材料力学三向应力状态PPT课件

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90 45 0
直角应变花： x 0 ， y 90
由 45
x
y
2
xy
2
可求得:
xy 0 90 2 45
第254页/共72页
CL10TU28
§9-6 复杂应力状态下的变形比能
一、微元体应变能
1.单向拉伸变形比能：
v
1
2
2
2、微元体变形功
dy
3 dx
CL10TU50
3.最大剪应力理论（第三强度理论）
假设：无论材 料 内 各 点的 应 力 状 态 如何 ， 只 要 有 一点 的 最 大 剪 应力 τ max达到 单 向 拉 伸屈服剪应力τS时，材料就在该处出现明显塑性变形或屈服。
屈服破坏条件是：
max s
max
1
2
3
,
s
s 2
用应力表示的屈服破坏条件：
应变的实测：
用应变仪直接测出三个选定方向 1、 2、 3的线应变 1 、 2 、 3 ，由下式
1
2
3
x x x
y
2
y
2
y
2
x x x
y
2
y
2
y
2
cos2 1 cos2 2 cos2 3
xy
2
xy
2
xy
2
sin 2 1 sin 2 2 sin 2 3
求出 x 、 y 、 xy
3
2
1
第21页/共72页
同理，在平行于 σ2 的各个斜截面上，其应力对应于由主应力 σ1 和 σ3 所画的 应力圆圆周上各点的坐标。
主单元体：六个平面都是主平面
2 3
1
1
3
3 2
第32页/共72页
2
1
在平行于 σ1 的各个斜截面上，其应力对应于由主应力 σ2 和 σ3 所画的应力圆 圆周上各点的坐标。
§9-7 强度理论及其相当应力
一.单参数强度条件的局限性
1.单参数强度条件
max [ ] max [ ]
2.单参数强度条件的局限性
（1）破坏形式与应力状态有同；
第321页/共72页
（2）材料的破坏方式与材料性能有关。
铸铁和低碳钢的扭转破坏说明相同的受力方式
1 1dydz ~ 1dx
2dxdz ~ 2dy
dz
3dydx ~ 3dz
第265页/共72页
dW=
1 2
1dydz
1dx
1 2
2dxdz
2dy
1 2
3dxdy
3dz
1 2
11
2 2
3 3
dxdydz
3、微元体应变比能
v
dW dV
1 2
11
22
33 dxdydz/dxdydz
1 2
11
( 2
3)2
( 3 1)2
[]
第454页/共72页
5.四个强度理论的相当应力
r [ ]
称为相当应力 r
r1 1
r2 1 ( 2 3)
r3 1 3
r4
1 2
(1
2 )2
( 2
3)2
(3
1)2
第465页/共72页
一般说来，在常温和静载的条件下，脆性材料多发生脆性断裂，故通常采用第一、 第二强度理论；塑性材料多发生塑性屈服，故应采用第三、第四强度理论。
1）
3
1 E
3
（
1
）
2
第132页/共72页
CL10TU30
三. 二向应力状态虎克定律：
1
1 E
( 1
2 )
2
1 E
( 2
1)
3
E
( 1
2
)
四. 三个弹性常数之间的关系
G
E
21
第143页/共72页
2 1
CL10TU30
五.体积应变：
V0 abc
V1 a(1 1)b(1 2 )c(1 3)
2 2
3 3
第276页/共72页
v
1 2
11
1 2
2
2
1 2
3
3
1 2
3
1
E 1
E 1
E
1 （ 2 3） 2 （ 3 1） 3 （1 2）
v
1 2E
2 1
2 2
2 3
2(1 2
2 3
31)
第287页/共72页
变形比能=体积改变比能+形状改变比能
v vV vd
1 E
(
2
)
1
{
x
E
2
y
x
y
2
cos 2
x
sin
2
[
1 2
(
x
y
)
1 2
(
x
y
)
cos
2
x
sin
2
]}
第2109页/共72页
1
[
x
E
