高考数学压轴专题(易错题)备战高考《平面解析几何》经典测试题及答案解析

《平面解析几何》知识点汇总
一、选择题
1．如图，12,F F 是双曲线22
1:13
y
C x -=与椭圆2C 的公共焦点，点A 是1C ，2C 在第一
象限的公共点，若112F A F F =，则2C 的离心率是（ ）
A ．
1
3
B ．
15
C ．
23
D ．
25
【答案】C 【解析】
由2
2
1:13
y C x -=知2c =，1124F A F F ==
∵122F A F A -= ∴22F A =
∵由椭圆得定义知1226a F A F A =+= ∴2
3,3
c a e a === 故选C
2．已知抛物线x 2＝16y 的焦点为F ，双曲线22145
x y
-=的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P
是双曲线右支上一点，则|PF|＋|PF 1|的最小值为（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．11 【答案】C 【解析】 【分析】
由题意并结合双曲线的定义可得
1222(4)44PF PF PF PF PF PF FF +=++=++≥+，然后根据两点间的距离公
式可得所求最小值． 【详解】
由题意得抛物线2
16x y =的焦点为()0,4F ，双曲线22
145
x y -=的左、右焦点分别为
()()123,0,3,0F F -．
∵点P 是双曲线右支上一点， ∴124PF PF =+．
∴1222(4)44549PF PF PF PF PF PF FF +=++=++≥+=+=，当且仅当
2,,F P F 三点共线时等号成立，
∴1PF PF +的最小值为9． 故选C ． 【点睛】
解答本题的关键是认真分析题意，然后结合图形借助数形结合的方法求解．另外在解题中注意利用双曲线的定义将所求问题进行转化，考查分析理解能力和解决问题的能力，属于基础题．
3．设D 为椭圆22
15
y x +=上任意一点，A （0，－2），B （0，2），延长AD 至点P ，使
得|PD|＝|BD|，则点P 的轨迹方程为（ ） A ．x 2＋（y －2）2＝20 B ．x 2＋（y －2）2＝5 C ．x 2＋（y ＋2）2＝20 D ．x 2＋（y ＋2）2＝5 【答案】C 【解析】 【分析】
由题意得PA PD DA DB DA =+=+=，从而得到点P 的轨迹是以点A 为圆
心，半径为 【详解】
由题意得PA PD DA DB DA =+=+，
又点D 为椭圆2
2
15
y x +=上任意一点，且()()0,2,0,2A B -为椭圆的两个焦点，
∴DB DA +=，
∴PA =
∴点P 的轨迹是以点A 为圆心，半径为 ∴点P 的轨迹方程为()2
2220x y ++=． 故选C ． 【点睛】
本题考查圆的方程的求法和椭圆的定义，解题的关键是根据椭圆的定义得到PA =然后再根据圆的定义得到所求轨迹，进而求出其方程．考查对基础知识的理解和运用，属
于基础题．
4．已知点(,)P x y 是直线240x y -+=上一动点，直线,PA PB 是圆22:20C x y y ++=的两条切线，,A B 为切点，C 为圆心，则四边形PACB 面积的最小值是（ ） A ．2 B ．5 C
．25 D ．4
【答案】A 【解析】
圆2
2
:20C x y y ++=即2
2
(y 1)1x ++=,表示以C (0,-1)为圆心，以1为半径的圆。

由于四边形PACB 面积等于1
22
PA AC PA ⨯
⨯⨯=，而21PA PC =-. 故当PC 最小时，四边形PACB 面积最小.
又PC 的最小值等于圆心C 到直线240x y -+=的距离d ,而()
2
2
014521d ++==+-，
故四边形PACB 面积的最小的最小值为512-=， 故选A.
