三元均值不等式求最值及绝对值不等式

三元均值不等式求最值及绝对值不等式
第一篇：三元均值不等式求最值及绝对值不等式
三元均值不等式求最值
三元均值不等式：
例
1、求函数y=2x 23+,(x>0)的最大值 x
例
2、求函数y=x21-x2(0<x<1)的最大值。

例
3、已知0<x<1，求函数y=-x3-x2+x+1的最大值。

例
4、已知0<x<2，求函数y=6x4-x2的最大值。

练习：
1、求函数y=2x
2、x>0时，求y=
3、求函数y=
4、若0<x<1, 求y=x
5、若a>b>0，求证：a+42()4+,(x∈R+)的最小值。

x6+3x2的最小值。

xax(a-2x)2,(0<x<)的最大值。

2(1-x2)的最大值。

1的最小值。

b(a-b)绝对值不等式
例
1、证明（1）
例
2、证明
例
3、证明
例
4、已知
例
5、已知
练习：
1、已知
2、已知
（2）a+b≥a-b a+b≥a+b，a-b≤a-b≤a+b。

a-b≤a-c+b-c。

ccx-a<,y-b<，求证(x+y)-(a+b)<c.22aax<,y<.求证：2x-3y<a。

46ccA-a<,B-b<.求证：(A-B)-(a-b)<c。

22ccx-a<,y-b<.求证：2x-3y-2a+3b<c。

46解含绝对值不等式
例
1、解不等式3x-1<x+2。

例
2、解不等式3x-1>2-x。

例
3、解不等式
例
4、解不等式
例
5、不等式
练习： 1、3-2x
223、x-2x-4<
14、x-1>x+2.2x+1+3x-2≥5。

x-2+x-1≥5。

x-1+x+3>a，对一切实数x都成立，求实数a的取值范围。

≤x+4.2、x+1≥2-x.5、7、x+x-2≥
46、x-1+x+3≥6.x+x+1<
28、x-x-4>2.课后练习
1．解下列不等式：
1（2）1<3x+4<7 212（3）2x-4<x+1（4）x-2x<x
2（1）2-3x≤
2．解不等式：（1）
3．解不等式：（1）
4．利用绝对值的几何意义，解决问题：要使不等式条件？
5．已知（1）
6．已知 7．已知 2x-1<x-1（2）
x+2>1 x-1x+1+x+2>3（2）x+2-x-1+3>0.x-4+x-3
333（2）A+B-C)-(a+b-c)<s.(A+B+C)-(a+b+c)<s；x<a,y<a.求证：xy<a.x<ch,y>c>0.求证：
x<h.ya+bab≤+.8．求证1+a+b1+a1+b9．已知a<1,b<1.求证：
a+b<1.1+ab210．若α,β为任意实数，c为正数，求证：α+β122≤(1+c)α+(1+)β.c2（α+β2≤α+β+2αβ，而αβ=cα⋅2212β≤ccα+2212βc）
第二篇：均值不等式求最值的类型及技巧
均值不等式求最值的类型及技巧
贵州顶效经济开发区中学
代敏
均值不等式a+b≥ab(a>0,b>0，当且仅当a=b时取等号）是一个重要的不等式，是求函数最2值的一个重要工具，也是高考中常考的一个重要知识点。

要能熟练地运用均值不等式求解一些函数的最值问题。

但是，有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解。

下面介绍一些常见的最值问题求解方法供参考。

一．配凑法 1.凑系数例1.当0<x<2时，求y=x(6-3x)的最大值。

分析：由0<x<2知6-3x>0，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子的积的形式，但其和x+(6-3x)=6-2x 不为定值，故须将y=x(6-3x)凑上一个系数即可。

解：y=x(6-3x)=2.凑项1[3x(6-3x)]≤1(3x+6-3x)2=3，当且仅当3x=6-3x，即x=1时取等号。

33251，求函数f(x)=4x-2+的最大值。

44x-51分析：由已知
4x-5<0，首先调整符号，又(4x-2)⋅不是定值，所以需对4x-2作凑项得到定
4x-5例2．已知x<值。

解：因为x<5，所以5-4x>0，所以4f(x)=4x-2+111=-(5-4x+)+3≤-2(5-4x)⋅+3=-2+3=1
4x-55-4x5-4x1，即x=1时取等号。

