·河北石家庄·月考）已知二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根分别为2和4，则不等式20ax bx c ++<的解集为．【答案】{}|24x x <<【解析】二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根分别为2和4，可得2424b a c a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，即68b a c a =-⎧⎨=⎩，由()200ax bx c a ++<>可得2680x x -+<，解得24x <<，所以不等式2680x x -+<的解集为{}|24x x <<.故答案为：{}|24x x <<.10．（23-24高一上·安徽亳州·期末）若关于x 的不等式210mx x ++>的解集为R ，则实数m 的取值范围为.【答案】14m >【解析】当0m =时，10x +>，1x >-，不满足题意；当0m ≠时，0Δ140m m >⎧⎨=-<⎩,所以14m >，综上，实数m 的取值范围为14m >.故答案为：14m >11．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知正数x y ，满足2x y +=，若211m m x y+>-恒成立，则实数m 的取值范围为.【答案】(1,2)-【解析】因为0,0x y >>且2x y +=，所以111111()222y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1222⎛≥⨯+= ⎝，当且仅当1y x ==时取等号．因为不等式211m m x y+>-恒成立，所以22m m -<，解得12m -<<．故答案为：(1,2)-.四、解答题12．（23-24高一上·河南濮阳·月考）解下列一元二次不等式：(1)23710x x -≤；(2)2104x x -+<．【答案】(1)1013x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭；(2)∅【解析】（1）由23710x x -≤，得237100x x --≤，即()()31010x x -+≤，所以1013x -≤≤，所以不等式得解集为1013x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）由2104x x -+<，得2102x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，无解，所以不等式的解集为∅.13．（23-24高一上·江苏镇江·期中）（1）解关于x 的不等式()210x m x m -++<.（2）若对任意的[]()21,2,10x x m x m ∈-++≤恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）分类讨论，答案见解析；（2）2m ≥.【解析】（1）不等式()210x m x m -++<化为：()(1)0x m x --<，当1m <时，解得1m x <<；当0m =时，不等式无解；当1m >时，解得1x m <<，所以当1m <时，原不等式的解集为(,1)m ；当0m =时，原不等式的解集为∅；当1m >时，原不等式的解集为(1,)m .（2）当1x =时，2(1)0x m x m -++≤恒成立，则m ∈R ，当(1,2]x ∈时，不等式2(1)0(1)(1)x m x m m x x x m x -++≤⇔-≥-⇔≥，依题意，(1,2]x ∀∈，m x ≥，而x 最大值为2，因此2m ≥，所以实数m 的取值范围是2m ≥.。
2019届高中数学初高中衔接读本专题4.1简单的二次方程组的解法精讲深剖学案-最新资料
第1讲 简单的二次方程组的解法本专题在初中学习方程、不等和函数的基础上，根据高中学习的需要，共同学习简单的二次方程组及一元二次不等式的解法。
在初中我们已经学习了一元一次方程、一元二次方程及二元一次方程组的解法，掌握了用消元法解二元一次方程组．高中学习圆锥曲线时，需要用到二元二次方程组的解法．因此，本讲讲介绍简单的二元二次方程组的解法．【知识梳理】1.含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程．2.由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组组成的方程组， 叫做二元二次方程组。
3.解二元二次方程组的基本思想是“转化”，这种转化包含“消元”和 “降次”将二元转化为一元是消元，将二次转化为一次是降次，这是转化的基本方法。
因此，掌握好消元和降次的一些方法和技巧是解二元二次方程组的关键。
探究1: 由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般都可以用代入法求解．其蕴含着转化思想：将二元一次方程化归为熟悉的一元二次方程求解．【典例解析】解方程组2220 (1)30 (2)x y x y -=⎧⎨-+=⎩【分析】由于方程(1)是二元一次方程，故可由方程(1)，得2y x =，代入方程(2)消去y ．【解析】 由(1)变形得：2y x = (3)将(3)代入(2)得：22(2)30x x -+=，解得：1211x x ==-或把1x =代入(3)得：22y =；把1x =-代入(3)得：22y =-．∴原方程组的解是：11111122x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或． 【解题反思】 (1) 解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤：①由二元一次方程变形为用x 表示y 的方程，或用y 表示x 的方程(3)；②把方程(3)代入二元二次方程，得一个一元二次方程；③解消元后得到的一元二次方程；④把一元二次方程的根，代入变形后的二元一次方程(3)，求相应的未知数的值；⑤写出答案．(2) 消x ，还是消y ，应由二元一次方程的系数来决定．若系数均为整数，那么最好消去系数绝对值较小的，如方程210x y -+=，可以消去x ，变形得21x y =-，再代入消元．(3) 消元后，求出一元二次方程的根，应代入二元一次方程求另一未知数的值，不能代入二元二次方程求另一未知数的值，因为这样可能产生增根，这一点切记．【变式训练】解方程组11 (1)28 (2)x y xy +=⎧⎨=⎩【分析】本题可以用代入消元法解方程组，但注意到方程组的特点，可以把x 、y 看成是方程211280z z -+=的两根，则更容易求解．【点评】(1) 对于这种对称性的方程组x y a xy b +=⎧⎨=⎩，利用一元二次方程的根与系数的关系构造方程时，未知数要换成异于x 、y 的字母，如z ．(2) 对称形方程组的解也应是对称的，即有解47x y =⎧⎨=⎩，则必有解74x y =⎧⎨=⎩．探究2:由两个二元二次方程组成的方程组（1）可因式分解型的方程组方程组中的一个方程可以因式分解化为两个二元一次方程，则原方程组可转化为两个方程组，其中每个方程组都是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成．【典例解析】解方程组22225() (1)43 (2)x y x y x xy y ⎧-=+⎪⎨++=⎪⎩【分析】注意到方程225()x y x y -=+，可分解成()(5)0x y x y +--=，即得0x y +=或50x y --=，则可得到两个二元二次方程组，且每个方程组中均有一个方程为二元一次方程．【解题反思】由两个二元二次方程组成的方程组中，有一个方程可以通过因式分解，化为两个二元一次方程，则原方程组转化为解两个方程组，其中每一个方程组均有一个方程是二元一次方程．【变式训练】解方程组2212 (1)4 (2)x xy xy y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 【分析】本题的特点是方程组中的两个方程均缺一次项，我们可以消去常数项，可得到一个二次三项式的方程．对其因式分解，就可以转化为上例．【解析】(1) –(2)3⨯得：223()0x xy xy y +-+=即 22230(3)()0x xy y x y x y --=⇒-+=∴ 300x y x y -=+=或 ∴ 原方程组可化为两个二元一次方程组：22300,44x y x y xy y xy y -=+=⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩． 用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是：121233,11x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩． 【点评】若方程组的两个方程均缺一次项，则消去常数项，得到一个二元二次方程．此方程与原方程组中的任一个方程联立，得到一个可因式分解型的二元二次方程组．（2）可消二次项型的方程组【典例解析】解方程组 3 (1)38 (2)xy x xy y +=⎧⎨+=⎩【分析】注意到两个方程都有xy项，所以可用加减法消之，得到一个二元一次方程，即转化为由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组．【解题反思】若方程组的两个方程的二次项系数对应成比例，则可用加减法消去二次项，得到一个二元一次方程，把它与原方程组的任意一个方程联立，解此方程组，即得原方程组的解．二元二次方程组类型多样，消元与降次是两种基本方法，具体问题具体解决。