点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法：
（１）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；
（２）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形； （３）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小．
5．如图，O 是坐标原点，过(,0)E p 的直线分别交抛物线22(0)y px p =>于A 、B 两点，直线BO 与过点A 平行于x 轴的直线相交于点M ，过点M 与此抛物线相切的直线与直线x p =相交于点N .则2
2
||ME NE -=（ ）
A ．2p
B ．2p
C ．22p
D ．24p
【答案】C 【解析】 【分析】
过E （p ，0）的直线分别交抛物线y 2＝2px （p ＞0）于A 、B 两点，不妨设直线AB 为x ＝
p ，分别求出M ，N 的坐标，即可求出答案． 【详解】
过E （p ，0）的直线分别交抛物线y 2＝2px （p ＞0）于A 、B ，两点为任意的，不妨设直线
AB 为x ＝p ，由2y 2px
x p
⎧=⎨=⎩，解得y ＝
，
则A （p
），B （p
），
∵直线BM 的方程为y
x ，直线AM 的方程为y ＝
x ， 解得M （﹣p
），∴|ME |2＝（2p ）2+2p 2＝6p 2， 设过点M 与此抛物线相切的直线为y
＝k （x +p ），
由()
2y 2=k px x p ⎧=⎪⎨+⎪⎩，消x 整理可得ky 2﹣2py ﹣
+2p 2k ＝0， ∴△＝4p 2﹣4k （﹣
+2p 2k ）＝0， 解得k
＝
2
， ∴过点M 与此抛物线相切的直线为y
p
（x +p ），
由()=2x p x p =⎧
⎪⎨+⎪⎩
，解得N （p ，2p ）， ∴|NE |2＝4p 2，
∴|ME |2﹣|NE |2＝6p 2﹣4p 2＝2p 2， 故选C ． 【点睛】
本题考查了直线和抛物线位置关系，以及直线和直线的交点坐标问题，属于难题．
6．已知1F 、2F 分别为双曲线22
146
x y -=的左、右焦点，M 为双曲线右支上一点且满足
120MF MF ⋅=u u u u v u u u u v
，若直线2MF 与双曲线的另一个交点为N ，则1MF N ∆的面积为（ ）
A ．12 B
．
C ．24
D
．【答案】C 【解析】 【分析】
设1MF m =，2MF n =，根据双曲线的定义和12MF MF ⊥，可求出6m =，2n =，再设2NF t =，则14NF t =+根据勾股定理求出6t =即可求出三角形的面积. 【详解】
解：设1MF m =，2MF n =，
∵1F 、2F 分别为双曲线22146
x y -=的左、右焦点，
∴24m n a -==，122210F F c ==.
∵120
MF MF ⋅=u u u u v u u u u v
， ∴12MF MF ⊥，
∴222440m n c +==， ∴()2
222m n m n mn -=+-， 即2401624mn =-=， ∴12mn =， 解得6m =，2n =，
设2NF t =，则124NF a t t =+=+， 在1Rt NMF ∆中可得()()2
2
2426t t +=++， 解得6t =， ∴628MN =+=， ∴1MF N ∆的面积111
862422
S MN MF =⋅=⨯⨯=. 故选C ．
【点睛】
本题考查了双曲线的定义和向量的数量积和三角形的面积，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．
7．已知抛物线24y x =上有三点,,A B C ，,,AB BC CA 的斜率分别为3，6，2-，则
ABC ∆的重心坐标为（ ）
A ．14,19⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．14,09⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．14,027⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．14,127⎛⎫
⎪⎝⎭
【答案】C
【解析】 【分析】
设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，进而用坐标表示斜率即可解得各点的纵坐标，进一步可求横坐标，利用重心坐标公式即可得解. 【详解】
设()()()112233,,,,,,A x y B x y C x y 则
121222
1212
124
344
AB y y y y k y y x x y y --=
===-+-，得124
3
y y +=
， 同理234263y y +=
=，31422
y y +==--，三式相加得1230y y y ++=， 故与前三式联立，得211231241,2,,3349y y y y x =-==-==，2
2
214y x ==，
2
33449
y x ==，
则
12314327x x x ++=.故所求重心的坐标为14,027⎛⎫
⎪⎝⎭
，故选C. 【点睛】
本题主要考查了解析几何中常用的数学方法，集合问题坐标化，进而转化为代数运算，对学生的能力有一定的要求，属于中档题.
