第10讲 利用导数研究函数的零点问题(学生版)2023年高考数学重难突破之导数、数列(全国通用)

导数专题
第10讲利用导数研究函数的零点问题
思维导图-----知识梳理
1、函数的零点
（1）函数零点的定义：对于函数()y f x =，把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点．
（2）三个等价关系
方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点的横坐标⇔函数)(x f y =有零点．
2、函数零点的判定
如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ⋅<，那么函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点，即存在(,)c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是()0f x =的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．
注意：单调性+存在零点=唯一零点
脑洞(常见考法)：浮光掠影，抑或醍醐灌顶
思维导图-----典型题型讲练
题型一：证明唯一零点（根）问题
思维导图-----方法梳理
1.分类讨论思想与转化化归思想
2.数形结合与单调性的综合应用：一个零点，则多为所求范围内的单调函数，或者“类二次函数”切线处（极值点处）
3.注意“找点”难度，对于普通学生，可以用极限思维代替“找点思维”。

围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹
例1．（2022·云南师大附中高三阶段练习（文））已知函数()ln f x x x ax =-.
(1)讨论()f x 的单调性；
(2)当1a ≤-时，设()()2sin g x f x x x x =-+，求证：()g x 在()0,2π上只有1个零点.
套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫
题型二：根据零点（根）情况求参数
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②利用数形结合法研究函数的零点（根）问题
套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫
的取值范围.
围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹
围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹
-有关
上有两个零点，则实数。