初高中数学衔接预习教材(共16讲)：第8讲 二元一次、三元一次、二元二次方程组及其解法
第8讲 二元一次、三元一次、二元二次方程组及其解法回顾过去在初中我们已经学习了一元一次方程、一元二次方程及二元一次方程组的解法．进入高中之后，我们会学习更多类型的方程的解法．高中新课标必修2中学习直线与圆的方程时，涉及到二元二次方程组的解法，本讲内容主要涉及到二元一次方程组、三元一次方程组、二元二次方程组的解法．1．简单的二元一次方程组二元一次方程组的应用范围很广，然而它的解法一般比较复杂，容易出错．我们要认真研究，细心观察，根据题目特征寻求又快又好的解题方法．1.1代入消元法解二元一次方程组【例1 】 解方程组 327,2 5.x y x y -=⎧⎨+=⎩①②解析：由②，得 52x y =-. ③ 将③代入①，得 3(52)27y y --=， 15627y y --=，88y -=-， 1.y = 把 1y =代入③，得 3.x = 所以原方程组的解是⎩⎨⎧==.1,3y x 点评：此题方程②的系数较简单，且方程②中未知数x 的系数是1，因此考虑将方程②变形，并用含y 的代数式表示x . 用代入消元法解二元一次方程组，需先观察方程组的系数特点，判断消去哪个未知数较为简单. 代入消元时，要注意所代代数式的整体性，必要时可添加括号，以避免符号错误. 变式1：用代入法解方程组：34,110.42x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩①②2.2加减消元法解二元一次方程组 【例2 】解方程组：521,7316.m n m n +=⎧⎨-+=⎩①②解析：法一：①×3，②×2，得1563,14632.m n m n +=⎧⎨-+=⎩③④③-④，得29m =-29，m =-1. 将m =-1代入①，得-5+2n =1，n =3. 所以原方程组的解为1,3.m n =-⎧⎨=⎩法二：①×7，②×5，得35147,351580.m n m n +=⎧⎨-+=⎩③④③+④，得29n=87，n=3. 把n=3代入①，得5m+6=1，m=-1. 所以原方程组的解为1,3.m n =-⎧⎨=⎩2．简单的三元一次方程组三一次方程组中含有三个未知数，每个方程的未知项的次数都是1，并且一共有三个方程．它的一般形式是111122223333a xb yc z da xb yc z da xb yc z d++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，未知项的系数不全为零，其中每一个方程都可以是三元、二元、一元一次方程，但方程组中一定要有三个未知数．【例3】解方程组3472395978x zx y zx y z+=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩①②③分析：方程①只含x，z，因此，可以由②，③消去y，再得到一个只含x，z的方程，与方程①组成一个二元一次方程组．解：②×3＋③，得11x＋10z＝35．（4）与④组成方程组347111035x zx z+=⎧⎨+=⎩①④解这个方程组，得52xz=⎧⎨=-⎩，把x＝5，z＝－2代入②，得2×5＋3y－2＝9，∴13y=．所以5132 xyz=⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎩【例4】解方程组34145217223x z zx y zx y z++=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩①②③分析：三个方程中，z的系数比较简单，可以考虑用加减法，设法先消z．解：①+③，得5x+6y=17 ④②+③×2，得，5x+9y=23 ⑤④与⑤组成方程组56175923x zx y+=⎧⎨+=⎩，解这个方程组，得12xy=⎧⎨=⎩，把x=1，y=2代入③得：2×1+2×2-z=3，∴z=3∴123 xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩1. 解下列三元一次方程组1）2）3）2．已知345x y z==，且x+y+z=24，求x 、y 、z 的值． 3．代数式ax 2+bx+c 在x 为1，-1，2时，它的值分别是-6，-8，-11，求：（1）a ，b ，c 的值；（2）当x=-4时，求代数的值． *4．已知2x+5y+4z=0，3x+y-7z=0，且xyz≠0，求：234x y zx y z++-+的值．*5．已知567x y y z z x+++==且xyz≠0，求x ：y ：z ．． *6．用100元恰好买了三种笔共100支，其中金笔每支10元，铂金笔每支3元，圆珠笔每支0．5元，试问三种笔各买了多少支？ 答案：1.(1) 438x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩ (2)306a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩ (3) 842x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩2. x=6,y=8,z=103.a=-2,b=1,c=-5;-414.81 5. ::3:2:4x y z =6..金笔 5支 铂金笔5支 圆珠笔90支3．简单的二元二次方程组含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程．由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组组成的方程组，叫做二元二次方程组． 3.1由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般都可以用代入法求解．其蕴含着转化思想：将二元一次方程化归为熟悉的一元二次方程求解．【例5】解方程组2220 (1)30 (2)x y x y -=⎧⎨-+=⎩解：由(1)得：2y x = (3) 将(3)代入(2)得：22(2)30x x -+=，解得：1211x x ==-或把1x =代入(3)得：22y =；把1x =-代入(3)得：22y =-．∴原方程组的解是：11111122x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或． 说明：(1) 解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤：①由二元一次方程变形为用x 表示y 的方程，或用y 表示x 的方程(3)； ②把方程(3)代入二元二次方程，得一个一元二次方程； ③解消元后得到的一元二次方程；④把一元二次方程的根，代入变形后的二元一次方程(3)，求相应的未知数的值；(2) 消x 还是消y ，应由二元一次方程的系数来决定．若系数均为整数，那么最好消去系数绝对值较小的，如210x y -+=，可以消去x ，变形得21x y =-，再代入消元．(3) 消元后，求出一元二次方程的根，应代入二元一次方程求另一未知数的值不能代入二元二次方程求另一未知数的值，因为这样可能产生增根，这点注意．练习1．解方程组22440,220.x y x y ⎧+-=⎨--=⎩解：第二个方程可变形为 x ＝2y ＋2，，将其带人到第一个方程，整理得8y 2＋8y ＝0，即y (y ＋1)＝0， 解得y 1＝0，y 2＝－1． 把y 1＝0代入③, 得 x 1＝2； 把y 2＝－1代入③, 得x 2＝0．所以原方程组的解是 112,0x y =⎧⎨=⎩，220,1.x y =⎧⎨=-⎩ 说明：在解类似于本例的二元二次方程组时，通常采用本例所介绍的代入消元法来求解． 【例6】解方程组9 (1)18 (2)x y xy +=⎧⎨=⎩解：根据一元二次方程的根与系数的关系，把x 、y 看成是方程29180z z -+=的两根，解方程得：3z z ==或6． ∴ 原方程组的解是：11113663x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或．