8．过抛物线212x y =的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ，交抛物线的准线于点C ，若
3AF FB =uu u r uu r
，则BC =（ ）
A ．4 B
．C ．6
D ．8
【答案】D 【解析】 【分析】
作出图象，作BM CP ⊥，AN CP ⊥，BH AN ⊥，设BF x =，根据抛物线的性质可得
BM BF HN x ===，3AN AF x ==，进而得到1
sin 2
ACN ∠=
，则可求出x 的值，进而得到BC 的值. 【详解】
作BM CP ⊥，AN CP ⊥，BH AN ⊥，如图，
因为3AF FB =uu u r uu r
，不妨设BF x =，所以33AF BF x ==，4AB x =， 根据抛物线的定义可得BM BF HN x ===，3AN AF x ==，6FP p ==， 则32AH AN HN x x x =-=-=， 所以1
sin sin 2
AH ABH ACN AB ∠=∠=
=，则212CF FP ==，2CB x =， 则312CF CB BF x =+==，所以4x =，则28BC x ==， 故选：D ． 【点睛】
本题考查抛物线的性质，涉及抛物线定义的应用，考查数形结合思想，属于中档题．
9．已知双曲线2
2x a
－22y b ＝1(a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离为4，
且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )
A ．5
B ．3
C ．3
D ．5【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】
解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，-1）， 即点（-2，-1）在抛物线的准线上，又由抛物线y 2＝2px 的准线方程为2
p
x =-，则p=4， 则抛物线的焦点为（2，0）；
则双曲线的左顶点为（-2，0），即a=2；
点（-2，-1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为1
2
y x =±， 由双曲线的性质，可得b=1； 则5c =
5
故选A ．
10．已知点P 是椭圆22
221(0,0)x y a b xy a b
+=>>≠上的动点，1(,0)F c -、2(,0)F c 为椭圆
的左、右焦点，O 为坐标原点，若M 是12F pF ∠的角平分线上的一点，且F 1M ⊥MP ，则|OM|的取值范围是( ) A ．(0,)c B ．(0,)a
C ．(,)b a
D ．(,)c a
【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】
解：如图，延长PF 2，F 1M ，交与N 点，∵PM 是∠F 1PF 2平分线，且F 1M ⊥MP ， ∴|PN|=|PF 1|，M 为F 1F 2中点，
连接OM ，∵O 为F 1F 2中点，M 为F 1F 2中点 ∴|OM|=|F 2N|=||PN|﹣|PF 2||=||PF 1|﹣|PF 2|| ∵在椭圆
中，设P 点坐标为（x 0，y 0）
则|PF 1|=a+ex 0，|PF 2|=a ﹣ex 0，
∴||PF 1|﹣|PF 2||=|a+ex 0+a ﹣ex 0|=|2ex 0|=|ex 0| ∵P 点在椭圆上，
∴|x 0|∈（0，a]，
又∵当|x 0|=a 时，F 1M ⊥MP 不成立，∴|x 0|∈（0，a ） ∴|OM|∈（0，c ）． 故选A ．
11．过双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的右焦点F ，作渐近线b y x a =的垂线与双曲线左
右两支都相交，则双曲线离心率e 的取值范围为( ) A ．()1,2 B ．()
1,2
C ．
(
)
2,+∞
D ．()2,+∞
【答案】C 【解析】 【分析】
设过双曲线的右焦点F 与渐近线b
y x a
=
垂直的直线为AF ,根据垂线与双曲线左右两支都相交，得AF 的斜率要小于双曲线另一条渐近线的斜率 ,由此建立关于,a b 的不等式，解之
可得22b a >，从而可得双曲线的离心率e 的取值范围 . 【详解】
过双曲线的右焦点F 作渐近线b
y x a
=
垂线，设垂足为A ， Q 直线为AF 与双曲线左右两支都相交，
∴直线AF 与渐近线b
y x a
=-
必定有交点B ， 因此，直线b
y x a
=-
的斜率要小于直线AF 的斜率， Q 渐近线b y x a =
的斜率为b a
， ∴直线AF 的斜率a k b =-
，可得b a
a b
-<-， 即
2
2,b a b a a b
>>，可得222c a >， 两边都除以2a ，得22e >，解得2e >
双曲线离心率e 的取值范围为)
2,+∞，故选C.
