2022-2023学年江苏省镇江市扬中市第二高级中学高一下学期期初数学试题(解析版)

2022-2023学年江苏省镇江市扬中市第二高级中学高一下学期期初数
学试题
一、单选题
1．已知函数()f x 的定义域为[]1,2-，则函数()()2g x f x = ） A ．[]0,1 B ．[]1,0-
C ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
D ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
【答案】D
【解析】由122x -≤≤及120x -≥求解可得．
【详解】由题意122120x
x -≤≤⎧⎨-≥⎩
，解得1
02x -≤≤． 故选：D ．
2．角α的终边经过点(3sin ,cos )αα-，则sin α的值为（ ） A ．1
5
B ．14
C ．13
D ．34
【答案】C
【解析】易知3sin 0α->，可得角α的终边在第一象限或第四象限，从而得到cos 0α>，再利用三角函数的定义，即可得答案；
【详解】易知3sin 0α->，可得角α的终边在第一象限或第四象限，∴cos 0α>， 点(3sin ,cos )αα-的纵坐标大于0，∴角α的终边在第一象限， ∴
1
sin 0sin 3αα>⇒=，
故选：C.
3．函数()sin π=f x x 对于任意R x ∈的都有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则21x x -的最小值为（ ） A ．1
2 B ．1
C ．32
D ．2
【答案】B
【分析】根据题意得到()1f x 是函数的最小值，()2f x 是函数的最大值，由21x x -的最小值为半个周期求解.
【详解】解：因为函数()sin π=f x x 对于任意R x ∈的都有()()()12f x f x f x ≤≤成立， 所以()1f x 是函数的最小值，()2f x 是函数的最大值，
所以21x x -的最小值为半个周期， 即1212π
π
⋅=， 故选：B
4．将函数()f x 的图象向右平移π4
个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的1
2，得到函数
()πsin 44g x x ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭的图象，则()f x 的函数表达式为（ ）
A ．()πsin 22f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
B ．()sin2f x x =
C ．()πsin 24f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
D ．()πsin 4f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
【答案】C
【分析】利用三角函数的图象变换逐步变换得解.
【详解】解：将函数()πsin 44g x x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，得到函数
πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，将函数πsin 24y x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图象向左平移π4个单位得到
()πππsin 2()sin(2)444f x x x ⎛
⎫=+-=+ ⎪⎝
⎭.
故选：C
5．设函数()cos()(0)6f x x πωω=->.若()()4
f x f π
≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为
A ．1
3
B ．12
C ．23
D ．1
【答案】C
【分析】利用已知条件推出函数的最大值，然后列出关系式求解即可． 【详解】解：函数f （x ）=cos （ωx ﹣
6π ）（ω＞0），若f （x ）≤f （4
π）对任意的实数x 都成立，可得：·2,46
k k Z ππ
ωπ-=∈ ，解得28,,03k k Z ωω=+∈> ，
则ω的最小值为：2
3
． 故选：C.
【点睛】本题考查三角函数的最值的求法与应用，考查转化思想以及计算能力． 6．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意1x ，2(0,)x ∈+∞，都有
121212
()()
0()f x f x x x x x ->≠-，
131(log )2
a f =，21(log )3
b f =，
12(5)c f =，则（ ） A ．a b c >> B ．c a b >> C ．b a c >> D ．c b a >>
【答案】D
【分析】根据函数单调性和奇偶性的定义可知()f x 在(0,)+∞上单调递增，()()f x f x =-；根据对数函
数的单调性可知()131log 0,12∈，21log 32<<，易知1
252>，由此即可判断1
221310log log 32
5<<<，再
根据偶函数的性质和单调性即可判断,,a b c 的大小. 【详解】因为对任意1x ，2(0,)x ∈+∞，都有121212
()()
0()f x f x x x x x ->≠-，
所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，
又函数()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()f x f x =- 因为1
33
1
log log 22
=，又3330log 1log 2log 31=<<= 所以()1
3
1
log 0,12
∈， 又2221log 2log 3log 42=<<=
，1
252=>
所以1
22131
0log log 32
5<<<，
所以()()22211321log 3log 3lo g 5o 3l g 12f f f f f ⎪⎛
⎫<=-=⎛⎫ ⎪⎝⎝⎛<⎫ ⎝⎭ ⎭⎭⎪
所以c b a >>. 故选：D.