说明：对于这种对称性的方程组x y axy b+=⎧⎨=⎩，利用一元二次方程的根与系数的关系构造方程时，未知数要换成异于x 、y 的字母，如z ．练习1．解方程组7,12.x y xy +=⎧⎨=⎩解法一：由①，得 7.x y =- ③把③代入②，整理，得 27120y y -+= 解这个方程，得 123,4y y ==．把13y =代入③，得14x =；把24y =代入③，得23x =．所以原方程的解是 114,3x y =⎧⎨=⎩，223,4.x y =⎧⎨=⎩ 解法二：对这个方程组，也可以根据一元二次方程的根与系数的关系，把,x y 看作一个一元二次方程的两个根，通过解这个一元二次方程来求,x y ．这个方程组的,x y 是一元二次方程 27120z z --= 的两个根，解这个方程，得 3z =，或4z =． 所以原方程组的解是 114,3;x y =⎧⎨=⎩ 223,4.x y =⎧⎨=⎩2．解下列方程组:（1） 225,625;y x x y =+⎧⎨+=⎩（2）3,10;x y xy +=⎧⎨=-⎩ （3） 221,543;x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩（4）2222,8.y x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 2．（1）1115,20,x y =⎧⎨=⎩2220,15;x y =-⎧⎨=-⎩ （2）115,2,x y =⎧⎨=-⎩222,5;x y =-⎧⎨=⎩ （3）5,34.3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（4）112,2,x y =⎧⎨=⎩222,2.x y =⎧⎨=-⎩ 3.2 由两个二元二次方程组成的方程组方程组中的一个方程可以因式分解化为两个二元一次方程，则原方程组可转化为两个方程组，其中每个方程组都是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成．【例7】解方程组2212 (1)4 (2)x xy xy y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 分析：本题的特点是方程组中的两个方程均缺一次项，我们可以消去常数项，可得到一个二次三项式的方程．对其因式分解，就可以转化为例3的类型．解：(1)(2)3-⨯得：223()0x xy xy y +-+=，即 22230(3)()0x xy y x y x y --=⇒-+=， ∴ 300x y x y -=+=或∴ 原方程组可化为两个二元一次方程组：22300,44x y x y xy y xy y -=+=⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩． ①②用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是：121233,11x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩．说明：若方程组的两个方程均缺一次项，则消去常数项，得到一个二元二次方程．此方程与原方程组中的任一个方程联立，得到一个可因式分解型的二元二次方程组．【例8】解方程组2226 (1)5 (2)x y xy ⎧+=⎨=⎩分析： (1)(2)2+⨯得：2()36 (3)x y +=，(1)(2)2-⨯得：2()16 (4)x y -=，分别分解(3)、(4)可得四个二元一次方程组．解：(1) +(2)2⨯得：222236()3666x y xy x y x y x y ++=⇒+=⇒+=+=-或， (1)-(2)2⨯得：222216()1644x y xy x y x y x y +-=⇒-=⇒-=-=-或．解此四个方程组，得原方程组的解是：312412341515,,,1551x x x x y y y y =-===-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨===-=-⎩⎩⎩⎩．说明：对称型方程组，如22x y a x y b ⎧+=⎨+=⎩、22x y a xy b⎧+=⎨=⎩都可以通过变形转化为x y mxy n +=⎧⎨=⎩的形式，通过构造一元二次方程求解．A 组1．解下列方程组：(1) 26x y y x⎧+=⎨=⎩(2) 22282x y x y ⎧+=⎨+=⎩(3) 221235x y x xy y +=⎧⎨++=⎩(4) 2203210x y x xy -=⎧⎨+=⎩2．解下列方程组：(1) 32x y xy +=-⎧⎨=⎩(2) 16x y xy +=⎧⎨=-⎩3．解下列方程组：(1) 2(23)01x x y x -=⎧⎨=-⎩(2) (343)(343)0325x y x y x y +-++=⎧⎨+=⎩(3) 22(2)()08x y x y x y -++=⎧⎨+=⎩(4) ()(1)0()(1)0x y x y x y x y ++-=⎧⎨---=⎩4．解下列方程组：(1) 222230x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩(2) 168xy x xy x +=⎧⎨-=⎩B 组1．解下列方程组：(1) 2232320x y x y x +=⎧⎨-+-=⎩(2) 22231234330x y x xy y x y -=⎧⎨-+-+-=⎩2．解下列方程组：(1) 32x y xy -=⎧⎨=-⎩(2) 24221x y xy +=⎧⎨=-⎩3．解下列方程组：(1) 2222384x y x xy y ⎧-=⎪⎨++=⎪⎩(2) 224221x y xy ⎧+=⎨=-⎩4．解下列方程组：(1) 2252x y xy ⎧+=⎨=-⎩(2) 22410x y x y +=⎧⎨+=⎩5．解下列方程组:（1） 225,625;y x x y =+⎧⎨+=⎩ （2）3,10;x y xy +=⎧⎨=-⎩（3） 221,543;x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩（4）2222,8.y x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 答案：A 组1．212121121212832043(1),,(2),,(3),(4)3 2 223 3x x x x x x x y y y y y y y ⎧⎧⎧===⎪⎪⎪=-===⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨=-===-⎩⎩⎩⎩⎪⎪⎪=-==⎪⎪⎪⎩⎩⎩2． 121212121232(1),,(2),2 1 2 3x x x x y y y y =-=-==-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨=-=-=-=⎩⎩⎩⎩ 3．2112302(1),,154x x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=⎪⎩3121231212713211(2),,(3),,3321114x x x x x y y y y y ⎧⎧⎧⎧=-==-==⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎨===⎩⎪⎪⎪⎪⎩⎩=-=-⎩⎩23414414231120122,(4),,,2011022x x x x x y y y y y ⎧⎧==⎪⎪===⎧⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎨=-==⎩⎩⎩⎪⎪==-⎪⎪⎩⎩． 4．(1) 123412342222,2222x x x x y y y y ⎧⎧⎧⎧===-=-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪==-==-⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩．(2)43x y =⎧⎨=⎩． B 组1．1122122175154(1),,(2),4 1 3 32x x x x y y y y ⎧=-⎪=-==⎧⎧⎧⎪⎨⎨⎨⎨===⎩⎩⎩⎪=-⎪⎩ 2．121212127312(1),,(2),372 1 22x x x x y y y y ==-⎧⎧==⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨=-=-=-=⎩⎩⎪⎪⎩⎩3．1234341222(1),22x x x x y y y y ⎧⎧==⎪⎪=-=⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-⎩⎩⎪⎪==⎪⎪⎩⎩3124123400(2),,22x x x x y y y y ⎧⎧====⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-==⎩⎩⎪⎪⎩⎩4．312412341212(1),,,1221x x x x y y y y ===-=-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨=-==-=⎩⎩⎩⎩，121213(2),3 1 x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩ 5．（1）1115,20,x y =⎧⎨=⎩2220,15;x y =-⎧⎨=-⎩ （2）115,2,x y =⎧⎨=-⎩222,5;x y =-⎧⎨=⎩ （3）5,34.3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（4）112,2,x y =⎧⎨=⎩ 222,2.x y =⎧⎨=-⎩。
