人教版 八年级数学 上册 第十二章 三角形全等的判定 备课综合 (解析版)

第四讲三角形全等的判定
【基础知识梳理】
全等三角形的判定方法:
(1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．
(2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．
(3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．
(4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
(5) 斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
全等三角形判定的书写格式:
在△XXX和△XXX中
_____________
_____________
_____________
∴△XXX≌△XXX（判定定理）
【教学重难点】
1、全等三角形的判定方法:
2、善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。

【经典例题讲解】
1、如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE=AD，则∠ECA的度数为（）
A．30°B．35°C．40°D．45°
解析：在BC上截取BF=AB，连DF，
则有△ABD≌△FBD（SAS），
∴DF=DA=DE，
又∵∠ACB=∠ABC=40°，∠DFC=180°-∠A=80°，
∴∠FDC=60°，
∵∠EDC=∠ADB=180°-∠ABD-∠A=180°-20°-100°=60°，
∴△DCE≌△DCF（SAS），
故∠ECA=∠DCB=40°．
答案：C
2、如图，给出下列四组条件：①AB=DE，BC=EF，AC=DF；②AB=DE，∠B=∠E．BC=EF；
③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E．
其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（）
A．1组B．2组C．3组D．4组
解析：第①组满足SSS，能证明△ABC≌△DEF．
第②组满足SAS，能证明△ABC≌△DEF．
第③组满足ASA，能证明△ABC≌△DEF．
第④组只是SSA，不能证明△ABC≌△DEF．
所以有3组能证明△ABC≌△DEF．
故符合条件的有3组．
答案：C
3、如图，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是______度。