5-4x当且仅当5-4x=3.分离
x2-3x+1(x≠-1)的值域。

例3．求函数f(x)=x+1分析：本题看起来似无法运用均值不等式，但经过观察不妨将分子配方凑出x+1的形式，再将其分离求解。

5x2-3x+1(x+1)2-5(x+1)+5-5 =解：f(x)==(x+1)+x+1x+1x+1（1）当x+1>0，即x>-1时，f(x)≥2(x+1)⋅当且仅当x+1=5-5=25-5 x+15，即x=-1+5时取等号。

x+1（2）当x+1<0，即x<-1时，f(x)≤-2(x+1)⋅当且仅当x+1=5-5=-25-5 x+15，即x=-1-5时取等号。

x+1x2-3x+1(x≠-1)的值域为-∞,-25-5所以，f(x)=x+1(]∪[25-5,+∞.)
二.换元
例4．求函数f(x)=x+2的最大值。

2x+5分析：本题可通过变量代换使问题得到简化，而且将问题转化成熟悉的分式型函数的最值问题，从而为均值不等式创造条件。

解:令t=x+2，则x=t2-2(t≥0)，所以f(x)=t2t2+1(t≥0)
（1）当t=0时，f(t)=0；
（2）当t>0时，f(t)=12t+1t≤122t⋅1t=2，4当且仅当2t=12，即t=时取等号。

t2332。

x+2得x=-；因此当x=-时，函数f(x)取最大值224所以，由t=三．整体代换
例5．已知x>0,y>0，且81+=1，求x+2y的最小值。

xy81x16y+)⋅(x+2y)=10++，xyyx分析：本题可巧妙运用“1”的代换，得到x+2y=(而x16y+的积为定值，即可用均值不等式求得x+2y的最小值。

yx解：因为818116yx+=1，所以x+2y=(+)⋅(x+2y)=8+++2 xyxyxy=10+16yx16yx+≥10+2⋅=18 xyxy当且仅当16yx81=,+=1，即x=12,y=3时取等号。

xyxy所以当x=12,y=3时，x+2y的最小值是18.四．取平方
152x-1+5-2x(<x<)的最大值。

22分析：本题中2x-1与5-2x的和为定值4，从而可将解析式两边平方构造出“和”为定值，这样为均值例6．求函数y=不等式创造了条件。

解：y2=(2x-1+5-2x)2=4+2(2x-1)⋅(5-2x)
≤4+(2x-1)+(5-2x)=8 又y>0，所以由y2≤8得，0<y≤22
时取等号。

2315所以当x=时，函数y=2x-1+5-2x(<x<)取最大值22。

222当且仅当2x-1=5-2x，即x=五．三角代换
y2=1，求x1+y2的最大值。

例7．已知x>0,y>0,x+22y2=1可联想到sin2θ+cos2θ=1，若能将x,y用三角函数式代换，也可为均值不等式分析：由x+22创造条件。

⎧x=cosθπ解：令⎨(0<θ≤)
2⎩y=2sinθ22
所以x1+y=cosθ1+2sinθ=cos2θ(1+2sin2θ)
112cos2θ+(1+2sin2θ)133222
=⨯2cosθ(1+2sin)≤⨯=⨯=222224当且仅当2cosθ=1+2sinθ，即θ=22π6,x=32,y=时取等号。

22所以，当x=32322时，x1+y取最大值。

,y=324总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时要掌握常见题型的求解方法，加强训练，多多体会，才能真正达到举一反三的目的。

第三篇：均值不等式
均值不等式
定义
Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。

其中：
1、调和平均数：
2、几何平均数：
3、算术平均数：
4、平方平均数（均方根）：
一般形式
设函数（当r不等于0时）；
（当r=0时）特例可以注意到，Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形。

