【高中数学】2018-2019学年度最新北师大版数学选修2-2课时跟踪训练：(六)导数的概念及其几何意义
2018-2019学年北师大版高中数学选修2-2同步配套(课件+练习+检测)：4.3.2
3.2 简单几何体的体积1.将由曲线y=√x ,直线y=0,x=1围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为( )A .1B .12C .πD .π2 解析:所求体积为V=π∫ 10(√x )2d x=π∫ 10x d x=12πx 2|01=π2. 答案:D2.将由曲线y=√4-x 2与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得球的体积是( )A .64π3B .10πC .32π3D .11π解析:∵4-x 2≥0,∴-2≤x ≤2.V=∫ 2-2π(4-x 2)d x=π(∫42-2d x -∫2-2x 2dx) =π(4x |-22-13x 3|-22)=32π3. 答案:C3.将由曲线y=3x ,x+y=4围成的平面图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积为 . 解析:由图知V=π∫ 31[(4-x )2-(3x )2]d x =π[13(x -4)3+9x ]|13=8π3. 答案:8π34.将由曲线y=√x 3及y=x 2所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得到的旋转体的体积V= .解方程组{y =√x 3,y =x 2,得交点为O (0,0),A (1,1). 所求体积为两个旋转体的体积之差.V=π∫ 10(√x 3)2d x-π∫ 10(x 2)2d x=π(35x 53)|01-π(15x 5)|01 =π×35-π×15=2π5.答案:2π55.将由曲线y=2x 2+1,直线x=1,x=2及x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积为 .解析:V=π∫ 21(2x 2+1)2d x=π∫ 21(4x 4+4x 2+1)d x=π·(45x 5+43x 3+x)|12=527π15. 答案:6.若将由直线y=x+2和x=a (a>0)以及坐标轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得圆台的体积为56π3,则a 的值为 .解析:∵V=π∫ a 0(x+2)2d x=π∫ a0(x 2+4x+4)d x=π·(13x 3+2x 2+4x)|0a=π·(13a 3+2a 2+4a)=56π3, ∴a 3+6a 2+12a=56,即(a+2)3=64,解得a=2.答案:2★7.将由双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)与直线y=±b 围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的几何体的体积为 .解析:由x 2a 2−y 2b 2=1,得y 2=b 2(x 2a 2-1).当y=b 时,x=±√2a.所以所求几何体的体积为V=πb 2·2√2a-2π∫ √2a ab 2(x 2a 2-1)d x =2√2πab 2-2πb 2·(x 33a 2-x)|a √2a=2√2πab 2-2πb 2·2-√23a=[2√2-2(2-√2)3]πab 2=8√2-43πab 2. 答案:8√2-43πab 28.计算由直线y=0和曲线y=x 2-6x+5围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.(π≈3.14,结果精确到0.01)解由题意知所围成的平面图形如图中阴影部分所示,则将其绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为V=∫ 51π(x 2-6x+5)2d x=π∫ 51(x 2-6x+5)2d x=π∫51(x4-12x3+46x2-60x+25)d x=π(15x5-3x4+463x3-30x2+25x)|15≈107.18.★9.将由直线y=x和曲线y=x2所围成的平面图形绕x轴旋转一周,求所得旋转体的体积.解直线y=x和曲线y=x2所围成的平面图形如图中阴影部分所示.易知两个图像的交点为(0,0),(1,1),所以将该平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为V=π∫10(x2-x4)d x=π(13x3-15x5)|1=2π15.。
高中数学课时跟踪训练二排列与排列数公式北师大版选修2
课时跟踪训练(二) 排列与排列数公式1．5A 35＋4A 24等于( ) A ．107 B ．323 C ．320 D ．3482.A 345！等于( ) A.120B.125C.15D.1103．设a ∈N ＋，且a <27，则(27－a )(28－a )·…·(34－a )等于( ) A ．A 827－a B ．A 27－a34－a C ．A 734－aD ．A 834－a4．若从4名志愿者中选出2人分别从事翻译、导游两项不同工作，则选派方案共有( ) A ．16种 B ．6种 C ．15种D ．12种5．已知9！＝362 880，那么A 79＝________. 6．给出下列问题：①从1,3,5,7这四个数字中任取两数相乘，可得多少个不同的积？ ②从2,4,6,7这四个数字中任取两数相除，可得多少个不同的商？③有三种不同的蔬菜品种，分别种植在三块不同的试验田里，有多少种不同的种植方法？④有个头均不相同的五位同学，从中任选三位同学按左高右低的顺序并排站在一排照相，有多少种不同的站法？上述问题中，是排列问题的是________．(填序号) 7．(1)计算4A 48＋2A 58A 88－A 59；(2)解方程3A x8＝4A x －19.8．从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本分给甲、乙、丙三人，每人一本，试将所有不同的分法列举出来．答案1．选D 原式＝5×5×4×3＋4×4×3＝348.2．选CA345！＝4×3×25×4×3×2×1＝15.3．选D 8个括号里面是连续的自然数，依据排列数的概念，选D.4．选D 4名志愿者分别记作甲、乙、丙、丁，则选派方案有：甲乙，甲丙，甲丁，乙甲，乙丙，乙丁，丙甲，丙乙，丙丁，丁甲，丁乙，丁丙，即共有A24＝12种方案．5．解析：A79＝9！－！＝362 8802＝181 440.答案：181 4406．解析：对于①，任取两数相乘，无顺序之分，不是排列问题；对于②，取出的两数，哪一个作除数，哪一个作被除数，其结果不同，与顺序有关，是排列问题；对于③，三种不同的蔬菜品种任一种种植在不同的试验田里，结果不同，是排列问题；对于④，选出的三位同学所站的位置已经确定，不是排列问题．答案：②③7．解：(1)原式＝4A48＋2×4A484×3×2A48－9A48＝4＋824－9＝1215＝45.(2)由3A x8＝4A x－19，得3×8！－x！＝4×9！－x！，化简，得x2－19x＋78＝0，解得x1＝6，x2＝13.又∵x≤8，且x－1≤9，∴原方程的解是x＝6.8．解：从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本，分给甲、乙、丙三人，每人一本，相当于从4个不同的元素中任意取出3个元素，按“甲、乙、丙”的顺序进行排列，每一个排列就对应着一种分法，所以共有A34＝4×3×2＝24种不同的分法．不妨给“语文、数学、英语、物理”编号，依次为1,2,3,4号，画出下列树形图：由树形图可知，按甲乙丙的顺序分的分法为：语数英语数物语英数语英物语物数语物英数语英数语物数英语数英物数物语数物英英语数英语物英数语英数物英物语英物数物语数物语英物数语物数英物英语物英数。
高中数学全一册课时跟踪训练(打包18套)北师大版选修2_2
课时跟踪训练(一) 归纳与类比1．由数列2,20,200,2 000，…，猜测该数列的第n项可能是( )A．2³10n B．2³10n－1C．2³10n＋1D．2³10n－212.如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是( )11 11 2 11 3 3 11 4 a 4 11 5 10 10 5A．2 B．4C．6 D．83．(湖北高考)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈136L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈275L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A.227B.258C.15750D.3551134．从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性( )5．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，你认为可推知正四面体的下列哪些性质________．(填写序号)①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．6．四个小动物换座位，开始时鼠、猴、兔、猫分别坐在编号为1,2,3,4的位置上(如图)，第1次前后排动物互换座位，第2次左右列动物互换座位，第3次前后排动物互换座位，……这样交替进行下去，那么第2 014次互换座位后，小兔的座位对应的编号是________．7．观察等式：1＋3＝4＝22,1＋3＋5＝9＝32,1＋3＋5＋7＝16＝42，你能得出怎样的结论？8．如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SA⊥SC，且SA，SB，SC和底面ABC所成的角分别为α1，α2，α3，三侧面△SBC，△SAC，△SAB的面积分别为S1，S2，S3.类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想．答案1．选B2．选C 由杨辉三角形可以发现：每一行除1外，每个数都是它肩膀上的两数之和．故a＝3＋3＝6.3．选B 由题意知275L2h＝13πr2h⇒275L2＝13πr2，而L＝2πr，代入得π＝258.4．选A 每一行图中的黑点从右上角依次递减一个．5．解析：正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．答案：①②③6．解析：第4次左右列动物互换座位后，鼠、猴、兔、猫分别坐在编号为1,2,3,4的位置上，即回到开始时的座位情况，于是可知这样交替进行下去，呈现出周期为4的周期现象，又2 014＝503³4＋2，故第2 014次互换座位后的座位情况就是第2次互换座位后的座位情况，所以小兔的座位对应的编号是2.答案：27．解：通过观察发现：等式的左边为正奇数的和，而右边是整数(实际上就是左边奇数的个数)的完全平方．因此可推测得出：1＋3＋5＋7＋9＋…＋(2n －1)＝n 2(n ≥2，n ∈N ＋)．8．解：在△DEF 中， 由正弦定理，得d sin D ＝e sin E ＝fsin F.于是，类比三角形中的正弦定理， 在四面体S －ABC 中，猜想S 1sin α1＝S 2sin α2＝S 3sin α3成立．课时跟踪训练(二) 综合法与分析法1．下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法；⑤分析法是逆推法．其中正确的说法有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个2．已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( ) A ．a ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤33．用分析法证明命题“已知a －b ＝1.求证：a 2－b 2＋2a －4b －3＝0.”最后要具备的等式为( )A ．a ＝bB ．a ＋b ＝1C ．a ＋b ＝－3D ．a －b ＝14．已知a ，b 为正实数，函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A ，B ，C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A5．设向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，(a －b )⊥c ，a ⊥b ，若|a |＝1，则|a |2＋|b |2＋|c |2的值是________．6．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4，a ≥0，则P ，Q 的大小关系是________． 7．阅读下列材料：根据两角和与差的正弦公式，有sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，① sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，②由①＋②得sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sin αcos β，③ 令α＋β＝A ，α－β＝B ，有α＝A ＋B2，β＝A －B2，代入③得sin A ＋sin B ＝2sinA ＋B2cosA －B2.类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明： cos A －cos B ＝－2sin A ＋B2sinA －B2.8．