解析：∵等边△ABC，
∴∠ABD=∠C，AB=BC，
在△ABD与△BCE中，
AB=BC
∠ABD=∠C
BD=CE ，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠CBE，
∵∠ABE+∠EBC=60°，
∴∠ABE+∠BAD=60°，
∴∠APE=∠ABE+∠BAD=60°，
∴∠APE=60°．
答案：60°
4、如图，已知AD是△ABC的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使△AED≌△AFD，需添加一个条件是:__________
解析：①添加条件：AE=AF，
证明：在△AED与△AFD中，
∵AE=AF，∠EAD=∠FAD，AD=AD，
∴△AED≌△AFD（SAS），
②添加条件：∠EDA=∠FDA，
证明：在△AED与△AFD中，
∵∠EAD=∠FAD，AD=AD，∠EDA=∠FDA，
∴△AED≌△AFD（ASA）．
答案：AE=AF或∠EDA=∠FDA
5、请从以下三个等式中，选出一个等式填在横线上，并加以证明．
等式：AB=CD，∠A=∠C，∠AEB=∠CFD，
已知：AB∥CD，BE=DF，__________
．
求证：△ABE≌△CDF．
解析：AB=CD
证明：∵AB∥CD，
∴∠B=∠D，
在△ABE和△CDF中，
AB=CD
∠B=∠D
BE=DF
∴△ABE≌△CDF．
答案：AB=CD
6、如图，A、B是⊙O上两点，C、D分别在半径OA、OB上，若AC=BD，求证：AD=BC．
解析：∵OA=OB，AC=BD，
∴OC=OD．
又∵∠COB=∠DOA，OA=OB，
∴△OAD≌△OBC，
∴AD=BC．
答案：
【课堂练习】
基础巩固 题组一
1、 如图，将两根钢条'AA 、'BB 的中点O 连在一起，使'AA 、'BB 可以绕着点0自由转动，就做成了一个测量工件，则''A B 的长等于内槽宽AB ，那么判定△AOB △''A OB 的理由是
A.边角边
B.角边角
C.边边边
D.角角边
答案：A
2、 如图，要使△ABC ≌△ABD ，下面给出的四组条件中，错误的一组是
A.BC=BD ，∠1=∠2
B.∠C=∠D ，∠1=∠2
C.∠1=∠2，∠3=∠4
D.BC=BD ，AC=AD
答案：A
3、 下列可使两个直角三角形全等的条件是
4321D
C
B
A
A.一条边对应相等
B.两条直角边对应相等
C.一个锐角对应相等
D.两个锐角对应相等
答案：B
4、下列四组三角形中，全等三角形是
A. 各有一个角是30°的两个直角三角形
B. 有两边和一角对应相等的两个三角形
C. 两个等边三角形
D. 底边和底角对应相等的两个等腰三角形
5、如图，已知AB=CD，AE=CF，要证明△ABF≌△CDE，还需添加的已知条件是
A.∠B=∠D
B. BF∥DE
C. BF=DE
D. AF=CE
答案：C
题组二
6、下列各组几何图形中结论不正确的是
A. 有一边和一个锐角相等的两个直角三角形全等
B. 斜边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等
C. 两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
D. 斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等
答案：A
7、给出下列条件：①两边一角对应相等②两角一边对应相等③三角形中三角对应相等④三边对应相等，其中，不能使两个三角形全等的条件是
A. ①③
B. ①②
C. ②③
D. ②④
答案：A
8、如图，点D在AB上，点E在AC上，且∠B=∠C，那么补充下列一个条件后，仍不能判定ΔABE≌ΔACD的是
A.AD=AE
B.∠AEB=∠ADC
C.BE=CD
D.AB=A
答案：B
9、已知在ABC
△和
111
A B C
△中，
11
AB A B
=，
1
A A
=
∠∠，要使
111
ABC A B C
△≌△，
还需添加一个条件，这个条件可以是__________.
答案：
11
AC A C
=
10、已知：如图，△OAD ≌△OBC ，且∠O ＝70°，∠C ＝25°，则∠AEB ＝_________度.
答案：120
11、如图所示：要测量河岸相对的两点A 、B 之间的距离，先从B 处出发与AB 成90°角方向，向前走50米到C 处立一根标杆，然后方向不变继续朝前走50米到D 处，在D 处转90°沿DE 方向再走17米，到达E 处，使A 、C 与E 在同一直线上，那么测得A 、B 的距离为_____米.
答案：17
12、如图，已知∠ABC=∠DEF ，AB=DE ，要说明ΔABC ≌ΔDEF 若以“SAS ”为依据，还要添加的条件为______________；
答案：BE=CF 或BC=EF
O
A B
C D E
A D
B E C
F
13、 如图，在△ABC 中，AB=AC ，DB=DC ，E 在AD 上，则图中的全等三角形共有__________.
答案：3对
能力提升
14、如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，AB=AC ，∠B=∠C.求证：BE=CD.
答案：∵在∆ABE 和∆ACD 中
，
∴∆ABE ≌∆ACD ，
∴BE=CD.
15、如图，已知：是以为边向外所作正边形的一组邻边；是以为边向外所作正边形的一组邻边.的延长相
交于点.
①猜想：如图，（用含的式子表示）；
②根据图证明你的猜想.
AB AD ，AB ABC △n AC AE ，AC ABC △n BE CD ，O BOC ∠=n
答案： ①360
n
②证明：依题意，知BAD ∠和CAE ∠都是正n 边形的内角，AB AD
=，，
，即.
.
，，
，
【当堂检测】
1、如图，在△ABC 中，AB=AC ，DB=DC ，E 在AD 上，则图中的全等三角形共有__________.
AE AC =(2)180n BAD CAE n
-∴∠=∠
=BAD DAE CAE DAE ∴∠-∠=∠-∠BAE DAC ∠=∠ABE ADC ∴△≌△ABE ADC ∴∠=∠180ADC ODA ∠+∠=180ABO ODA ∴∠+∠=360ABO ODA DAB BOC ∠+∠+∠+∠=180BOC DAB ∴∠+∠=(2)180
360180180n BOC DAB n n
-∴∠=-∠=-=
答案：3对
2、已知在ABC ∆和111C B A ∆中，AB=A 1B 1，1A A ∠=∠，要使111C B A ABC ∆≅∆，还需添加一个条件，这个条件可以是_________。

