2022年人教版数学九年级上册第二十一章《一元二次方程》同步练习(附答案)5(21.2.4)

第二十一章 一元二次方程周周测5
一元二次方程的根与系数的关系
一、选择题〔共5小题，每题3分，总分值15分〕
1．一元二次方程：x 2﹣3x ﹣1=0的两个根分别是x 1、x 2，那么x 12x 2+x 1x 22的值为〔 〕
A ．﹣3
B ．3
C ．﹣6
D ．6
2．α、β是方程2x 2﹣3x ﹣1=0的两个实数根，那么〔α﹣2〕〔β﹣2〕的值是〔 〕
A ．
B ．
C ．3
D ．
3．设a 、b 是方程x 2+x ﹣2021=0的两个实数根，那么a 2+2a+b 的值为〔 〕
A ．2021
B ．2013
C ．2021
D ．2021
4．小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，而小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，那么原方程为〔 〕
A ．x 2﹣3x+6=0
B ．x 2﹣3x ﹣6=0
C ．x 2+3x ﹣6=0
D ．x 2+3x+6=0
5．关于方程式49x 2﹣98x ﹣1=0的解，以下表达何者正确〔 〕
A ．无解
B ．有两正根
C ．有两负根
D ．有一正根及一负根
二、填空题〔共8小题，每题3分，总分值24分〕
6．设x 1，x 2是方程4x 2+3x ﹣2=0的两根，那么x 1+x 2=______，x 1x 2=______．
7．假设关于x 的方程2x 2﹣mx+n=0的两根为﹣3和4，那么m=______，n=______．
8．x 1、x 2是方程2x 2+14x ﹣16=0的两实数根，那么的值为______．
9．设x 1，x 2是一元二次方程x 2+5x ﹣3=0的两根，且2x 1〔x 22+6x 2﹣3〕+a=4，那么a=______．
10．设α，β是一元二次方程x 2+3x ﹣7=0的两个根，那么α2+4α+β=______．
11．假设关于x 的方程x 2﹣5x+k=0的一个根是0，那么另一个根是______，k=______．
12．假设一个一元二次方程的两个根分别是Rt △ABC 的两条直角边长，且S △ABC =3，请写出一个符合题意的一元二次方程______．
13．假设方程x 2﹣kx+6=0的两根分别比方程x 2+kx+6=0的两根大5，那么k 的值是______．
三．解答题：
14．不解方程，写出方程的两根之和与两根之积：
〔1〕3x 2+2x ﹣3=0
〔2〕x 2+x=6x+7．
15．实数a ，b 分别满足a 2﹣6a+4=0，b 2﹣6b+4=0，且a ≠b ，求+的值．
16．关于x 的一元二次方程x 2=2〔1﹣m 〕x ﹣m 2的两实数根为x 1，x 2
〔1〕求m 的取值范围；
〔2〕设y=x 1+x 2，当y 取得最小值时，求相应m 的值，并求出最小值．
17．一元二次方程x 2﹣2x+m=0．
〔1〕假设方程有两个实数根，求m 的范围；
〔2〕假设方程的两个实数根为x 1，x 2，且x 1+3x 2=3，求m 的值．
18．关于x 的一元二次方程x 2﹣〔m ﹣3〕x ﹣m 2=0．
〔1〕证明：方程总有两个不相等的实数根；
〔2〕设这个方程的两个实数根为x 1，x 2，且|x 1|=|x 2|﹣2，求m 的值及方程的根．
参考答案与试题解析
一、选择题〔共5小题，每题3分，总分值15分〕
1．一元二次方程：x 2﹣3x ﹣1=0的两个根分别是x 1、x 2，那么x 12x 2+x 1x 22的值为〔 〕
A ．﹣3
B ．3
C ．﹣6
D ．6
【解答】解：∵一元二次方程：x 2﹣3x ﹣1=0的两个根分别是x 1、x 2，
∴x 1+x 2=3，x 1•x 2=﹣1，
∴x 12x 2+x 1x 22
=x 1x 2•〔x 1+x 2〕=﹣1×3=﹣3．
应选A ．
2．α、β是方程2x 2﹣3x ﹣1=0的两个实数根，那么〔α﹣2〕〔β﹣2〕的值是〔
〕
A ．
B ．
C ．3
D ．
【解答】解：因为α、β是方程2x 2﹣3x ﹣1=0的两个实数根，
所以α+β=，αβ=﹣，
又因为〔α﹣2〕〔β﹣2〕
=αβ﹣2〔α+β〕+4
=﹣﹣2×+4 =．
应选A
3．设a 、b 是方程x 2+x ﹣2021=0的两个实数根，那么a 2+2a+b 的值为〔 〕
A ．2021
B ．2013
C ．2021
D ．2021