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形．答 案1．选C 由分析法、综合法的定义知①②③⑤正确. 2．选C ∵a ＋b ＝2≥2ab ，∴ab ≤1. ∵a 2＋b 2＝4－2ab ，∴a 2＋b 2≥2. 3．选D 要证a 2－b 2＋2a －4b －3＝0，即证a 2＋2a ＋1＝b 2＋4b ＋4，即(a ＋1)2＝(b ＋2)2， 即证|a ＋1|＝|b ＋2|，即证a ＋1＝b ＋2或a ＋1＝－b －2，故a －b ＝1或a ＋b ＝－3，而a －b ＝1为已知条件，也是使等式成立的充分条件．4．选A 因为函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x为减函数，所以要比较A ，B ，C 的大小，只需比较a ＋b 2，ab ，2ab a ＋b 的大小，因为a ＋b 2≥ab ，两边同乘ab 得：ab ²a ＋b 2≥ab ，即ab ≥2aba ＋b，故a ＋b2≥ab ≥2aba ＋b，∴A ≤B ≤C . 5．解析：∵a ＋b ＋c ＝0，a²b ＝0， ∴c ＝－(a ＋b )． ∴|c |2＝(a ＋b )2＝1＋b 2. 由(a －b )²c ＝0，∴(a －b )²[－(a ＋b )]＝－|a |2＋|b |2＝0. ∴|a |2＝|b |2＝1. ∴|a |2＋|b |2＋|c |2＝4. 答案：46．解析：∵P 2＝2a ＋7＋2a a ＋7 ，Q 2＝2a ＋7＋2 a ＋3 a ＋4 .又∵a (a ＋7)＝a 2＋7a <(a ＋3)(a ＋4)＝a 2＋7a ＋12. ∴P 2<Q 2，即P <Q . 答案：P <Q7．证明：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，① cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，② ①－②得cos(α＋β)－cos(α－β)＝－2sin αsin β.③ 令α＋β＝A ，α－β＝B ，有α＝A ＋B2，β＝A －B2，代入③得cos A －cos B ＝－2sinA ＋B2sinA －B2.8．证明：由A ，B ，C 成等差数列，有2B ＝A ＋C .① 因为A ，B ，C 为△ABC 的内角，所以A ＋B ＋C ＝π，②由①②得，B ＝π3，③由a ，b ，c 成等比数列，有b 2＝ac .④ 由余弦定理及③，可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac .再由④得，a 2＋c 2－ac ＝ac ， 即(a －c )2＝0，因此a ＝c . 从而有A ＝C .⑤由②③⑤，得A ＝B ＝C ＝π3.所以△ABC 为等边三角形．课时跟踪训练(三) 反 证 法1．三人同行，一人道：“三人行，必有我师”，另一人想表示反对，他该怎么说？( ) A ．三人行，必无我师 B ．三人行，均为我师 C ．三人行，未尝有我师 D ．三人行，至多一人为我师2．(山东高考)用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根 B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根 C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根 D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根3．若a ，b ，c 是不全相等的正数，给出下列判断： ①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0； ②a >b 与a <b 及a ＝b 中至少有一个成立； ③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立． 其中判断正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．34．已知x >0，y >0，z >0，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x，则a ，b ，c 三个数( )A ．至少有一个不大于2B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于25．用反证法证明命题“若a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0(a ，b 为实数)”，其反设为____________________．6．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C >180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC 中有两个直角，不妨设∠A ＝90°，∠B ＝90°. 上述步骤的正确顺序为________．7．如果非零实数a ，b ，c 两两不相等，且2b ＝a ＋c ， 证明：2b ＝1a ＋1c不成立．8．已知函数f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a >1)． (1)求证：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数． (2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负数根．答 案1．选C “必有”意思为“一定有”，其否定应该是“不一定有”，故选C. 2．选A 至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根”．3．选C 因为a ，b ，c 不全相等，所以①正确；②显然正确，③中的a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 可以同时成立，所以③错，故选C.4．选C 假设a ，b ，c 都小于2，则a ＋b ＋c <6.而事实上a ＋b ＋c ＝x ＋1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z≥2＋2＋2＝6，与假设矛盾，所以a ，b ，c 中至少有一个不小于2.5．解析：“a ，b 全为0”即是“a ＝0且b ＝0”，因此它的反设为“a ≠0或b ≠0”，即a ，b 不全为0.答案：a ，b 不全为06．解析：由反证法的一般步骤可知，正确的顺序应为③①②. 答案：③①②7．证明：假设2b ＝1a ＋1c 成立，则2b ＝a ＋c ac ＝2bac，故b 2＝ac ，又b ＝a ＋c2，所以⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝ac ，即(a －c )2＝0，a ＝c .这与a ，b ，c 两两不相等矛盾． 因此2b ＝1a ＋1c不成立．8．证明：(1)任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2， 由于a >1，故y ＝a x为增函数， ∴ax 1<ax 2，∴ax 2－ax 1>0. 又∵x 1＋1>0，x 2＋1>0， ∴x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝ x 2－2 x 1＋1 － x 1－2 x 2＋1 x 1＋1 x 2＋1 ＝3 x 2－x 1x 1＋1 x 2＋1>0， 于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0， 即f (x 2)>f (x 1)，故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)法一：假设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0， 即ax 0＋x 0－2x 0＋1＝0，则ax 0＝－x 0－2x 0＋1. ∵a >1，当x 0<0时，0<ax 0<1. ∴0<－x 0－2x 0＋1<1，即12<x 0<2， 与假设x 0<0相矛盾，故方程f (x )＝0没有负数根． 法二：假设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0， ①若－1<x 0<0，则x 0－2x 0＋1<－2，而0<ax 0<1， ∴f (x 0)<－1，与f (x 0)＝0矛盾． ②若x 0<－1，则x 0－2x 0＋1>0,0<ax 0<1， ∴f (x 0)>0，与f (x 0)＝0矛盾， 故方程f (x )＝0没有负数根．课时跟踪训练(四) 数学归纳法1．在用数学归纳法证明“2n>n 2对从n 0开始的所有正整数都成立”时，第一步验证的n 0＝( )A ．1B ．3C ．5D ．72．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n＋y n能被x ＋y 整除”的第二步是( ) A ．假设n ＝2k ＋1时正确，再推n ＝2k ＋3正确 B ．假设n ＝2k －1时正确，再推n ＝2k ＋1正确 C ．假设n ＝k 时正确，再推n ＝k ＋1正确D ．假设n ≤k (k ≥1)，再推n ＝k ＋2时正确(以上k ∈N ＋)3．凸n 边形有f (n )条对角线，则凸n ＋1边形的对角线条数f (n ＋1)为( ) A ．f (n )＋n ＋1 B ．f (n )＋n C ．f (n )＋n －1D ．f (n )＋n －24．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1324的过程中，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，不等式左边的变化情况为( )A ．增加12 k ＋1B ．增加12k ＋1＋12 k ＋1C ．增加12k ＋1＋12 k ＋1 ，减少1k ＋1D ．增加12 k ＋1 ，减少1k ＋15．用数学归纳法证明 1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n－1(n ∈N ＋)的过程如下：①当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立． ②假设当n ＝k 时，等式成立，即 1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k－1，则当n ＝k ＋1时， 1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1，所以，当n ＝k ＋1时等式成立． 由此可知，对任何n ∈N ＋，等式都成立． 上述证明的错误是________．6．用数学归纳法证明121³3＋223³5＋…＋n 22n －1 2n ＋1 ＝n n ＋12 2n ＋1 ，推证当n＝k ＋1时等式也成立时，只需证明等式____________________________________成立即可．7．数列{a n }满足a n >0(n ∈N ＋)，S n 为数列{a n }的前n 项和，并且满足S n ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n ，求S 1，S 2，S 3的值，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法证明．8．用数学归纳法证明1＋n 2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤12＋n (n ∈N ＋)．答 案1．选C n 的取值与2n ，n 2的取值如下表：由于2n2n>n 2. 2．选B 因为n 为正奇数，据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第k 个正奇数也成立，本题即假设n ＝2k －1正确，再推第(k ＋1)个正奇数即n ＝2k ＋1正确．3．选C 凸n 边形有f (n )条对角线，每增加1条边，增加的那个顶点对应n －2条对角线，它的相邻的两个顶点连成1条对角线，故凸n ＋1边形的对角线条数f (n ＋1)比f (n )多n －1条．4．选C 当n ＝k 时，不等式的左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k，当n ＝k ＋1时，不等式的左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1 k ＋1 ＋ k ＋1 ，又1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1k ＋1 ＋ k ＋1－⎝⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k ＝12k ＋1＋12 k ＋1 －1k ＋1，所以由n ＝k 到n ＝k ＋1时，不等式的左边增加12k ＋1＋12 k ＋1 ，减少1k ＋1.5．解析：当n ＝k ＋1时正确的解法是 1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2k －1＋2k ＝2k ＋1－1，即一定用上第二步中的假设． 答案：没有用上归纳假设进行递推 6．解析：当n ＝k ＋1时，121³3＋223³5＋…＋k 22k －1 2k ＋1 ＋ k ＋1 22k ＋1 2k ＋3 ＝k k ＋12 2k ＋1 ＋ k ＋1 22k ＋1 2k ＋3 ，故只需证明k k ＋1 2 2k ＋1 ＋ k ＋1 22k ＋1 2k ＋3 ＝ k ＋1 k ＋22 2k ＋3 即可．