初高中衔接第4讲：二元二次方程组
第四讲 二元二次方程组一、什么是二元二次方程组？方程22260x xy y x y +++++=是一个含有两个未知数,并且项的最高次数是2的整式方程，这样的方程叫做二元二次方程．其中2x ,2xy ,2y 叫做这个方程的二次项，x ,y 叫做一次项，6叫做常数项．看下面的两个方程组：看下面的两个方程组： （1）22224310,210;x y x y x y ì-++-=í--=î （2）222220,560.x y x xy y ì+=ïí-+=ïî第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组．元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组．二、主要研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法．组成的方程组的解法． 【例1】解方程组解方程组 22440,220.x y x y ì+-=í--=î【例2】（1）判断方程组îíì=+-=-+0104422y kx y x 解的情况；解的情况； （2）变：îíì=+-=--0104422y kx y x【例3】解方程组îíì==+2811x xy y三、由两个二元二次方程组成的方程组：【例4】解方程组：ïîïíì=+++=43)(5-x 2222y xy x y x y【例5】解方程组：îíì=+=+833xy y xy x 【例6】解方程组：ïîïíì=++=14404-3xy -x 2222y xy x y练 习解下列方程组: （1） 225,625;y x x y =+ìí+=î （2）3,10;x y xy +=ìí=-î（3） 221,543;x y y x ì+=ïíï=-î （4）2222,8.y x x y ì=ïí+=ïî（5）ïîïíì==03-)-(2-)-(1-x 222y x y x y （6）ïîïíì=+=++01-2-04-2xy x 2222y xy x y（7）ïîïíì=----=--018)(3)(023222y x y x y xy x （8）ïîïíì=+=+04-4x 222y xy y。
高中数学中的二次函数快速求解二次方程与二次函数像的技巧
高中数学中的二次函数快速求解二次方程与二次函数像的技巧二次函数是高中数学中非常重要的一个概念，涉及到二次函数的快速求解二次方程以及二次函数的图像是学习二次函数的基础。
本文将介绍一些技巧和方法，帮助学生更快速、准确地求解二次方程和确定二次函数的图像。
一、二次方程求解技巧在解二次方程时，我们通常使用两种常见的方法，分别是配方法和公式法。
1. 配方法配方法是一种常见的求解二次方程的技巧，它的基本思想是通过配方，将二次方程转化为一个完全平方的形式。
以下是详细的步骤：（1）对于形如 $ax^2+bx+c=0$ 的二次方程，首先观察其是否可以因式分解，如果可以因式分解，那么直接得到根的值；（2）如果无法因式分解，就需要采用配方法。
先计算出 $b^2-4ac$ 的值，记作 $\Delta$，然后根据 $\Delta$ 的取值判断方程有几个实数根：- 当 $\Delta>0$ 时，方程有两个不同的实数根，可以通过公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$ 求解；- 当 $\Delta=0$ 时，方程有一个重根，可以通过公式 $x=\frac{-b}{2a}$ 求解；- 当 $\Delta<0$ 时，方程没有实数根；（3）通过以上步骤，我们可以快速求解二次方程，并得到相应的根的值。
2. 公式法公式法是另一种求解二次方程的常见技巧，使用公式可以直接得到二次方程的根。
二次方程的根的公式为 $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，其中 $\sqrt{b^2-4ac}$ 称为判别式。
应用公式法求解二次方程的步骤如下：（1）根据二次方程的形式，确定 $a$、$b$、$c$ 的值；（2）计算出 $b^2-4ac$ 的值，记作 $\Delta$；（3）根据 $\Delta$ 的值判断方程有几个实数根：- 当 $\Delta>0$ 时，方程有两个不同的实数根，可以通过公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$ 求解；- 当 $\Delta=0$ 时，方程有一个重根，可以通过公式 $x=\frac{-b}{2a}$ 求解；- 当 $\Delta<0$ 时，方程没有实数根；通过以上的两种方法，我们可以快速准确地求解二次方程，并得到方程的实数根的值。
高中数学二次方程的解法全面解析
高中数学二次方程的解法全面解析在高中数学中，二次方程是一个非常重要的概念。
解二次方程是我们学习数学的基础，也是我们在解决实际问题中常常遇到的一种数学工具。
本文将全面解析高中数学二次方程的解法，帮助学生和家长更好地理解和应用。
一、一元二次方程的定义和基本形式一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，它的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，且a≠0。
二、二次方程的解法1. 因式分解法当二次方程可以因式分解时，我们可以直接利用因式分解法求解。
例如，对于方程x^2 - 5x + 6 = 0，我们可以将其因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0，从而得到x = 2或x = 3两个解。
2. 公式法当二次方程无法直接因式分解时，我们可以利用求根公式求解。
求根公式即二次方程的根公式，它的表达式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)。
我们可以通过代入a、b、c的值，计算出方程的解。
例如，对于方程2x^2 + 3x - 2 = 0，根据求根公式，我们可以计算出x = (-3 ± √(3^2 - 4*2*(-2)))/(2*2)，化简后得到x = (-3 ± √(49))/4，进一步化简得到x = (-3 ± 7)/4，从而得到x = 1或x = -2两个解。
3. 完全平方公式当二次方程为完全平方时，我们可以利用完全平方公式求解。
完全平方公式即二次方程的平方差公式，它的表达式为：(a ± b)^2 = a^2 ± 2ab + b^2。
例如，对于方程x^2 + 6x + 9 = 0，我们可以将其改写为(x + 3)^2 = 0，从而得到x + 3 = 0，进一步得到x = -3。
三、二次方程解法的考点和技巧1. 判断二次方程是否可以因式分解，如果可以，可以直接利用因式分解法求解，节省计算时间。
高中数学初高中衔接读本专题4.1简单的二次方程组的解法高效演练学案
第1讲 简单的二次方程组的解法在初中我们已经学习了一元一次方程、一元二次方程及二元一次方程组的解法，掌握了用消元法解二元一次方程组．高中学习圆锥曲线时，需要用到二元二次方程组的解法．因此，本讲讲介绍简单的二元二次方程组的解法． 【知识梳理】1.含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程．2.由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组组成的方程组， 叫做二元二次方程组。
3.解二元二次方程组的基本思想是“转化”，这种转化包含“消元”和 “降次”将二元转化为一元是消元，将二次转化为一次是降次，这是转化的基本方法。
因此，掌握好消元和降次的一些方法和技巧是解二元二次方程组的关键。