特例
可以注意到，Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即最著名的当属算术—几何均值不等式（AM-GM不等式）：当n=2时，上式即：当且仅当时，等号成立。

根据均值不等式的简化，有一个简单结论，中学常用，即。

记忆
调几算方，即调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数。

均值不等式的
变形
(1)对实数a,b，有a^2+b^2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)，a^2+b^2>0>-2ab(2)对非负实数a,b，有a+b≥2√(a*b)≥0，即(a+b)/2≥√(a*b)≥0(3)对负实数a,b，有a+b<0<2√(a*b)(4)对实数a,b，有a(a-b)≥b(a-b)(5)对非负数a,b，有a^2+b^2≥2ab≥0(6)对非负数a,b，有a^2+b^2≥1/2*(a+b)^2≥2ab(7)对非负数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥1/3*(a+b+c)^2(8)对非负数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac(9)对非负数a,b，有a^2+ab+b^2≥3/4*(a+b)^2(10)对实数a,b,c，有(a+b+c)/3>=(abc)^(1/3)证明
均值不等式的证明方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。

引理：设A≥0，B≥0，则(A＋B)^n≥A^n＋nA^(n－1)B。

注：引理的正确性较明显，条件A≥0，B≥0可以弱化为A≥0，A ＋B≥0,有兴趣的同学可以想想如何证明(用数学归纳法)。

原题等价于：((a1＋a2＋…＋an)／n)^n≥a1a2…an。

当n＝2时易证；
假设当n＝k时命题成立，即
((a1＋a2＋…＋ak)／k)^k≥a1a2…ak。

那么当n＝k＋1时，不妨设a(k＋1)是a1，a2，…，a(k＋1)中最大者，则ka(k＋1)≥a1＋a2＋…＋ak。

设s＝a1＋a2＋…＋ak，{[a1＋a2＋…＋a(k＋1)]／(k＋1)}^(k+1)＝{s/k＋[ka(k＋1)－s]／[k(k＋1)]}^(k+1)≥(s／k)^(k+1)＋(k＋1)(s／k)^k[ka(k＋1)－s]／k(k＋1)用引理＝(s／k)^k*a(k＋1)≥a1a2…a(k＋1)。

用归纳假设下面介绍个好理解的方法琴生不等式法
琴生不等式：上凸函数f(x)，x1,x2,...xn是函数f(x)在区间(a,b)内的任意n个点，则有：f[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)] 设f(x)=lnx，f(x)为上凸增函数
所以，ln[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[ln(x1)+ln(x2)+...+ln(xn)]=ln[(x1*x2*...* xn)^(1/n)] 即(x1+x2+...+xn)/n≥(x1*x2*...*xn)^(1/n)在圆中用射影定理证明（半径不小于半弦）
均值不等式的应用
例一证明不等式：2√x≥3-1/x(x>0)证明：2√x+1/x=√x+√x+1/x≥3*[(√x)*(√x)*(1/x)]^(1/3)=3 所以，2√x≥3-1/x 例二长方形的面积为p，求周长的最小值解：设长,宽分别为a,b，则a*b=p 因为a+b≥2√(ab)，所以2(a+b)≥4√(ab)=4√p 周长最小值为4√p 例三长方形的周长为p，求面积的最大值解：设长,宽分别为a,b，则2(a+b)=p 因为a+b=p/2≥2√(ab)，所以ab≤p^2/16 面积最大值是p^2/16
第四篇：均值不等式
课标分析
（1）课程标准要求：
课程标准对均值不等式要求探索并了解基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单的最大（小）问题。