答案：k k ＋1 2 2k ＋1 ＋ k ＋1 22k ＋1 2k ＋3 ＝ k ＋1 k ＋22 2k ＋37．解：由a n >0，得S n >0，由a 1＝S 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1，整理得a 21＝1，取正根得a 1＝1，所以S 1＝1.由S 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2及a 2＝S 2－S 1＝S 2－1，得S 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫S 2－1＋1S 2－1，整理得S 22＝2，取正根得S 2＝ 2. 同理可求得S 3＝ 3. 由此猜想S n ＝n . 用数学归纳法证明如下：(1)当n ＝1时，上面已求出S 1＝1，结论成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，结论成立，即S k ＝k . 那么，当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫S k ＋1－S k ＋1S k ＋1－S k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫S k ＋1－k ＋1S k ＋1－k . 整理得S 2k ＋1＝k ＋1，取正根得S k ＋1＝k ＋1. 即当n ＝k ＋1时，结论也成立．由(1)(2)可知，对任意n ∈N ＋，S n ＝n 都成立． 8．解：(1)当n ＝1时，左式＝1＋12，右式＝12＋1，且32≤1＋12≤32，命题成立． (2)假设当n ＝k (n ∈N ＋)时， 命题成立，即1＋k 2≤1＋12＋13＋…＋12k ≤12＋k ，则当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k >1＋k 2＋2k ²12k ＋1＝1＋k ＋12. 又1＋12＋13＋…＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k<12＋k ＋2k²12k ＝12＋(k ＋1)， 即当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)和(2)可知，命题对所有的n ∈N ＋都成立．课时跟踪训练(五) 变化的快慢与变化率1．设函数y ＝f (x )＝x 2－1，当自变量x 由1变为1.1时，函数的平均变化率为( ) A ．2.1 B ．1.1 C ．2D ．02．一直线运动的物体，从时间t 到t ＋Δt 时，物体的位移为Δs ，那么Δt 趋于0时，ΔsΔt为( ) A ．从时间t 到t ＋Δt 时物体的平均速度 B ．在t 时刻物体的瞬时速度 C ．当时间为Δt 时物体的速度 D ．在时间t ＋Δt 时物体的瞬时速度3．一辆汽车在起步的前10秒内，按s ＝3t 2＋1做直线运动，则在2≤t ≤3这段时间内的平均速度是( )A ．4B ．13C ．15D ．284．一块木头沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s 与时间t 之间的函数关系式为s ＝18t 2，则t ＝2时，此木头在水平方向的瞬时速度为( )A ．2B ．1 C.12D.145．函数y ＝x 2－2x ＋1在x ＝－2附近的平均变化率为________． 6．质点的运动方程是s (t )＝1t2，则质点在t ＝2时的速度为________．7．已知函数f (x )＝2x 2＋3x －5.(1)求当x 1＝4，且Δx ＝1时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx ；(2)求当x 1＝4，且Δx ＝0.1时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx .8．若一物体运动方程如下(位移s 的单位：m ，时间t 的单位：s)：s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2， t ≥3，29＋3 t －3 2， 0≤t ＜3.求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度v 0；(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．答 案1．选A Δy Δx ＝f 1.1 －f 1 1.1－1＝0.210.1＝2.1.2．选BΔsΔt中Δt 趋于0时得到的数值是物体在t 时刻的瞬时速度． 3．选C Δs ＝(3³32＋1)－(3³22＋1)＝15. ∴Δs Δt ＝153－2＝15. 4．选C 因为Δs ＝18(2＋Δt )2－18³22＝12Δt ＋18(Δt )2，所以Δs Δt ＝12＋18Δt ，当Δt无限趋近于0时，12＋18Δt 无限趋近于12，因此t ＝2时，木块在水平方向的瞬时速度为12，故选C.5．解析：当自变量从－2变化到－2＋Δx 时，函数的平均变化率为ΔyΔx＝ －2＋Δx 2－2 －2＋Δx ＋1－ 4＋4＋1Δx＝Δx －6.答案：Δx －66．解析：因为Δs Δt ＝s 2＋Δt －s 2 Δt ＝1 2＋Δt 2－14Δt ＝－4＋Δt4 2＋Δt 2，当Δt →0时，Δs Δt →－14，所以质点在t ＝2时的速度为－14.答案：－147．解：f (x )＝2x 2＋3x －5， ∴Δy ＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)＝2(x 1＋Δx )2＋3(x 1＋Δx )－5－(2³x 21＋3³x 1－5) ＝2[(Δx )2＋2x 1Δx ]＋3Δx ＝2(Δx )2＋(4x 1＋3)Δx . (1)当x 1＝4，Δx ＝1时，Δy ＝2＋(4³4＋3)³1＝21， ∴Δy Δx ＝211＝21. (2)当x 1＝4，Δx ＝0.1时，Δy ＝2³0.12＋(4³4＋3)³0.1＝0.02＋1.9＝1.92， ∴Δy Δx ＝1.920.1＝19.2. 8．解：(1)∵物体在t ∈[3,5]内的时间变化量为 Δt ＝5－3＝2，物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为Δs ＝3³52＋2－(3³32＋2)＝3³(52－32)＝48， ∴物体在t ∈[3,5]内的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)．(2)求物体的初速度v 0，即求物体在t ＝0时的瞬时速度． ∵物体在t ＝0附近的平均变化率为Δs Δt ＝29＋3³ 0＋Δt －3 2－29－3³ 0－3 2Δt ＝3Δt －18， 当Δt 趋于0时，ΔsΔt趋于－18，∴物体在t ＝0时的瞬时速度(初速度)为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率．∵物体在t ＝1附近的平均变化率为Δs Δt ＝29＋3[ 1＋Δt －3]2－29－3³ 1－3 2Δt ＝3Δt －12， 当Δt 趋于0时，ΔsΔt趋于－12，∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为－12 m/s.课时跟踪训练(六) 导数的概念及其几何意义1．函数y ＝f (x )＝1－3x 在x ＝2处的导数为( ) A ．－3 B ．－2 C ．－5D ．－12．抛物线y ＝14x 2在点Q (2,1)处的切线方程为( )A ．x －y －1＝0B ．x ＋y －3＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x ＋y －1＝03．已知曲线C ：y ＝x 3的图像如图所示，则斜率等于3，且与曲线C 相切的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．不确定4．已知函数y ＝f (x )的图像如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定5．已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处切线斜率为16，则点P 坐标为________．6.如图，函数f (x )的图像是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则lim Δx →0f 1＋Δx －f 1 Δx ＝________.7．已知点P (2，－1)在曲线f (x )＝1t －x上．求： (1)曲线在点P 处的切线的斜率； (2)曲线在点P 处的切线方程．8．求与曲线y ＝x 2相切，且与直线x ＋2y ＋1＝0垂直的直线方程？答 案1．选A Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝－3Δx ，Δy Δx ＝－3，Δx 趋于0时，ΔyΔx 趋于－3.2．选A f ′(2)＝li m Δx →0 142＋Δx 2－14³4Δx＝li m Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫14Δx ＋1＝1，∴过点(2,1)的切线方程为y －1＝1²(x －2)， 即x －y －1＝0.故选A.3．选B 由y ＝x 3得Δy Δx ＝ x ＋Δx 3－x 3Δx ＝x 3＋3x 2²Δx ＋3x ² Δx 2＋ Δx 3－x 3Δx＝3x 2＋3x ²Δx ＋(Δx )2，则y ′＝li mΔx →0[3x 2＋3x ²Δx ＋(Δx )2]＝3x 2，由3x 2＝3，得x ＝±1，即存在2条斜率等于3且与曲线C 相切的直线，故选B.4．选B 由图像易知，点A ，B 处的切线斜率k A ，k B 满足k A <k B <0.由导数的几何意义，得f ′(x A )<f ′(x B )．5．解析：设P (x 0,2x 20＋4x 0)，则f ′(x 0)＝li m Δx →0f x 0＋Δx －f x 0 Δx＝li m Δx →02 Δx 2＋4x 0Δx ＋4Δx Δx ＝4x 0＋4， 又∵f ′(x 0)＝16，∴4x 0＋4＝16，∴x 0＝3，∴P (3,30)． 答案：(3,30)6．解析：由导数的概念和几何意义知，li m Δx →0 f 1＋Δx －f 1 Δx ＝f ′(1)＝k AB ＝0－42－0＝－2.答案：－27．解：(1)将P (2，－1)的坐标代入f (x )＝1t －x，得t ＝1， ∴f (x )＝11－x.∴f ′(2)＝li m Δx →0f 2＋Δx －f 2 Δx＝li m Δx →011－ 2＋Δx －11－2Δx ＝li m Δx →011＋Δx＝1， 曲线在点P 处的切线斜率为1. (2)由(1)知曲线在点P 处的切线方程为y －(－1)＝x －2，即x －y －3＝0.8．解：设切点为P (x 0，y 0)，可得所求切线的斜率 k ＝li m Δx →0x 0＋Δx 2－x 2Δx2＝li m Δx →0 (2x 0＋Δx )＝2x 0， 又直线x ＋2y ＋1＝0的斜率为－12，由所求切线与该直线垂直得(2x 0)²⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1， 得x 0＝1，则y 0＝x 20＝1，所以所求切线的方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.课时跟踪训练(七) 计算导数1．设函数f (x )＝cos x ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2′＝( ) A ．0 B ．1C ．－1D ．以上均不正确2．下列各式中正确的是( ) A ．(log a x )′＝1xB ．(log a x )′＝ln 10xC ．(3x)′＝3xD ．(3x )′＝3x²ln 33．已知f (x )＝x α，若f ′(－1)＝－4，则α的值是( ) A ．－4 B ．4 C ．±4D ．不确定4．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝( ) A ．1 B.12 C ．－12D ．－15．若f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，则适合f ′(x )＋1＝g ′(x )的x 值为________． 6．正弦曲线y ＝sin x (x ∈(0,2π))上切线斜率等于12的点为________________．7．求与曲线y ＝f (x )＝3x 2在点P (8,4)处的切线垂直，且过点(4,8)的直线方程．8．求下列函数的导数： (1)y ＝log 2x 2－log 2x ； (2)y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4.答 案1．选A 注意此题中是先求函数值再求导，所以导数是0，故答案为A. 2．选D 由(log a x )′＝1x ln a，可知A ，B 均错；由(3x )′＝3xln 3可知D 正确． 3．选B f ′(x )＝αxα－1，f ′(－1)＝α(－1)α－1＝－4，∴α＝4.4．选A 因为y ′＝2ax ， 所以切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝2a . 又由题设条件知切线的斜率为2， 即2a ＝2，即a ＝1，故选A.5．解析：由导数的公式知，f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝3x 2. 