【高效演练】1.下列方程组是二元二次方程组的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．方程组⎩⎨⎧+==mx y x y 2有两组不同的实数解，则（ ）A 、m ≥41-B 、m ＞41-C 、41-＜m ＜41D 、以上答案都不对 【解析】方程组⎩⎨⎧+==mx y x y 2有两组不同的实数解，两个方程消去y 得，20x x m --=，需要△＞0，即1+4m ＞0，所以m ＞41-.【答案】B 3.请你写出一个以和为解的二元二次方程组，这个方程组可以是 ．【分析】根据两方程知x 和y 的值相等且平方和为2，据此可得． 【解析】解：这个方程组可以是，故答案为：．【点评】本题主要考查列方程组的能力，根据已知方程得出x 、y 间满足的数量关系是解题的关键． 4.阅读材料，解答问题：我们可以利用解二元一次方程组的代入消元法解形如的二元二次方程组，实质是将二元二次方程组转化为一元一次方程或一元二次方程来求解．其解法如下： 解：由②得：y=2x ﹣5 ③ 将③代入①得：x 2+（2x ﹣5）2=10 整理得：x 2﹣4x+3=0，解得x 1=1，x 2=3将x 1=1，x 2=3代入③得y 1=1×2﹣5=﹣3，y 2=2×3﹣5=1 ∴原方程组的解为，．（1）请你用代入消元法解二元二次方程组：；（2）若关x ，y 的二元二次方程组有两组不同的实数解，求实数a 的取信范围．【分析】（1）先消去一个未知数再解关于另一个未知数的次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可；（2）先消去一个未知数，得到关于另一个未知数的一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式解答即可．（2）由①得，y=1﹣2x ③，把③代入②得，ax 2+（1﹣2x ）2+2x+1=0， 整理得，（a+4）x 2﹣2x+2=0， 由题意得，4﹣4×2×（a+4）＞0， 解得a ＜﹣， ∵a+4≠0， ∴a ≠﹣4，∴a ＜﹣且a ≠﹣4．【点评】本题考查的是高次方程的解法，掌握代入消元法的一般步骤和一元二次方程根的判别式的应用是解题的关键． 5.解下列方程组2226 (1)(1) 5 (2)x y xy ⎧+=⎨=⎩ （2）2 4 (1)221 (2)x y xy +=⎧⎨=-⎩；（3）2244220 (1)32110 (2)x xy y x y x y ⎧-++--=⎨+-=⎩；【解析】（1） (1) +(2)2⨯得：222236()3666x y xy x y x y x y ++=⇒+=⇒+=+=-或， (1) -(2)2⨯得：222216()1644x y xy x y x y x y +-=⇒-=⇒-=-=-或．解此四个方程组，得原方程组的解是：312412341515,,,1551x x x x y y y y =-===-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨===-=-⎩⎩⎩⎩． （2）∵方程①是x 与2y 的和,方程②是x 与2y 的积, ∴x 与2y 是方程z 2-4z-21=0的两个根解此方程得:z 1=-3,z 2=7, ∴ 37,2723x x y y 或=-=⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩∴原方程组的解是121237,7322x x y y =-=⎧⎧⎪⎪⎨⎨==-⎪⎪⎩⎩（3）(用代入法) 由②得: 1132xy -=③ 把③代入①得: x 2-+4()2+x--2=0.整理得:4x 2-21x+27=0 ∴x 1=3 x 2=.把x=3代入③ 得:y=1 把x=代入④ 得:y=.∴原方程组的解为: 2112934,1718x x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩6.k 为何值时，方程组24210 (1)2......(2)y x y y kx ì--+=ïí=+ïî（1）有两组相等的实数解； （2）有两组不相等的实数解； （3）没有实数解。
高中数学初高中衔接读本专题4.2一元二次不等式的解法高效演练学案word格式
第 2 讲一元二次不等式的解法本专题在初中学习方程、不等和函数的基础上，依据高中学习的需要，共同学习简单的二次方程组及一元二次不等式的解法。
【知识梳理】一元二次不等式的解：函数、方程与不等式＞0二次函数2y＝ ax ＋bx＋ c一元二次方程有两相异实根ax2＋ bx＋ c＝0x1, x2( x1＜ x2) ( a＞ 0) 的根ax2＋ bx＋ c＞0x<x1或 x>x2 ( a＞ 0) 的解集ax2＋ bx＋ c＜0x1＜ x＜ x2 ( a＞ 0) 的解集＝0＜0有两相等实根x1＝ x2＝无实根b－2abx≠－2a一的确数无解无解今后，我们在解一元二次不等式时，假如二次项系数大于零，可以利用上边的结论直接求解；假如二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以－ 1，将不等式变为二次项系数大于零的形式，再利用上边的结论去解不等式．【高效演练】1. 以下哪个不等式是一元二次不等式（）A． x2+x＜﹣ 1B． x2 + +1＜0C． x2++1＜ 0D． x+1＜ 0【解析】只有是一元二次不等式，而+1＜ 0 含有根式，没有定义次数，0是分式不等式，不定义次数，x+1＜0 是一元一次不等式．应选：A．【答案】 A2．不等式x23x20 的解集是（）A．x 2或x 1B．x 2或x 1C．1 x 2D．1x2【解析】由x23x20 ，可得； x23x 2 0 (x1)(x2) 0，因此原不等式的解集为1x 2 。
【答案】 C3. 一元二次不等式ax2+bx+c＜ 0 的解集为R，则必有（）A．B．C．D．【解析】由题意，联合图象与二次函数的性质获得答案．4. 一元二次不等式2kx 2+kx﹣＜0对一的确数x 都成立，则k 的取值范围是（）A．3k0B． 3k 0C．3k0D． k3或k 0【解析】由二次项系数小于0，对应的鉴识式小于0 联立求解．【解答】解：由一元二次不等式2kx2+kx﹣＜0对一的确数x 都成立，则，解得﹣ 3＜k＜ 0．综上，满足一元二次不等式2kx 2+kx ﹣＜0对一的确数x 都成立的k 的取值范围是3 k0【答案】 A【谈论】本题观察了一元二次不等式的解法，观察了分类谈论的数学思想方法，训练了“三个二次”的联合解题。
初高中数学衔接预习教材(共19讲)：第8讲二元一次、三元一次、二元二次方程组及其解法
第 8 讲二元一次、三元一次、二元二次方程组及其解法1．简单的二元一次方程组1.1 代入消元法解二元一次方程组3x 2 y7,①【例 1 】解方程组x②2 y 5.2.2 加减消元法解二元一次方程组5m2n1,①【例 2 】解方程组：7m②3n16.2．简单的三元一次方程组3 x4 z 7①【例 3】解方程组 2 x 3 y z9②5 x9 y7z8③3x 4 z z 14①【例 4】解方程组x 5 y2z17②2x 2 y z3③3．简单的二元二次方程组3.1 由一个二元一次方程和一个二元二次方程构成的方程组2x y0(1)【例 5】解方程组x2y230 (2)x y9(1)【例 6】解方程组xy18(2)3.2 由两个二元二次方程构成的方程组x2xy12(1)【例 7】解方程组y2xy4(2)x2y226(1)【例 8】解方程组xy 5(2)1．解以下方程组：x y 26x 2 2 y 28(1)x(2)y2yx xy 1x 2 y 0(3)3xy y 25(4)2xy 102 x 23x 22．解以下方程组：x y3(1)2xy3．解以下方程组：x(2x 3) 0(1)x 2 1y( x y 2)(x y) 0 (3)y8x 224．解以下方程组：x y 1 (2)xy6(3x 4 y 3)(3x4 y 3) 0(2)2 y53x(x y)( x y 1) 0 (4)y)( x y1)(x(1)22x y 3xy x 16 (2)xy x 8第 8 讲二元一次、三元一次、二元二次方程组及其解法x 1 3 x 22x 1x 28 x 4x 1 10 x 2101．32 , 2 (1),(2) ,,(3) ,(4),y 13 y 22y 1 2y 22 y310 y 2103y 1442．x 1 1 x 22 x 13x 22(1),,(2) y 1,3y 12 y 212 y 2x 0x 23x 17x 213 x 1 3 1 x 21 3 x 322 ,3． (1)1,(2) 3 ,3 ,(3),,,y 11 y 25 y 11 y 24y 1 3 1 y 21 3y 324x 42 x 1 0x 21 x 31 x 412 ,2,(4)．y 4y 1,,2 0y 21 y 31 y 422x 1 6x 26x 3 6x 4 6x 422224． (1),,,． (2) ．y 16 y 26 y 3 6y 46y32222。
2018高中数学初高中衔接读本专题4.2一元二次不等式的解法精讲深剖学案_1
