高中数学 第一章立体几何初步 1.6.1 垂直关系练习 北师大版必修2-北师大版高一必修2数学试题

6.1 垂直关系的判定
A组
1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与BC1垂直的平面是()
A.平面DD1C1C
B.平面A1B1CD
C.平面A1B1C1D1
D.平面A1DB
解析:因为易证BC1⊥B1C,且CD⊥平面BCC1B1,所以CD⊥BC1.因为B1C∩CD=C,所以BC1⊥平面A1B1CD.答案:B
2.下列结论正确的是()
A.若直线a∥平面α,直线b⊥a,b⫋平面β,则α⊥β
B.若直线a⊥直线b,a⊥平面α,b⊥平面β,则α⊥β
C.过平面外的一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直
D.过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直
解析:A选项中满足条件的平面β与平面α可能垂直,也可能平行或相交,故A错;C选项中当平面外的直线与平面垂直时,过该直线有无数个平面与已知平面垂直,故C错;过平面外一点有无数个平面与已知平面垂直,故D错.
答案:B
3.导学号62180044如图所示,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下面结论中错误的个数是()
①BD∥平面CB1D1;
②AC1⊥BD;
③AC1⊥平面CB1D1.
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
解析:因为BD∥B1D1,所以①正确;因为BD⊥AC,BD⊥CC1,所以BD⊥平面ACC1,所以BD⊥AC1,故②正确;因为AC1⊥B1D1,AC1⊥B1C,所以AC1⊥平面CB1D1,故①②③全正确.
答案:A
4.在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,PA⊥平面ABC,PA=8,则点P到BC的距离是()
A. B.2 C.3 D.4
解析:如图所示,作PD⊥BC于点D,连接AD.
因为PA⊥平面ABC,
所以PA⊥BC,PD∩PA=P,
所以CB⊥平面PAD,所以AD⊥BC.
因为AB=AC,所以CD=BD=3.
在Rt△ACD中,AC=5,CD=3,所以AD=4,
在Rt△PAD中,PA=8,AD=4,
所以PD==4,故选D.
答案:D
5.在正四面体P-ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下面四个结论中不成立的是()
A.BC∥平面PDF
B.DF⊥平面PAE
C.平面PDF⊥平面ABC
D.平面PAE⊥平面ABC
解析:如图所示,∵BC∥DF,∴BC∥平面PDF,故A正确.
由题设知BC⊥PE,BC⊥AE,∴BC⊥平面PAE.
∴DF⊥平面PAE,故B正确.
∵BC⊥平面PAE,∴平面ABC⊥平面PAE,故D正确.
答案:C
6.若直线l⊥平面α,直线m∥l,则m与α的位置关系是.
答案:m⊥α
7.已知A是△BCD所在平面外一点,则△ABC,△ABD,△ACD,△BCD中,直角三角形最多有个.
解析:当三棱锥底面及三个侧面同时为直角三角形时,如图,此时直角三角形最多为4个.
答案:4
8.如图所示,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,G是EF的中点,现在沿AE,AF及EF把这个正方形折成一个空间图形,使B,C,D三点重合,重合后的点记为H,那么给出下面四个结论:
①AH⊥平面EFH;②AG⊥平面EFH;
③HF⊥平面AEF;④HG⊥平面AEF.
其中正确命题的序号是.
解析:在这个空间图形中,AH⊥HF,AH⊥HE,HF∩HE=H,所以AH⊥平面EFH.
答案:①
9.在空间四边形ABCD中,若AB=AC,DB=DC,求证:BC⊥AD.
证明:取BC的中点M,连接AM,MD.∵AB=AC,DB=DC,
∴AM⊥BC,DM⊥BC.
又AM∩MD=M,
∴BC⊥平面AMD.
∵AD⫋平面AMD,∴BC⊥AD.
10.导学号62180045如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,DD1=2,点P为DD1的中点.求证:
(1)平面PAC⊥平面BDD1;
(2)直线PB1⊥平面PAC.
证明:(1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,
所以底面ABCD是正方形,则AC⊥BD.
又DD1⊥平面ABCD,所以DD1⊥AC.
因为BD∩DD1=D,所以AC⊥平面BDD1.