因为f ′(x )＋1＝g ′(x )，所以2x ＋1＝3x 2， 即3x 2－2x －1＝0，解得x ＝1或x ＝－13.答案：1或－136．解析：∵y ′＝(sin x )′＝cos x ＝12，∵x ∈(0,2π)， ∴x ＝π3或5π3.答案：⎝⎛⎭⎪⎫π3，32或⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，－327．解：∵y ＝3x 2，∴y ′＝(3x 2)′＝()′＝23∴f ′(8)＝23²813.即曲线在点P (8,4)处的切线的斜率为13.∴适合条件的直线的斜率为－3.从而适合条件的直线方程为y －8＝－3(x －4)． 即3x ＋y －20＝0.8．解：(1)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ， ∴y ′＝(log 2x )′＝1x ²ln 2.(2)y ＝－2sin x 2⎝⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x4 ＝2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x4－1＝2sin x2cos x2＝sin x ，∴y ′＝cos x .课时跟踪训练(八) 导数的四则运算法则1．若f ′(x )＝f (x )，且f (x )≠0，则f (x )＝( ) A ．a xB ．log a xC ．e xD ．e －x2．甲、乙两个物体沿直线运动的方程分别是s 1＝t 3－2t 2＋t 和s 2＝3t 2－t －1，则在t ＝2时两个物体的瞬时速度的关系是( )A ．甲大B ．乙大C ．相等D ．无法比较3．若过函数f (x )＝ln x ＋ax 上的点P 的切线与直线2x －y ＝0平行，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，2)C ．(2，＋∞)D ．(0，＋∞)4．函数y ＝x 2x ＋3的导数是( )A.x 2＋6x x ＋32 B.x 2＋6x x ＋3C.－2x x ＋32 D.3x 2＋6x x ＋32 5．函数y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3的导数为________．6．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x (e 为自然对数的底数)，则f ′(e)＝________.7．求下列函数的导数： (1)y ＝(x ＋1)⎝⎛⎭⎪⎫1x －1；(2)y ＝x tan x ； (3)y ＝x －sin x2cos x2；(4)y ＝3ln x ＋a x(a >0，且a ≠1)．8．设f (x )＝a ²e x＋b ln x ，且f ′(1)＝e ，f ′(－1)＝1e ，求a ，b 的值．答 案1．选C2．选B v 1＝s ′1＝3t 2－4t ＋1，v 2＝s ′2＝6t －1，所以在t ＝2时两个物体的瞬时速度分别是5和11，故乙的瞬时速度大．3．选B 设过点P (x 0，y 0)的切线与直线2x －y ＝0平行，因为f ′(x )＝1x＋a ，故f ′(x 0)＝1x 0＋a ＝2，得a ＝2－1x 0，由题意知x 0>0，所以a ＝2－1x 0<2.4．选A y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x ＋3′＝ x 2 ′ x ＋3 －x 2² x ＋3 ′ x ＋3 2＝2x x ＋3 －x 2x ＋3 2＝x 2＋6xx ＋32.5．解析：y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3＝x 3＋1＋1x 2，y ′＝3x 2－2x3.答案：3x 2－2x36．解析：由f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(e)＋1x，则f ′(e)＝2f ′(e)＋1e ⇒f ′(e)＝－1e .答案：－1e7．解：(1)∵y ＝x ²1x－x ＋1x－1＝－x ＋1x，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋1x ′＝－12x ＋－12xx＝－12x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x .(2)y ′＝(x tan x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x sin x cos x ′＝x sin x ′c os x －x sin x cos x ′cos 2x＝ sin x ＋x cos x cos x ＋x sin 2x cos 2x ＝sin x cos x ＋x cos 2x. (3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －sin x 2cos x 2′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12sin x ′ ＝1－12cos x .(4)y ′＝(3ln x ＋a x)′＝3x＋a x ln a .8．解：∵f (x )＝a ²e x＋b ln x ， ∴f ′(x )＝a ²e x＋b x，根据题意应有⎩⎪⎨⎪⎧f ′ 1 ＝a e ＋b ＝e ，f ′ －1 ＝a e －b ＝1e ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，所以a ，b 的值分别是1,0.课时跟踪训练(九) 简单复合函数的求导法则1．下列函数不是复合函数的是( ) A ．y ＝－x 3－1x＋1B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4C ．y ＝1ln xD ．y ＝(2x ＋3)42．函数y ＝⎝⎛⎭⎪⎫2－1x 2的导数为( )A ．2⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1xB ．2⎝⎛⎭⎪⎫2－1x2C ．2⎝⎛⎭⎪⎫2－1x ²1x2D ．2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－2²1x23．函数y ＝x 2cos 2x 的导数为( ) A ．y ′＝2x cos 2x －x 2sin 2x B ．y ′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x C ．y ′＝x 2cos 2x －2x sin 2x D ．y ′＝2x cos 2x ＋2x 2sin 2x4．某市在一次降雨过程中，降雨量y (mm)与时间t (min)的函数关系可近似地表示为y ＝f (t )＝10t ，则在时刻t ＝40 min 的降雨强度为( )A ．20 mmB ．400 mm C.12mm/min D.14mm/min 5．若f (x )＝e x＋e－x2，则f ′(0)＝________.6．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为________．7．设f (x )＝a e x ＋b ln x 2，且f ′(1)＝e ＋1，f ′(－1)＝1e －1，求实数a ，b 的值．8．求下列函数的导数． (1)y ＝(2x 2－x ＋1)4； (2)y ＝11－2x2；(3)y ＝x ln(1－x )．答 案1．选A A 中的函数是一个多项式函数，B 中的函数可看作函数u ＝x ＋π4，y ＝cos u的复合函数，C 中的函数可看作函数u ＝ln x ，y ＝1u的复合函数，D 中的函数可看作函数u＝2x ＋3，y ＝u 4的复合函数，故选A.2．选C y ′＝2⎝⎛⎭⎪⎫2－1x ⎝⎛⎭⎪⎫2－1x ′＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1x ²1x2.3．选B y ′＝(x 2)′cos 2x ＋x 2(cos 2x )′＝2x cos 2x ＋x 2(－sin 2x )²(2x )′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x .4．选D f ′(t )＝1210t ²10＝510t ，∴f ′(40)＝5400＝14.5．解析：∵f ′(x )＝12(e x －e －x)，∴f ′(0)＝0.答案：06．解析：设切点为(x 0，y 0)， 则y 0＝x 0＋1，且y 0＝ln(x 0＋a )， 所以x 0＋1＝ln(x 0＋a )． ① 对y ＝ln(x ＋a )求导得y ′＝1x ＋a ，则1x 0＋a＝1， 即x 0＋a ＝1. ②②代入①可得x 0＝－1，所以a ＝2. 答案：27．解：f ′(x )＝a e x＋2b x，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a e ＋2b ＝e ＋1，a e－2b ＝1e －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝12.8．解：(1)y ′＝4(2x 2－x ＋1)3(2x 2－x ＋1)′ ＝4(2x 2－x ＋1)3²(4x －1)．(2)法一：设y ＝u ＝1－2x 2，则y ′x ＝y ′u ²u ′x －4x )＝－12(1－2x 2－4x )＝2x (1－2x 2＝2x1－2x 21－2x2.法二：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11－2x 2′＝[(1－2x 2＝－12(1－2x 22x 2)′＝2x (1－2x 2＝2x1－2x 2 1－2x2. (3)y ′＝x ′ln(1－x )＋x [ln(1－x )]′＝ln(1－x )＋x ²－11－x＝ln(1－x )－x1－x.课时跟踪训练(十) 导数与函数的单调性1．函数f (x )＝x 3－3x 2＋1的单调递减区间为( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，2) C ．(－∞，0)D ．(0,2)2．当x >0时，f (x )＝x ＋2x的单调递减区间是( )A ．(2，＋∞)B ．(0,2)C ．(2，＋∞)D ．(0，2)3．若函数h (x )＝2x －k x ＋k3在(1，＋∞)上是增函数，则实数k 的取值范围是( )A ．[－2，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．(－∞，－2]D ．(－∞，2]4．已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则有( ) A ．f (2)<f (e)<f (3) B ．f (e)<f (2)<f (3) C ．f (3)<f (e)<f (2)D ．f (e)<f (3)<f (2)5．函数f (x )＝x －2sin x 在(0，π)上的单调递增区间为________． 6．函数f (x )＝ln x －x 的单调递增区间为________．7．设f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax .若f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围．8．设函数f (x )＝ln(x ＋a )＋x 2，若f ′(－1)＝0，求a 的值，并讨论f (x )的单调性．答 案1．选D f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，令f ′(x )<0，得0<x <2，所以f (x )的单调递减区间为(0,2)．2．选D f ′(x )＝1－2x 2＝x 2－2x 2＝ x －2 x ＋2x 2.由f ′(x )<0且x >0得0<x < 2.3．选A 根据条件得h ′(x )＝2＋k x 2＝2x 2＋k x2≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≥－2x2在(1，＋∞)上恒成立，所以k ∈[－2，＋∞)．4．选A 因为在定义域(0，＋∞)上f ′(x )＝12x ＋1x >0，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数， 所以有f (2)<f (e)<f (3)．5．解析：令f ′(x )＝1－2cos x >0，则cos x <12.又x ∈(0，π)，解得π3<x <π，所以函数在(0，π)上的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫π3，π6．解析：令f ′(x )＝1x－1>0，解不等式得0<x <1.注意定义域为(0，＋∞)． 答案：(0,1)7．解：f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14＋2a ，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞时f ′(x )的最大值为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝29＋2a .函数有单调递增区间，即在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞内，导函数大于零有解，令29＋2a >0，得a >－19.所以当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间．8．解：f ′(x )＝1x ＋a＋2x ， 依题意，有f ′(－1)＝0，故a ＝32.