第2讲一元二次不等式的解法本专题在初中学习方程、不等和函数的基础上，根据高中学习的需要，共同学习简单的二次方程组及一元二次不等式的解法。
问题1：二次函数y＝x2－x－6的对应值表与图象如下：观察：由对应值表及函数图象可知当x＝－2，或x＝3时，y＝0，即x2－x＝6＝0；当x＜－2，或x＞3时，y＞0，即x2－x－6＞0；当－2＜x＜3时，y＜0，即x2－x－6＜0．思考：这就是说，如果抛物线y= x2－x－6与x轴的交点是(－2，0)与(3，0)，那么一元二次方程x2－x－6＝0的解就是x1＝－2，x2＝3；同样，结合抛物线与x轴的相关位置，可以得到一元二次不等式x2－x－6＞0的解是x＜－2，或x＞3；一元二次不等式 x2－x－6＜0的解是－2＜x＜3．上例表明：由抛物线与x轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集．问题2：对于一般的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)怎样解呢？【归纳总结】一元二次不等式的解：今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以－1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式．【典例解析】解下列一元二次不等式：（1）x2＋2x－3≤0；（2）x－x2＋6＜0；（3）4x2＋4x＋1≥0；（4）x2－6x＋9≤0；（5）－4＋x－x2＜0．（4）整理，得(x－3)2≤0.由于当x＝3时，(x－3)2＝0成立；而对任意的实数x，(x－3)2＜0都不成立，∴原不等式的解为x ＝3．（5）整理，得x 2－x ＋4＞0．Δ＜0，所以，原不等式的解为一切实数．【解题反思】注意一元二次不等式的解题步骤为一看（二次项系数的正负）；二判（Δ的情况）；三算（有根求根）； 四写出解集。
【变式训练】 1.解下列不等式： （1） 2220x x -++<；（2）103x x -≤+； 【解析】（1）原不等式可化为2220x x -->， ∵120∆=>，方程2220x x --=的两根是1213,13x x ==∴原不等式的解集为1313x x 或<->+ （2）原不等式等价于(1)(3)010303x x x x x -+≤⎧-≤⇔⎨+≠+⎩； ∴原不等式的解集为31x -<≤．2.已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的顶点坐标（﹣1，﹣3.2）及部分图象（如图所示），其中图象与横轴的正半轴交点为（2，0），由图象可知： ①当 时，函数值随着x 的增大而减小；②关于x 的一元二次不等式ax 2+bx+c ＞0的解是 ．【分析】①根据二次函数的开口方向以及对称轴得出答案即可；②利用关于x 的一元二次不等式ax 2+bx+c ＞0的解，即为：y ＞时，求出x 的取值范围求出即可．【解析】∵二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的顶点坐标（﹣1，﹣3.2），图象与横轴的正半轴交点为（2，0）， ∴图象的对称轴为：x=﹣1，图象与横轴的负半轴交点为：（﹣4，0）；①∵图象开口向上，∴a ＞0，∵图象的对称轴为：x=﹣1， ∴当x ＜﹣1时，函数值随着x 的增大而减小；②关于x 的一元二次不等式ax 2+bx+c ＞0的解即为：y ＞时，求出x 的取值范围：x ＞2或x ＜﹣4． 故答案为：①＜﹣1；②x ＞2或x ＜﹣4．【点评】主要考查了利用函数图象求自变量的取值范围以及二次函数的增减性等知识，根据图象得出是解题关键3.已知不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解是2,3x x <>或求不等式20bx ax c ++>的解．【点评】本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题．4.关于x 的一元二次不等式2kx 2+kx ﹣＜0的解集为R ，求实数k 的取值范围．【分析】（1）由题意得，由此能求出实数k 的取值范围．【解析】由题意得：，不等式（2）化作：k 2+3k ＜0， 解得：﹣3＜k ＜0．则实数k 的取值范围是﹣3＜k ＜0．【点评】已知不等式解集的情况，求参数。
2018高中数学初高中衔接读本专题4.2一元二次不等式的解法精讲深剖学案_1111
第2讲一元二次不等式的解法本专题在初中学习方程、不等和函数的基础上,根据高中学习的需要,共同学习简单的二次方程组及一元二次不等式的解法。
问题1：二次函数y＝x2－x－6的对应值表与图象如下：观察：由对应值表及函数图象可知当x＝－2,或x＝3时,y＝0,即x2－x＝6＝0；当x＜－2,或x＞3时,y＞0,即x2－x－6＞0；当－2＜x＜3时,y＜0,即x2－x－6＜0．思考：这就是说,如果抛物线y= x2－x－6与x轴的交点是(－2,0)与(3,0),那么一元二次方程x2－x－6＝0的解就是x1＝－2,x2＝3；同样,结合抛物线与x轴的相关位置,可以得到一元二次不等式x2－x－6＞0的解是x＜－2,或x＞3；一元二次不等式 x2－x－6＜0的解是－2＜x＜3．上例表明：由抛物线与x轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集．问题2：对于一般的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)怎样解呢？【归纳总结】一元二次不等式的解：今后,我们在解一元二次不等式时,如果二次项系数大于零,可以利用上面的结论直接求解；如果二次项系数小于零,则可以先在不等式两边同乘以－1,将不等式变成二次项系数大于零的形式,再利用上面的结论去解不等式．【典例解析】解下列一元二次不等式：（1）x2＋2x－3≤0；（2）x－x2＋6＜0；（3）4x2＋4x＋1≥0；（4）x2－6x＋9≤0；（5）－4＋x－x2＜0．（4）整理,得(x －3)2≤0.由于当x ＝3时,(x －3)2＝0成立；而对任意的实数x ,(x －3)2＜0都不成立, ∴原不等式的解为x ＝3．（5）整理,得x 2－x ＋4＞0．Δ＜0,所以,原不等式的解为一切实数． 【解题反思】注意一元二次不等式的解题步骤为一看（二次项系数的正负）；二判（Δ的情况）；三算（有根求根）； 四写出解集。
【变式训练】 1.解下列不等式： （1） 2220x x -++<；（2）103x x -≤+；【解析】（1）原不等式可化为2220x x -->, ∵120∆=>,方程2220x x --=的两根是1211x x ==∴原不等式的解集为11x x <>．（2）原不等式等价于(1)(3)010303x x x x x -+≤⎧-≤⇔⎨+≠+⎩；∴原不等式的解集为31-<≤．x2.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（﹣1,﹣3.2）及部分图象（如图所示）,其中图象与横轴的正半轴交点为（2,0）,由图象可知：①当时,函数值随着x的增大而减小；②关于x的一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解是．【分析】①根据二次函数的开口方向以及对称轴得出答案即可；②利用关于x的一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解,即为：y＞时,求出x的取值范围求出即可．【解析】∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（﹣1,﹣3.2）,图象与横轴的正半轴交点为（2,0）,∴图象的对称轴为：x=﹣1,图象与横轴的负半轴交点为：（﹣4,0）；①∵图象开口向上,∴a＞0,∵图象的对称轴为：x=﹣1,∴当x＜﹣1时,函数值随着x的增大而减小；②关于x的一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解即为：y＞时,求出x的取值范围：x ＞2或x＜﹣4．故答案为：①＜﹣1；②x＞2或x＜﹣4．【点评】主要考查了利用函数图象求自变量的取值范围以及二次函数的增减性等知识,根据图象得出是解题关键3.已知不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解是2,3x x <>或求不等式20bx ax c ++>的解．【点评】本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题．4.关于x 的一元二次不等式2kx 2+kx ﹣＜0的解集为R,求实数k 的取值范围． 【分析】（1）由题意得,由此能求出实数k 的取值范围．【解析】由题意得：,不等式（2）化作：k 2+3k ＜0, 解得：﹣3＜k ＜0．则实数k 的取值范围是﹣3＜k ＜0．【点评】已知不等式解集的情况,求参数。