y
y
2
x
x
y
(
2
y
x
)
2(1 2
)
x
sin
2
]
x
y
2
x
y
2
cos 2
x
2
sin
2
x y sin 2 xy cos 2
2
2
2
第4309页/共72页
4.形状改变比能理论(第四强度理论)
假设：复杂应力状态下材料的形状改变比能达到 单向拉伸时使材料屈服的形状改变比能时，材料 即会发生屈服。
屈服破坏条件是：
vf vu
vf
1
6E
(1 2)2
( 2
3)2 ( 3
1)2
简单拉伸时：
1 s , 2 3 0
vu
1
6E
§9-5平面应变状态分析 目录 下章 上节
这里所指的平面应变状态，实际上是平面应力所对应的应变状态，它与弹性 力学中所说的平面应变状态不同。
由于最大应变往往发生于受力构件的表面，而表面上的点一般都可按平面应 变状态进行分析。
第187页/共72页
一.斜方向的应变
设构件内一点处的应
变
x、
y
和
皆为已
xy
第98页/共72页
CL10TU33
[例9-8]求图示应力状态的主应力和最大剪 应力（应力单位为MPa）。
第第190页页//共共7722页页
解：
1 2
120 2
40
120
40
2
2
302
130 30
MPa
3 30MPa
max
1
3
2
80MPa
第110页/共72页
§9-4 广义胡克定律
一. 单向应力状态虎克定律
2
20
30 20 2
2
402
52.2 42.2
MPa
2 50MPa
max
1
3
2
47.2MPa
第87页/共72页
CL10TU32
[例9-7]求图示应力状态的主应力和最大剪 应力 （应力单位为MPa）。
解：
2 50MPa
1 2 50MPa
3 50MPa
max
1 3
2
50MPa
u
u
E
b
E
1 ( 2 3) b
[ ] b
n
第二强度条件：
1 ( 2 3) [ ]
第376页/共72页
煤、石料或砼等材料在轴向压缩试验时，如端部无摩擦，试件将沿垂直于压力的 方向发生断裂，这一方向就是最大伸长线应变的方向，这与第二强度理论的结果相近。
第387页/共72页
2 3
1 3 2
1 3
第43页/共72页
2 1
这样，单元体上与主应力之一平行的各个斜截面上的正应力和剪应力，可由三 个应力圆圆周上各点的坐标来表示。
3
2 1
第54页/共72页
至于与三个主方向都不平行的任意斜截面，弹性力学中已证明，其应力σn和τn可 由图中阴影面内某点的坐标来表示。
2
n
1
3
2
1
第365页/共72页
2.最大伸长线应变理论（第二强度理论）
假设：无论材料内各点的应变状态如何，只要有一
点的最大伸长线应变ε1达到单向拉伸断裂时应变 的极限值 εu，材料即破坏。
所以发生脆性断裂的条件是 ε1 ≥ εu
若材料直到断裂前全在线弹性范围内工作，则
1
1 E
1
（
2
3）
由此导出失效条件的应力表达式为：
知量。现求和
伸长的线应变和使直角减小的剪应变
规定为正。
第198页/共72页
CL10TU27
1. 斜方向应力
x x
y
2
y
2
x
2
y
cos
2
x
sin
sin 2 x cos 2
2
2
1 2
(
x
y)
1 2
( x
y ) cos 2(
2
)
x
sin
2(
)
2
2
x
y
2
sin
2
x
cos 2
2. 斜方向的应变
2 s2
第410页/共72页
屈服破坏条件是：
1
2
( 1
2)2
( 2
3)2
( 3
1)2
s
第四强度理论：
1
2
( 1 2 )2
( 2
3)2
( 3 1)2
[]
这个理论和许多塑性材料的试验结果相符，用此判断碳素钢的屈服失 效是比较准确的。
第421页/共72页
几种常用的强度理论(1)
1. 第一强度理论
纵向应变：
E
横向应变：
E
2
二. 广义虎克定律：
1.1方向的应变：
1作用产生的应变
1
1
E
3
第112页/共72页
1
CL10TU35
2.