从而f ′(x )＝2x 2＋3x ＋1x ＋32＝ 2x ＋1 x ＋1x ＋32.则f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞.当－32<x <－1时，f ′(x )>0；当－1<x <－12时，f ′(x )<0；当x >－12时，f ′(x )>0.从而f (x )分别在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上是增加的，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12上是减少的．课时跟踪训练(十一) 函数的极值1．函数y ＝2x 3－3x 2的极值情况为( ) A ．在x ＝0处取得极大值0，但无极小值 B ．在x ＝1处取得极小值－1，但无极大值C ．在x ＝0处取得极大值0，在x ＝1处取得极小值－1D ．以上都不对2．函数y ＝ax ＋ln(1－x )在x ＝0时取极值，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．－1D ．不存在3．函数f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在(0,1)内有极值，则( ) A ．0<b <1 B ．b <0 C ．b >0D ．b <124．设三次函数f (x )的导函数为f ′(x )，函数y ＝xf ′(x )的图像的一部分如图所示，则正确的是( )A ．f (x )的极大值为f (3)，极小值为f (－3)B ．f (x )的极大值为f (－3)，极小值为f (3)C ．f (x )的极大值为f (－3)，极小值为f (3)D ．f (x )的极大值为f (3)，极小值为f (－3)5．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取得极值，则a ＝________.6．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，其导函数y ＝f ′(x )的图像经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，则下列说法中正确的是________．①当x ＝32时函数取得极小值；②f (x )有两个极值点； ③当x ＝2时函数取得极小值； ④当x ＝1时函数取得极大值． 7．求下列函数的极值． (1)f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋4；(2)f (x )＝x 3e x.8．已知函数f (x )＝16x 3－20ax 2＋8a 2x －a 3，其中a ≠0，求f (x )的极值．答 案1．选C 因为y ＝2x 3－3x 2， 所以y ′＝6x 2－6x ＝6x (x －1)． 令y ′＝0，解得x ＝0或x ＝1.令y ＝f (x )，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：当x ＝1时，函数y ＝2x 3－3x 2取得极小值－1. 2．选B y ′＝a ＋－11－x ＝ax －a ＋1x －1(x <1)，由题意得x ＝0时y ′＝0，即a ＝1. 检验：当a ＝1时y ′＝xx －1，当x <0时y ′>0，当0<x <1时y ′<0，符合题意．3．选A f ′(x )＝3x 2－3b .因f (x )在(0,1)内有极值，所以f ′(x )＝0有解，∴x ＝±b ，∴0<b <1，∴0<b <1.4．选D 由题图可知，当x ∈(－∞，－3)时，xf ′(x )>0，即f ′(x )<0； 当x ∈(－3,0)时，xf ′(x )<0，即f ′(x )>0； 当x ∈(0,3)时，xf ′(x )>0，即f ′(x )>0； 当x ∈(3，＋∞)时，xf ′(x )<0，即f ′(x )<0.故函数f (x )在x ＝－3处取得极小值，在x ＝3处取得极大值．5．解析：f ′(x )＝2x x ＋1 － x 2＋a x ＋1 2＝x 2＋2x －a x ＋1 2，由题意得f ′(1)＝3－a4＝0，解得a ＝3.经检验，a ＝3符合题意．答案：36．解析：由图像可知，当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0； 当x ∈(1,2)时，f ′(x )<0； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0.∴f (x )有两个极值点1和2，且当x ＝2时函数取得极小值，当x ＝1时，函数取得极大值，故只有①不正确．答案：②③④7．解：(1)∵f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋4，∴f ′(x )＝x 2－2x －3.令f ′(x )＝0，得x 1＝3，x 2＝－1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化，如表所示：∴x ＝－1是f (x )的极大值点，x ＝3是f (x )的极小值点．∴f (x )极大值＝f (－1)＝173，f (x )极小值＝f (3)＝－5.(2)f ′(x )＝3x 2²e x ＋x 3²e x ＝e x ²x 2(x ＋3)， 由f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝－3.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化如表所示：由表可知x ＝－3是f (x )的极小值点．f (x )极小值＝f (－3)＝－27e －3，函数无极大值．8．解：∵f (x )＝16x 3－20ax 2＋8a 2x －a 3，其中a ≠0， ∴f ′(x )＝48x 2－40ax ＋8a 2＝8(6x 2－5ax ＋a 2) ＝8(2x －a )(3x －a )，令f ′(x )＝0，得x ＝a 2或x ＝a3.(1)当a >0时，a 3<a2，则随着x 的变化，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴当x ＝3时，函数取得极大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＝27；当x ＝a2时，函数取得极小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝0. (2)当a <0时，a 2<a3，则随着x 的变化，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴当x ＝2时，函数取得极大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＝0；当x ＝a 3时，函数取得极小值f (a 3)＝a 327.综上所述，当a >0时，函数f (x )在x ＝a3处取得极大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝a327，在x ＝a 2处取得极小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝0；当a <0时，函数f (x )在x ＝a2处取得极大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝0，在x ＝a 3处取得极小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝a327.课时跟踪训练(十二) 实际问题中导数的意义1．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2，其中s 的单位是m ，t 的单位是s ，那么物体在3 s 末的瞬时速度是( )A ．7 m/sB ．6 m/sC ．5 m/sD ．8 m/s2．某旅游者爬山的高度h (单位：m)关于时间t (单位：h)的函数关系式是h ＝－100t 2＋800t ，则他在t ＝2 h 这一时刻的高度变化的速度是( )A ．500 m/hB ．1 000 m/hC ．400 m/hD ．1 200 m/h3．圆的面积S 关于半径r 的函数是S ＝πr 2，那么在r ＝3时面积的变化率是( ) A ．6 B ．9 C ．9πD ．6π4．某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在 2 s 内完成刹车，其位移(单位：m)关于时间(单位：s)的函数为s (t )＝－13t 3－4t 2＋20t ＋15，则s ′(1)的实际意义为( )A ．汽车刹车后1 s 内的位移B ．汽车刹车后1 s 内的平均速度C ．汽车刹车后1 s 时的瞬时速度D ．汽车刹车后1 s 时的位移5．正方形的周长y 关于边长x 的函数是y ＝4x ，则y ′＝______，其实际意义是______________________．6．某汽车的路程函数是s ＝2t 3－12gt 2(g ＝10 m/s 2)，则当t ＝2 s 时，汽车的加速度是________m/s 2.7．某厂生产某种产品x 件的总成本c (x )＝120＋x 10＋x 2100(元)．(1)当x 从200变到220时，总成本c 关于产量x 的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？(2)求c ′(200)，并解释它代表什么实际意义．8．江轮逆水上行300 km ，水速为6 km/h ，船相对于水的速度为x km/h ，已知船航行时每小时的耗油量为0.01x 2L ，即与船相对于水的速度的平方成正比．(1)试写出江轮在此行程中耗油量y 关于船相对于水的速度x 的函数关系式：y ＝f (x )； (2)求f ′(36)，并解释它的实际意义(船的实际速度＝船相对水的速度－水速)．答 案1．选C s ′(t )＝2t －1，∴s ′(3)＝2³3－1＝5. 2．选C ∵h ′＝－200t ＋800，∴当t ＝2 h 时，h ′(2)＝－200³2＋800＝400(m/h)． 3．选D ∵S ′＝2πr ，∴S ′(3)＝2π³3＝6π.4．选C 由导数的实际意义知，位移关于时间的瞬时变化率为该时刻的瞬时速度． 5．4 边长每增加1个单位长度，周长增加4个单位长度 6．解析：v (t )＝s ′(t )＝6t 2－gt ，a (t )＝v ′(t )＝12t －g ， ∴a (2)＝12³2－10＝14(m/s 2)． 答案：147．解：(1)当x 从200变到220时，总成本c 从c (200)＝540元变到c (220)＝626元． 此时总成本c 关于产量x 的平均变化率为c 220 －c 200 220－200＝8620＝4.3(元/件)，它表示产量从x ＝200件变化到x ＝220件时，平均每件的成本为4.3元．(2)c ′(x )＝110＋x 50，于是c ′(200)＝110＋4＝4.1(元/件)．它指的是当产量为200件时，每多生产一件产品，需增加4.1元成本． 8．解：(1)船的实际速度为(x －6)km/h ，故全程用时300x －6 h ，所以耗油量y 关于x 的函数关系式为y ＝f (x )＝300³0.01x 2x －6＝3x2x －6(x >6)．(2)f ′(x )＝3²2x x －6 －x 2x －6 2＝3x x －12x －62，f ′(36)＝3³36³ 36－12 36－6 2＝2.88⎝ ⎛⎭⎪⎫L km/h ，f ′(36)表示当船相对于水的速度为36 km/h 时耗油量增加的速度为2.88Lkm/h，也就是说当船相对于水的速度为36 km/h 时，船的航行速度每增加1 km/h ，耗油量就要增加2.88 L.课时跟踪训练(十三) 最大值、最小值问题1．函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的最大值是M ，最小值是m ，若M ＝m ，则f ′(x )( ) A ．等于0 B ．大于0 C ．小于0D ．以上都有可能2．函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a 在区间[0,2]上的最大值是3，则a 的值为( ) A ．2 B ．1 C ．－2D ．－13．函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为( )C ．[1， D.(1，4.如图，将直径为d 的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x 的积成正比(强度系数为k ，k >0)．要将直径为d 的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x 应为( )A.d3 B.d2 C.33d D.22d5．设x 0是函数f (x )＝12(e x ＋e －x)的最小值点，则曲线上点(x 0，f (x 0))处的切线方程是________．6．已知函数f (x )＝x 3－12x ＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M －m ＝________.7．求函数f (x )＝e x(3－x 2)在区间[2,5]上的最值．8．(江苏高考)请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E ，F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE ＝FB ＝x (cm)．