近年高中数学初高中衔接读本专题4.2一元二次不等式的解法精讲深剖学案(2021年整理)
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第2讲一元二次不等式的解法本专题在初中学习方程、不等和函数的基础上，根据高中学习的需要，共同学习简单的二次方程组及一元二次不等式的解法.问题1：二次函数y＝x2－x－6的对应值表与图象如下:x－3－2－101234y60－4－6－6－406观察：由对应值表及函数图象可知当x＝－2,或x＝3时，y＝0，即x2－x＝6＝0；当x＜－2,或x＞3时，y＞0，即x2－x－6＞0;当－2＜x＜3时，y＜0，即x2－x－6＜0．思考:这就是说，如果抛物线y= x2－x－6与x轴的交点是(－2，0)与(3，0）,那么一元二次方程x2－x－6＝0的解就是x1＝－2,x2＝3；同样,结合抛物线与x轴的相关位置，可以得到一元二次不等式x2－x－6＞0的解是x＜－2，或x＞3；一元二次不等式 x2－x－6＜0的解是－2＜x＜3．上例表明：由抛物线与x轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集．问题2：对于一般的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a≠0)怎样解呢？【归纳总结】一元二次不等式的解：函数、方程与不等式Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0）的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）的根有两相异实根x1,x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－错误!无实根ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集x〈x1或x>x2x≠－错误!一切实数ax2＋bx＋c＜0 (a＞0）的解集x1＜x＜x2无解无解今后,我们在解一元二次不等式时,如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二次项系数小于零,则可以先在不等式两边同乘以－1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式．【典例解析】解下列一元二次不等式：（1）x2＋2x－3≤0；（2）x－x2＋6＜0；(3）4x2＋4x＋1≥0；（4）x2－6x＋9≤0；（5）－4＋x－x2＜0．（4）整理，得（x －3)2≤0。
(初升高)高一数学衔接班第7讲——二元二次方程组课后练习
初升高数学衔接班第7讲——简单的二元二次方程组课后练习（答题时间：30分钟）1、解方程组22132x y x y x =+⎧⎨--=⎩一般用法。
2、解方程组 2 2 3210 x y x y ⎧-=⎨+=⎩时用含x 的代数式表示y ，按代入法解这个方程组，可得关于x 的方程是 3、方程组2203210x y x xy -=⎧⎨+=⎩的解为________________ 4、方程组：222256020x xy y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩可化为的两个方程组为________与_________ 5、解下列方程组：（1）32x y xy +=-⎧⎨=⎩ （2）16x y xy +=⎧⎨=-⎩ 6、解方程组：224915 (1)23 5 (2)x y x y ⎧-=⎨-=⎩7、解方程组22222148x xy y x y ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩①② 8、解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+---=++②①02)y x (3)y x (4y xy 2x 222【试题答案】1、代入2、223140x x +-=3、1212x x y y ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩ 4、⎩⎨⎧=-=+⎩⎨⎧=-=+.0y 3x ,20y x ;0y 2x ,20y x 2222 5、121212121232(1),,(2),2 1 2 3 x x x x y y y y =-=-==-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨=-=-=-=⎩⎩⎩⎩ 6、解：方程（1）可变形为()()232315 (3)x y x y -+=把（2）代入（3）中，得()52315x y +=即233x y +=于是，原方程组化为233235x y x y +=⎧⎨-=⎩解这个二元一次方程组，得213x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩所以原方程组的解是213x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩. 7、解：由①得x ＋y ＋1＝0，x ＋y －1＝0。
分别解这两个方程组得原方程组的解为：8、先把方程①分解为两个二元一次方程分别与方程②组成两个方程组：由于方程②也可以分解，故上面的方程又可以分别化为下面四个方程组：解这四个方程组，就可得到原方程组的解。
高中数学二次方程的解题技巧
高中数学二次方程的解题技巧一、引言在高中数学学习中，二次方程是一个重要的知识点，也是考试中常见的题型之一。
掌握二次方程的解题技巧对于学生来说至关重要。
本文将从常见的二次方程题目入手，结合具体例子，详细介绍解题技巧，帮助高中学生和他们的父母更好地应对这类题目。
二、一元二次方程的解题技巧1. 完全平方公式对于形如ax^2+bx+c=0的一元二次方程，当其判别式Δ=b^2-4ac大于等于零时，可以使用完全平方公式求解。
完全平方公式的表达式为x=(-b±√Δ)/(2a)。
例如，对于方程x^2-5x+6=0，可以通过完全平方公式得到x=2或x=3，进而求得方程的解。
2. 因式分解法当一元二次方程的系数较为简单，且方程的根为整数时，可以尝试使用因式分解法求解。
例如，对于方程x^2-4x+3=0，可以通过因式分解得到(x-1)(x-3)=0，从而得到x=1或x=3。
3. 配方法当一元二次方程的一次项系数较大，或者判别式Δ为负数时，可以尝试使用配方法求解。
配方法的关键是通过添加一个适当的常数，使得方程可以进行因式分解。
例如，对于方程x^2-7x+10=0，可以通过配方法将方程改写为(x-2)(x-5)=0，进而得到x=2或x=5。
4. 求根公式当一元二次方程的系数较为复杂，无法使用上述方法求解时，可以尝试使用求根公式。
求根公式的表达式为x=(-b±√Δ)/(2a)。
虽然求根公式的推导较为复杂，但是一旦掌握，可以快速求解各种类型的二次方程。
三、举一反三掌握了二次方程的解题技巧，我们可以通过举一反三的方法将这些技巧应用到其他类型的题目中。
1. 含有参数的二次方程当二次方程中的系数为参数时，我们可以通过解方程的方法求解参数的取值范围。
例如，对于方程(x-a)(x-b)=0，我们可以通过分析判别式Δ=(a-b)^2来确定参数a和b的取值范围。
2. 二次方程的应用问题在实际问题中，二次方程经常被用来描述各种变化规律。
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第1讲 简单的二次方程组的解法
在初中我们已经学习了一元一次方程、一元二次方程及二元一次方程组的解法，掌握了用消元法解二元一次方程组．高中学习圆锥曲线时，需要用到二元二次方程组的解法．因此，本讲讲介绍简单的二元二次方程组的解法．
【知识梳理】
1.含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程．
2.由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组组成的方程组， 叫做二元二次方程组。
3.解二元二次方程组的基本思想是“转化”，这种转化包含“消元”和 “降次”将二元转化为一元是消元，将二次转化为一次是降次，这是转化的基本方法。
因此，掌握好消元和降次的一些方法和技巧是解二元二次方程组的关键。
【高效演练】
1.下列方程组是二元二次方程组的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．方程组⎩⎨⎧+==m
x y x y 2
有两组不同的实数解，则（ ）
A 、m ≥41-
B 、m ＞4
1-
C 、41-＜m ＜4
1 D 、以上答案都不对 【解析】方程组⎩⎨⎧+==m
x y x y 2
有两组不同的实数解，两个方程消去y 得，20x x m --=， 需要△＞0，即1+4m ＞0，所以m ＞41-
.
