2017高考理科数学一轮复习课件：第12章 选考部分 选修4-4第1讲

∴λ＝±13， 故选 B. μ＝±1，
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3．(选修 4－4 P12 习题 T3 改编)在极坐标系中 A(2，－π3)，B(4，23π)
两点间的距离为( C )
A．2
B．3
C．6
D．3 3
解析：法一：(数形结合)在极坐标系中，A、B 两点如图所示，|AB|
＝|OA|＋|OB|＝6.
解析：将x′＝12x 代入 y＝sin x 得 y′＝3y
13y′＝sin 2x′， 即 y′＝3 sin2x′. 即曲线 C 的解析式为 y＝3sin 2x，故 T＝22π＝π，ymax＝3.故选 A.
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2．(选修 4－4 P8 习题 T5 改编)椭圆 C：x2＋9y2＝9 经过变换 Γ 后 变成圆 x2＋y2＝1.则变换 Γ 可能为( B )
曲线的极坐标方程的应用 (2015·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中，直线 C1：x＝－ 2，圆 C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴 为极轴建立极坐标系． (1)求 C1，C2 的极坐标方程； (2)若直线 C3 的极坐标方程为 θ＝π4(ρ∈R)，设 C2 与 C3 的交点为 M， N，求△C2MN 的面积．
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极坐标与直角坐标互化的注意点： ①在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和 极角的范围，否则点的极坐标将不唯一． ②在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转 化的等价性．
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1．点 P 的直角坐标( 6，－ 2)化成极坐标(ρ>0,0≤θ<2π)为( D )
[解] (1)设圆 x2＋y2＝36 上任一点为 P(x，y)，伸缩变换后对应的 点的坐标为 P′(x′，y′)， 则xy＝＝32yx′′ ，∴4x′2＋9y′2＝36，即x′9 2＋y′4 2＝1. ∴曲线 C1 在伸缩变换后得椭圆 C2：x92＋y42＝1.
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2．直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系
中取相同的长度单位．设 M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极
坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则xy＝＝ρρscions
θ θ
ρ2＝ x2＋y2
， tan θ＝
xyx≠0
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第十二章 选考部分
第1讲 坐标系
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1．坐标系
(1)坐标变换
设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 φ：
x′＝λ·xλ>0 y′＝μ·yμ>0
的作用下，
点 P(x，y)对应到点(λx，μy)，称 φ 为坐标系中的伸缩变换．
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(2)极坐标系 在平面内取一个定点 O，叫做极点；自极点 O 引一条射线 Ox，叫做极轴；再选一个长度 单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方 向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． 设 M 是平面内任意一点，极点 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的 极径，记为 ρ；以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角 xOM 叫 做点 M 的极角，记为 θ，有序数对(ρ，θ)叫做点 M 的极坐标，记 为 M(ρ，θ)．
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极坐标与直角坐标的互化 (1)[点的互化]①把点 M 的极坐标－5，π6化成直角坐标； ②把点 M 的直角坐标(－ 3，－1)化成极坐标． (2)[方程互化]在极坐标系下，已知圆 O：ρ＝cos θ＋sin θ 和直线 l： ρsinθ－π4＝ 22.(ρ≥0,0≤θ<2π) ①求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程； ②当 θ∈(0，π)时，求直线 l 与圆 O 的公共点的极坐标．
x′＝x B.y′＝2y
C.x′＝12x y′＝2y
x′＝x D.y′＝4y
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解析：设变换为yx′′＝＝μλxyμλ>>00，， 代入第二个方程，得 2λx－μy ＝4，与 x－2y＝2 比较系数得 λ＝1，μ＝4，即xy′′＝＝4xy，. 因此， 经过变换xy′′＝＝4xy， 后，直线 x－2y＝2 变成直线 2x′－y′＝4. 故选 D.
因为 ρ2－2 2ρcosθ－π4＝2，所以 ρ2－
2
2ρcos
θcosπ4＋sin
θsinπ4＝2，所以
x2＋y2－2x－2y－2＝0.
(2)将两圆的直角坐标方程相减，
得经过两圆交点的直线方程为 x＋y＝1.
化为极坐标方程为 ρcos θ＋ρsin θ＝1，
即
ρsinθ＋π4＝
2 2.
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.
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1．常见直线的极坐标方程 (1)直线过极点：θ＝θ0 和 θ＝π＋θ0； (2)直线过点 M(a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a； (3)直线过 M(b，π2)且平行于极轴：ρsin θ＝b. 2．几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为 r：ρ＝r； (2)当圆心位于 M(a,0)，半径为 a：ρ＝2acos θ； (3)当圆心位于 M(a，π2)，半径为 a：ρ＝2asin θ.
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1．(选修 4－4 P5 思考改编)曲线 y＝sin x 经过变换x′＝12x 得 y′＝3y
到曲线 C，则曲线 C 的( A )
A．T＝π，ymax＝3 C．T＝π，ymax＝13
B．T＝4π，ymax＝3 D．T＝4π，ymax＝13
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4．(选修 4－4 P15 习题 T5 改编)在极坐标系中，求点 A(2，－π4)到 直线 ρsin(θ＋π4)＝2 的距离．
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解：法一：点 A(2，－π4)的直角坐标为(2cos(－π4)，
2sin(－π4))，即( 2，－ 2)，
由直线 ρsin(θ＋π4)＝2，得
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平面直角坐标系中的伸缩变换
在
同一平面直角坐标系中，经过
伸缩变换
x′＝12x y′＝13y
后，曲线 C1：x2＋y2＝36 变为曲线 C2. (1)求 C2 的方程； (2)P、Q 分别为 C1 与 C2 上的点，求|PQ|的最小值与最大值．
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[解] (1)①∵x＝－5cos π6＝－52 3，
y＝－5sinπ6＝－52，∴点 M 的直角坐标是－52 3，－52. ②ρ＝ － 32＋－12＝ 3＋1＝2，
tan
θ＝－－13＝
3 3.