(1)若广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问：x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问：x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．答 案1．选A2．选B f ′(x )＝3x 2－2x －1，令f ′(x )＝0，解得x ＝－13(舍去)或x ＝1，又f (0)＝a ，f (1)＝a －1，f (2)＝a ＋2，则f (2)最大，即a ＋2＝3，所以a ＝1. 3．选A f ′(x )＝12e x (sin x ＋cos x )＋12e x (cos x －sin x )＝e xcos x ，当0≤x ≤π2时，f ′(x )≥0，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数．∴f (x )的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝12e π2，f (x )的最小值为f (0)＝12.4．选C 设断面高为h ，则h 2＝d 2－x 2.设横梁的强度函数为f (x )，则f (x )＝k ²xh 2＝k ²x (d 2－x 2)，0<x <d .令f ′(x )＝k (d 2－3x 2)＝0，解得x ＝±33d (舍去负值)．当0<x <33d 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当33d <x <d 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．所以函数f (x )在定义域(0，d )内只有一个极大值点x ＝33d .所以x ＝33d 时，f (x )有最大值，故选C. 5．解析：f ′(x )＝12(e x －e －x)，令f ′(x )＝0，∴x ＝0，可知x 0＝0为最小值点．切点为(0,1)，f ′(0)＝0为切线斜率， ∴切线方程为y ＝1. 答案：y ＝16．解析：令f ′(x )＝3x 2－12＝0，解得x ＝±2.计算f (－3)＝17，f (－2)＝24，f (2)＝－8，f (3)＝－1，所以M ＝24，m ＝－8，故M －m ＝32. 答案：327．解：∵f (x )＝3e x －e x x 2，∴f ′(x )＝3e x －(e x x 2＋2e x x )＝－e x (x 2＋2x －3)＝－e x(x ＋3)(x －1)，∵在区间[2,5]上，f ′(x )＝－e x(x ＋3)(x －1)<0，即函数f (x )在区间[2,5]上单调递减， ∴x ＝2时，函数f (x )取得最大值f (2)＝－e 2；x ＝5时，函数f (x )取得最小值f (5)＝－22e 5.8．解：设包装盒的高为h (cm)，底面边长为a (cm)． 由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x2＝2(30－x )，0＜x ＜30. (1)S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1 800， 所以当x ＝15时，S 取得最大值．(2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V ′＝62x (20－x )． 由V ′＝0得x ＝0(舍去)或x ＝20.当x ∈(0,20)时，V ′＞0；当x ∈(20,30)时，V ′＜0.。
2018-2019学年北师大版高中数学选修2-2同步配套(课件+练习+检测)：1
1.2类比推理1.在等差数列{a n}中,若a n>0,公差d>0,则有a4·a6>a3·a7,类比上述性质,在等比数列{b n}中,若b n>0,公比q>1,则关于b4,b5,b7,b8的不等关系正确的是()A.b4+b8>b5+b7B.b4+b8<b5+b7C.b4+b7>b5+b8D.b4+b7<b5+b8解析:在等差数列{a n}中,当4+6=3+7时有a4·a6>a3·a7,在等比数列{b n}中,由于4+8=5+7,易知b4+b8>b5+b7正确,选A.答案:A2.在平面直角坐标系中,方程xa +yb=1表示在x轴、y轴上的截距分别为a,b的直线,拓展到空间,在x轴、y轴、z轴上的截距分别为a,b,c(abc≠0)的方程为()A.xa +yb+zc=1 B.xab+ybc+zac=1C.xy ab +yzbc+zxca=1 D.ax+by+cz=1解析:由类比推理可知,方程应为xa +yb+zc=1.答案:A3.已知三角形的面积为S=12(a+b+c)r,其中a,b,c为三角形的边长,r为三角形内切圆的半径,则利用类比推理可以得出四面体的体积为()A.V=13abcB.V=13ShC.V=13(S1+S2+S3+S4)r(S1,S2,S3,S4为四个面的面积,r为内切球的半径)D.V=13(ab+bc+ac)h(h为四面体的高)解析:设△ABC的内心为O,连接OA,OB,OC,将△ABC分割为三个小三角形,这三个小三角形的高都是r,底边长分别为a,b,c;类比:设四面体A-BCD的内切球的球心为O,连接OA,OB,OC,OD,将四面体分割为四个以O为顶点,以原来面为底面的四面体,高都为内切球的半径r,所以有V=13(S1+S2+S3+S4)r.答案:C4.下列类比错误的是()A.三角形的两边中点连线得到的中位线平行且等于第三边的一半,类似地,三棱锥的中截面的面积等于底面面积的一半B.三角形的两边中点连线得到的中位线平行且等于第三边的一半,类似地,三棱锥的中截面的面积等于底面面积的14C.三角形被平行于一边的直线所截得的三角形与原三角形相似,面积比等于相似比的平方,类似地,棱锥被平行于底面的平面所截得的截面与底面相似,体积比等于顶点到截面的距离与原棱锥高的比的立方D.梯形的中位线等于两底边长和的一半,类似地,圆台的中截面半径等于上、下两底面半径和的一半解析:选项A 错误,三棱锥的中截面的面积等于底面面积的14. 答案:A5.在平面直角坐标系xOy 中,满足x 2+y 2≤1,x ≥0,y ≥0的点P (x ,y )的集合对应的平面图形的面积为π4;通过类比可知,在空间直角坐标系O-xyz 中,满足x 2+y 2+z 2≤1,x ≥0,y ≥0,z ≥0的点P (x ,y ,z )的集合对应的空间几何体的体积为( ) A .π8B .π6C .π4D .π3解析:通过类比可知,在空间直角坐标系O-xyz 中,满足x 2+y 2+z 2≤1,x ≥0,y ≥0,z ≥0的点P (x ,y )的集合对应的空间几何体的体积为半径为1的球的体积的18,即18×43π×13=π6,故选B . 答案:B6.在平面几何里,可以得出正确结论:“正三角形的内切圆半径等于这个正三角形的高的13”.拓展到空间,类比平面几何的上述结论,则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的 . 解析:三角形有三条边→13;而正四面体有四个面→14,可采用分割法证明. 答案:147.在△ABC 中,角C 的平分线CE 交AB 于点E ,且分△ABC 的面积所成的比为S△AEC S △BEC =ACBC ,将这个结论类比到空间:在三棱锥A-BCD 中,平面DEC 平分二面角A-CD-B ,且与AB 交于点E ,则V A -CDEV B -CDE= .解析:平面中的面积类比到空间为体积,故S △AEC S △BEC 类比成V A -CDE V B -CDE .平面中的线段长类比到空间为面积,故ACBC类比成S △ACD S △BCD .故有V A -CDE V B -CDE =S△ACD S △BCD .答案:S△ACD S △BCD8.设等边三角形ABC 的边长为a ,P 是△ABC 内的任意一点,且点P 到三边AB ,BC ,CA 的距离分别为d 1,d 2,d 3,则有d 1+d 2+d 3为定值√32a ;由以上平面图形的特性类比空间图形:设正四面体ABCD 的棱长为a ,P 是正四面体ABCD 内的任意一点,且点P 到四个平面ABC ,ABD ,ACD ,BCD 的距离分别为d 1,d 2,d 3,d 4,讨论d 1+d 2+d 3+d 4是否为定值,若是,求出这个定值. 解是定值.因为每个面的面积为√34a 2,所以正四面体被分成以P 为顶点,各侧面为底面的四个三棱锥,故√34a 2(d 1+d 2+d 3+d 4)=√34a 2·h (h 为正四面体的高),即d 1+d 2+d 3+d 4=h (定值).由立体几何知识求得h=√63a ,故d 1+d 2+d 3+d 4=h=√63a (定值). ★9.(1)椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)与x 轴交于A ,B 两点,点P 是椭圆C 上异于A ,B 的任意一点,直线PA ,PB 分别与y 轴交于点M ,N ,求证:AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值b 2-a 2. (2)类比(1)可得如下真命题:双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)与x 轴交于A ,B 两点,点P 是双曲线C 上异于A ,B 的任意一点,直线PA ,PB 分别与y 轴交于点M ,N ,则AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值,请写出这个定值(不要求写出解题过程).解(1)证明如下:设点P (x 0,y 0)(x 0≠±a ),A (-a ,0),B (a ,0),所以直线PA 的方程为y=yx 0+a (x+a ).令x=0,得y M =ay 0x 0+a .同理可得y N =-ay 0x 0-a ,所以y M y N =a 2y 02a 2-x 02.又点P (x 0,y 0)在椭圆上,所以x 02a 2+y 02b2=1,因此y 02=b 2a2(a 2-x 02),所以y M y N =a 2y 02a 2-x 02=b 2.因为AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ,y N ),BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-a ,y M ),所以AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-a 2+y M y N =b 2-a 2.(2)-(a 2+b 2). ★10.如图,已知O 是△ABC 内的任意一点,连接AO ,BO ,CO ,并延长分别交对边于点A',B',C',则OA 'AA '+OB 'BB '+OC 'CC '=1. 这是平面几何中的一道题,其证明常采用“面积法”.OA 'AA '+OB 'BB '+OC 'CC '=S △OBC S △ABC +S △OCA S △ABC +V △OAB S △ABC =S△ABC S △ABC=1. 请运用类比思想,对于空间中的四面体V-BCD ,存在什么类似的结论?并用体积法证明. 解在四面体V-BCD 中,任取一点O ,连接VO ,DO ,BO ,CO ,并延长分别交四个面于点E ,F ,G ,H ,则OEVE +OFDF +OGBG +OHCH =1.证明:在四面体O-BCD与V-BCD中,设点O,V到平面BCD的距离分别为h1,h,则OEVE =ℎ1ℎ=13S△BCD·ℎ113S△BCD·ℎ=V O-BCDV V-BCD,同理有OFDF =V O-VBCV D-VBC,OGBG=V O-VCDV B-VCD,OHCH=V O-VBDV C-VBD,∴OEVE +OFDF+OGBG+OHC H=V O-BCD+V O-VBC+V O-VCD+V O-VBDV V-BCD =V V-BCDV V-BCD=1.。
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知识建构
综合应用
真题放送
合情推理 归纳推理
推理
类比推理
演绎推理
推理与证明
综合法
直接证明
分析法
证明
间接证明:反证法
数学归纳法
专题一 专题二 专题三 专题四
知识建构
综合应用
真题放送
专题一 归纳与类比 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比 较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理.虽然猜想是否 正确还有待严格的证明,但是这个猜想可以为我们的研究提供一种 方向.
知识建构
综合应用
真题放送
专题一 专题二 专题三 专题四
应用1对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”,可类比猜想 出:正四面体的内切球切于四个面所在正三角形的位置是( )
A.各正三角形内的任一点 B.各正三角形的中心 C.各正三角形边上的任一点 D.各正三角形的某中线的中点 提示:空间中的问题可以类比平面中的问题解决. 解析:正三角形类比正四面体,正三角形的三边类比正四面体的 四个面,三边的中点类比正三角形的中心. 答案:B
(2)假设 n=k(k≥1,k∈N+)时,2≤xk<3 成立,
则当
n=k+1
时,xk+1=
4������������+3 ������������+2
=
4
−
������������5+2,
由 2≤xk<3,得 4≤xk+2<5,
所以
1<
5 ������������+2
≤
54,
故
2<
141≤4−
高中数学课时跟踪训练(三)反证法北师大版选修2-2(new)