【点睛】
本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率范围问题应先将 e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e 的不等式，从而求出e 的范围.
12．已知平面向量,,a b c r r r
满足()()
2,21a b a b a c b c ==⋅=-⋅-=r r r r r r r r ，则b c -r r 的最小值
为（ ）
A B C ．
2
-
D ．
1
2
【答案】A 【解析】 【分析】
根据题意，易知a r 与b r
的夹角为60︒，设(=1a r ，()20b =，r ，(),c x y =r ，由
()()
21a c b c -⋅-=r r r r
，可得221202
x y x +-+=，所以原问题等价于，圆
221
202
x y x +-+
=上一动点与点()20，
之间距离的最小值， 利用圆心和点()20，的距离与半径的差，即可求出结果. 【详解】
因为2a b a b ==⋅=r r r r ，所以a r 与b r 的夹角为60︒，设(=1a r ，()20b =，r ，(),c x y =r
，
因为()()
21a c b c -⋅-=r r r r ，所以22
1202
x y x +-+=，
又b c -=r r
所以原问题等价于，圆22
1
202
x y x +-+=上一动点与点()20，
之间距离的最小值，
又圆2
2
1202x y x +-+=的圆心坐标为1⎛ ⎝⎭
，所以点()20，与圆
221
202
x y x +-+
=上一动点距离的最小值为
=. 故选：A. 【点睛】
本题考查向量的模的最值的求法，考查向量的数量积的坐标表示，考查学生的转换思想和运算能力，属于中档题．
13．在圆M ：224410x y x y +---=中，过点(0,1)E 的最长弦和最短弦分别为AC 和
BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ）
A ．6
B ．12
C ．24
D ．36
【答案】B 【解析】 【分析】
先将圆M 的方程化为标准方程,得到其圆心坐标与半径,再结合直线与圆的位置关系可得
AC ､BD 的值,进而求出答案. 【详解】
圆M 的标准方程为:22
(2)(2)9x y -+-=,
其圆心为(2,2)M ,半径3r =, 过点E 最长的弦长是直径,故6AC =,
最短的弦是与ME 垂直的弦,又ME ==
所以
1
22
BD ===,即4BD =, 所以四边形的面积11
641222
S AC BD =⋅⋅=⨯⨯=, 故选:B. 【点睛】
本题考查直线与圆相交的性质,解题关键是明确AC 和BD 的位置关系,难度不大.
14．已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的焦点分别为1F ，2F ，点A ，B 在椭圆上，
12AB F F ⊥于2F ，4AB =，12F F = ）
A ．2
213x y +=
B ．22132x y +=
C ．22196x y +=
D ．22
1129
x y +=
【答案】C 【解析】 【分析】
利用椭圆的性质，根据4AB =，12F F =c =2
2 4b a
=，求解a ，b 然后
推出椭圆方程． 【详解】
椭圆22
22 10x y a b a b +=>>（）
的焦点分别为1F ，2F ，点A ，B 在椭圆上，
12AB F F ⊥于2F ，4AB =，12F F =c =
，2
2 4b a
=，
222c a b =-，解得3a =，b =，
所以所求椭圆方程为：22
196
x y +=，故选C ．
【点睛】
本题主要考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，是基本知识的考查．
15．如图，12,F F 是双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲
线C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A ．23y x =±
B ．2y x =±
C ．3y x =
D ．2y x =±
【答案】A 【解析】 【分析】
设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，利用双曲线的定义求出3x =和a 的值，再利用勾股定理求c ，由b
y x a
=±得到双曲线的渐近线方程. 【详解】
设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，
由双曲线的定义得：345x x +-=-，解得：3x =， 所以2212||46413F F =
+=13c ⇒=
因为2521a x a =-=⇒=，所以23b = 所以双曲线的渐近线方程为23b
y x x a
=±=±. 【点睛】
本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义，考查运算求解能力.