答案：（或C C '∠=∠，或）
3、如图，∠C=∠D ，请补充一个条件，使△ACB ≌△BDA ，你补充的条件是
答案：DBA CBA DBA CAB ∠=∠∠=∠或
4、如图，已知CD=CB ，要使ΔAED ≌ΔFEB ，还需增加条件（只增加一个条件）。

答案：AD=BF
5、如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E ，F 在BC 上，且BE=FC ，连接DE ，AF.求证：DE=AF.
B B '∠=∠
C A AC '∠=
∠
答案：∵四边形ABCD为等腰梯形且AD∥BC，
∴AB=DC∠B=∠C，
又∵BE=FC，
∴BE+EF=FC+EF即BF=CE，
∴△ABF≌△DCE，
∴DE=AF.
【课后作业】
1、如图,已知AC和BD相交于O,且BO＝DO,AO＝CO,下列判断正确的是（）
A．只能证明△AOB≌△COD
B．只能证明△AOD≌△COB
C．只能证明△AOB≌△COB
D．能证明△AOB≌△COD和△AOD≌△COB
答案：D
2、如图,已知△ABC的六个元素,则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是
（）
A．甲和乙Ｂ．乙和丙Ｃ．只有乙Ｄ．只有丙
答案：B
3、如图,已知MB＝ND,∠MBA＝∠NDC,下列不能判定△ABM≌△CDN的条件是（）
A．∠M＝∠N B．AB＝CD C．AM＝CN D．AM∥CN
答案：C
4、如图,是一个三角形测平架,已知AB＝AC,在BC的中点D挂一个重锤,自然下垂．调整架身,使点A恰好在重锤线上,AD和BC的关系为___________．
答案：AD垂直平分BC
5、正方形ABCD中,AC、BD交于O,∠EOF＝90o,已知AE＝3,CF＝4,则EF的长为________.
答案：5
6、已知如图,AE＝AC,AB＝AD,∠EAB＝∠CAD,试说明:∠B＝∠D
答案：∵∠EAB ＝∠CAD （已知）
∴∠EAB ＋∠BAD ＝∠CAD ＋∠BAD
即∠EAD ＝∠BAC
在△ABC 和△ADE 中
AB AD EAD BAC AC AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝（已知）（已证）
（已知） ∴△ABC ≌△ADE （SAS ）
∴∠B ＝∠D （全等三角形的对应角相等）
7、如图,线段AB 、CD 相交于点O,AD 、CB 的延长线交于点E,OA=OC,EA=EC,说明∠A=∠C.
答案：连结OE
在△EAC 和△EBC 中
OA OC EA EC OE OE ⎧⎪⎨⎪⎩
＝＝＝
∴△EAC ≌△EBC （SSS ）
8、如图,在四边形ABCD 中,已知BD 平分∠ABC,∠A ＋∠C ＝180o
,试说明AD ＝
CD. （已知）（已知）（公共边）
答案：过点D 作DE ⊥BA 交BA 的延长线于E,过点D 作DF ⊥BC,垂足为F
∴∠4＝∠5＝∠6＝90o
∵BD 平分∠ABC
∴∠1＝∠2
在△BED 和△BFD 中
∴△BED ≌△BFD （AAS ）
∴DE ＝DF （全等三角形的对应边相等）
∵∠A ＋∠C ＝180o ,∠A ＋∠3＝180o
∴∠3＝∠C （等角的补角相等）
在△AED 和△CFD 中 ∴△AED ≌△CFD （AAS ）
∴AD ＝CD （全等三角形的对应边相等）
1254BD BD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝（已证）（已证）（公共边）356C DE DF ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝（已证）（已证）（已证）。