【解答】解：∵a 是方程x 2+x ﹣2021=0的实数根，
∴a 2+a ﹣2021=0，
∴a 2+a=2021，
∴原式=2021+a+b ，
∵a 、b 是方程x 2+x ﹣2021=0的两个实数根，
∴a+b=﹣1，
∴原式=2021﹣1=2021．
应选B ．
4．小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，而小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，那么原方程为〔 〕
A ．x 2﹣3x+6=0
B ．x 2﹣3x ﹣6=0
C ．x 2+3x ﹣6=0
D ．x 2+3x+6=0
【解答】解：小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，两根之积正确；小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，两根之和正确，
故设这个一元二次方程的两根是α、β，可得：α•β=﹣6，α+β=﹣3，
那么以α、β为两根的一元二次方程就是x 2﹣3x ﹣6=0，
应选：B ．
5．关于方程式49x 2﹣98x ﹣1=0的解，以下表达何者正确〔 〕
A ．无解
B ．有两正根
C ．有两负根
D ．有一正根及一负根
【解答】解：由判别式△＞0，知方程有两个不相等的实数根，
又由根与系数的关系，知x 1+x 2=﹣=2＞0，x 1•x 2==﹣
＜0， 所以有一正根及一负根．
应选D ．
二、填空题〔共8小题，每题3分，总分值24分〕
6．设x 1，x 2是方程4x 2+3x ﹣2=0的两根，那么x 1+x 2= ，x 1x 2= ﹣ ．
【解答】解：x 1，x 2是方程4x 2+3x ﹣2=0的两根，那么x 1+x 2=
，x 1x 2=﹣． 故答案为：
，﹣．
7．假设关于x 的方程2x 2﹣mx+n=0的两根为﹣3和4，那么m= 2 ，n= ﹣24 ．
【解答】解：由根与系数的关系得，﹣3+4=，〔﹣3〕×4=
解得：m=2，n=﹣24，
故答案为：2，﹣24．
8．x 1、x 2是方程2x 2+14x ﹣16=0的两实数根，那么的值为 ﹣ ．
【解答】解：∵x 1、x 2是方程2x 2+14x ﹣16=0的两实数根，
∴根据韦达定理知，x 1+x 2=﹣7，x 1•x 2=﹣8，
∴==﹣．
故答案是：﹣
．
9．设x 1，x 2是一元二次方程x 2+5x ﹣3=0的两根，且2x 1〔x 22+6x 2﹣3〕+a=4，那么a= 10 ．
【解答】解：∵x 2是一元二次方程x 2+5x ﹣3=0的根，
∴x 22+5x 2﹣3=0，
∴x 22+5x 2=3，
∵2x 1〔x 22+6x 2﹣3〕+a=4，
∴2x 1•x 2+a=4，
∵x 1，x 2是一元二次方程x 2+5x ﹣3=0的两根，
∴x 1x 2=﹣3，
∴2×〔﹣3〕+a=4，
∴a=10．
10．设α，β是一元二次方程x 2+3x ﹣7=0的两个根，那么α2+4α+β= 4 ．
【解答】解：∵α，β是一元二次方程x 2+3x ﹣7=0的两个根，
∴α+β=﹣3，α2+3α﹣7=0，
∴α2+3α=7，
∴α2+4α+β=α2+3α+α+β=7﹣3=4，
故答案为：4．
11．假设关于x 的方程x 2﹣5x+k=0的一个根是0，那么另一个根是 5 ，k= 0 ．
【解答】解：设方程的另一个根为t ，
根据题意得0+t=5，0•t=k ，
所以t=5，k=0．
故答案为5，0．
12．假设一个一元二次方程的两个根分别是Rt △ABC 的两条直角边长，且S △ABC =3，请写出一个符合题意的一元二次方程 x 2﹣5x+6=0〔答案不唯一〕 ．
【解答】解：∵一个一元二次方程的两个根分别是Rt △ABC 的两条直角边长，且S △ABC =3， ∴一元二次方程的两个根的乘积为：3×2=6，
∴此方程可以为：x 2﹣5x+6=0，
故答案为：x 2﹣5x+6=0〔答案不唯一〕．
13．假设方程x 2﹣kx+6=0的两根分别比方程x 2+kx+6=0的两根大5，那么k 的值是 5 ．
【解答】解：设方程x 2+kx+6=0的两根分别为a 、b ，那么方程x 2﹣kx+6=0的两根分别为a+5，b+5，
根据题意得a+b=﹣k ，a+5+b+5=k ，
所以10﹣k=k ，
解得k=5．
故答案为：5．
三．解答题：
14．不解方程，写出方程的两根之和与两根之积：
〔1〕3x 2+2x ﹣3=0