课时跟踪训练(三）反证法1．三人同行，一人道：“三人行，必有我师”，另一人想表示反对，他该怎么说？（)A．三人行,必无我师B．三人行,均为我师C．三人行，未尝有我师D．三人行，至多一人为我师2．（山东高考)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根3．若a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断：①（a－b)2＋(b－c）2＋（c－a）2≠0；②a〉b与a〈b及a＝b中至少有一个成立；③a≠c,b≠c，a≠b不能同时成立．其中判断正确的个数是( ）A．0 B．1C．2 D．34．已知x〉0，y>0,z〉0，a＝x＋错误!，b＝y＋错误!，c＝z＋错误!，则a，b，c三个数( )A．至少有一个不大于2B．都小于2C．至少有一个不小于2D．都大于25．用反证法证明命题“若a2＋b2＝0,则a,b全为0(a，b为实数)"，其反设为____________________．6．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C〉180°，这与三角形内角和为180°矛盾,故假设错误．②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°。
上述步骤的正确顺序为________．7．如果非零实数a,b，c两两不相等，且2b＝a＋c，证明：错误!＝错误!＋错误!不成立．8．已知函数f(x）＝a x＋错误!（a〉1）．(1）求证：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．（2)用反证法证明方程f（x）＝0没有负数根．答案1．选C “必有”意思为“一定有"，其否定应该是“不一定有”，故选C.2．选A 至少有一个实根的否定是没有实根,故要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．3．选C 因为a，b，c不全相等，所以①正确；②显然正确，③中的a≠c,b≠c，a≠b 可以同时成立，所以③错，故选C。
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2.2 分析法1.已知a ,b 是不相等的正数,x=√a+√b √2,y=√a +b ,则x ,y 的关系是( ) A.x>y B.x<y C.x>√2yD.不确定 解析:∵x>0,y>0,∴要比较x ,y 的大小,只需比较x 2,y 2的大小,即比较a+b+2√ab 2与a+b 的大小. ∵a ,b 为不相等的正数,∴2√ab <a+b. ∴a+b+2√ab 2<a+b ,即x 2<y 2.故x<y.答案:B2.分析法又叫执果索因法,若使用分析法证明:若a>b>c ,且a+b+c=0,求证:√b 2-ac <√3a 索的因应是( )A.a-b>0B.a-c>0C.(a-b )(a-c )>0D.(a-b )(a-c )<0解析:要证√b 2-ac <√3a ,只需证b 2-ac<3a 2.∵b=-(a+c ),∴只需证(a+c )2-ac<3a 2.即只需证c 2+ac<2a 2,即只需证(c+2a )(c-a )<0.∵c=-a-b ,∴只需证(a-b )(c-a )<0.即只需(a-b )(a-c )>0,故选C .答案:C3.若x ,y 为正实数,且√x +√y ≤a √x +y 恒成立,则a 的最小值是( )A.2√2B.√2C.2D.1解析:∵x ,y 为正实数,∴要使√x +√y ≤a √x +y 恒成立,只需a ≥√x+√y√x+y 恒成立.∵(√x+√y √x+y )2=x+y+2√xy x+y =1+2√xy x+y ≤2,当且仅当x=y 时,等号成立,∴√x+√y√x+y ≤√2.故a ≥√2.答案:B 4.已知x ,y 为正实数,当x 2+y 2= 时,有x √1-y 2+y √1-x 2=1. 解析:要使x √1-y 2+y √1-x 2=1,只需x 2(1-y 2)=1+y 2(1-x 2)-2y √1-x 2,即2y √1-x 2=1-x 2+y 2.只需(√1-x2-y)2=0,即√1-x2=y,故x2+y2=1.答案:15.设n∈N,a=√n+4−√n+3,b=√n+2−√n+1,则a,b的大小关系是.解析:要比较√n+4−√n+3与√n+2−√n+1的大小,即判断(√n+4−√n+3)-(√n+2−√n+1)=(√n+4+√n+1)-(√n+3+√n+2)的符号.∵(√n+4+√n+1)2-(√n+3+√n+2)2=2[√(n+4)(n+1)−√(n+3)(n+2)]=2(√n2+5n+4−√n2+5n+6)<0,∴√n+4−√n+3<√n+2−√n+1.答案:a<b6.若不等式(-1)n a<2+(-1)n+1n对任意正整数n恒成立,则实数a的取值范围是.解析:当n为偶数时,a<2-1n.∵2-1n ≥2-12=32,∴a<32.当n为奇数时,a>-2-1n.∵-2-1n<-2,∴a≥-2.综上可得-2≤a<32.答案:[-2,32)7.已知a,b为正实数,求证:√b√a≥√a+√b.证明要证明a√b +b√a≥√a+√b,只要证明a√a+b√b≥√ab(√a+√b),即证明(a+b-√ab)(√a+√b)≥√ab(√a+√b).因为a,b为正实数,所以只要证明a+b-√ab≥√ab.即证明a+b≥2√ab.当a,b为正实数时,a+b≥2√ab显然成立,当且仅当a=b时,等号成立,故a√b +b√a≥√a+√b.8.已知a>0,b>0,1b −1a>1.求证:√1+a>√1-b.证明由题意知1-b>0,要证明√1+a >√1-b 成立,只需证明1+a>11-b ,只需证明(1+a )(1-b )>1,即证明1-b+a-ab>1,即证明a-b>ab.∵a>0,b>0, ∴只需证明a -b ab >1,即1b −1a >1.由已知知1b −1a >1成立,故√1+a >1√1-b 成立.★9.已知a ,b ,c 均为大于1的正数,且ab=10,求证:log a c+log b c ≥4lg c. 证明由a>1,b>1,知要证明log a c+log b c ≥4lg c ,只需证明lga+lgblgalgb ·lg c ≥4lg c.因为c>1,所以lg c>0,即只需证明lga+lgblgalgb ≥4.又因为ab=10,所以lg a+lg b=1,即只需证明1lgalgb ≥4.(*) 由于a>1,b>1,则lg a>0,lg b>0,所以0<lg a lg b ≤(lga+lgb2)2=(12)2=14,当且仅当lg a=lg b=12时,取等号.即(*)式成立,故原不等式成立.。
2018-2019学年北师大版高中数学选修2-2同步配套(课件+练习+检测)：2
§5 简单复合函数的求导法则1.函数y=(x+2a )(x-a )2的导数为( )A.y'=2(x 2-a 2)B.y'=3(x 2+a 2)C.y'=3(x 2-a 2)D.y'=2(x 2+a 2) 解析:y'=(x+2a )'(x-a )2+(x+2a )·[(x-a )2]'=(x-a )2+(x+2a )·2(x -a )=(x-a )(x-a+2x+4a )=3(x 2-a 2).答案:C2.函数y=2sin 5x 的导数是( )A .y'=2cos 5xB .y'=-2cos 5xC .y'=10sin 5xD .y'=10cos 5x 解析:y'=(2sin 5x )'=2cos 5x ·(5x )'=10cos 5x. 答案:D3.若f (x )=e 2x ln 2x ,则f'(x )=( )A.e 2x ln 2x+e 2x 2xB.e 2x ln 2x+e 2x x C.2e 2x ln 2x+e 2x x D.2e 2x ·1x解析:f'(x )=(e 2x ·ln 2x )'=(e 2x )'ln 2x+e 2x ·(ln 2x )'=e 2x ·(2x )'ln 2x+e 2x ·12x (2x )'=2e 2x ln 2x+e 2x x .答案:C4.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断减少,这种现象称为衰变.假设在放射性同位素铯137的衰变过程中,其含量M (单位:太贝克)与时间t (单位:年)满足函数关系:M (t )=M 02-t30,其中M 0为t=0时铯137的含量,已知t=30时,铯137的含量的变化率是-10ln 2(太贝克/年),则M (60)=( )A.5太贝克B.75ln 2太贝克C.150ln 2太贝克D.150太贝克解析:因为M'(t )=-130ln 2×2-t 30M 0,所以M'(30)=-130ln 2×2-3030M 0=-10ln 2,解得M 0=600.所以M (t )=600×2-t 30,故M (60)=600×2-6030=600×14=150(太贝克).答案:D★5.已知函数f (x )在R 上满足f (x )=2f (2-x )-x 2+8x-8,则曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程是 ( )A.y=2x-1B.y=xC.y=3x-2D.y=-2x+3解析:(方法一)由f (x )=2f (2-x )-x 2+8x-8,得f (2-x )=2f (x )-(2-x )2+8(2-x )-8,即2f (x )-f (2-x )=x 2+4x -4,故f (x )=x 2,f'(x )=2x.当x=1时,f'(1)=2.故切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.(方法二)对函数f (x )=2f (2-x )-x 2+8x-8两边关于x 求导,得f'(x )=-2f'(2-x )-2x+8,于是f'(1)=-2f'(1)-2+8,解得f'(1)=2.在已知函数解析式中,令x=1,得f (1)=2f (1)-1+8-8,解得f (1)=1,即切点坐标是(1,1),故切线方程为y=2x-1.答案:A 6.曲线f (x )=e x-1在点(1,1)处的切线的倾斜角的度数为 . 解析:f'(x )=e x-1·(x-1)'=e x-1,f'(1)=e 0=1,即切线的斜率为1,倾斜角为45°.答案:45° 7.已知函数f (x )={ax 2+bx +c (x ≥-1),f (-x -2)(x <-1),若曲线f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线f (x )在点(-3,f (-3))处的切线方程为 .解析:在y=2x +1中,令x=1,得y=3,即f (1)=3,即a+b+c=3.对函数f (x )=a x 2+bx+c 求导,得f'(x )=2ax+b ,则f'(1)=2a+b=2.由已知,得f (-3)=f (3-2)=f (1)=3,对函数f (x )=f (-x-2)求导,得f'(x )=-f'(-x-2),故f'(-3)=-f'(3-2)=-2,曲线f (x )在点(-3,f (-3))处的切线方程为y-3=-2(x+3),即y=-2x-3.答案:y=-2x-38.若函数f (x )=3sin 2(2x +π3)+5,则f'(π6)= . 解析:∵f (x )=3sin 2(2x +π3)+5 =32[1-cos (4x +2π3)]+5 =132−32cos (4x +2π3), ∴f'(x )=-32[cos (4x +2π3)]′(4x +2π3)' =32sin (4x +2π3)·4=6sin (4x +2π3),∴f'(π6)=6sin(4π6+2π3)=6sin4π3=-6×√32=-3√3.答案:-39.求函数y=ln(2x+3)的导数,并求该函数在点(-12,ln2)处的切线的倾斜角.解令y=ln u,u=2x+3,则y'x=(ln u)'·(2x+3)'=1u ·2=22x+3.当x=-12时,y'=23-1=1,即函数在点(-12,ln2)处的切线的倾斜角的正切值为1,故倾斜角为π4.★10.求曲线y=f(x)=e-2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积.解依题意得f'(x)=e-2x×(-2)=-2e-2x,f'(0)=-2e-2×0=-2,故曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线方程是y-2=-2x,即y=-2x+2.在平面直角坐标系中画出直线y=-2x+2,y=0与y=x,注意到直线y=-2x+2与y=x的交点坐标是(2 3,23),直线y=-2x+2与x轴的交点坐标是(1,0).结合图形可知,这三条直线所围成的三角形的面积为12×1×23=13.。
2019-2020学年度最新北师大版数学选修2-2课时跟踪训练：(十八)复数的四则运算
(2)a为何值时，复数z2对应的点在第一象限？
答案
1．选B原式＝ ＋ i＝2－2i.
2．选B因为 ＝1－ai，所以 ＝2，又a>0，故a＝ .故选B.
3．选D ＋ ＝ 3＋
＝i＋i＝2i.故选D.
4．选C(1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝(2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0.
＝4i(4＋5i)
＝－20＋16i.
(2) ＝ ＝ ＝1－i.
8．解：(1)由已知得z－2＝ ＝1－ai，
∴z＝3－ai.
(2)由(1)得z2＝9－a2－6ai，
∵复数z2对应的点在第一象限，
∴ 解得－3<a<0.
即当－3<a<0时，复数z2对应的点在第一象限．
5．解析：因为(a＋i)(1＋i)＝a－1＋(a＋1)i＝bi，a，b∈R，所以 解得 所以a＋bi＝1＋2i.
答案：1＋2i
6．解析：由题得z－ i－ zi－1＝0，
则z＝ ＝－ ＋ i，
所以＋z2＝－ ＋ i＋ 2＝－1.
答案：－1
7．解：(1)( ＋ i)2(4＋5i)＝2(1＋i)2(4＋5i)
2019-2020学年度最新北师大版数学选修2-2课时跟踪训练：（十八）复数的四则运算
1．(1＋2i)＋ － ＝()
A．－2iB．2－2i
C．2＋2iD．2
2．已知a为正实数，i为虚数单位，若 的模为2，则a＝()
A．2B.