7．已知函数y ＝f (x )的表达式为f (x )＝|log 2x |，若0＜m ＜n 且f (m )＝f (n )，则2m +n 的取值范围为（ ） A ．()1,+∞ B ．[)1,+∞
C
．()
+∞
D
．)
∞⎡+⎣
【答案】D
【分析】根据函数的解析式和,m n 的取值范围可求出mn ＝1，从而利用基本不等式即可求出2m +n 的取值范围.
【详解】因为f (x )＝|log 2x |，0＜m ＜n 且f (m )＝f (n )， 所以22log log m n =，即22log log m n -=，所以mn ＝1． ∴2m +n
≥
2m ＝n
，即m n ==时等号成立． 故2m +n
的取值范围为)
⎡+∞⎣. 故选：D ．
8．已知函数3cos 2y x ππ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，55,66x t t ⎡⎫⎛⎫∈>⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭既有最小值也有最大值，则实数t 的取值范围是（ ）
A ．
31326
t <≤ B ．3
2
t >
C ．
31326t <≤或52t > D ．52
t > 【答案】C
【解析】根据题意得到
31326t πππ<≤或52
t π
π<，计算得到答案. 【详解】3cos sin 2y x x πππ⎛⎫=+=
⎪⎝⎭，55,66x t t ⎡⎫⎛⎫∈>⎪⎪⎢⎣⎭⎝
⎭则55,66x t t πππ⎡⎫⎛
⎫∈>⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭ 函数有最小值也有最大值 则
3133132626
t t πππ<≤∴<≤或5522t t π
π<∴< 故选：C
【点睛】本题考查了三角函数的最值问题，漏解是容易发生的错误.
二、多选题
9．下列运算中正确的是（ ） A ．
373log 7
log 4log 4
= B ．lg2
1ln(ln e)210-⎛⎫+= ⎪
⎝⎭
C ．当0a >
11
6a = D ．若114a a -+=
，则21
21
a a -+=【答案】BC
【分析】根据换底公式、对数运算法则，根式与分数指数幂的互化及幂的运算法则判断．
【详解】334log 7log log 47=，A 错；lg2
lg21ln(ln e)10ln120210-⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭
，B 正确； 当0a >
1
13
11
3
33262a a a a +⋅==，C 正确；
1
14a a -+=时，1
12
12
2()216a a a a -
-+=++=，所以11
224a a -+=，D 错．
故选：BC ．
10．下列函数中，是奇函数或者增函数的是（ ） A ．1
πsin 0sin 2
f x
x
x x
B ．2π402
f x
x x x C ．()x x
f x e e -=+ D ．()1
lg
1
x f x x +=- 【答案】BD
【分析】本题首先可通过()1
sin sin f x x x
=+
的定义域判断出不是奇函数，通过复合函数单调性的判定得出()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，A 错误，然后通过在区间0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
上是增函数得出B 正确，再然后通
过()x x
f x e e -=+是偶函数以及在其定义域上不恒为增函数得出C 错误，最后通过定义域以及
()()f x f x -=-得出()1
lg 1
x f x x +=-是奇函数，D 正确. 【详解】A 项：()1
sin sin f x x x =+
，定义域为0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
，不是奇函数， 设sin t x =，则1y t t =+，在区间0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭上，sin t x =是增函数，()0,1t ∈，
在区间()0,1上，222
11
10
t y t t ，1y t t =+是减函数， 故()1
sin sin f x x x =+在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
上是减函数，A 错误；
B 项：()()2
2424f x x x x =-+=--+，在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
上是增函数，满足题意，B 正确；
C 项：()x x f x e e -=+，定义域为R ，()()x x
f x e e f x --=+=，是偶函数，
211
x x
x
x e f x e e e ，在其定义域上不恒为增函数，C 错误；
D 项：()1lg 1x f x x +=-，则
1
01
x x +>-，解得1x >或1x <-，定义域为()(),11,-∞-+∞，
11
1
lg
lg lg
11
1
x x x f x f x x x x ，是奇函数，满足题意，D 正确，
故选：BD.