因为AC⫋平面PAC,所以平面PAC⊥平面BDD1.
(2)连接B1C,由题知PC2=2,P=3,B1C2=5,
所以△PB1C是直角三角形,所以PB1⊥PC.
同理可得PB1⊥PA.
因为PC∩PA=P,所以直线PB1⊥平面PAC.
B组
1.如图所示,BC是Rt△ABC的斜边,过A作△ABC所在平面α的垂线AP,连接PB,PC,过A作AD⊥BC 于点D,连接PD,那么图中直角三角形的个数是()
A.4
B.6
C.7
D.8
解析:容易证得PA⊥BC,又AD⊥BC,PA∩AD=A,所以BC⊥平面PAD,从而图
中:△ABC,△PAB,△PAC,△PAD,△ABD,△ACD,△PBD,△PCD均为直角三角形.共有8个.
答案:D
2.导学号62180046如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在侧面BCC1B1内运动,并且总保持AP ⊥BD1,则动点P在()
A.线段B1C上
B.线段BC1上
C.BB1中点与CC1中点的连线上
D.B1C1中点与BC中点的连线上
解析:易知BD1⊥平面AB1C,故P∈B1C.
答案:A
3.如图所示,已知四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,则图中所有互相垂直的平面共有()
A.8对
B.7对
C.6对
D.5对
解析:由PA⊥平面ABCD可得平面PAB⊥平面ABCD,平面PAD⊥平面ABCD,平面PAC⊥平面ABCD.又ABCD为正方形,CD⊥AD,因为PA⊥CD,PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD,所以平面PCD⊥平面PAD,平面PAB⊥平面PAD.同理可得,平面PBC⊥平面PAB,平面PAC⊥平面PBD.共7对.
答案:B
4.已知矩形ABCD,AB=1,BC=,将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折的过程中()
A.存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直
B.存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直
C.存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直
D.对任意位置,三对直线“AC与BD”,“AB与CD”,“AD与BC”均不垂直
解析:若AB⊥CD,由于BC⊥CD,由线面垂直的判定可得CD⊥平面ACB,则有CD⊥AC,而
AB=CD=1,BC=AD=,可得AC=1,那么存在这样的位置,使得AB⊥CD成立.
答案:B
5.在正四面体P-ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下面四个结论:
①BC∥平面PDF;②DF⊥平面PAE;
③平面PDF⊥平面ABC;④平面PAE⊥平面PBC.
其中正确结论的序号是.
解析:画出图形,由判定定理得①②④正确.
答案:①②④
6.导学号62180047如图所示,在五面体ABCDEF中,四边形ABCD是矩形,DE⊥平面ABCD.
求证:(1)AB∥EF;
(2)平面BCF⊥平面CDEF.
证明:(1)因为四边形ABCD是矩形,
所以AB∥CD,CD⫋平面CDEF,AB⊈平面CDEF,
所以AB∥平面CDEF.又AB⫋平面ABFE,
且平面ABFE∩平面CDEF=EF,所以AB∥EF.
(2)因为DE⊥平面ABCD,BC⫋平面ABCD,
所以DE⊥BC.
因为BC⊥CD,CD∩DE=D,CD,DE⫋平面CDEF,
所以BC⊥平面CDEF.又因为BC⫋平面BCF,
所以平面BCF⊥平面CDEF.
7.如下图所示,已知在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,AB=1,BC=2,CD=1+,过点A作AE⊥CD,垂足为E,G,F分别为AD,CE的中点,现将△ADE沿AE折叠,使得DE⊥EC.
(1)求证:BC⊥平面CDE;
(2)求证:FG∥平面BCD.
(1)证明:由已知得DE⊥AE,∵DE⊥EC,AE∩EC=E,
∴DE⊥平面ABCE.又∵BC⫋平面ABCE,∴DE⊥BC.
又BC⊥CE,DE∩CE=E,∴BC⊥平面DCE.
(2)证明:取AB中点H,连接GH,FH.则GH∥BD,FH∥BC,则易得GH∥平面BCD,FH∥平面BCD.
则易得平面FHG∥平面BCD,∴GF∥平面BCD.。