（2）课程标准解读这个要求可以分为两个层次：一是探索并了解基本不等式的证明过程；二是会用基本不等式解决简单的最大（小）问题。

从第一个层
次来看，要达到“探索并了解”，需要三个步骤：首先要给学生创造相关的问题情景，启发学生的思维，获取感性认识。

其次通过问题探究让学生步步深入，剖析特点；最后利用不等式的性质将得出的结论，进行完整的证明，并明确使用均值不等式的三个条件。

第二个层次是应用层面，因此要通过适当的例题、习题和变式训练，引导学生明白对式子如何变形才可满足运用均值不等式的条件。

教材分析
本节是高中人教B版《数学》必修5第三章不等式第二节的内
容。

本节内容的教学需要两个课时，这是第一课时。

高中数学不等式是初中不等式知识的完善和提升，更是高等数学的基础，起着承前启后的作用．高中不等式与其他知识联系紧密，具有工具性功能．高中数学课程标准加强了不等式知识与实际生活的联系，力求体现数学来源于现实的真谛，教学中也更为突出不等式在解决实际问题中的工具作用．均值不等式的两个作用非常重要：第一是证明不等式。

第二个作用是求最值。

用来求最值时三个条件缺一不可，这是学生掌握的重点也是用均值不等式解决实际问题的易错点。

教学重点：理解均值定理并运用其解题。

教学难点：
均值不等式成立的三个条件，也是学生用均值不等式解决实际问题的易错点。

难点突破方法：
①多观察、勤类比、善归纳、重建构
② 题组引路、逐层深化、归纳总结、明确要点学情分析
从知识方面看：通过对必修五模块第一节不等关系与不等式的学习，以及学生在初中对一些不等式知识有一定的掌握，相关技能和能力有了一定的提高，均值不等式的推出及证明过程学生可顺利得出，但均值不等式的运用，以及公式的变形运是对学生的一个新的要求。

因此，还需要学生有一个逐步熟悉的过程。

从学习情感方面看，大部分学生愿意主动学习对学习有着较浓的学习兴趣。

从能力上看，预测学生思维活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因而片面，不够严谨，而且缺少系统的分析问题和解决问题的能力。

从学生的思维特点看，不等式的成立，容易联系不等式的相关性质。

不利因素是：本节课的重
点讲均值不等式求最值，对等号是否成立，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用过程中更容易出错。

所以我特意设置一个辨一辩的环节，借此引起学生的重视。

从学生的不同层次来看学优生在公式推导和运用方面掌握的较好。

因此组织了三次小组讨论，并且在当堂小测环节设置了A组和让不同层次的孩子都有所收获。

效果分析
（1）从目标达成上看：
学生在课堂上学习气氛热烈，兴趣浓厚，回答老师提问积极主动且正确率高，板演、上台展讲等环节，表现的也都很优秀，教师在课堂巡视时，发现除学案例题2的变式练习外，其它课堂练习完成情况很好。

学案例题2的变式练习，学生根据老师的提示，重新作答，也很好的完成。

根据上面检测，前2个目标至少40人达成，第3个目标38人达成，很好的完成了预设目标。

（班级43人）（2）从重、难点突破上看：
均值不等式能运用好的关键是认准均值
不等式成立的条件，以及什么样结构的式子适合用均值不等式求最值。

对于学生来说，能一眼看到定值的还可以应付，稍微复杂或定值不太明显的题目，学生还是缺少一定的认识。

这方面的练习要强化一些。

因此
我在教学中着力在这儿做文章，舍得花时间营造知识形成过程的氛围，通过问题串引导学生，突破学生学习的障碍点．同时，形成繁难的情境激起了学生的求知欲，引导学生急于寻求解决问题的新方法，为后面的教学埋下伏笔。

通过我的合理有效的问题串的引导，学生通过小组合作探讨，比较顺利得辨别出均值不等式的使用环境，轻松突破本节课的重、难点。

（3）从课堂观察量表上看：
观课中老师使用了课程观察量（附件1）共有10名数学教师进行观课，有1名教师给打了99分，6名教师给打了98分，3名教师给打了97分，平均得分为
97.8分，平均得分比较高，说明总体效果较好。

从课程观察量表各项得分上看，教师的课堂设计和课堂处理都达到了很好的评价，学
生的参与度非常高、学生间的合作与小组间的合作很强、学生的思维状态很活跃，学习的效果较好。