11．已知函数()2sin 23f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，则（ ）
A ．函数()f x 的图象关于点,06π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称
B ．函数()f x 的图象关于直线23
x π
=
对称
C ．若0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，则函数()f x 的值域为⎡⎣ D ．函数()f x 的单调递减区间为()511,1212k k k ππππ⎡
⎤++∈⎢⎥⎣⎦
Z 【答案】AD
【分析】代入验证正弦型函数的对称中心判断选项A ；代入验证正弦型函数的对称轴判断选项B ；求解正弦型函数在给定区间的值域判断选项C ；求解正弦型函数的递减区间判断选项D.
【详解】选项A ：2sin 26603f πππ⎛⎫⎛⎫
=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则函数()f x 的图象关于点,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭
对称.判断正确；
选项B ：222sin 201333f π
ππ⎛⎫⎛
⎫=⨯-=≠±
⎪ ⎪
⎝⎭⎝
⎭，则函数()f x 的图象不关于直线23x π=对称. 判断错误；
选项C ：由02
x π≤≤
，可得223
3
3x π
π
π-
≤-
≤
，则2sin 223x π⎛
⎫≤-≤ ⎪⎝
⎭，
即若0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，则函数()f x 的值域为2⎡⎤⎣⎦.判断错误； 选项D ：由3222232k x k πππ
ππ+≤-≤+，可得5111212
k x k ππππ+≤≤+，
即函数()f x 的单调递减区间为()511,1212k k k ππππ⎡
⎤++∈⎢⎥⎣⎦
Z .判断正确. 故选：AD
12．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意x ∈R ，有()()11f x f x -=-+，当[]0,1x ∈时，
()22f x x x =+-，则（ ）
A ．()f x 是以2为周期的周期函数
B ．点()3,0-是函数()f x 的一个对称中心
C ．()()202120222f f +=-
D ．函数()()2log 1y f x x =-+有3个零点 【答案】BD
【分析】首先根据函数的对称性求出()f x 的周期和对称中心，然后求得()()20212022f f +.利用图象法即可判断D.
【详解】依题意，()f x 为偶函数， 且()()11f x f x +=--，有
1112
x x
-++=，即()f x 关于()1,0对称， 则()()()()()413132f x f x f x f x +=++=--+=---
()()()()()()()()221111f x f x f x f x f x f x =--+=-+=-++=-+=-=， 所以()f x 是周期为4的周期函数，故A 错误； 因为()f x 的周期为4，()f x 关于()1,0对称， 所以(3,0)-是函数()f x 的一个对称中心，故B 正确；
因为()f x 的周期为4，则()()202110f f ==，()()()2022202f f f ==-=， 所以()()202120222f f +=，故C 错误；
作函数()2log 1y x =+和()y f x =的图象如下图所示，
由图可知，两个函数图象有3个交点，
所以函数2log (1)()y x f x =+-有3个零点，故D 正确. 故选：BD.
三、填空题
13．已知扇形的周长为6，圆心角为1rad ，则该扇形的面积为__________． 【答案】2
【分析】设扇形的弧长为l ，半径为r ，然后根据已知建立方程求出l ，r ，进而可以求解． 【详解】解：设扇形的弧长为l ，半径为r ， 则26l r +=，且1l r
=，则2l =，2r =， 所以扇形面积为11
22222
S lr =⨯=⨯⨯=.
故答案为：2．
14．若命题“[]01,5x ∃∈，2
0020x ax +->成立.”是真命题，则实数a 的取值范围是________
【答案】23,5⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
【分析】将命题转化为2()20f x x ax =+->在[1,5]上有解，结合二次函数的性质求a 的范围. 【详解】令2()2f x x ax =+-，则()0f x >在[1,5]上有解，
()f x 开口向上且对称轴为2
a
x =-
，280a ∆=+>，
所以32(5)5230a f a ⎧-≤⎪⎨⎪=->⎩或32(1)10
a f a ⎧->⎪⎨⎪=->⎩，解得235a >-.
故答案为：23,5⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
四、双空题
15．设函数2,0
()1
,0
4x e x f x x x x ⎧≤⎪
=⎨-++>⎪⎩
，则[(0)]f f =_______；若方程()f x b =有且仅有1个实数根，则实数b 的取值范围是_______． 【答案】
14 0b ≤或1
12
b <≤ 【分析】（1）根据分段函数的解析式，代入x 的值，可求得函数值； （2）作出函数()y f x =的图象，根据数形结合思想可求得实数b 的取值范围. 【详解】（1）0(0)1f e ==，11
[(0)](1)1144
f f f ==-++
=； （2）方程()f x b =有且仅有1个实数根，即y b =与()y f x =的图象有1个交点， 当0x >时，2
2
111422y x x x ⎛
⎫=-++=--+ ⎪⎝
⎭，max 12y =，
画出函数()y f x =的图象，由图可知当y b =与()y f x =只有1个交点时，0b ≤或
1
12
b <≤
故答案为：14；0b ≤或1
12
b <≤.