16．已知点1F ，2F 分别是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，1e ，2e 分别是1C 和2C 的离心率，点P 为1C 和2C 的一个公共点，且1223
F PF π
∠=
，若22e =，则1e 的值是（ ）
A
B
C
．
7
D
【答案】D 【解析】 【分析】
利用椭圆和双曲线的定义以及余弦定理可得到方程222
1243c a a =+，由此得到关于离心率
的方程求得结果. 【详解】
设椭圆长半轴长为1a ，双曲线实半轴长为2a ，焦点坐标为()1,0F c -，()2,0F c ， 不妨设P 为第一象限内的点，则1212+=PF PF a ，1222-=PF PF a ， 则22
1212PF PF a a =-，
由余弦定理得：2
2
22
2
12121212242cos
3
c PF PF PF PF PF PF PF PF π=+-=++， ()22222211212443c a a a a a ∴=--=+，2
21231
4e e ∴
+=，又22e =，2145
e ∴=，
15
e ∴=
. 故选：D . 【点睛】
本题考查共焦点的椭圆与双曲线问题的求解，关键是能够熟练应用椭圆和双曲线的定义，利用余弦定理构造等量关系，配凑出关于椭圆和双曲线离心率的方程.
17．过坐标轴上的点M 且倾斜角为60°的直线被圆2240x y y +-=
所截得的弦长为
M 的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】
设出直线方程，根据弦长公式，转化为圆心到直线的距离建立等量关系求解. 【详解】
由直线的斜率为tan 60k ︒==
y b =+. 圆2
2
40x y y +-=可化为2
2
(2)4x y +-=，圆心为(0,2)，半径为2r =， 则由弦长公式得：
圆心(0,2)
到直线y b =+
的距离为1d ===，
即
|2|
12
b -+=，解得0b =，4b =，故直线的方程为y =或4y =+.
直线y =过坐标轴上的点(0,0)，
直线4y =+过坐标轴上的点()0,4与⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，故点M 的个数为3.
故选：C. 【点睛】
此题考查直线与圆的位置关系，根据弦长公式将弦长问题转化为圆心到直线的距离求解.
18．已知双曲线()22
22100x y C a b a b
-=：＞，＞的一条渐近线与圆22(4x y +-=相交
于A ，B 两点，若|AB |＝2，则C 的离心率为（ ）
A B
C ．2
D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】
求出双曲线的渐近线方程，圆的圆心与半径，利用距离公式得到a 、b 关系式，然后求解离心率即可． 【详解】
由题意可知不妨设双曲线的一条渐近线方程为：bx +ay ＝0，
圆22(4x y +-=的圆心为(0,，半径为2，
由题意及|AB |＝2，可得22212+=，
2
22
123a a b
=+，即b 2＝3a 2，可得c 2﹣a 2＝3a 2，即224c a = 所以e c
a
=
=2． 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查求双曲线离心率的问题，此类问题的解题关键是建立,,a b c 的方程或不等关系，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.
19．已知(cos ,sin )P αα，(cos ,sin )Q ββ，则||PQ 的最大值为（ ）
A B ．2
C ．4
D ．【答案】B 【解析】
【分析】
由两点的距离公式表示PQ ，再运用两角差的余弦公式化简，利用余弦函数的值域求得最值. 【详解】
∵(cos ,sin )P αα，(cos ,sin )Q ββ， ∴22||(cos cos )(sin sin )PQ αβαβ=-+-
2222cos cos 2cos cos sin sin 2sin sin αβαβαβαβ=+-++-
()()()2
222cos
sin cos sin 2cos cos sin sin ααββαβαβ=
+++-+
22cos()αβ=--.
∵cos()[1,1]αβ-∈-，∴||[0,2]PQ ∈. 故选B . 【点睛】
本题综合考查两点的距离公式、同角三角函数的平方关系、两角差的余弦公式和余弦的值域，属于中档题.
20．在平面直角坐标系中，已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，实轴长为8，离心率为，则它的渐近线的方程为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】
试题分析：渐近线的方程为
，而
，因此渐近线的方程为
，选D.
考点：双曲线渐近线。