（4）从课堂检测批改情况来看：课堂小测批改情况是：全班共43人，全对的有38个同学，有4个同学错在B组练习。

从这个结果可以看出，本节课学生基本掌握了所学内容，完成了学习任务。

从上面的分析知，本节课所授内容基本与预设效果一致，评略得当，重点突出，难点突破。

在问题的引入、讲解及应用的处理方法、时间安排都把握的比较好，能够引导学生积极主动地探索，使学生学习兴趣浓厚，自主高效地完成课堂学习。

根据课堂检测和课后反馈练习的批改情况，可以看出学生对公式的运用非常好，完整地实现了教学目标。

课后反思
本节课我对《均值不等式》的教学是采用引导提问式的教学方式进行的，不是对学生进行知识的硬性灌输，而是通过问题的引入，问题的探究进行循序渐进式的引导式教学，让学生在研究问题的过程中体会知识的形成过程，在解决问题的过程中掌握知识的内容与实际应用，真正实现了以学生为主体的课堂教学。

在教学设计上，也力求调动一切积极因素，尽最大的可能激发学生的学习兴趣。

在教师的引导启发下，能使学生的思维真正的围绕“探究”步步深入，层层递进，能在最大限度上挖掘学生的学习潜能，也能更充分的体现学生学习的学习主体性。

我认为本节课能达到以下教学效果：
1、科学设置学习目标，教学目标是教学活动的出发点，也是教学活动的归宿，在教学活动中处于核心地位。

教学目标是课堂教学的指挥棒，是所有教学行为的指路明灯，具有导向作用。

本节课，我确定了三个学习目标。

学习目标的细化，使学生明确本节课要做什么，怎样做，做到什么程度，而且我把三个目标简化在黑板上，适时回扣目标，本节课的三个学习目标全部达成。

2、生活情境激发学生学习的兴趣，用赵爽弦图
引入课题，通过均值不等式的探究过程增强了学生的自信心，更能帮助学生感受研究方法的思想渗透；
3、通过具体实例的研究探讨，让学生通过动手操作，合作交流，
使学生能自己主动的发现，理解并掌握均值不等式。

4、精心设置问题串，教学中，我设计一个又一个带有启发性和思考性的问题，创设问题情景，诱导学生思考，使他们经历观察、实验、猜测、推理、交流、反思等理性思维的基本过程，切实改进学生的学习方法。

通过问题引领学生进行思考和剖析，培养学生分析问题,解决问题的能力,使学生充分体会自主探索获得知识的成就感。

在教学过程中贯彻新课程理念，遵循学生的认知规律，让学生品味知识的形成过程。

5、均值不等式的的应用，尤其是例题和练习的具体感知更培养了学生分析、抽象、概括、逻辑推理的能力以及运用属性结合思想解决实际问题的能力；让学生自主探究，主动回答问题，班级学习气氛浓厚，但有的孩子由于种种原因没有参与进来，有的孩子一节课表现了多次，没有把机会让给其他孩子。

后续
改进：
1、加强培养尖子生的带头作用，继续发展15人左右的答疑团队，让他们无论在课堂还是课下，都发挥自己的数学优势，带领组上其他学生的进步。

2、加强基本功训练，提高语言的精炼与艺术性。

第五篇：均值不等式
均值不等式
百科名片
1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)
2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)
3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n
4、平方平均数：Qn=√(a1^2+a2^2+...+an^2)/n
这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn 的式子即为均值不等式。

目录均值不等式的简介
均值不等式的变形均值不等式的证明
均值不等式的应用
其他不等式
重要不等式2.排序不等式
重要不等式5.均值不等式重要不等式1.柯西不等式
柯西不等式的一般证法有以下几种：
（1）Cauchy不等式的形式化写法就是：
记两列数分别是ai, bi，则有(∑ai^2)*(∑bi^2)≥(∑ai * bi)^2.我们令f(x)= ∑(ai + x * bi)^2 =(∑bi^2)* x^2 + 2 *(∑ai * bi)* x +(∑ai^2)则我们知道恒有f(x)≥ 0.用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有Δ = 4 *(∑ai * bi)^22.排序不等式排序不等式是高中数学竞赛大纲要求的基本不等式。