【点睛】本题考查求分段函数的函数值，以及分段函数的图象，由分段函数的图象和方程的根的个数求参数的范围，属于中档题.
五、填空题
16．设函数()f x 的定义域为R ，()f x 为偶函数，()1f x +为奇函数，当[]1,2x ∈时，()2=⋅+x f x a b ，若()()014f f +=-，则72f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
_________.
【答案】4-
【分析】根据题意，结合奇、偶函数的性质，列方程组求出a 和b ，即可求解. 【详解】根据题意，由()1f x +为奇函数，得()f x 关于()1,0对称， 故()10f =，即20a b +=，
∵()()020f f +=，∴()()()024f f a b =-=-+， 又∵()()014f f +=-， ∴()04f =-，即44a b +=，
由20
44a b a b +=⎧⎨
+=⎩
，解得2a =，4b =-， ∵73022f f ⎛⎫⎛⎫
+
-= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，
∴3
27332244222f f
f ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫=--=-=-⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
故答案为：4-.
六、解答题
17．已知集合(){}2log 12A x x =-<，{}22
210B x x ax a =-+-<.
(1)若1a =，求A B ⋃；
(2)求实数a 的取值范围，使___________成立. 从①R
A B ⊆
，②R
B A ⊆
，③()A B =∅R 中选择一个填入横线处求解.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1){}05x x <<； (2)选1，0a ≤或6a ≥ 选2，0a ≤或6a ≥； 选3，24a ≤≤.
【分析】(1)根据对数函数的单调性求出集合A ，根据一元二次不等式的解法求出集合B ，结合并集的概念和运算即可得出结果； (1)根据(1)和补集的概念和运算求出R
A 和
B R
，利用集合间的包含关系和交并补的运算即可求出对
应条件的参数.
【详解】（1）2{log (1)2}{014}{15}A x x x x x x =-<=<-<=<<， {}22{210}[(1)][(1)]{11}B x x ax a x x a x a x a x a =-+-<=---+=-<<+，
当1a =时，{02}B x x =<<，所以A B ⋃={05}x x <<； （2）由(1)知，{15}A x x =<<，{11}B x a x a =-<<+， 所以{1R A x x =≤或5}x ，{1R B x x a =≤-或1}x a ≥+， 若选①，R
A B ⊆
，则11a +≤或15a -≥，
解得0a ≤或6a ≥，所以a 的取值范围为0a ≤或6a ≥； 若选②，R
B A ⊆
，则11a +≤或15a -≥，
解得0a ≤或6a ≥，所以a 的取值范围为0a ≤或6a ≥；
若选③，()R A B ⋂=∅，则1115a a ≤-⎧⎨+≤⎩，
解得24a ≤≤，所以a 的取值范围为24a ≤≤. 18．已知tan 3.θ= (1)求
2sin (sin 2cos )
cos 1
θθθθ--的值；
(2)求32sin (π)tan(3π)sin()π3π
cos()cos()
22
θθθθθ+--+-的值． 【答案】(1)1
3
-
(2)27
5
-
【分析】（1）由同角三角函数的基本关系，化“弦”为“切”求解即可；
（2）利用诱导公式进行化简，然后由同角三角函数的基本关系，化“弦”为“切”求解即可 【详解】（1）
222sin (sin 2cos )sin 2sin cos cos 1sin θθθθθθ
θθ
--=--2cos 221111;sin tan 33θθθ=-+=-+=-+=-
（2）
332sin (π)tan(3π)sin()(2sin )(tan )(sin )
π3π(sin )(sin )cos()cos()22
θθθθθθθθθθ+-----=
--+-222
2
2226sin 6tan 5427
2sin tan 6sin sin cos tan 1105
θθθθθθθθ=-=-=-=-=-=-
++ 19．已知函数()()sin (0,0,)2
f x A x A π
ωϕωϕ=+>><
的部分图象如图.