C. D．1
3．计算： ＋ ＝()
A．0B．1
C．iD．2i
4．(1＋i)20－(1－i)20的值是()
A．－1 024B．1 024
2018-2019学年北师大版高中数学选修2-2同步配套(课件+练习+检测)：5.2.2
2.2 复数的乘法与除法1.若z=10i 3+i ,则z 的共轭复数为( )A .-1+3iB .-1-3iC .1+3iD .1-3i解析:z=10i 3+i =10i (3-i )(3+i )(3-i )=30i+1032+12=1+3i,z =1-3i,选D .答案:D2.已知(x+i)(1-i)=y ,则实数x ,y 分别为( )A.x=-1,y=1B.x=-1,y=2C.x=1,y=1D.x=1,y=2解析:由x ,y 为实数,且(x+i)(1-i)=y ,得x+1+(1-x )i =y.由{y =x +1,1-x =0,得{x =1,y =2.答案:D3.在复平面内,复数(2-i)2对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:∵(2-i)2=3-4i,∴该复数对应的点位于第四象限,故选D .答案:D4.复数z 满足(z-i)(2-i)=5,则z=( )A.-2-2iB.-2+2iC.2-2iD.2+2i解析:因为z-i =52-i =5(2+i )(2-i )(2+i )=2+i,所以z=2+2i .答案:D5.设i 是虚数单位,z 表示复数z 的共轭复数.若z=1+i,则zi +i·z =() A .-2 B .-2i C .2 D .2i解析:原式=1+ii +i(1-i)=-i +1+i +1=2.答案:C6.满足z+iz =i(i 为虚数单位)的复数z=( )A.12+12i B.12−12iC.-12+12i D.-12−12i解析:由已知,得z+i =z i,则z (1-i)=-i,即z=-i1-i =-i (1+i )(1-i )(1+i )=1-i 2=12−12i .故选B .答案:B7.已知复数z=5i 1+2i (i 是虚数单位),则|z|= .解析:z=5i 1+2i =5i (1-2i )(1+2i )(1-2i )=2+i,故|z|=√12+22=√5.答案:√58.若z=i -1是方程z 2+az+b=0的一个根,则实数a ,b 的值分别为 , .解析:把z=i -1代入方程z 2+az+b=0,得(-a+b )+(a-2)i =0,即{-a +b =0,a -2=0,解得{a =2,b =2.答案:2 29.已知复数z=3+b i(b ∈R ),且(1+3i)·z 为纯虚数.(1)求复数z ;(2)若w=z 2+i ,求复数w 的模|w|. 解(1)(1+3i)·(3+b i)=(3-3b )+(9+b )i .因为(1+3i)·z 为纯虚数,所以3-3b=0,且9+b ≠0,所以b=1,所以z=3+i .(2)w=3+i 2+i =(3+i )·(2-i )(2+i )·(2-i )=7-i 5=75−15i,所以|w|=√(75)2+(-15)2=√2. 10.已知x ,y ∈R ,且x 1+i +y 1+2i =51+3i ,求x ,y 的值. 解x 1+i +y 1+2i =51+3i 可写成x (1-i )2+y (1-2i )5=5(1-3i )10, 则5x (1-i)+2y (1-2i)=5-15i,(5x+2y )-(5x+4y )i =5-15i .故{5x +2y =5,5x +4y =15,解得{x =-1,y =5. ★11.设z ∈C ,|z|=1,且z ≠±1,试判断z -1z+1是否为纯虚数,请说明理由.解是纯虚数.理由如下: 设z=a+b i(a,b∈R).∵|z|=1,且z≠±1,∴a2+b2=1,且b≠0.z-1 z+1=(a-1)+bi(a+1)+bi=[(a-1)+bi][(a+1)-bi](a+1)2+b2=(a2+b2-1)+2bi(a+1)2+b2=2bi(a+1)2+b2≠0.故z-1z+1为纯虚数.。
2018-2019学年北师大版高中数学选修2-2同步配套(课件+练习+检测)：4
§2 微积分基本定理1.∫ π0(cos x+1)d x 等于( )A.1B.0C.π+1D.π解析:∫ π0(cos x+1)d x=∫ π0cos x d x+∫ π01d x=sin x |π0+x |π0=π.答案:D2.∫ 40|x 2-2x|d x=( )A .643B .0C .8D .16解析:∵f (x )=|x 2-2x|={2x -x 2,0≤x ≤2,x 2-2x ,2<x ≤4,∴∫ 40|x 2-2x|d x=∫ 20(2x-x 2)d x+∫ 42(x 2-2x )d x=(x 2-13x 3)|02+(13x 3-x 2)|24=8.答案:C3.若∫ a 1(2x +1x )d x=3+ln 2,则a 的值是( )A.6B.4C.3D.2解析:∫ a1(2x +1x )d x=∫ a 12x d x+∫ a 11x d x=x 2|1a +ln |x||1a=a 2-1+ln a=3+ln 2.故a=2.答案:D4.若f (x )={f (x -5)(x >0),2x +∫cos π603tdt (x ≤0),则f (2 015)等于 ( ) A.1 B.2 C.43 D.53解析:∫ π60cos 3t d t=sin3t3|0π6=13,f (2 015)=f (0)=20+13=43.答案:C5.已知f (x )是一次函数,且∫ 10f (x )d x=5,∫ 10xf (x )d x=176,则f (x )的解析式为() A.f (x )=4x+3 B.f (x )=3x+4C.f(x)=-4x+2D.f(x)=-3x+4 解析:设f(x)=ax+b(a≠0),则∫10f(x)d x=∫1(ax+b)d x=(12ax2+bx)|01=12a+b=5,①∫1 0xf(x)d x=∫1(ax2+bx)d x=(13ax3+12bx2)|01=13a+12b=176.②联立①②,解得a=4,b=3,故f(x)=4x+3.答案:A6.∫π20sin2x2d x等于()A.π4B.π2-1 C.2 D.π-24解析:∫π20sin2x2d x=∫π21-cosx2d x=12(x-sin x)|π2=π-24.答案:D7.∫2(3x2+k)d x=10,则k=.解析:∫2(3x2+k)d x=(x3+kx)|02=10,则k=1.答案:18.∫422x ln 2d x=.解析:∫422x ln 2d x=2x|24=24-22=12.答案:129.若f(x)在R上可导,f(x)=x2+2f'(2)x+3,则∫3f(x)d x=.解析:∵f'(x)=2x+2f'(2),∴f'(2)=4+2f'(2).∴f'(2)=-4.∴f(x)=x2-8x+3.∴∫30f(x)d x=∫3(x2-8x+3)d x=(13x3-4x2+3x)|3=-18.答案:-1810.求下列定积分: (1)∫a-a√x2d x(a>0);(2)∫21(t+2)d x.分析(1)利用定积分的性质和微积分基本定理求值,但要根据积分变量的范围,用好被积函数的解析式.(2)在求被积函数的原函数时,要注意积分变量是x ,而不是t.解(1)由√x 2={x , x ≥0,-x ,x <0,得∫ a -a √x 2d x=∫ a 0x d x+∫ 0-a (-x )d x=12x 2|0a −12x 2|-a 0=a 2. (2)∫ 21(t+2)d x=(tx+2x )|12=(2t+4)-(t+2)=t+2. ★11.已知f (a )=∫ 10(2ax 2-a 2x )d x ,求f (a )的最大值.解由题意知f (a )=∫ 10(2ax 2-a 2x )d x =(23ax 3-12a 2x 2)|01=23a-12a 2. ∴f (a )=23a-12a 2=-12(a -23)2+29. ∴当a=23时,f (a )max =29.★12.如图,直线y=kx 分抛物线y=4x-x 2与x 轴所围平面图形为面积相等的两部分,求k 的值. 解抛物线y=4x-x 2与x 轴的两个交点的横坐标分别为x 1=0,x 2=4,所以抛物线与x 轴所围平面图形的面积S=∫ 40(4x-x 2)d x=(2x 2-x 33)|04=32-643=323. 抛物线y=4x-x 2与直线y=kx 的两个交点的横坐标分别为x 3=0,x 4=4-k ,所以S 2=∫ 4-k 0(4x-x 2)d x-∫ 4-k 0kx d x =∫ 4-k 0(4x-x 2-kx )d x=(4-k 2x 2-x 33)|04-k =16(4-k )3. 又知S=323,所以16(4-k )3=163,于是k=4-√323=4-2√43.。
高中数学北师大版选修2-2同步配套课时跟踪训练(七) 计算导数 Word版含解析
课时跟踪训练(七) 计算导数
．设函数()＝，则′＝( )
．
．
．以上均不正确
．－
．下列各式中正确的是( )
．()′＝)
．()′＝
．()′＝
．()′＝·
．已知()＝α，若′(－)＝－，则α的值是( )
．
．－
．不确定
．±
．设曲线＝在点(，)处的切线与直线－－＝平行，则＝( )
．
．－
．－
．若()＝，()＝，则适合′()＋＝′()的值为．
．正弦曲线＝ (∈(π))上切线斜率等于的点为．．求与曲线＝()＝在点()处的切线垂直，且过点()的直线方程．
．求下列函数的导数：
()＝－；
()＝－ .
答案
．选注意此题中是先求函数值再求导，所以导数是，故答案为.
．选由()′＝)，可知，均错；由()′＝可知正确．
．选′()＝αα－，′(－)＝α(－)α－＝－，∴α＝.
．选因为′＝，
所以切线的斜率＝′＝＝.
又由题设条件知切线的斜率为，
即＝，即＝，故选.
．解析：由导数的公式知，′()＝，′()＝.
因为′()＋＝′()，所以＋＝，
即－－＝，解得＝或＝－.
答案：或－
．解析：∵′＝( )′＝＝，
∵∈(π)，
∴＝或.
答案：或
．解：∵＝，
∴′＝()′＝()′＝.
∴′()＝·＝.
即曲线在点()处的切线的斜率为.
∴适合条件的直线的斜率为－.
从而适合条件的直线方程为－＝－(－)．
即＋－＝.．解：()∵＝－＝，
∴′＝()′＝).
()＝－
＝
＝＝，
∴′＝ .。
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1．选AΔy＝f(2＋Δx)－f(2)＝－3Δx， ＝－3，Δx趋于0时， 趋于－3.
2．选Af′(2)＝
＝ ＝1，
∴过点(2,1)的切线方程为y－1＝1·(x－2)，
即x－y－1＝0.故选A.
3．选B由y＝x3得 ＝ ＝ ＝3x2＋3x·Δx＋(Δx)2，则y′＝li [3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2，由3x2＝3，得x＝±1，即存在2条斜率等于3且与曲线C相切的直线，故选B.
课时跟踪训练(六)导数的概念及其几何意义
1．函数y＝f(x)＝1－3x在x＝2处的导数为()
A．－3B．－2
C．－5D．－1
2．抛物线y＝ x2在点Q(2,1)处的切线方程为()
A．x－y－1＝0B．x＋y－3＝0
C．x－y＋1＝0D．x＋y－1＝0
3．已知曲线C：y＝x3的图像如图所示，则斜率等于3，且与曲线C相切的直线有()
4．选B由图像易知，点A，B处的切线斜率kA，kB满足kA<kB<0.由导数的几何意义，得f′(xA)<f′(xB)．
5．解析：设P(x0,2x ＋4x0)，
则f′(x0)＝
＝ ＝4x0＋4，
又∵f′(x0)＝16，
∴4x0＋4＝16，∴x0＝3，∴P(3,30)．
答案：(3,30)
6．解析：由导数的概念和几何意义知， ＝f′(1)＝kAB＝ ＝－2.
又直线x＋2y＋1＝0的斜率为－ ，由所求切线与该直线垂直得(2x0)· ＝－1，
得x0＝1，则y0＝x ＝1，
所以所求切线的方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
A．1条B．2条
C．3条D．不确定
4．已知函数y＝f(x)的图像如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是()
A．f′(xA)>f′(xB)B．f′(xA)<f′(xB)
C．f′(xA)＝f′(xB)D．不能确定
5．已知曲线y＝2x2＋4x在点P处切线斜率为16，则点P坐标为_ห้องสมุดไป่ตู้______．
6.如图，函数f(x)的图像是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则 ＝________.
7．已知点P(2，－1)在曲线f(x)＝ 上．求：
(1)曲线在点P处的切线的斜率；
(2)曲线在点P处的切线方程．
8．求与曲线y＝x2相切，且与直线x＋2y＋1＝0垂直的直线方程？
答案：－2
7．解：(1)将P(2，－1)的坐标代入f(x)＝ ，得t＝1，
∴f(x)＝ .
∴f′(2)＝
＝
＝ ＝1，
曲线在点P处的切线斜率为1.
(2)由(1)知曲线在点P处的切线方程为
y－(－1)＝x－2，即x－y－3＝0.
8．解：设切点为P(x0，y0)，可得所求切线的斜率
k＝ ＝ (2x0＋Δx)＝2x0，