〔2〕x 2+x=6x+7．
【解答】解：〔1〕设x 1，x 2是一元二次方程的两根，
所以x 1+x 2=﹣，x 1x 2=﹣1；
〔2〕方程化为一般式为x 2﹣5x ﹣7=0，
设x 1，x 2是一元二次方程的两根，
所以x 1+x 2=5，x 1x 2=﹣7．
15．实数a ，b 分别满足a 2﹣6a+4=0，b 2﹣6b+4=0，且a ≠b ，求+的值．
【解答】解：∵a 2﹣6a+4=0，b 2﹣6b+4=0，且a ≠b ，
∴a ，b 可看作方程x 2﹣6x+4=0的两根，
∴a+b=6，ab=4，
∴原式====7．
16．关于x 的一元二次方程x 2=2〔1﹣m 〕x ﹣m 2的两实数根为x 1，x 2
〔1〕求m 的取值范围；
〔2〕设y=x 1+x 2，当y 取得最小值时，求相应m 的值，并求出最小值．
【解答】解：〔1〕将原方程整理为x 2+2〔m ﹣1〕x+m 2=0；
∵原方程有两个实数根，
∴△=[2〔m ﹣1〕]2﹣4m 2=﹣8m+4≥0，得m ≤；
〔2〕∵x 1，x 2为一元二次方程x 2=2〔1﹣m 〕x ﹣m 2，即x 2+2〔m ﹣1〕x+m 2=0的两根， ∴y=x 1+x 2=﹣2m+2，且m ≤；
因而y 随m 的增大而减小，故当m=时，取得最小值1．
17．一元二次方程x 2﹣2x+m=0．
〔1〕假设方程有两个实数根，求m 的范围；
〔2〕假设方程的两个实数根为x 1，x 2，且x 1+3x 2=3，求m 的值．
【解答】解：〔1〕∵方程x 2﹣2x+m=0有两个实数根，
∴△=〔﹣2〕2﹣4m ≥0，
解得m ≤1；
〔2〕由两根关系可知，x 1+x 2=2，x 1•x 2=m ， 解方程组， 解得，
∴m=x 1•x 2=．
18．关于x 的一元二次方程x 2﹣〔m ﹣3〕x ﹣m 2=0．
〔1〕证明：方程总有两个不相等的实数根；
〔2〕设这个方程的两个实数根为x 1，x 2，且|x 1|=|x 2|﹣2，求m 的值及方程的根．
【解答】解：〔1〕一元二次方程x 2﹣〔m ﹣3〕x ﹣m 2=0，
∵a=1，b=﹣〔m ﹣3〕=3﹣m ，c=﹣m 2，
∴△=b 2﹣4ac=〔3﹣m 〕2﹣4×1×〔﹣m 2〕=5m 2﹣6m+9=5〔m ﹣〕2+
，
∴△＞0，
那么方程有两个不相等的实数根；
〔2〕∵x 1•x 2==﹣m 2≤0，x 1+x 2=m ﹣3，
∴x 1，x 2异号，
又|x 1|=|x 2|﹣2，即|x 1|﹣|x 2|=﹣2，
假设x 1＞0，x 2＜0，上式化简得：x 1+x 2=﹣2，
∴m ﹣3=﹣2，即m=1，
方程化为x 2+2x ﹣1=0，
解得：x 1=﹣1+，x 2=﹣1﹣， 假设x 1＜0，x 2＞0，上式化简得：﹣〔x 1+x 2〕=﹣2，
∴x 1+x 2=m ﹣3=2，即m=5，
方程化为x 2﹣2x ﹣25=0，
解得：x 1=1﹣，x 2=1+．
第二十四章 二次函数周周测1
一、选择题〔共16小题〕
1．如图，△ABC 内接于⊙O ，AB=BC ，∠ABC=120°，AD 为⊙O 的直径，AD=6，那么AB 的值为〔 〕
A．3 B．2C．3D．2
2．如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA，D是⊙O上一点，假设∠ADB=28°，那么∠AOC 的度数为〔〕
A．14°B．28°C．56°D．84°
3．如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠DCF=20°，那么∠EOD等于〔〕
A．10°B．20°C．40°D．80°
4．如图，点C，D是半圆上的三等分点，连接AC，BC，CD，OD，BC和OD相交于点E．那么以下结论：
①∠CBA=30°，②OD⊥BC，③OE=AC，④四边形AODC是菱形．
正确的个数是〔〕
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，圆心角∠BOC=78°，那么圆周角∠BAC的度数是〔〕
A．156°B．78°C．39°D．12°
6．如图，点A，B，C，在⊙O上，∠ABO=32°，∠ACO=38°，那么∠BOC等于〔〕
A．60°B．70°C．120°D．140°
7．如图，▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC=54°，连接AE，那么∠AEB的度数为〔〕