∵点 M 在第三象限，ρ>0，∴最小正角 θ＝76π.
因此，点 M 的极坐标是2，76π.
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2．双曲线 C：x2－6y42 ＝1 经过 φ：2xy′′＝＝3yx， 变换后所得曲线 C′ 的焦点坐标为_(_－__5_,_0_)， ___(5_,_0_)__． 解析：设曲线 C′上任意一点 P′(x′，y′)，由上述可知，将x＝13x′，
y＝2y′， 代入 x2－6y42 ＝1，得x9′2－46y4′2＝1，化简得x9′2－y1′62＝1，即x92－1y62 ＝1 为曲线 C′的方程，可见仍是双曲线，则焦点 F1(－5,0)，F2(5,0)为所 求．
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法二：A(2，－π3)；B(4，23π)的直角坐标为 A(2cos(－π3)，2sin(－π3)) ＝A(1，－ 3)， B(4cos 23π，4sin 23π)＝B(－2,2 3)． ∴|AB|＝ －2－12＋2 3＋ 32＝ 36＝6.故选 C.
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第十二章 选考部分
选修4－4 坐标系与参数方程
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第十二章 选考部分
知识点
考纲展示
1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换 作用下平面图形的变化情况． 坐标系 2．了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标 与参数 刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化． 方程 3．能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程． 4．了解参数方程，了解参数的意义． 5．能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.
(2)C1 是以 O 为圆心，半径 r＝6 的圆，C2 是以 O 为中心，长半轴 长 a＝3，短半轴长 b＝2 的椭圆，(如图)．
∴|PQ|min＝r－a＝6－3＝3. |PQ|max＝r＋a＝6＋3＝9.
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平面上的曲线 y＝f(x)在变换 φ：xy′′＝＝μλxyλμ>>00， 的作用下的变
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3．已知圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程分别为 ρ＝2，ρ2－2 2ρ·cosθ－π4 ＝2. (1)把圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．
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解：(1)由 ρ＝2 知 ρ2＝4，所以 x2＋y2＝4；
x′＝3x A.y′＝y
B.x′＝13x y′＝y
x′＝x C.y′＝3y
x′＝x D.y′＝13y
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解析：设变换 Γ：xy′′＝＝μλxy， ， 将 Γ 代入 x2＋9y2＝9 得x′λ 2＋9·y′ μ 2＝9， 即91λ2x′2＋μ12y′2＝1.
由题意得91λ2＝1， μ12＝1，
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[解] (1)因为 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以 C1 的极坐标方程为 ρcos θ＝－2，C2 的极坐标方程为 ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)将 θ＝π4代入 ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得 ρ2－3 2ρ＋4＝0，解得 ρ1＝2 2，ρ2＝ 2. 故 ρ1－ρ2＝ 2，即|MN|＝ 2. 由于 C2 的半径为 1，所以△C2MN 的面积为12.
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(2)①圆 O：ρ＝cos θ＋sin θ，即 ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 故圆 O 的直角坐标方程为：x2＋y2－x－y＝0， 直线 l：ρsinθ－π4＝ 22，即 ρsin θ－ρcos θ＝1， 则直线 l 的直角坐标方程为：x－y＋1＝0. ②由①知圆 O 与直线 l 的直角坐标方程， 将两方程联立得xx2－＋yy＋2－1＝x－0 y＝0 ，解得xy＝＝10 ，即圆 O 与直线 l 在直角坐标系下的公共点为(0,1)， 将(0,1)转化为极坐标为1，π2，即为所求．
A．(2 2，π6)
B．(2 2，23π)
Hale Waihona Puke C．(2 2，56π)D．(2 2，116π)
解析：ρ＝
62＋－
22＝2
2，tan
－ θ＝
2＝－ 6
33，又因为
点在第四象限，得 θ＝116π.
因此，点 P 的极坐标为2
2，116π.故选 D.
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2．在极坐标系中，点 2，π3到圆 ρ＝2cos θ 的圆心的距离为 _____3___． 解析：点2，π3化为直角坐标为(1， 3)，方程 ρ＝2cos θ 化为普通 方程为 x2＋y2－2x＝0，故圆心为(1,0)， 则点(1， 3)到圆心(1,0)的距离为 3.
换方程的求法是将yx＝＝yx′ μ′λ ，
代入 y＝f(x)，得y′ μ ＝fx′λ ，整
理之后得到 y′＝h(x′)，即为所求变换之后的方程．
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1．在同一平面直角坐标系中，将直线 x－2y＝2 变成直线 2x′
－y′＝4，则满足图象变换的伸缩变换为( D )
x′＝2x A.y′＝12y
ρsin θcosπ4＋ρcos θsin π4＝2，
即 x＋y－2 2＝0.
点( 2，－ 2)到直线 x＋y－2 2＝0 的距离
d＝|
2－ 2－2 12＋12
2|＝2.
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法二：(数形结合法)在极坐标系中，直线 ρsin(θ＋π4)＝2 是过点 M(2 2，0)，N(2，π4)的直线，如图，显然 A 到直线 l 的距离为|AM| ＝2.