2009年聊城高考模拟考试文

2009年聊城市高考模拟考试
数学试卷（文科）
说明：本试题满分150分，考试时间120分钟。

参考公式：棱锥的体积公式：Sh V 3
1
=
（S 为底面面积，h 为高） 第Ⅰ卷 （选择题
共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，选出
一个符合题目要求的选项。

）
1．设全集R U =，}A 2|{B }01
2
|{A ∈==<+-=x y y x x x x ，，，则=B A A ．（21，2） B ．（－1，2） C ．（2
1，4） D ．（－1，4）
2．已知实数b a ，满足i i bi a 2
11
271-=++（其中i 是虚数单位）
，若用n S 表示数列{bn a +}的前n 项和，则n S 的最大值是 A ．12
B ．14
C ．15
D ．16
3．从2009名学生中选取50名学生组成参观团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2009人中剔除9人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2009人中，每人入选的概率 A ．都相等，且为
40
1
B ．都相等，且为2009
50
C ．均不相等
D ．不全相等
4．设⎪⎩⎪
⎨⎧>+≤--=1111
21)(2
x x
x x x f ，，，则=)]21([f f
A ．5
9
-
B ．
2
1 C ．
13
4 D ．
41
25 5．一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积是
A ．3218+
B ．3712+
C ．3812+
D ．386+
6．若实数y x 、满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≤--≤≥-+03022a y ax y y x ，且22y x +的最大值等于34，则正实数a 的值
等于 A ．
5
3
B ．
4
3 C ．
3
5 D ．
3
4 7．使直线013)2(2
=+++y m x m 与直线03)2()2(=-++-y m x m 相互垂直的实数m 的值有 A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
8．已知向量，
=，p ：关于x
的方程02
=⋅++x 没有实数根，q ：的夹角)6
0[π
θ，∈，则p 是q 的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
9．已知函数)(x f 是（－∞，0）∪（0，＋∞）内的偶函数，且在区间（－∞，0）内，其导函数0)(>'x f 恒成立，则满足)2()(f x f ≤的实数x 的取值范围是 A ．2-≤x 或2≥x B ．22≤≤-x C ．2≤x
D ．2-≥x
10．连续掷两次骰子，以先后得到的点数n m ，作为点P （n m ，）的坐标，那么点P 落在
圆172
2
=+y x 外部的概率为 A ．
18
11
B ．
18
13
C ．
3
2
D ．
3
1 11．2008年3月份开始实施的新的《个人所得税法》规定：公民全月工贫，薪金所得不超
过2000元的部分免征个人工资、薪金所得税，超过2000元的部分需征税，设全月工资、薪金所得金额为x 元，前三级税率如下表：
若某人全月工资、薪金所得]4000 2500(，∈x ，则计算他的应缴税款y 关于x 的函数关系式为 A ．x y 15.0= B ．30015.0-=x y C ．2001.0-=x y
D ．2251.0-=x y
12．△ABC 中，c b a 、、分别是角A 、
B 、
C 的对边，1)6
2sin(2)(++=π
x x f ，
且2)A (=f ，1=b ，△ABC 的面积为
23，则A
sin a
的值为 A ．2
B ．32
C ．4
D ．72
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．有同一型号的汽车100辆，为了解这种汽车每耗油1L 所行驶路程的情况，现从中随机
抽出10辆在同一条件下进行耗油1L 所行驶路程试验，得到如下样本数据（单位：km ）：13.7，12.7，14.4，13.8，13.3，12.5，13.5，13.6，13.1，13.4．根据以上数据，可以估计该型号汽车每耗油1L 所行驶的路程的平均值是___________km 。

14．已知A （2，3），B （－1，5），且=AC 3
1
AB ，AB 3AD =，则CD 的坐标为_________。

15．过点M （
2
1
，1）的直线l 与圆C ：4)1(22=+-y x 交于A 、B 两点，C 为圆心，当ACB
∠最小时，直线l 的方程为______________________。

16．如下图甲，在△ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，D 是垂足，则BC BD AB 2
⋅=，该结
论称为射影定理。

如下图乙，在三棱锥A —BCD 中，AD ⊥平面ABC ，AO ⊥平面BCD ，O 为垂足，且O 在△BCD 内。

类比射影定理，探究ABC ∆S 、BCO ∆S 、BCD ∆S 这三者之间满足的关系式是______________________。

三、解答题（本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
向量)1 cos (sin ，x x a ωω+=，)sin )((x x f b ω，=，其中10<<ω，且b a //。

将)(x f 的图像沿x 轴向左平移4
π
个单位，沿y 轴向下平移21个单位，得到)(x g 的图
像，已知)(x g 的图像关于（4
π
，0）对称。

（1）求ω的值；
（2）求)(x g 在[0，π4]上的单调递增区间。

18．（本小题满分12分）
国际上钻石的重量计量单位为克拉。

已知某种钻石的价值v （美元）与其重量ω（克拉）的平方成正比，且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元。

（1）写出v 关于ω的函数关系式；
（2）若把一颗钻石切割成重量比为1︰3的两颗钻石，求价值损失的百分率； （3）试用你所学的数学知识证明：把一颗钻石切割成两颗钻石时，按重量比为1︰1
切割，价值损失的百分率最大。

（注：价值损失的百分率%100⨯-=
原有价值
现有价值
原有价值；在切割过程中的重量损
耗忽略不计。

）
19．（本小题满分12分）
已知数列{n a }的各项均为正数，观察程序框图，当105==k k ，时，分别有
115=
S 和21
10=S 。

令n a
n b 2=，求数列{n b }的前n 项和n S 。

在等腰梯形PDCB 中（如下图1），PB ＝3，DC ＝1，PD ＝BC ＝2，A 为PB 边上一点，DA ⊥PB 。

现将△PAD 沿AD 折起，使平面PAD ⊥平面ABCD （如下图2）。

（1）证明：平面PAD ⊥平面PCD ；
（2）试在棱PB 上确定一点M ，使截面AMC 把几何体P —ABCD 分成的两部分体积比
为4:5:MACB PDCMA =V V ；
（3）在点M 满足（2）的情况下，判断直线PD 是否平行于平面AMC ，并说明理由。

21．（本小题满分12分）
已知函数x a x x f ln )(2
-=在区间]2 1(，内是增函数，x a x x g -=)(区间
)1 0(，内是减函数。

（1）求)(x f 、)(x g 的表达式；
（2）求证：当0>x 时，方程32)()(2
+-=-x x x g x f 有唯一解。

22．（本小题满分14分）
已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b
y a x 的离心率为22，并且直线b x y +=是圆
C '：2)1(22=+-y x 的一条切线。

（1）求椭圆的方程； （2）过点S （0，3
1
-
），且斜率为k 的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，证明：以AB 为直径的圆恒过点T （0，1）？。