2、
引起的应变为
3
1
2
E
1
3
E
3. 广义虎克定律：
2 1
当三个主应力同时作用时：
3
1
1 E
1 （ 2 3）
另两个方向
2
1 E
2
（ 3
3
第65页/共72页
在三向应力状态情况下：
2
max 1
min 3
max
1
3
2
3
2
3
1
1
τmax 作用在与σ2平行且与σ1和σ3的方向成45°角的平面上，以τ1，3表示。
第76页/共72页
CL10TU31
[例9-6]求图示应力状态的主应力和最 大应力（应力单位为MPa）。
解：
1 3
30
1 2
E
(1
2
3)
m
K
当
0.5时，
0
K E 体积弹性模量
3(1 2)
m
1 2 3
3
第165页/共72页
[例9-9]如图刚性槽内放置边长为1的立方体。
若上部压力为q，求立方体的应力。
解：用广义虎克定律求解
q
已知 1 0
2 q
y
x
3 0
3
1 E
( 3
2)
0
z
3 2 q
第176页/共72页
2
x x
2
y
x
2
y
cos 2
x
2
y sin 2
第210页/共72页
x
cos 2
sin 2
二.主应变
tan
2 0
2 x x
y
max min
x y
2
(
x
2
y
)2
2 x
2
tan
20
xy x
y
max min
x
y
2
(
x
y
)2
(
xy
)2
2
2
第221页/共72页
三.应变的实测
（1）考虑材料性质；
（2）考虑应力状态的影响；
（3）获得材料性能较容易。
F(1,1,1,1,2, 23,31) [ ]
允许应力由简单拉伸实验得到。
第343页/共72页
三.几种常用的强度理论
1. 最大拉应力理论（第一强度理论） 假设：无论材料内各点的应力状态如何，只要有一点的主应力σ1 达到单向拉
2
m
2 m
1
m
1 m
3
m
3 m
m
3(1
1
2)
2
(
3
1
2
3
3)
m
E
3
K
第298页/共72页
v
1 2E
2 1
2 2
2 3
2(1 2
2 3
31)
vV
3(1 2
2E
)
2 m
1 2
6E
( 1
2
3)2
vd v vV
2
vd
1
6E
(1 2)2 ( 2
m
3)2 ( 3 1)2
伸断裂时的极限应力σu，材料即破坏。
在单向拉伸时，极限应力 σu =σb 失效条件可写为 σ1 ≥ σb
[ ] b
n
第一强度强度条件：
1 [ ]
第354页/共72页
试验证明，这一理论与铸铁、岩石、砼、陶瓷、玻璃等脆性材料的拉断试验结果 相符，这些材料在轴向拉伸时的断裂破坏发生于拉应力最大的横截面上。脆性材料的 扭转破坏，也是沿拉应力最大的斜面发生断裂，这些都与最大拉应力理论相符，但这 个理论没有考虑其它两个主应力的影响。
[ ] s
1 3 s
第三强度条件：
n
[ ] 第1398页/共723页
第三强度理论曾被许多塑性材料的试验结果所证实，且稍偏于安全。这个理论所 提供的计算式比较简单，故它在工程设计中得到了广泛的应用。该理论没有考虑中间 主应力σ2的影响，其带来的最大误差不超过15％，而在大多数情况下远比此为小。
用3的应线变应仪变直接1、测出2、 三个3选 ，定 由下方式向1、
、
2
1
2
3
x x x
y
2
y
2
y
2
x x x
y
2
y
2
y
2
cos2 1 cos2 2 cos2 3
xy
2
xy
2
xy
2
sin 2 1 sin 2 2 sin 2 3
求出 x 、 y 、 xy
第232页/共72页
2 m
1
m
1 m
3
m
第3209页/共72页
3
m
[9-10]求证 E 2(1 )G
证明： max min