(1)求函数()f x 的解析式;
(2)将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移6
π个单位，得到函数()g x 的图象，当,6x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
时，求()g x 值域.
【答案】(1)()2sin 23f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭；
(2)[3,2]-.
【分析】（1）根据图象由函数最值求得A ，由函数周期求得ω，由特殊点求得ϕ，即可求得解析式； （2）根据三角函数图象的变换求得()g x 的解析式，再利用整体法求函数值域即可.
【详解】（1）由图象可知，()f x 的最大值为2，最小值为2-，又0A >，故2A =，
周期453123T πππ⎡⎤
⎛⎫=
--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦，2||ππω∴=，0ω>，则2ω=， 从而()2sin(2)f x x ϕ=+，代入点5,212π⎛⎫
⎪⎝⎭，得5sin 16⎛⎫+=
⎪⎝⎭
πϕ， 则5262k ππϕπ+=+，Z k ∈，即23
k π
ϕπ=-+，Z k ∈， 又||2
ϕπ<
，则3π
ϕ=-.
()2sin 23f x x π⎛
⎫∴=- ⎪⎝
⎭.
（2）将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，
故可得2sin 3y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭；
再将所得图象向左平移
6
π
个单位，得到函数()g x 的图象 故可得()2sin()6g x x π
=-；
[,]6
x π
π∈-
5[,
]6
36x π
ππ
∴-
∈
-
，sin 6x π⎡⎤⎛
⎫-∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣
⎦
， 2sin 26x π⎛
⎫⎡⎤-∈ ⎪
⎣⎦⎝
⎭，()[2]g x ∴的值域为. 20．党中央、国务院对节能减排高度重视，各地区、各部门认真贯彻党中央、国务院关于“十三五”节能减排的决策部署，把节能减排作为转换发展方式，经济提质增效，建设生态文明的重要抓手，取得重要进展.新能源汽车环保、节能、以电代油，减少排放，既符合我国国情，也代表了汽车产业发展的方向.为了响应国家节能减排的号召，2020年常州某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析：全年需投入固定成本2500万元.每生产x （百辆）新能源汽车，需另投入成本()C x 万元，
且()210500,040
10000
9014300,40x x x C x x x x ⎧+<<⎪
=⎨+-≥⎪
⎩.由市场调研知，每辆车售价9万元，且生产的车辆当年能全部销售完.
（1）请写出2020年的利润()L x （万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式；（利润＝销售－成本） （2）当2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
【答案】（1）()2104002500,040100001800,40x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪
=⎨⎛
⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）当2020年生产100百辆时，该企业获得利润最大利润为1600万元.
【解析】（1）由投入成本为分段函数，可得以利润()L x 也分040x <<、40x ≥两种情况进行讨论即可；（2）当040x <<时，()()2
10201500L x x =--+，利用二次函数求最值的思路即可，当40x ≥时，利用基本不等式即可.
【详解】（1）当040x <<时，()22
9100105002500104002500L x x x x x =⨯---=-+-；
当40x ≥时，()10000100009100901430025001800L x x x x x x ⎛
⎫=⨯--
+-=-+ ⎪⎝
⎭；
所以()2104002500,040100001800,40x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪
=⎨⎛
⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩. （2）当040x <<时，()()2
10201500L x x =--+， 当20x
时，()max 1500L x =；
当40x ≥时，()(
)max 1000015004018001800L x x L x x x ⎛⎫
=≥=-+≤- ⎪⎝⎭180********=-=. （当且仅当10000
x x
=
即100x =时，“＝”成立） 因为16001500>
所以，当100x =时，即2020年生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为1600万元. 答：（1）2020年的利润()L x （万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式为
()2104002500,040
100001800,40x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛
⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩
. （2）当100x =时，即2020年生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为1600万元. 【点睛】本题关键点在能够读懂题意，明确利润()L x 也分040x <<、40x ≥两种情况进行讨论. 21．已知定义域为 R 的函数2()2x
x b f x a
-=+是奇函数.
(1)求 ,a b 的值;
(2)用定义证明 ()f x 在(,)-∞+∞上为减函数;
(3)若对于任意 R t ∈，不等式()()22
220f t t f t k -+-< 恒成立，求k 的范围.