【答案】B
3.请你写出一个以和为解的二元二次方程组，这个方程组可以是 ． 【分析】根据两方程知x 和y 的值相等且平方和为2，据此可得． 【解析】解：这个方程组可以是， 故答案为：．
【点评】本题主要考查列方程组的能力，根据已知方程得出x 、y 间满足的数量关系是解题的关键．
4.阅读材料，解答问题： 我们可以利用解二元一次方程组的代入消元法解形如的二元二次方程组，
实质是将二元二次方程组转化为一元一次方程或一元二次方程来求解．其解法如下：
解：由②得：y=2x ﹣5 ③
将③代入①得：x 2+（2x ﹣5）2
=10
整理得：x 2﹣4x+3=0，解得x 1=1，x 2=3
将x 1=1，x 2=3代入③得y 1=1×2﹣5=﹣3，y 2=2×3﹣5=1 ∴原方程组的解为，． （1）请你用代入消元法解二元二次方程组：；
（2）若关x ，y 的二元二次方程组有两组不同的实数解，求实数a 的取信范围．
【分析】（1）先消去一个未知数再解关于另一个未知数的次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可；
（2）先消去一个未知数，得到关于另一个未知数的一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式解答即可．
（2）由①得，y=1﹣2x ③，
把③代入②得，ax 2+（1﹣2x ）2
+2x+1=0，
整理得，（a+4）x 2﹣2x+2=0，
由题意得，4﹣4×2×（a+4）＞0，
解得a ＜﹣，
∵a+4≠0，
∴a ≠﹣4，
∴a ＜﹣且a ≠﹣4．
【点评】本题考查的是高次方程的解法，掌握代入消元法的一般步骤和一元二次方程根的判别式的应用是解题的关键．
5.解下列方程组 2226 (1)(1) 5 (2)
x y xy ⎧+=⎨=⎩ （2）2 4 (1)221 (2)x y xy +=⎧⎨=-⎩
； （3）2244220 (1)32110 (2)
x xy y x y x y ⎧-++--=⎨+-=⎩；
【解析】（1） (1) +(2)2⨯得：222236()3666x y xy x y x y x y ++=⇒+=⇒+=+=-或，
(1) -(2)2⨯得：222216()1644x y xy x y x y x y +-=⇒-=⇒-=-=-或．
解此四个方程组，得原方程组的解是：
3124123
41515,,,1551x x x x y y y y =-===-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨===-=-⎩⎩⎩⎩． （2）∵方程①是x 与2y 的和,方程②是x 与2y 的积,
∴x 与2y 是方程z 2-4z-21=0的两个根解此方程得:z 1=-3,z 2=7,
∴ 37,2723x x y y 或=-=⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩
∴原方程组的解是121237,7322
x x y y =-=⎧⎧⎪⎪⎨⎨==-⎪⎪⎩⎩ （3）(用代入法) 由②得: 1132x y -=
③ 把③代入①得: x 2-+4()2+x--2=0.
整理得:4x 2-21x+27=0
∴x 1=3 x 2=. 把x=3代入③ 得:y=1
把x=代入④ 得:y=.
∴原方程组的解为: 2112934,1718x x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩
6.k 为何值时，方程组24210......(1)2......(2)y x y y kx ì--+=ïí=+ïî
（1）有两组相等的实数解；
（2）有两组不相等的实数解；
（3）没有实数解。
【分析】分析：先用代入法消去未知数y ，可得到关于x 的一元方程，如果这个一元方程是一元二次方程，那么就可以根据根的判别式来讨论。
【解析】（1）将(2)代入(1)，整理得k 2x 2
+(2k-4)x+1=0 (3)
当
20
kì¹
ï
í
=
ïîV
时，方程(3)有两个相等的实数根。
即
2
22
(24)40 k
k k
ì¹
ï
í
ï--=î
解得：
1
k
k
ì¹
ï
í
=
ïî
k=1。
∴ 当k=1时，原方程组有两组相等的实数根。
（2）当
20
kì¹
ï
í
>
ïîV
时，方程(3)有两个不相等的实数根。
即
2
22
(24)40 k
k k
ì¹
ï
í
ï-->î
解得：
1
k
k
ì¹
ï
í
<
ïî
k<1且k≠0.
∴当k<1且k≠0时，原方程组有两组不等实根。
（3）因为在（1）、（2）中已知方程组有两组解，可以确定方程(3)是一元二次方程，但在此问中不能确定方程(3)是否是二次方程，所以需两种情况讨论。
(i)若方程(3)是一元二次方程，无解条件是，
20
kì¹
ï
í
<
ïîV
，
即
2
22
(24)40
k
k k
ì¹
ï
í
ï--<
î
；解得：
1
k
k
ì¹
ï
í
>
ïî
k>1。
(ii)若方程(3)不是二次方程，则k=0，此时方程(3)为-4x+1=0，它有实数根.
1
4 x=
综合(i)和(ii)两种情况可知，当k>1时，原方程组没有实数根。
【点评】使用判别式“Δ”的前提条件是能确定方程为一元二次方程，不是一元二次方程不能使用Δ。
7.二元二次方程组有两个实数解和，其中y1=2，且，
求常数n，t的值．
【分析】将y1=2，y1=2，代入原方程组可以得到x与n 的关系，然后代入，可以求得y2的值，
再将方程组中的x消去即可得到关于y的一元二次方程，然后根据韦达定理即可求得n和t 的值．
由方程组，消去x，
得（n2+4）y2+4n2y+4（n2﹣t）=0，
由韦达定理，得，
解得．
【点评】本题考查高次方程，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．。