设有两组数 a 1 , a 2 ,…… a n, b 1 , b 2 ,…… b n 满足a 1 ≤ a 2 ≤……≤ a n, b 1 ≤ b 2 ≤……≤ b n 则有a 1 b n + a 2 b n?1 +……+ a n b1≤ a 1 b t + a 2 b t +……+ a n b t ≤ a 1 b 1 + a 2 b 2 +……+ a n b n 式中t1，t2，……，tn是1，2，……，n的任意一个排列，当且仅当a 1 = a 2 =……= a n 或b 1 = b 2 =……= b n 时成立。

以上排序不等式也可简记为：反序和≤乱序和≤同序和.证明时可采用逐步调整法。

例如，证明：其余不变时，将a 1 b 1 + a 2 b 2 调整为a 1 b 2 + a 2 b 1，值变小，只需作差证明（a 1-a 2）*（b 1-b 2）≥0，这由题知成立。

依次类推，根据逐步调整法，排序不等式得证。

重要不等式4.琴生不等式
设f(x)为上凸函数，则f[(x1+x2+……+xn)/n]≥[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n,称为琴生不等式（幂平均）。

加权形式为：
f[(a1x1+a2x2+……+anxn)]≥a1f(x1)+a2f(x2)+……+anf(xn),其中ai>=0(i=1,2,……,n),且a1+a2+……+an=1.重要不等式6.完全的均值不等式√[(a^2+ b^2)/2] ≥(a+b)/2 ≥√ab ≥2/(1/a+1/b)（二次幂平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均）
证明：（证明过程引自他出）
设a，b是两个正数，M2=√[(a^2+b^2)/2]，A=(a+b)/2，G=√(ab)，H=2/(1/a+1/b)分别表示a，b两元的二次幂平均，算术平均，几何平均和调和平均。

证明: M2≥A≥G≥H。

证明在梯形ABCD中，AB∥CD，记AB=b，CD=a。

EiFi(i=1,2,3,4)是平行于梯形ABCD的底边且被梯形两腰所截的线段。

如果E1F1分梯形为等积的两部分，那么E1F1=√[(a^2+b^2)/2]。

如果E2F2为梯形的中位线，那么E2F2=(a+b)/2。

如果E3F3分梯形为两相似图形，那么E3F3=√(ab)。

如果E4F4通过梯形两对角线交点的线段，那么E4F4=2/(1/a+1/b)。

从图中直观地证明E1F1≥E2F2≥E3F3≥E4F4，当a=b时取等号。

重要不等式几何平均（0次幂），二次平均（2次幂）
概念
1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)
2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)=n次√(a1*a2*a3*...*an)
3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n
4、平方平均数：Qn=√ [(a1^2+a2^2+...+an^2)/n]
这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn
a1、a2、…、an∈R +，当且仅当a1=a2= … =an时取“=”号
均值不等式的一般形式：设函数D(r)=[（a1^r+a2^r+...an^r）/n]^(1/r)(当r不等于0时);(a1a2...an)^(1/n)(当r=0时）（即D(0)=(a1a2...an)^(1/n)）则有：当r
变形
(1)对正实数a,b，有a^2+b^2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)，a^2+b^2>0>-2ab
(2)对非负实数a,b，有a+b≥2√(a*b)≥0，即(a+b)/2≥√(a*b)≥0
(3)对负实数a,b，有a+b<0<2√(a*b)
(4)对实数a,b(a≥b)，有a(a-b)≥b(a-b)
(5)对非负数a,b，有a^2+b^2≥2ab≥0
(6)对非负数a,b，有a^2+b^2 ≥1/2*(a+b)^2≥ab
(7)对非负数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥1/3*(a+b+c)^2
(8)对非负数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac
(9)对非负数a,b，有a^2+ab+b^2≥3/4*(a+b)^2
2/（1/a+1/b）≤√ab≤a+b/2≤√（(a^2+b^2)/2）。