【答案】(1)1a =，1b =. (2)证明见解析. (3)1,3⎛
⎫-∞- ⎪⎝
⎭
【分析】（1）根据函数为奇函数，利用奇函数性质即可求得答案. （2）根据函数单调性的定义即可证明结论.
（3）利用函数的奇偶性和单调性将()()22
220f t t f t k -+-<恒成立，转化为232k t t <-对任意的
R t ∈都成立，结合求解二次函数的最值，即可求得答案.
【详解】（1）()f x 为R 上的奇函数，0
02(0)02b f a
-∴=
=+，可得1b = 又 (1)(1)f f -=-,11
1212
22a a ----∴=-++ ,解之得1a =, 经检验当 1a =且1b =时，12()21x
x
f x -=+ ， 满足1221
()()2112x x x x
f x f x -----===-++是奇函数,
故1a =，1b =. （2）由（1）得122
()12121
x x x f x -=
=-+++ ， 任取实数 12,x x ，且12x x <，
则 ()()()()()
2112
121222222
21212121x x x x x x f x f x --=-=++++ ， 12x x <，可得1222x x <，且(
)(
)
1
2
21210x x ++>，故
()
()()
211
2
22202
121x x x x ->++，
()()120f x f x ∴->，即()()12f x f x >，
所以函数()f x 在(,)-∞+∞上为减函数;
（3）根据 （1）（2）知，函数()f x 是奇函数且在(,)-∞+∞上为减函数. ∴不等式()()
22220f t t f t k -+-< 恒成立，
即()()()222
222f t t f t k f t k -<--=-+恒成立，
也就是:2222t t t k ->-+对任意的R t ∈都成立， 即232k t t <-对任意的R t ∈都成立，
2
211
32333
t t t ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭ ，当13t =时232t t -取得最小值为13-，
13k ∴<-，即k 的范围是1,3⎛
⎫-∞- ⎪⎝
⎭.
22．某同学用“五点法”画函数()()cos 0,2f x A x πωϕωϕ⎛
⎫=+>< ⎪⎝
⎭在某一个周期内的图象时，列表并
填入了部分数据，如下表：
(1)请根据上表数据，求函数()f x 的解析式；
(2)关于x 的方程()f x t =区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上有解，求t 的取值范围；
(3)求满足不等式()()52043f x f f x f
ππ⎡
⎤⎡
⎤
⎛⎫⎛⎫-
⋅--> ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦
的最小正整数解． 【答案】(1)()2cos 26f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭；
(2)2⎡⎤⎣⎦； (3)2.
【分析】（1）由表格中的数据可得出A 的值，根据表格中的数据可得出关于ω、ϕ的方程组，解出这两个量的值，可得出函数()f x 的解析式；
（2）利用余弦型函数的基本性质求出函数()f x 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的值域，即可得出实数t 的取值范围；
（3）分析可得()0f x <或()1f x >，分别解这两个不等式，得解集，令0k =，得解集的一部分，由此可得出解集中的最小正整数解.
【详解】（1）解：由表格数据知，2A =，由32
536
2πωπϕπωπϕ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得26ωπϕ=⎧⎪⎨=-⎪⎩，
所以()2cos 2
6f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭.
（2）解：当2,0x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦时，52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，则
cos 26x π⎡⎤⎛⎫-∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦
， 所以()2cos 26f x x
π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为2⎡⎤⎣⎦， 因为方程()f x t =区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上有解，所以t 的取值范围为2⎡⎤⎣⎦. （3）解：因为552cos 2sin 14
266f π
πππ⎛⎫⎛⎫
=-==
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭，2432cos 2cos 03362
f πππ
π⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 所以不等式即：()()10f x f x ⎡⎤-⋅>⎣⎦，解得()0f x <或()1f x >，
由()0f x <得cos 206x π⎛
⎫-< ⎪⎝⎭，所以()3222Z 262k x k k πππππ+<-<
+∈， 所以5,36x k k ππππ⎛⎫
∈++ ⎪⎝⎭，Z k ∈； 由()1f x >得1cos 262x π⎛
⎫-> ⎪⎝⎭，所以()222Z 363k x k k πππππ-+<-<+∈，
所以,124x k k ππππ⎛⎫
∈-++ ⎪⎝⎭，Z k ∈.
令0k =可得不等式解集的一部分为5,,12436ππππ⎛⎫⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
因此，解集中最小的正整数为2．。