A．36°B．46°C．27°D．63°
8．如图，A、B、C是⊙O上的三点，且∠ABC=70°，那么∠AOC的度数是〔〕
A．35°B．140°C．70°D．70°或140°
9．以下四个图中，∠x是圆周角的是〔〕
A．B．C．D．
10．〔2021•龙岩〕如图，A、B、P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB=45°，那么弦AB 的长为〔〕
A．B．2 C．2D．4
11．如图，在⊙O中，∠OAB=22.5°，那么∠C的度数为〔〕
A．135°B．122.5°C．115.5°D．112.5°
12．如图，⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，那么∠BCD等于〔〕
A．116°B．32°C．58°D．64°
13．如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，那么以下结论中正确的选项是〔〕
A．AD=AB B．∠BOC=2∠D C．∠D+∠BOC=90°D．∠D=∠B
14．如图，在⊙O中，∠CBO=45°，∠CAO=15°，那么∠AOB的度数是〔〕
A．75°B．60°C．45°D．30°
15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB=40°，那么∠A的度数是〔〕
A．40°B．50°C．60°D．100°
16．如图，AB是⊙O的直径，AB垂直于弦CD，∠BOC=70°，那么∠ABD=〔〕
A．20°B．46°C．55°D．70°
二、填空题〔共13小题〕
17．如图，点A、B、C、D在⊙O上，OB⊥AC，假设∠BOC=56°，那么∠ADB=______度．18．如图，点A、B、C在⊙O上，假设∠C=30°，那么∠AOB的度数为______°．
19．如图，⊙O的直径AB与弦CD垂直，且∠BAC=40°，那么∠BOD=______．20．〔2021•盘锦〕如图，⊙O直径AB=8，∠CBD=30°，那么CD=______．
21．在圆中，30°的圆周角所对的弦的长度为2，那么这个圆的半径是______．
22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，假设∠BOC=100°，那么∠BAC=______．
23．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点P在线段OA上运动．设∠BCP=α，那么α的最大值是______．
24．如图，P是⊙O外一点，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB=60°，PA、PB分别交
于M、N两点，那么∠APB的范围是______．
25．如下图⊙O中，∠BAC=∠CDA=20°，那么∠ABO的度数为______．
26．点O是△ABC外接圆的圆心，假设∠BOC=110°，那么∠A的度数是______．
27．如图，点A、B、C、D都在⊙O上，∠ABC=90°，AD=3，CD=2，那么⊙O的直径的长是______．
28．如图，OC是⊙O的半径，AB是弦，且OC⊥AB，点P在⊙O上，∠APC=26°，那么∠BOC=______
度．
29．如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，那么∠AED的余弦值是______．
三、解答题〔共1小题〕
30．〔1〕甲市共有三个郊县，各郊县的人数及人均耕地面积如表所示：
人均耕地面积/公
郊县人数/万
顷
A 20
B 5
C 10
求甲市郊县所有人口的人均耕地面积〔精确到0.01公顷〕；
〔2〕先化简下式，再求值：，其中，；
〔3〕如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，假设BC=BE．求证：△ADE是等腰三角形．
答案
一、选择题〔共16小题〕
1．A；2．C；3．C；4．D；5．C；6．D；7．A；8．B；9．C；10．C；11．D；12．B；13．B；14．B；15．B；16．C；
二、填空题〔共13小题〕
17．28；18．60；19．80°；20．4；21．2；22．50°；23．90°；24．0°＜∠APB＜30°；25．50°；26．55°或125°；27．；28．52；29．；
三、解答题〔共1小题〕
30．。